2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí).平面向量.專項訓(xùn)練

分考點.精準(zhǔn)練工

考點01平面向量平行(共線)求參數(shù)

1.已知上eR,a=(2,5),6=(6,^),且。//人則上的值為.

2.已知向量4=(2,5),。=(4,4),若allb，則4=.

3.已知向量。=(〃z,4),b=(3,-2),且°〃6，貝！I機=.

4.設(shè)向量a,b不平行，向量而+6與o+2b平行，則實數(shù)2=

考點02平面向量垂直求參數(shù)

1.已知向量。=(0,1)涉=(2,x),若U4),則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

2,設(shè)向量4=(x+l,x)/=(x,2),則(

A."x=-3"是的必要條件B."x=-3"是的必要條件

C."x=0"是的充分條件D.晨=-1+百"是".//〃'的充分條件

3.已知向量4=(1,1)力=(1,—1),若(a+26)_L(a+,則()

A.X+〃=lB.%+〃=—1

C.%"=1D.加=-1

4.已知向量a=(3,l),Z?=(l,0),c=a+H?.若〃_L",貝！1k=.

5.設(shè)向量a=(1,-1)/=(加+1,2加一4),若a_LZ?,則加=.

考點03平面向量的基本定理及其應(yīng)用

1.在一ABC中，點。在邊A8上，BD=2DA.記C4=/%CZ)=〃，則CB=()

A.3m—2nB.—2m+3zzC.3m+2nD.2m+3n

2.已知平行四邊形A5CD,點E,歹分別是A3,BC的中點(如圖所示)，設(shè)AB="，AD=b,則E尸等

于()

1/71/7

A.—Ia+bB.一\U—bC.-\b-aD.—a+b

2、2、2、2

3.在△ABC中，為BC邊上的中線，E為的中點，則防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

4.在△ABC中，點、M,N滿足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yACf則x=,y=

考點04平面向量的模長

1.已知向量滿足忖=L卜+2-2,且R—2Q)_L。，則”=()

A1R3D1

222

2.已知向量〃，人滿足Q+。=(2,3),Q—5=(—2,1),則⑷2一向［2=()

A.-2B.-1C.0D.1

3.已知向量Q,人滿足,一司=g,卜=|2〃一可，則忖=.

4.已知向量a=(2/),》=(—2,4),貝|曰-J］()

A.2B.3C.4D.5

5.若向量滿足卜|=3,卜一N=5,Q-Z?=1,則卜卜.

6.設(shè)。，匕為單位向量，且|〃+。|=1,貝1/〃一切=.

7.已知向量Q=(2,3)乃=(3,2),貝!!|］一如=

A.y/2B.2

C.5D.50

8.已知向量4與〃的夾角為60。，I〃|=2,小|=1,則|Q+2b|=.

9.已知向量滿足口=1，M=2,則卜+0+卜-0的最小值是,最大值是

考點05求平面向量數(shù)量積

1.正方形ABC。的邊長是2,E是A3的中點，則EC-E￡>=()

A.右B.3C.2A/5D.5

2.已知向量a涉滿足|。|=1,|切=石,|。一2加=3,則a/=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在，ABC中，AC=3,BC=4,ZC=9O°.P為，ABC所在平面內(nèi)的動點，且PC=1,則尸4尸8的取值范

圍是()

A.[-5,3]B.[—3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

4.己知P是邊長為2的正六邊形A8CDEF內(nèi)的一點，則APAB的取值范圍是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

二、多選題

5.已知。為坐標(biāo)原點，點片(cosa,sine),g(cos/?,-sin/7),6(cos(a+0,sin(a+￡)),A(l,0),則()

A.|M=|網(wǎng)B.|訓(xùn)=|叫

C.OAOP3=OPiOP1D.OAOP\=OP20P3

三、填空題

6.設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為g,且M=l,M=3,貝i](2a+6”=.

7.在邊長為1的等邊三角形ABC中，。為線段BC上的動點，DEJ.AB且交AB于點、E.叱〃48且交AC

于點月則I2BE+DFI的值為；(￡>E+￡>/〉ZM的最小值為.

8.已知向量a+6+c=0，|?|=1,|^|=|c|=2,a-b+b-c+c-a=.

9.已知向量。,6,C在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

{a+b)'C=；a-b=-

3

10.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且A。=X3C,AB=——,則實數(shù)2的值

2

為,若M,N是線段8C上的動點，S.\MN\=1,則的最小值為.

AD

BMNC

11.已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足AP=g(A2+AC),則|尸。|=；PBPD=.

考點06求平面向量的夾角

一、單選題

1.已知向量a=(3,1)力=(2,2),貝lJcos(a+6,<?-6)=()

A±R如「石口2百

C.---U.-----

171755

2.已知向量a,b,c洞足同=忖=1,卜|=,且d+〃+4=0，則cos〈a—c/—c)=()

4224

A.----B.----C.-D.一

5555

3.已知向量a=(3,4),)=(l,0),c=a+仍，若<a,c>=<6,c>,貝！R=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.已知向量a,Z?滿足1〃1=5,\b\=6,a.b=—6，則cosva,a+/?>=()

31-191719

AA.一一-B.一一-C.—D.—

35353535

5.已知非零向量a,b滿足H=2M，且則a與6的夾角為

71712兀5兀

A.—B.一C.—D.—

6336

,,,。UUV1GUUDF冬則/ABC二

6.已知向量5A=(—,J),BC=(

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、填空題

7.在，ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中點，CB=2BE,試用。,6表示DE為,若AB_L￡>￡,

則ZACB的最大值為

8.設(shè)G，e2為單位向量，滿足|2q-e2區(qū)夜，a=ex+e'2,/?=3^+e2,設(shè)q,6的夾角為6,則cos?。的最

小值為?

9.已知向量4=(2,2),6=(-8,6),則cos(a,6)=.

10.已知a/為單位向量，且a-b=0，若C=2a-瓜,貝!Jcos<a,d>=.

參考答案與試題解析

分考點二精準(zhǔn)練工

考點01平面向量平行（共線）求參數(shù)

1.已知上eR,a=（2,5）,6=（6,^）,且。//人則上的值為.

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】allb，：2k=5x6,解得左=15.

故答案為：15.

2.已知向量。=（2,5）,。=（4,4）,若a//b，則2=.

Q

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于4的方程，解方程即可求得實數(shù)2的值.

【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案為：

3.已知向量。=（租,4）力=（3,-2）,且4〃b，貝U機=.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示得出-2機-4x3=0,求解即可得出答案.

【詳解】因為d〃6，所以-2〃z-4x3=0,解得旭=一6.

故答案為：-6

【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)向量°,6不平行，向量九/+6與a+2b平行，則實數(shù)彳=.

【答案】|

,一,A=kf1

【詳解】因為向量與〃+2。平行，所以+b=H2+2Z?）,則｛107所以丸=彳.

1=2左，2

考點：向量共線.

考點02平面向量垂直求參數(shù)

1.己知向量。=(0,1)/=(2,x),若b_L3-4a),則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運算可求％的值.

【詳解】因為6Mb-甸，所以6.僅一甸=。，

所以7_4。力=0即4+*2—4尤=0,故x=2,

故選：D.

2.設(shè)向量2=(x+Lx)/=",2),則()

A."x=-3"是的必要條件B."x=-3"是的必要條件

C."x=0"是的充分條件D."X=-1+A/T'是""http://〃'的充分條件

【答案】C

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對A,當(dāng)a_L6時，貝!Ja/=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯誤；

對C,當(dāng)x=0時，a=(l,0),Z>=(0,2),故a/=0，

所以即充分性成立，故C正確；

對B,當(dāng)。//6時，則2(x+l)=Y,解得x=l±6，即必要性不成立，故B錯誤;

對D,當(dāng)x=-l+退時，不滿足2(x+l)=V,所以“///,不成立，即充分性不立，故D錯誤.

故選：C.

3.已知向量a==1),若(a+2b)_L(a+〃b),則()

A.4+〃=lB.X+〃=—1

C.加=1D.加=-1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出Q+助，”曲，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳角軍】因為a==—1),所以a+/U?=(l+4,l—>l),a+=+,

由(a+4b)_L(a+4b)可得，(Q+勸),(a+=0,

即+++=0,整理得：%從=—1.

故選：D.

4.已知向量a=（3,l）,Z?=（l,0）,c=a+kZ?.若〃_1。，貝必=.

【答案】-1.

【分析】利用向量的坐標(biāo)運算法則求得向量右的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得兀的值

【詳角星】a=（3,l）,b=（l,O）,/.c=a+物=（3+匕1）,

a±c,.\a-c=3（3+k）+lxl=0,解得％=-g,

故答案為：-g.

【點睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

p=（玉,％）,q=（工2,%）垂直的充分必要條件是其數(shù)量積玉七+乂為=°.

5.設(shè)向量a=（1,-1）/=（機+1,2根一4）,若々_1人，則加=.

【答案】5

【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由a_LZ?可得〃./?=（）,

又因為a=（1,-1）,Z?二（m+l,2m-4）,

所以〃力=1?（m+1）+（—1）?（2根—4）=0,

即機=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查有關(guān)向量運算問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.

考點03平面向量的基本定理及其應(yīng)用

1.在一ABC中，點。在邊A8上，BD=2DA.iBCA=m,CD=n,則C8=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2加+3〃

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊AB上，BD=2DA,所以8D=2ZM，即=2（C4-CDb

所以C3=3CD-2CA=3/1-2m=-2m+3n.

故選：B.

2.已知平行四邊形ABC。，點E,尸分別是AB,3C的中點（如圖所示），設(shè)=AD=b,則EF等

于（）

A

1/71/7

A.一（u+bB.一\u—bC.一（b—ciD.—G+b

2、2、2

【答案】A

【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案;

【詳解】連結(jié)AC,則AC為-ABC的中位線,

/.EF=-AC=-a+-b,

222

A

故選：A

3.在△ABC中，AD為3c邊上的中線，￡為AD的中點，則破=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE二BA+《BD,之后應(yīng)用向

22

31

量的加法運算法則——三角形法則，得到3C=A4+AC，之后將其合并，得到郎=：R4+TAC,下一步

44

31

應(yīng)用相反向量，^EB=^-AB--AC,從而求得結(jié)果.

44

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC

222424、

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

31

所以防=二43-7AC,故選A.

44

【點睛】該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加

法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.

4.在△ABC中，點、M,N滿足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yAC,則x=,y=.

【答案】|4

【詳解】特殊化，不妨設(shè)NCLAB,AB=^,AC=3,利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸,

建立直角坐標(biāo)系，屋0,0),〃(0,2),以0,3),6(4,0),N⑵令，MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),則

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=x=-,y=

2226

考點：本題考點為平面向量有關(guān)知識與計算，利用向量相等解題.

考點04平面向量的模長

1.已知向量滿足忖=1,卜+20=2,且僅一2a)_Lb,則忖=()

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由R-2a)J_。得片=2。/,結(jié)合卜|=1,卜+2耳=2,得l+4a.6+4z/=1+67=4，由此即可得解.

【詳解】因為所以僅一2°)力=0,即『=20小，

又因為忖=1,卜+2*2,

所以1+4Q./?+4Z?=1+6/?=4，

從而w=q.

故選：B.

2.已知向量a,6滿足a+b=(2,3),a-6=(-2,l),則一屹『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量原萬滿足a+6=(2,3),a-b=(-2,1),

所以-|/?|2=(￡/+&)-(?-/?)=2x(-2)+3xl=-l.

故選：B

3.已知向量a,*滿足卜一同=8，,+1=忸_司,則忖=.

【答案】V3

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運算律運算求解；法二：換元令｝=三-力，結(jié)合數(shù)量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為,+同=忸一司,即(a+b『=(2a-b)2,

貝必?+2。力+6-=^a-^a-b+b,整理得tf-2a-b-Q>

又因為卜-*6,即(a_q=3,

^a-2a-b+b=b=3^所以

ii.rirrrrrrrr

法二：設(shè)c=「_6，貝qq=j3,a+Z?=c+2"2Q_/?=2C+Z?,

由題意可得：(c+2。)=(2c+4,則;2+4；.%+412=4；2+4；.力+:2,

整理得：；2』2,即M=1=6.

故答案為：73.

4.已知向量a=(2,1)0=(-2,4),貝一力|()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得"一。，然后求得

【詳解】因為。-少=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以卜一6卜舊而7=5.

故選：D

5.若向量￡/滿足忖=3,卜-0=5,0.6=1,則慟=.

【答案】3亞

【分析】根據(jù)題目條件，利用a-b模的平方可以得出答案

【詳解】?；卜一4=5

卜_0=a+b'-2a-b-9+^-2=25

|i|=3V2.

故答案為：3亞.

6.設(shè)。力為單位向量，且貝！)|。一/?|=.

【答案】百

【分析】整理已知可得：1+*/(〃+,,再利用〃力為單位向量即可求得2〃2=-1，對變形可得:

卜—q=_2々./?+慟，問題得解.

【詳解】因為為單位向量，所以口=M=I

所以卜+==+2〃2+慟=^2+2a-b=1

解得：2ab=-l

所以卜-W=1(a-b)=^|a|-2a-Z7+|z7|=G

故答案為：百

【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

7.已知向量a=(2,3)0=(3,2),貝一日|=

A.72B.2

C.5正D.50

【答案】A

【分析】本題先計算再根據(jù)模的概念求出

【詳解】由己知，力=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a—61=-^(―I)2+12=*?/2，

故選A

【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.由于對平

面向量的坐標(biāo)運算存在理解錯誤，從而導(dǎo)致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯.

8.已知向量。與人的夾角為60。，|a|=2,|6|=1,則|a+2b|=.

【答案】2月

【詳解】???平面向量a與b的夾角為60°,同=2,忖=1

:a-b=2xlxcos60°=1-

\a+2b\=J(a+26)2=a2+4a-b+(2b)2=-4+4+4=2上

故答案為2道.

點睛：(1)求向量的夾角主要是應(yīng)用向量的數(shù)量積公式.

(2)阿常用來求向量的模.

9.已知向量滿足口=1,舊=2,則|a+4+|a-0的最小值是,最大值是.

【答案】426

【詳解】設(shè)向量a,6的夾角為6,由余弦定理有：|a-^|=A/12+22-2xlx2xcos6>=V5-4cos6>,

卜+0=JF+22—2xlx2xcos(乃一，)=j5+4cosT,貝！]：

|<7+Z?|+|a-&|=J5+4cos6+,5-4cos6,

令y=j5+4cos。+j5-4cos。,貝U)/=10+2,25-16cos?6e[16,20],

據(jù)此可得：(,+力+卜-4)=755=2后(k+々+卜-⑷=716=4,

即卜+0+卜-0的最小值是4,最大值是2宕.

【名師點睛】本題通過設(shè)向量a力的夾角為6,結(jié)合模長公式，可得

|a+q+|j|=j5+4cosO+J5-4cos6,再利用三角函數(shù)的有界性求出最大、最小值，屬中檔題，對學(xué)生

的轉(zhuǎn)化能力和最值處理能力有一定的要求.

考點05求平面向量數(shù)量積

1.正方形A5c。的邊長是2,E是AB的中點，則EC-EZ)=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛人民A。｝為基底向量表示EC,即，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運算求解.

【詳解】方法一：以｛A民A。｝為基底向量，可知世|=|A4=2,A3.AO=0,

uumuuruumiuunuumuunuruumiuunuum

貝1」石。二防+5。=—43+4。,石。=胡+旬=一一AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuunuuuAiuunuun

所以石。瓦>=仁人8+4。.-/AB+AD2+AD2=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，

/、/、/、UUUUL1U

則E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),即=(-1,2),

ULULuum

所以EC的=-1+4=3;

方法三：由題意可得：ED=EC=y[5,CD=2,

rip2+CF2-DC25+5-43

在，CDE中，由余弦定理可得cosNDEC=—「='北7f,

2DE-CE2xV5x<55

uunuum|Uiin||Uuia|3

所以EC-EO=|Eq|EqcosNOEC=j5x?xg=3.

故選：B.

2.已知向量滿足|。|=1,|切=石,|。-2切=3,則°力=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】c

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運算求解即可.

【詳解】解：|a—26°力+4忖,

又|現(xiàn)=1,防|=百，5-2萬|=3,

9=l-4a-6+4x3=13-4a?辦，

d-b

故選：C.

3.在..ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P為-ABC所在平面內(nèi)的動點,且PC=1,則/%.網(wǎng)的取值范

圍是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[--4,6]

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)尸(cose,sin。)，表示出PA，PB,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。(。,0),4(3,0),5((),4),

AX

5-

4t

-2C12345

-2-

因為PC=1,所以尸在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設(shè)尸(cos。,sin。)，0e[0,2^],

所以R4=(3—cos^,—sin,PB=(—cosOA—sin0),

所以PA-PB=(-cos^)x(3-cos+(4-sin0)x(-sin

=cos20—3cos0—4sin0+sin26

=l-3cos6—4sin，

./x34

=1-5sin(6+0),其中sinp=w，cos^z?=—

因為一lWsin(J+0)41,所以TWl-5sin(e+0)46,即B4-PBe[-4,6]；

故選：D

4.已知P是邊長為2的正六邊形48COEF內(nèi)的一點，則APAB的取值范圍是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題中所給的條件,結(jié)合正六邊形的特征，得到4尸在AB方向上的投影的取值范圍是（T，3）,

利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.

可以得到AP在AB方向上的投影的取值范圍是（T，3）,

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

可知AP?加等于AB的模與A戶在AB方向上的投影的乘積，

所以APAB的取值范圍是（-2,6）,

故選：A.

【點睛】該題以正六邊形為載體，考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識點有向量數(shù)量積的

定義式，屬于簡單題目.

二、多選題

5.已知。為坐標(biāo)原點，點《(cosa,sina),g(cos氏—sin0,Q(cos(a+0,sin(a+/7)),A(1,O),則()

A.口小口耳B.|叫=|四

C.0Aop3=OP[OP2D.OAOP[=OP20n

【答案】AC

UUWUUli

【分析】A、B寫出。耳,。巴、APt,A2的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的

坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：OR=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin//),所以|OR|=Jcos2<7+sin2a=1,

|OP?|=J(cos?)+(—sin￡)2=1，故|0<|=|"|,正確；

B：AF[=(cosa-1,sina),AP^=(cos/7—1,—sinp),所以

22222

\APX|=7(cosa-I)+sina-Vcos?-2cos6z+l+sina-J2(l-cosa)=^4sin1=21sin￡|,同理

||=J(cos夕—1)2+Sil?4=21sin，I,故IM|,|I不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OAOR=lxcos(a+P)+Oxsin(a+/7)=cos(a+/7),

OROR=cosa-cos/y+sincr?(-sin/?)=cos(cr+/?),正確；

D：由題意得：OAOF{=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cosPxcos(ct++(-sinP)xsin(cr+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來說ONOR豐gOP.故錯誤；

故選：AC

三、填空題

6.設(shè)向量九b的夾角的余弦值為:，且忖=1,舊=3,貝.2a+46=.

【答案】11

【分析】設(shè)a與B的夾角為凡依題意可得cosO=g,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出.力,最后根據(jù)數(shù)量積的運

算律計算可得.

【詳解】解：設(shè)a與b的夾角為。，因為a與6的夾角的余弦值為:，即cosO=；,

又W=l,1|=3,所以a-6=W-Wcos6=lx3xg=l,

所以(2"+46=2°.6+6-=2a/+卜|=2x1+3。=11.

故答案為：11.

7.在邊長為1的等邊三角形A8C中，。為線段8c上的動點，DE上AB且交48于點E.且交AC

于點七則I2BE+DFI的值為；(DE+DF>DA的最小值為.

【答案】1點

【分析】設(shè)BE=x,由(23￡'+。尸)2=48￡2+45￡1-。尸+。尸;可求出；將(DE+DF)./M化為關(guān)于x的關(guān)系式

即可求出最值.

【詳解】設(shè)3E=x，_MC為邊長為1的等邊三角形，DE±AB,

ZBDE=30,BD=2x,DE=懇,DC=1-2x,

DFIIAB.DFC為邊長為1-2x的等邊三角形，DE1DF，

22

/.(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)?DA=(DE+DF>(DE+EA)=DE^-DFEA

=(V3x)2+(1-2x)x(1-x)=5x2-3x+l=5^x-^j,

311

所以當(dāng)冗=歷時，(DE+。/)的最小值為三.

故答案為：1;七.

8.已知向量Q+6+C=0，,卜1,I"卜H=2，a-b+b-c+C-a=

【答案】

【分析】由已知可得(。+人+@2=0,展開化簡后可得結(jié)果.

【詳解】由已知可得(a+b+c)=a+b+c+2(a?Z?+b?c+c?Q)=9+2(a?Z?+b?c+c?a)=0,

,..9

因止匕，a-b+b'C+C'a=——.

2

o

故答案為:--.

9.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

(〃+b)N=；a-b=■

【答案】03

【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出4+〃，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運算直接計算即可.

【詳解】以〃交點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：

則Q=(2,1)/=(2,-1),C=(0,1),

:.a+b=(4,0),「.(〃+/?).(?=4x0+0xl=0,

二.a?心=2x2+lx(—l)=3.

故答案為：0；3.

3

10.如圖，在四邊形ABC。中，N3=60°,AB=3,BC=6,^AD=ABC,ADAB=--,則實數(shù)力的值

為,若MN是線段3。上的動點，且則。A/3N的最小值為.

AD

【分析】可得NA4O=120,利用平面向量數(shù)量積的定義求得4的值，然后以點B為坐標(biāo)原點，所在直

線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點M（x,O）,則點N（x+l,O）（其中04x（5）,得出O0.0N關(guān)于了的函

數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得。河.ON的最小值.

【詳解】AD=ABC,AD//BC,/BAD=180-ZB=120,

ABAD=ABC-AB=A\BC\-\AB\cos120

=2x6x3x(-=-92=,

解得彳=」，

6

以點8為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系工班,

BC=6,:.C(6,0),

|AB|=3,ZA5C=60°,A的坐標(biāo)為A

文:AD=-BC,^]D,設(shè)M（x,0）,則N（%+1,。）（其中0WxW5）,

6

53⑻33后

DM=x—,DN=x——

2222J

=x2-4x+—=(x-2)2+—,

2l72

所以，當(dāng)x=2時，OAf.rW取得最小值彳.

113

故答案為：~-

62

【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于

中等題.

11.已知正方形A3CD的邊長為2,點P滿足AP=:(A8+AC),貝1]|尸。|=；PB-PD=.

【答案】A/5-1

【分析】以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD所在直線分別為無、＞軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點尸的坐標(biāo),

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得以及PBPD的值.

【詳解】以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD所在直線分別為了、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、￡＞(0,2),

AP=1(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),

則點尸(2,1),力=(—2,1),PB=(O,-l),

因止匕，|叫="可+儼=價,PB-PD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案為：A/5;-1.

【點睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點尸的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，

考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

考點06求平面向量的夾角

一、單選題

1.已知向量a=(3,1)力=(2,2),貝I]cos(a+6,a-b)=()

A±R厲c小D2百

A.D.--------C.U.--------

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得卜+4，卜-4(“+今(。-6),從而利用平面向量余

弦的運算公式即可得解.

【詳解】因為1(3,1)力=(2,2),所以〃+b=(5,3)M-b=

貝l]卜+。|=J52+3?=A/34,|?—Z?|=Vl+1=A/2,(〃+/?).(〃_/?)=5xl+3x(—l)=2,

/、\a+b]'\a-b\9、所

所以COS(Q+"Q—=LL，J

\/卜+“…734x7217

故選：B.

2.已知向量a,。,c滿足同=M=1,同=,且Q+Z?+e=O，貝！Jcos〈a—c,Z?—c)=()

4224

A.--B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因為a+6+c=0,所以』+6=」，

即42+62+20.6=中,即1+1+25)=2,所以。.6=0.

如圖，設(shè)。4=a,O8=6,OC=c,

C

由題知,。4=OB=1,OC=應(yīng),」0AB是等腰直角三角形，

邊上的高。。=1,4￡)=交，

22

所以CD=C0+0D=國叵=巫,

22

tanZACD=—=-,cosZACD=3

CD39，

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故選:D.

3.已知向量〃=(3,4),〃=(l,O),c=Q+歷，若<a,2>=〈b,c>,則/=(

A.—6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

,、,、9+3,+163+/

【詳解】解:W=(3+r,4)cos(a,d)=cos,即一=H，解得‘=5,

故選：C

4.已知向量a,b滿足1。1=5,|Z?|=6,ab=-6則cos<a,a+6>=()

31c19方17、19

A.--B.——C.——D.——

35353535

【答案】D

【分析】計算出。?(。+0)、卜+4的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出cos<〃M+b〉的值.

【詳角軍］忖=5,|“=6,a?b=—6，+=W+42=52—6=19.

,+目=,(a+b)=+2〃.6+>=,25-2x6+36=7,

a\a+b)1919

因止匕，cos<a,a+b>=-；-；—；---r=——=——.

Q.Q+05x735

故選：D.

【點睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計算，同時也考查了平面向量數(shù)量積的計算以及向量模的計算，

考查計算能力，屬于中等題.

5.已知非零向量a,b滿足H=2M，且