求面積及其最值

一階方法突破練

1.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3),B(5,3),(C(-l-1),求△48c的面積

第1題圖

【溫馨提示】若題干中沒有出現(xiàn)“平行”相關(guān)的字眼，需根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，通過計(jì)算找到與坐標(biāo)軸平行的邊

及該邊上的高，再用“公式法”求解即可.

2如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(-2,1),8(-2,3)((2,2),求△ABC的面積

第2題圖

3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,3),B(3,0),C(5,4),求A3BC的面積.

第3題圖

【溫馨提示】利用轉(zhuǎn)化思想將這個(gè)三角形進(jìn)行“割補(bǔ)”，轉(zhuǎn)化為2~3個(gè)一邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)的三角

形，然后使用“公式法”進(jìn)行計(jì)算.

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線Zi：y=2x+4與x軸交于點(diǎn)A,直線l2-.y--^x+x軸交于點(diǎn)B,與

直線八交于點(diǎn)C,若在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)D使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形的面積為15,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

第4題圖

5.如圖,拋物線y=-好—2尤+3與x軸交于A(1,O),8(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物

線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB,PC,BC,求△PBC面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

第5題圖

二階設(shè)問進(jìn)階練

例如圖，拋物線y=產(chǎn)—2%-3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC.

(1)如圖①，若點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上一點(diǎn)，連接AC,BP,CP,求四邊形ACPB面積的最大值;

例題圖①

(2)設(shè)點(diǎn)D為該拋物線頂點(diǎn)，平移該拋物線，使得平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線y=-%-3上運(yùn)動(dòng)，平移后所得

的新拋物線與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)M,求△DOM面積的最大值；

(3)創(chuàng)新題?重疊圖形面積最值如圖③，將△AOC沿x軸向右平移m個(gè)單位((0＜機(jī)W1)得到△4OL,設(shè)△

AO(，與△重疊部分圖形的面積為S,求S的最大值.

例題圖③

三階綜合強(qiáng)化練詳解詳析見答案冊(cè)P60

1.如圖，拋物線y="2一2乂—6與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段BC

下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ||4C交BC于點(diǎn)Q,連接AQ,OQ.

(1)求A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求AAOQ周長的最小值；

(3)(兩個(gè)圖形的面積和)連接PA,PB,記△P4Q與△PBQ的面積分別為SiS,設(shè)S=Si+S?,求S的最大值，并求

出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖①

備用圖②

2.如圖，拋物線y=必+bx+c交x軸于A(1,O),B(3,O)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線1過點(diǎn)C,且交拋

物線于另一點(diǎn)E(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合).

⑴求拋物線的解析式；

⑵過點(diǎn)A作AF1x軸,交直線1于點(diǎn)F,連接OF,BE,求證:(OF//BE;

(3)點(diǎn)G是直線1下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線1經(jīng)過點(diǎn)(6,0),設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m,試用含m的代數(shù)式表示

AGCE的面積，并求出△GCE面積的最大值.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖②

3.如圖①,拋物線y=ax2+bx+3(a0)與x軸交于A(-l,0),B(3,0)兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)C,連接BC，拋物線的

頂點(diǎn)為D.

⑴求拋物線的解析式；

(2)如圖②，將拋物線沿x軸向右平移得到拋物線W',設(shè)拋物線科的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)M,連接MA,當(dāng)

^MAC=90。時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)創(chuàng)新題?重疊圖形面積最值P是線段BC上一點(diǎn)，當(dāng)DP+亨BP取得最小值時(shí)，將△4DP沿x軸正方向平移

t個(gè)單位長度((0WtW4)得到A4DP，,設(shè)△4DP，與△BOC重疊部分的面積為S,求S的最大值.

作圖區(qū)答題區(qū)

圖②

第3題圖

備用圖

一階方法突破練

1.W：/A(2,3),B(5,3),.-.ABllx軸(判斷三角形的邊

與坐標(biāo)軸關(guān)系)，且AB=3,

SABC=|XXBx(點(diǎn)C到AB的距離)(利用公式

直接求面積)

=[x3x2=3.

2.解:9(-2,1)鳳-2,3),：八81'軸,且人8=2,；.SABC=^xABx(點(diǎn)C至！JAB的距離)

=^2x4=4.

3.解：如解圖①，過點(diǎn)B作y軸的平行線交AC于點(diǎn)D(將三邊均不平行于坐標(biāo)軸的三角形分割成底邊垂直于

x軸的兩個(gè)三角形).

?.A(1,3),C(5,4),

，直線AC的解析式為y=+

44

當(dāng)x=3時(shí),y=(,：.BD=[(求出公共底的長).

???SABC=-BD'\xc-xA\=|x|X(5-1)=7(求出不規(guī)則三角形的面積).

第3題解圖

【一題多解】如解圖②，分別過點(diǎn)A,C作x軸的垂線,垂足分別為E,F,貝1|=Su11MM皿—SA3—SBCF=

4.解二,直線li：y-2x+4與x軸交于點(diǎn)A,.,.A(-2,0),

■■■直線Ty=_|f與x軸交于點(diǎn)B,/.B(3,0),

?倆直線交于點(diǎn)C,%

、y=孑第4題解圖

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-h),.?.點(diǎn)D到x軸的距離為h./A(-2,0),B(3,0),.-.AB=5,

遇到四邊形面積，首先想到分割成兩個(gè)三角形面積和計(jì)算.

如解圖，S四邊形ACBD=SABC+SABD=^S*+三x5h=15,解得h若，

二點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，-藍(lán)).

5.解:如解圖①，過點(diǎn)P作PE，x軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.

?.?拋物線與y軸交于點(diǎn)C,

.<(0,3).

第5題解圖①

???B(-3,0),/.BC所在直線的解第5題解圖①析式為y=x+3.

設(shè)點(diǎn)P(x>-X2-2x+3)(—3<X<0),貝!JF(x,x+3),

??.PF=-x2—2x+3—(x+3),

???SPBC=}PF-OB=|[-x2-2x+3-(x+3)]=-1(%+|)+葛

ZZZ\Z/o

3

—<0,-3<%V0,

2

.?.當(dāng)%=—|時(shí)，SAFBC的值最大,最大值為23

當(dāng)％=一|時(shí),—X2—2%+3=

,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-|塔

【一題多解】

解法一:利用和差法求面積,如解圖②,連接0P，則SPBC=S0CP+S0BP-S0BC.

由拋物線解析式可知，當(dāng)x=0時(shí),y=3,/.C(0,3).

設(shè)P(m)—m2—2m+3)(-3<m<0),

11

??,SpBC=S℃p+S0BP—S°BC=5°C?l%pl+

2

\yP\—|OB-OC=|x3x(—m)+1x3x(—m—2m+

3)--x3x3=-(—m2—3m)=--(m+-)+—,

222\2/8

3

??.——<0,—3VTH<0,

2

A

.?.當(dāng)7n=_|時(shí),SPBC的值最大,最大值為磊當(dāng)m=一|時(shí)，一病一2zn+3=半

,此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(T用;

圖②圖③

第5題解圖

解法二：利用底邊平行線法求面積，如解圖③，過點(diǎn)P作BC的平行線I,作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)E,過

點(diǎn)B作y軸的平行線交直線PE于點(diǎn)F,

1?拋物線與V軸交于點(diǎn)C,.'.C(0,3),

由題意可知BC所在直線的解析式為y=x+3,

設(shè)直線I的解析式為y=x+b,

y=x+b

聯(lián)立

y=—x2—21+3'

得一—3%+3—b=0,

令b2—4ac=(—3)2—4X(-1)x(3—b)=0,解得b=與,

二直線I的解析式為y=x+2,

4

.21久=—

聯(lián)立>=久+了，解得

y=—x2—2%+3

.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-14)(求出P點(diǎn)坐標(biāo)).

,315

(不勺)x3

SMBC=^BUlKECBF_S4BCP~&FPB=不133131527

-X-X------X-X—=—.

2422248

二階設(shè)問進(jìn)階練

例解：(1)由拋物線的解析式可得A(-l,0),B(3,0),C(0,-3),

，BC所在直線的解析式為y=x-3.

如解圖①，過點(diǎn)p作y軸的平行線交BC于點(diǎn)F,

131

???SBCP=-OB=lFP,SABC=-OC=6,

一一3

S四_邊形ACPB=BSCPBCP+AB^CABC=2-FP+6,

???當(dāng)FP最大時(shí),S四邊形ACPB最大.

設(shè)P(p,p2一2P-3)(0<p<3),則F(p,p-3).

FP—p—3—(p2_2p-3)=—p2+3p=-(p-§+：,

?.-l<0,0<p<3,

二當(dāng)p=|時(shí),FP有最大值，最大值為J

(2)設(shè)平移后新拋物線的解析式為y=bx+c,則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-點(diǎn)竺芒).

當(dāng)x=0時(shí),y=c3.M(0,c).

將(嗎7)代入Y=-x3得c=止產(chǎn).

?.點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上，：?！?—c=—點(diǎn)言

原拋物線丫=乂2—2%—3=(X—1)2—4,.-.。(1，—4)如解圖②，過點(diǎn)D作DG，y軸于點(diǎn)G,則DG=1,

—1八it.A-I(匕2+2匕-12、y1r17<-?Iyc、1x7,Y、2.13

SQOM=2OM,DG=5x(---------)x1=-g(匕2+2b-12)=--(6+I)+—,

.,.當(dāng)b=-l時(shí)，此時(shí)c<0/DOM面積有最大值，最大值為

O

⑶如解圖③，設(shè)A'C交y軸于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)GQ'C交BC于點(diǎn)K,過點(diǎn)G作GH±y軸于點(diǎn)H,延長HG交O,

C’于點(diǎn)N.

?CH=n./C(0,-3),B(3,0),.-.OB=OC,

.?.zOBC=zOCB=45°,.-.zHGC=zOCG=45°.

.".HG=CH=n,zO'KB=zO'BK=45°.

.■.O'B=O'K.

???OB=OC

：.KC=00=HN=m.

是由AC平移得來的，

.-.A'C'llAC.

.-.zA'QO=zACO=zGQH.

X-.zAOC=zQHG=90°,

例題解困③

.'.AACO-AA'QO-AGQH.

日口

—OA=_-O-A=_-H-G-，即—1—_-1---m=_--n-.

OCOQHQ3OQHQ

.-.OQ=3(l-m),HQ=3n.

?.OQ+HQ+CH=OC,

3

???3(1—m)+3n+n=3,???n=-m.

?f31

??GN=m——4m=-4m.

S=S,,,—S,—SKCC=^xlx3-^-(1—m)

OACOAQ22

3(1—m)--m--m=——m2+3m=——(m——)2+—.

'/2488k13713

13

,:----<0,0<m<1,

8

，當(dāng)爪=羨時(shí)，S有最大值，最大值為g

三階綜合強(qiáng)化練

1.B：(l)A(-2,0),B(6,0);

(2)CA0Q=AO+OQ+AQ,由(1)知AO=2,

.?.當(dāng)OQ+AQ最小時(shí),AAOQ周長最小，如解圖①，作點(diǎn)O關(guān)于線段BC的對(duì)稱點(diǎn)O',連接AO'交BC于點(diǎn)Q,此

時(shí)點(diǎn)Q即為OQ+AQ最小值的情況，

?，-QA+QO=QA+QO'>AO',

■.QO+QA的最小值為ACT的長，

拋物線y=-2x-6與y軸交于點(diǎn)C,

，C(0,-6)"-QB=OC=6/BOC=90。，

」.NBCO=45。，

?.QO'關(guān)于線段BC對(duì)稱，

二線段BC垂直平分O。'，

二四邊形BOCO'是正方形,，0'(6,-6),在RfABO'中,AO^JAB2+。'5=V82+62=10,

???AO+A0=12.

.“AOQ周長的最小值為12;

第1題解圖

⑶如解圖②，連接PC,過點(diǎn)P作PH±BO于點(diǎn)H,

PQIIAC,.-.S△PAQ=SAPCQ,

=

**?5=S|+S2=S〉PCQ+SAPBQ=S&PBCS四邊形PCOH

SpBH-SBOC，

設(shè)P(叫m2—2m—6)

貝M=—|m2+2m+6+6^+|(6—m)(—|m2+

2m+6)—-1x6x6=——3moz+9m=

22

3

v—-<0,0<m<6,

.?.當(dāng)m=3時(shí),S有最大值，最大值為-2m-6=|x32-2x3-6=

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,一同時(shí)，S有最大值y.

2.(1)解：拋物線的解析式為y=%2一4x+3;

⑵證明如解圖，過點(diǎn)E作EH±x軸于點(diǎn)H,

,.y=x2-4x+3,/.C(0,3),

，設(shè)直線CE的解析式為y=kx+3(k《0),

?.A(LO),AF_LX軸,

F(l,k+3),/.OA=l,AF=k+3.

??■E是直線CE與拋物線的交點(diǎn)，

聯(lián)立「七%

(y=%—4%+3

解得｛y=用藍(lán)+3)，或司之(舍去)，

.?點(diǎn)E(k+4,(k+l)(k+3)),

BH=0H-0B=k+l,EH=(k+l)(k+3),

OA_AF_1

“BH—EH—k+1

.NOAF=NBHE=90°,

.“OAFSABHE,

..NAOF=NHBE,

/.OFIIBE;

⑶解:由⑵得直線I的解析式為y=kx+3(Q0),?.直線I過點(diǎn)(6,0).

，6k+3=0,解得k=—

二直線I的解析式為y=—^x+3.

由(2)得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為fc+4=-|+4=(如解圖，過點(diǎn)G作G'G±x軸,交直線I于點(diǎn)G1.

則點(diǎn)G(m>m2—4m+3)(0<m<，，點(diǎn)G[m>^m+3),

???GG=——zn+3—zn+4m—3=—m+-m.

22

V

SGCE=5GG,=5GG,xE,

SGCE=■-/+綱)X：=("一綱)=一：(m-"+誓,

77

*'?—V0,0<??1V一,

42

二.當(dāng)m=:時(shí)，AGCE的面積最大，最大值為譽(yù).

3.解：(1)拋物線的解析式為y=-%2+2%+3；

⑵如解圖①，當(dāng)NMAC=90。時(shí)，設(shè)拋物線W，的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E,

易知直線BC的解析式為y=-x+3廁可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,-m+3).

?.A(-l,0),C(0,3),

.■.OA=l,OC=3,AE=m+l,ME=m-3.

?.zMAE+zCAO=90°,zCAO+zACO=90°,

.-.zACO=zMAE.

X-.zAOC=zAEM=90°,

.-.AACO-AMAE,.-.Ic=EA，即安黑,

.?.m=5,.?.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(5,-2);

第3題解圖①

(3)如解圖②，過點(diǎn)P作PF，x軸于點(diǎn)F,

-.B(3,0),C(0,3),/.ABCO為等腰直角三角形，

..直線BC的解析式為y=-x+3,PFlly軸，

PF=曰BP,DP+號(hào)BP最小即DP+PF最小，故D,P,F共線且垂直于x軸時(shí)最小，

?:拋物線y=~x2+2x+3=-(x-1尸+4的頂點(diǎn)為D(l,4),

DP+亨BP最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2),將SDP沿x軸正方向平移t個(gè)單位長度(0小4)

得到△ADP,分兩種情況:

第3題解圖

①當(dāng)04t<1時(shí),A'D與OC,BC分別交于E,M,A'P'與OC,BC分別交于G,N,如解圖③，由A(-l,0),D(l,4)可得直

線AD的解析式為y=2x+2,

???MDP沿x軸正方向平移t個(gè)單位長度，

.-.AX-l+tOXA'D'llAD,

直線AD的解析式為y=2x+2-2t,

..令x=0彳導(dǎo)y=2-2t,即E(0,2-2t),CE=OC-OE=l+2t,

_l+2t

不

(詈，等)…由得直線的解析式為而

MSCEM=|C!F-xM=i(l+2t1A(-L0),P(L2)APy=x+l,A'(-l+t,

O),A'P'llAP得直線A'P'的解析式為y=x+l-t,

與y軸交點(diǎn)G(O,l-t),與直線BC交點(diǎn)N(1+］，2—(t),

2

???OG=1-1,5^=|Xo-OG=i(