第11講：第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)

章節(jié)總結(jié)

第一部分：典型例題講解

題型一：函數(shù)的定義域

1.（23-24高一上?河北石家莊?期末）函數(shù)f（x）=。+（xT）°的定義域為（

A.B.—,1

c.1小（1,+8）D.

2.（23-24高一上?云南昆明?期末）函數(shù)/（尤）=」不+比5-1）的定義域為（）

x-2

A.(l,+oo)B.(1,2)u(2收)

C.(fl)D.(0,2)u(2,+oo)

3.（23-24高一下?安徽安慶?開學(xué)考試）若函數(shù)了（2'-1）的定義域為［-1』，則函數(shù)/（log?x-1）

的定義域為

4.（23-24高一上?江蘇無錫?期末）已知函數(shù)/（x）=」x+4+ln（l-x）,則〃2x）的定義域

為.

5.（23-24高一上?湖北武漢,期末）已知函數(shù)/（另的定義域為（-5,4）,則函數(shù)

g"）=3/（2x+l）+log2、x+l］的定義域為.

題型二：函數(shù)的值域（最值）

1.（23-24高二上?廣東廣州?期末）函數(shù)〃尤）=2x+H^的最大值是（）

A.75B.26C.2+73D.4

2.（多選）（23-24高一上?山東濰坊?期末）已知函數(shù)/*）的定義域為R,值域為［-2,3］,

則下列函數(shù)的值域也為［-2,3］的是（）

A.y=/（x+l）B.y=f（x）+lC.y=/（-%）D.y=-f（尤）

CQQX

3.（2023高三上?全國?專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）,的值域是_____________.

2cosx+l

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）求函數(shù)y=，x-l+，5-x的最大值.

5.（23-24高一上?吉林?期末）已知函數(shù)=+k,%e[-l,O].

（1）%=T時,求〃尤）的值域;

⑵若〃x）的最小值為4,求％的值.

丫2

6.（2023高三?全國?專題練習(xí)）求函數(shù)〃力=士缶+2的值域.

7.（23-24高一上?重慶南岸?階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)/1（無）=+-妙+〃7-1的定義

域為R，求實數(shù)機的取值范圍；

（2）已知函數(shù)/'（;（:）=+I的值域為[0,+“）,求實數(shù)。的取值范圍.

題型三：求函數(shù)的解析式

1一十、

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)“1-x）=VUxwO）,則〃尤）=（）

11

A.7一干一1（無片°）B.7—不一1（尤/1）

（x-1）（1）

44

C.7一不■T（x#°）D.7一花T（尤*1）

（1）（1）

2.（23-24高一上?天津南開?期中）己知小-￡|=/+5，則函數(shù)〃x+l）的表達(dá)式為（）

A./（X+1）=（X+1）2+---y

（元+1）

C./（x+1）=x2+2x+3D.f（%+1）=爐+2x+1

3.（多選）（23-24高一上?山西太原?期中）已知函數(shù)/（&+l）=2x+6-1,則（）

A./（3）=9B./（x）=2x2-3x（x>1）

C.的最小值為-1D.的圖象與x軸有2個交點

4.（23-24高一上?湖北?期末）函數(shù)滿足/（x）+/]￡|=。，請寫出一個符合題意的函

數(shù)〃尤）的解析式________.

5.（2024高一?全國?專題練習(xí)）己知了⑺是二次函數(shù)且/⑼=2,/（%+1）-/（%）=%-1,求

/U）.

6.（23-24高一上?河北?階段練習(xí)）（1）已知火+l）=x+2石，求“X）的解析式;

（2）/（x）-2/（-x）=9x+2,求〃尤）的解析式.

題型四：分段函數(shù)問題

"V-_-y-1

一',若/（/+1）4〃-1O4）-〃5）,

11LX,X11

則實數(shù)〃的取值范圍是（）

A.{-1}B.（-oo,-l]

C.D.T,_：1

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)?。㎎：一",若天°eR,使得

[log3x,x>3

/（%O）W1OM+4/成立，則實數(shù)機的取值范圍為（）

911「5/

A.B.--,0

L44j2」

（9]「1）（5]「八、

C.IU-—ID.I-OO,-—u[0,+o?）

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))定義域為R的函數(shù)滿足〃x+2)=2/(x),當(dāng)xe[0,2)

時,若尤式＜-2)時，恒成立，則實數(shù)f的取值

范圍是()

A.f(x)=xaB.[-2,0)u[l,^)

C.(f-2]5。』D.[-2,1]

4.(23-24高一下?廣西?開學(xué)考試)已知〃=+1""是R上的單調(diào)函數(shù)，

110gm，尤21

則加的取值范圍是.

5.(23-24高一下?上海?階段練習(xí))若函數(shù)〃尤)=收一,，”卜1；1]最大值，則實數(shù)“

\2\x-a\-2,xE(1,3J

的取值范圍_________.

題型五：函數(shù)的單調(diào)性

1.(2024?陜西西安?二模)已知函數(shù)/。)=；/一2尤+lnx.若則。的取

值范圍是()

A.(一8,-1]B.(-1,2]C.[2,+8)D.1；,2

2.(2024?廣東?一模)已知/(x)=2岡+f,若/⑷<3,則()

A.ae(l,+oo)B.?G(-1,1)C.6ZG(-oo,l)D.ae(0,l)

3.(2024?云南貴州?二模)若函數(shù)f(x)的定義域為R且圖象關(guān)于>軸對稱，在[0,+?)上

是增函數(shù)，且/(-3)=0,則不等式/(x)<0的解是()

A.(-8,-3)B.(3,+力)

C.(—3,3)D.(―co,—3)u(3,+oo)

4.(2024高一?全國?專題練習(xí))定義R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)/(尤)滿足對任意feR,若

f(t2-2?)+/(2產(chǎn)-幻＜0恒成立，求k的范圍_____.

5.（2024?四川成都二模）已知函數(shù);'（x）=3x-siiu,若+f（儲_2）＞0,則實數(shù)。的

取值范圍為.

題型六：函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性，周期性綜合應(yīng)用

1.（2024?山東煙臺?一模）己知定義在R上的奇函數(shù)/⑺滿足"2-x）=＜（x）,當(dāng)OVxVl時,

=則“Iog212）=（）

1111

A.——B.——C.-D.—

3432

2.（2024?河北滄州?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（%）滿足：

2024

/（x）+/（2-^）=2,/（x）-/（4-x）=0,且/（O）=2.若MN*,則￡/"）=（）

Z=1

A.506B.1012C.2024D.4048

3.（23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）,其周期為4,當(dāng)xe［0,2］

時，/（尤）=2=2,則（）

A./（2023）=0B./（x）的值域為卜1,2］

C./⑴在［4,6］上單調(diào)遞減D./（x）在［-6,6］上有8個零點

4.（多選）（23-24高一下.江西.開學(xué)考試）已知“X）是定義在R上的奇函數(shù)，且

/（4—x）=〃x）,若對于任意的尤-Xje［2,4］,都有（%-％）［〃％）-〃/）］＜。，則（）

A.“X）的圖象關(guān)于點（一2,0）中心對稱B.〃力=〃尤+8）

C.在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞增D./（X）在x=66處取得最大值

5.（多選）（2024?吉林白山?二模）已知函數(shù)“X）的定義域為R,其圖象關(guān)于（1,2）中心對

稱，若〃=則（）

4

A./（2-3x）+/（3x）=4B./（x）=/（x-4）

20

C.〃2025）=T046D.^/（z）=-340

i=l

6.（23-24高三下?陜西?開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)/（X+1）為奇函數(shù)，“X+2）為偶

函數(shù)，當(dāng)xe［0,l］時，/（X）=3X3-3%,則方程在［0,99］上的實根個數(shù)為.

題型七：不等式中的恒成立問題

4

1.（23-24高一上?重慶,階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=x+Fg（x）=2'+a.若

%且1,3],衽且2,3],使得/&）*（%）成立，則實數(shù)。的范圍是（）

A.a<4B.a<3C.a<0D.a<\

2.（23-24高一上?江蘇揚州?階段練習(xí)）已知正實數(shù)天，丫滿足2x+3y=l,且比一丁力一丫對

任意龍廣恒成立，則實數(shù)r的最小值是.

3.（23-24高一下?上海金山?階段練習(xí)）定義域為R的函數(shù)/⑺滿足/（x+2）=2/（x）,當(dāng)

x2-x,xe[0,1)

f2,

xe[0,2)時,若當(dāng)xe[Y,-2）時，不等式/（x）N：恒成

立，則實數(shù)/的取值范圍是.

4.（23-24高一下?北京延慶?階段練習(xí)）設(shè)。為常數(shù)，且,函數(shù)/（x）=cos2x+2asinx-1,

若對任意的實數(shù)尤，都有了（無）工力一4成立，求實數(shù)。的取值范圍.

5.（23-24高一上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)

〃尤）=k>g]（x+l）+log1（x-l）,g（x）=x2-av+6（aeR）

22

⑴求函數(shù)〃X）的定義域.

⑵判斷函數(shù)〃尤）的奇偶性，并說明理由.

⑶對[6,+勾,9?1,2],不等式“xJVgG）恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

6.(23-24高一上?北京?期中)若二次函數(shù)滿足〃x+l)-/(x)=2x,且〃0)=1

(1)確定函數(shù)〃尤)的解析式；

⑵若在區(qū)間[-M]上不等式〃x)>2x+m恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

題型八：不等式中的能成立問題

1.(23-24高一上?河南駐馬店?期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=log2(2*+l)+(左+l)x,

且/(尤)-》是偶函數(shù).

⑴求的解析式；

⑵當(dāng)xe[-3,0]時，記”尤)的最大值為Af.g(x)=x2-2/7zx+2,若存在xe[2,4],使

g(x)<M,求實數(shù)機的取值范圍.

a—%

2.(23-24高一下嘿龍江大慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=log|「二，g(x)=7〃⑷-2"2+3

⑴若y=ig[g("]的值域為R,求滿足條件的整數(shù)冊的值；

⑵若非常數(shù)函數(shù)"X)是定義域為(-2,2)的奇函數(shù)，且%e[l,2),3x2e[-l,l],

,求加的取值范圍.

3.(23-24高一下?云南紅河?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)="一'-1(a>0,aR1)是定義在R上

的奇函數(shù).

(1)求。的值；

(2)若/(1)<0,3xe1,2,使得不等式42/)+〃1一比)>。成立，求f的取值范圍.

4.(23-24高一下?河北石家莊?開學(xué)考試)已知幕函數(shù)/")=(療-4M+4”2〃I在(一⑼上

單調(diào)遞減.

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)若/(I—2x)</(x+2),求尤的取值范圍；

⑶若對任意都存在ae[l,2],使得〃天卜"―/+a+1成立，求實數(shù)才的取值范圍.

5.(23-24高一上?江西新余?期末)已知函數(shù)〃x)=q鼻的圖象經(jīng)過點

⑴求。的值，判斷〃力的單調(diào)性并說明理由；

⑵若存在-2,-1],不等式+小)+/1+4)>0成立，求實數(shù)機的取值范圍.

題型九：函數(shù)的圖象

3d+cosx的圖像的是（）

1.（23-24高三下?四川巴中?階段練習(xí)）以下最符合函數(shù)

2X-2~x

3.（2024?福建?模擬預(yù)測）函數(shù)/（尤）=：尤—cos%在［-兀，可上的圖象大致為（）

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）在下列四個圖形中，點尸從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長

為/的圖形運動一周，。、尸兩點連線的距離y與點P走過的路程尤的函數(shù)關(guān)系如圖，那么

點尸所走的圖形是（）

5.（23-24高一下?廣東惠州?階段練習(xí)）函數(shù)'的圖象大致為（）

\>r+rx

題型十：指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)

1.（23-24高三上?天津南開?階段練習(xí)）已知a=e°」，6=l-21g2,c=2-log310,則0,b,

c的大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

2.（2024?浙江?二模）若函數(shù)/（6=111?+1）+依為偶函數(shù)，則實數(shù)。的值為（）

11

A.—B.0C.-D.1

22

3.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的

廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為

2.25g/m3,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為2.21g/n?,第"次改良工藝后

排放的廢水中含有的污染物數(shù)量/滿足函數(shù)模型OcR,〃eN*）,

其中2為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，4為首次改良工藝后排放的廢水中含

有的污染物數(shù)量，”為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過0.65g/m3時符

合廢水排放標(biāo)準(zhǔn)，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn)，則改良工藝的次數(shù)最少為（）（參

考數(shù)據(jù)：1g2。0.30,1g3?0.48）

A.12B.13C.14D.15

4.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）函數(shù)〃司=（2犬+°）2—1082（23加+2）是偶函數(shù)，則。的值為

（）

13-33

A.—B.-C.—D.—

8248

5.（2024?陜西西安?二模）已知定義域為R的函數(shù)Ax）滿足f（x+2）=-f（x）,且當(dāng)0<彳<2時，

f（x）=r-\nx,則/（211）=.

6.（2024河南模擬預(yù)測）若"彳）=1。83（33'+3工）+（尤+為2是偶函數(shù)，則實數(shù)。=.

題型十一：函數(shù)中的零點問題

1.（2024?陜西?二模）己知巧，X2是函數(shù)/（x）=（x-2乂]-2-1）-6k1+1）的兩個零點，

則戶+%=（）

A.1B.eC./D.e4

2.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=/（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，對任意的xeR,

都有/（x+3）=/（x—l）成立，且當(dāng)xe[-2,0]時，f（x）=-x,若在區(qū)間（一2,10）內(nèi)方程

/（力-log.（x+2）=0有5個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（2,20）B.（2,2^]C.（20,2⑹D.（2五,26]

3.（2024?新疆烏魯木齊?二模）設(shè)元>0,函數(shù)y=d+x-7,y=2*+x-7,y=log2X+x-7的

零點分別為a，b，c,貝!1（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

（X\

4.（2024?陜西榆林?二模）已知函數(shù)〃x）=（f-4元+m）-加-1恰有3個零點，則整數(shù)

加的取值個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

x-a

5.（2024?廣東?一模）已知0<a<l,函數(shù)/（%）=-n-e--（xwO）.

x

⑴求〃龍）的單調(diào)區(qū)間.

（2）討論方程/（%）=a的根的個數(shù).

題型十二：函數(shù)模型的應(yīng)用

1.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實驗得到一輛汽

車每小時耗油量。（單位：L）與速度v（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模

型是（）

A.。=0.5"+。B.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

2.（2024?四川宜賓?二模）根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，某市未來新能源汽車保有量基本滿足模型

N

l+，其中y（單位:萬輛）為第X年底新能源汽車的保有量，0為年增長率，

N為飽和度，%為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬輛，以此為初始值，

以后每年的增長率為12%,飽和度為1300萬輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量

約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln0.8877-0.12,ln0.30a-l.2）

A.65萬輛B.64萬輛C.63萬輛D.62萬輛

3.（23-24高一上?廣東東莞?期末）某企業(yè)從2011年開始實施新政策后，年產(chǎn)值逐年增加，

下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值（萬元）.為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值y（萬元）

x

與新政策實施年數(shù)x（年）的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型：y=kx+b,y=ka（O>0,

且。片1）,y^k\ogax+b（。>0,且。片1）,選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，預(yù)測該

企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為（）（附：1.113?1.368）

年份20112012201320142015201620172018201920202021

年產(chǎn)值278309344383427475528588655729811

A.924萬元B.976萬元C.1109萬元D.1231萬元

4.（23-24高三上?福建泉州,期末）函數(shù)/（x）的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（）

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A.〃尤)=歸"+6

B.f^x)-kxQx+b

C.f(^x)=k\x\+b

D./（x）=k（x-V）2+b

5.（23-24高一上?湖北荊門,期末）環(huán)保生活，低碳出行，電動汽車正成為人們購車的熱門

選擇.某型號電動汽車，在一段平坦的國道進(jìn)行測試，國道限速60km/h.經(jīng)多次測試得到，該

汽車每小時耗電量M（單位：Wh）與速度v（單位：km/h）的下列數(shù)據(jù)：

V0104060

M0132544007200

為了描述國道上該汽車每小時耗電量與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：

32

M（v）=^v+bv+cv,M（v）=1000（|J+a,M（v）=3001ogaV+ZJ.

⑴當(dāng)0WVW60時，請選出你認(rèn)為最符合表格所列數(shù)據(jù)實際的函數(shù)模型，并求出相應(yīng)的函數(shù)

解析式；

⑵現(xiàn)有一輛同型號汽車從A地駛到8地，前一段是40km的國道，后一段是50km的高速路，

若已知高速路上該汽車每小時耗電量N（單位：Wh）與速度的關(guān)系是：

^（V）=V2-60V+6400（60<V<120）,則如何行駛才能使得總耗電量最少，最少為多少？

6.（23-24高一上?云南昆明?期末）2023年9月17日，聯(lián)合國教科文組織第45屆世界遺產(chǎn)

大會通過決議，將中國"普洱景邁山古茶樹文化景觀”列入《世界遺產(chǎn)名錄》，成為全球首個

茶主題世界文化遺產(chǎn).經(jīng)驗表明，某種普洱茶用95c的水沖泡，等茶水溫度降至60C飲用，

口感最佳.某科學(xué)興趣小組為探究在室溫條件下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時

間，每隔1分鐘測量一次茶水溫度，得到茶水溫度y（單位：℃）與時間（單位：分鐘）的

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

時間/分鐘012345

水溫/℃95.0088.0081.7076.0370.9366.33

（1）給出下列三種函數(shù)模型：（1）y=at+b（a<0）,（2）y=ab'+c（a>0,0<b<l）,③

y=log.Q+"）+cS>0,a>l）,請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型,

簡單敘述理由，并利用前2分鐘的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.

⑵根據(jù)（1）中所求模型，

（i）請推測實驗室室溫（注：茶水溫度接近室溫時，將趨于穩(wěn)定）；

（ii）求剛泡好的普洱茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.1）.

（參考數(shù)據(jù)：lg3?0.477,lg5?0.699）

第二部分：新定義題

1.(23-24高二下?重慶?階段練