三角雅中的重要模型之面積模型

三角形面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中占據(jù)舉足輕重的地位，而等積變形作為中學(xué)幾何的一個(gè)核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或風(fēng)箏）模型、燕尾模型、鳥頭模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不僅體現(xiàn)了等積變形的精髓,也是學(xué)生們必須精通的關(guān)鍵知識點(diǎn)。

本專題將深入剖析這些等積模型，通過系統(tǒng)的梳理和詳盡的試題分析，旨在幫助學(xué)生全面掌握這一

重要內(nèi)容。無論是蝴蝶模型中優(yōu)雅的對稱之美，燕尾模型中巧妙的面積分割，鳥頭模型中復(fù)雜的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

換，沙漏模型中面積的流轉(zhuǎn)變化,還是金字塔模型中立體與平面的巧妙結(jié)合，我們都將——揭開它們的

神秘面紗。

通過本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅能夠加深對等積變形思想的理解，還能提高解決復(fù)雜幾何問題的能

力，為中考數(shù)學(xué)幾何模塊打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

LZE1

例題講模型...............................................................................1

模型1.等積變模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型....................................................................6

模型3.燕尾（定理）模型...................................................................10

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型..........................................................15

模型5.金字塔與沙漏模型.................................................................20

習(xí)題練模型..............................................................................22

例題講模型

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

模型解讀

模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

如圖1,當(dāng)AB〃CD,則=SABCD；反之,如果隈6=SABCD，則可知直線AB〃CD。

模型2）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動點(diǎn)時(shí),則SMBD：S3=BD：DC.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動點(diǎn)，BE，AD,CF，AD時(shí)，則S.:S^c=BE：CF。

模型證明

證明:模型1）如圖1，過點(diǎn)A作AELCD、過點(diǎn)8作BFLCD。,:AB"CD,：.AE=BF。

?S^ACD=豆CD?AE-,——CD-BF；S—CD=SABCD。反之同理可證。

模型2）如圖2,過點(diǎn)A作AH±BC。

??.SMBD=JBD-AH；S"=^CD-AH；：.S^ABD：S△皿=BD：DC。

如圖3,過點(diǎn)。作CF，AD、過點(diǎn)B作跳;，ADO

,**SMBD~￡AD,BE；SMCD=-AD,CF；SD?S^ADC~BEIOF。

模型運(yùn)用

1.（24-25八年級上?山東德州?階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)。是邊8c上的點(diǎn)，且BD-.CD=3:2，則△4BD與

△ACD的面積之比為（）

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

【答案】A

【分析】此題考查了三角形面積問題，解題的關(guān)鍵是掌握三角形面積的表示方法.設(shè)點(diǎn)4到的距離為機(jī)

首先表示出隈「5皿八,隈6制小",結(jié)合即5=3：2,得到宗=仁=巖=微

【詳解】解:設(shè)點(diǎn)人到石。的距離為伍???S△.=^BD?h,SMCD=/CD?伉

:BD:CD=3:2,：.率嗎='=綜=《.故選：4

S&ACD^CD-hCD2

2.（23-24八年級下?河北滄州?期中）如圖，以斤分別是HABCD的邊AB,CD上的點(diǎn)，4萬與。E相交

于點(diǎn)P,BF與CE相交于點(diǎn)Q,若△APD的面積為2,△BQC的面積為4,tBCD的面積為26,則陰

影部是的面積為.

【答案】7

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，連接E、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EW，于點(diǎn)河.根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)得出S/\DMC=x26=13,SAEFC=S帖CF進(jìn)而減去公共的/\EQB的面積可得S人同胸?！猄2yBeQ,同理S^ABFO

MS

—S^J）F"外出S"FP—S/^j）p，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解:如圖，連接石、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作。于點(diǎn)河.

?*SN)EC~~^DC?EM,SnABCD=DC*EM=26,S2)EC=]x26=13.

??,四邊形是48co平行四邊形，???AB〃CD,

??.△EFC的FC邊上的高與/\BCF的FC邊上的高相等，

S^EFC~S^BCF，S^EFQ~S^BCQ，同理SgFD~S^ADF，:、S4EFP~S^ADP，

,?*S^APD—2，SABQC=4,S四邊彩EPFQ=2+4=6,故陰影部分的面積=SADEC—S四邊形EPFQ=13—6=/.

3.（2024.上海浦東新.一模）如圖，在△ABC中，48=4,AC=6,E為8c中點(diǎn)，AD為△4BC的角平分

線，△4BC的面積記為&，4ADE的面積記為S2,則S*S\=.

【答案】1:10

【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出面積關(guān)系解答.根

據(jù)三角形中線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解:過點(diǎn)。作DM±AB,DN±AC,

?：AD為A4BC的角平分線，DM=DN,

S&ABDAB,DM42

-：48=4,4。=6,6為中點(diǎn)AEC=~SAAB。,

SAADC^AC-DN63

弓So3?--1-rc-I

設(shè)S*=2,,S皿=3°,則S^c=5x,=S^c=-x,則—=5廣=而，故答案為：1：10.

4.（23-24七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）【探究】

如圖1,4D是△48。中邊上的中線，4ABD與/XACD的面積相等嗎？請說明理由，

【應(yīng)用】如圖2,點(diǎn)4及C分別是8。、CE、［斤的中點(diǎn)，且$&詆=4,則圖2中陰影部分的面積為

【拓展】（1）如圖3,/\ABC中，延長CA至點(diǎn)尸，使得AF=CA,延長AB至點(diǎn)使得BD=2AB,延長

至點(diǎn)E,使得CE=3CB,連接EF、FD、DE,如果SAABC=3,那么S^EF為.

MS

（2）如圖4,△ABC中，AB=U,AC=16,點(diǎn)D、E是BC、AC邊上的中點(diǎn)，40、BE交于點(diǎn)、F.若

△ABC的面積為S,則四邊形DCE尸面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形DCEF的面積存在

最大值，這個(gè)值為.

圖4

【答案】探究：理由見解析；應(yīng)用：24;拓展：（1）54;⑵弓S,32

O

［分析】探究：根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可得結(jié)論；

應(yīng)用：連接AB,BF,CD,運(yùn)用探究結(jié)論可知S^c=SA?1s=S?=4,則S^DE=2sA=8,同理可得

S^BDE=SWEF—SADF=8,即可求得陰影部分的面積；

拓展：⑴如圖，連接AB,CD,=3,利用等高的性質(zhì)，求得所有三角形的面積，再求和，可得結(jié)論；⑵

連接CF并延長交于G,可知CG是AB邊上的中點(diǎn)，記6個(gè)小三角形的面積分別為S、，S2,S3,S&,S§,

Se,可得$1=$2=$3=S4=S5=$6,進(jìn)而可得$1=$2=$3=$4=S5=$6=4$枷。=4$,可知四邊形

00

DCEF面積=$4+$5=!$,要使得四邊形。。西面積95最大，只需要使得448。的面積$最大，則只

OO

需要AB_LA。,可得△ABC的面積最大值為S=qAB?AC=96,即可求得四邊形DCEF面積最大值.

本題考查與三角形中線有關(guān)的面積問題，等高模型的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解三角形中線的性質(zhì).

?/AD是△ABC中BC邊上的中線，則BD=CD=yBC,

SAAB。=~BD-AH=—CD-AH=SAAGD=—S^ABC,即：S^BD=^AACV；

應(yīng)用：連接AE,BF,CD,

?.?點(diǎn)A、B、C分別是BD、CE、AF的中點(diǎn)，二AD=AB,BC=BE,CA=CF,

?e?~74sE=S4AED=4,貝US^BDE—2s2.c~8,

同理可得5"年=5.即=54^=8,??.陰影部分的面積為=3x8=24,故答案為：24;???

拓展：⑴如圖，連接AE,CD,SMBC=3.

B

**BD—2AB,則AD—SAB,S八—2sMsc~6，S^(jD—3s—9,

,**EC—3BC,S/\EA0—3sA45c=9,Sgen—3s—18,

?,人。=AF，??SMDF=S^ACD=9,SMEF~SMCE=9

**?ADEF的面積=S^MC+SARCD+S△￡℃+SMCE++^^ADF~3+6+18+9+9+9=54.故答案

為：54;

⑵連接CF并延長交AB于G,??,點(diǎn)O、E是BC、4C邊上的中點(diǎn)，???CG是AB邊上的中線,

記6個(gè)小三角形的面積分別為Si,S2,S3,S4,S5,S6,

則S1=S2,S3=S4,S5=S6,S1+S2+S3=S4+S5+S6,

???S1+S2=S5+S6,即：2S1=2S6,??.S1=S6,即：S1=S2=S5=S6,

==

同理可知，Si=S2S3=S4S5=SGf/.Si=S2=S3=S4=S5=S6==-^-S,

00

四邊形DCEF面積=$4+S5=9S,要使得四邊形DCEF面積9S最大，只需要使得△ABC的面積S最

OO

大，

4ABC中，AB=12,AC=16,二要使得4ABC的面積S最大，則只需要AB_L4。,

.?.△ABC的面積最大值為$=/人歷4。=96,

則四邊形。CEF面積最大值為=9X96=32,故答案為：得S,32.

OOO

5.（23-24八年級下?浙江寧波?期中）規(guī)律:如圖1,直線小〃八，B,C為直線打上的點(diǎn)，A,P為直線m上

的點(diǎn).如果A,B,。為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線山上移動，那么無論點(diǎn)P移動到何位置，△ABC與

△PBC的面積始終相等，其理由是.

應(yīng)用：

（1）如圖2,8、。三點(diǎn)在同一條直線上，△48。與△ECD都是等邊三角形,連結(jié)BE,AE.若CD=

2,BC=2CD,求4ABE的面積.（2）如圖3,已知E,尸，G,H是矩形ABCD邊上的點(diǎn)，且EF〃AD,

GH〃AB,連結(jié)交所于點(diǎn)M,連結(jié)MC交GH于點(diǎn)N,連結(jié)。N交EF于點(diǎn)尸，連結(jié)GP,若四邊形

AEOG的面積等于5,求四邊形GMNP的面積.

MS

【答案】規(guī)律：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等；（1）4，S（2）~1

【分析】本題主要考查了三角形的面積、勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，平行線之間的距離等知識點(diǎn)；

規(guī)律：利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”即可解答；

⑴利用“平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”求S^BC即可解答；

⑵利用''平行線間的距離相等”和“同底等高的三角形的面積相等”，將四邊形AEOG的面積拆成4個(gè)小三

角形，將四個(gè)小三角形轉(zhuǎn)化為矩形AEOG的一半，即可求解.

【詳解】解:規(guī)律：?.?直線小〃九，.?.點(diǎn)A和點(diǎn)P到直線九的距離相等.

又-/在△ABC和△PBC中，BC=BC,/.SAASC=SAPBC（同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等）.

故答案為：同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等.

（1）如圖所示，過點(diǎn)A作BC于點(diǎn)F,

AABC與/\ECD都是等邊三角形，二乙氏4。=ZCED=60°AB//CE,：.SAABE=S*

AF±BC,AB=AC,ABAC=60°二ABAF=30°；CD=2,=2CDAB=8。=4/.BF=2

BF?=2底Si1ABE=S故的=:xBCxAF=3x4x2遍=4岳

（2）如圖所示，連接OA,OB,OC,OD,

?.?四邊形ABCD是矩形，.?.AB〃CD,AD〃BC

■：EF//AD,GH//AB,：.ADHEF//BC,AB〃GH//DC,

??SAGOP~S^OPD，^AOPN+~^^OND~S^ONC，^^GOP+^^ONP=S^ONC，

又S^ONC+S^OMN=S^OMC，**,EF〃BC,S^OMC=^/\OMB,?e?^/\OMC+S^MOG=^^OGB,

15

**AB〃GH,S4OGB~S^OGA~3S四邊形/EOG=1，

SAOPG+S^OPN+S^MON+S^MOG~SAOMA，??S四邊形GMNP~

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

???

nD

1)任意四邊形的蝴蝶定理：

如圖1,結(jié)論:①S1：$2=&：$3或S1X$3=52X$4；②AO-.OC=⑸+S2)：(S4+S3)=

證明:由基礎(chǔ)模型2)知：Si.Si=DO-.BO；S463=DO-.BO；即故S1：S2=S463;即SixS3=S2xSm

ABDABCD

由基礎(chǔ)模型2)知：S4：S=OAOC；即AO-.OC^(S1+S2)-.(Si+S3)。

2)梯形蝴蝶定理：

2222

如圖2,結(jié)論:①Si：S3=a:6；②Si：S3：S］：S4:SABCD=a:b:ab:ab:(a+6)，

證明：：四邊形ABCD為梯形，.IAD〃BC,I易證△AOD?△COB,，Si：S3=a2：凡

同理可證得:SS3：S*SS4Ren=a2：b~:ab:ab:(a+b)。

6.(23—24八年級上?浙江?階段練習(xí))如圖，任意四邊形ABCD中，AC和相交于點(diǎn)O,把△/OB、

△400、△COD、△80。的面積分別記作Si、S2、S3、S4,則下列各式成立的是()

A.S+S3=S2+S4B.S3—S2=SLSIC.S1-S4=S2-S3D.S1-S3=S2-S4

【答案】。

【分析】作BE±4。于點(diǎn)E,從而可分別表示出S2和S3然后可得出獸，同理可得出獸,這樣即可證得8?

5O4

83-82*S*

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)。作。E，4。于點(diǎn)E,

???

B

則$3=.?.等=務(wù)，同理可證:獸=需，.?■=年，.?.$嗎=$2區(qū).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的求法.解答該題時(shí)，主要是抓住不同底等高三角形面積間的數(shù)量關(guān)系.

7.（23-24九年級上?上海松江?期中）如圖，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,24B=3CD,如果對角線

4?與相交于點(diǎn)O,△/O。、ABOA、△COB、△DOC的面積分別記作S、、S2>S3、S”那么下列結(jié)論

中，不正確的是（）

A.2s2=3SIB.2s2=3$4C.$=$3D.S『S3=S2$

【答案】B

［分析】證ADOC-ABOA,可得器=*=銬=巳再利用相似三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公

130A.OA.133

式逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB〃CD,?ABOA,.?.段=*=綜，

r）OAC?Ab

???2人8=300,.-.%=端=端=看,：.等=（14=卷,.?.4$2=9$4,故3符合題意；

??.警?=，，萼=I■，即2s2=3S,故人不符合題意；

602o

AB〃CD,S△謝=Sz^c,即$+$2=S3+S2,?..8=S3,故。不符合題意；

:葛=器'.=需''瑞=空?缶=1'‘&63=$264,故°不符合題意；故選3

【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等底或等高的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系，

證明袈=￥§■=銬=蔣是解本題的關(guān)鍵.

JDOA.OA.JD3

8.（2024?四川成都??？家荒＃┤鐖D，梯形ABCD的兩條對角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為

/、小,則梯形的面積為.

MS

Dp_________C

;

【答案】（p+q）2

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)梯形，得到AB〃CD,過O作OE_LCD于E,延長EO交

4B于F,則EF，AB,證明△ABO?AGDO,得到第=祟=A厚五=q:p,設(shè)梯形上下底分別為

ABOrVb^ABO

mq,mp,兩個(gè)三角形對應(yīng)的高分別為7iq,rzp,根據(jù)三角形的面積公式，得到mn—2,再根據(jù)梯形的面積公式

進(jìn)行求解即可.掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，對應(yīng)邊上的高線比等于相似比，是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：四邊形43CD是梯形，.?.ABIICD,

如圖，過。作OE_LCD于E,延長EO交AB于凡則EF_LAB,

DEC

m

AFB

?：ABHCD,：.AABO?/\CDO,：.第=始=序五=q：p,

ABOFV

設(shè)梯形上下底分別為mq,mp,兩個(gè)三角形對應(yīng)的高分別為nq,np,/.7n0；71。=/,=2

mn

...3*3=迫丁=仿+?。还蚀鸢笧椋孩?爐.

9.（2024.山西.?？家荒＃╅喿x與探究

請閱讀下列材料,完成相應(yīng)的任務(wù)：

凸四邊形的性質(zhì)研究

如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做

凸四邊形.凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形,它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角

線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等.

例如，在圖1中，凸四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC，BD,△AOB,ABOC,

ciOB-OA

△COD,△AOO的面積分別為SiS,S3，S4,則有S/S3=S2?S4,證明過程如下：：--------=

S&^OD-OA

OB

~OD

任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖2,任意凸四邊形ABC?的對角線相交于

點(diǎn)O,分別記△AOB,ABOC,/\COD,△40。的面積為S1,S2,S3,S4,求證S/S3=S2?S4；

⑶如圖3,在四邊形ABCD中,對角線AC,8。相交于點(diǎn)。O,SMOD=4,S^oc=6,S^OB-S^COD=1：

3,則四邊形ABCD的面積為

MS

【答案】（1）見解析；⑵見解析；（3）10+8V2

【分析】⑴根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比求解即可；⑵分別過點(diǎn)A,C作AB_LBD于點(diǎn)區(qū)CF

_L于點(diǎn)F,再根據(jù)三角形的高相同，面積比等于底的比計(jì)算即可；（3）設(shè)S^OB=工,S48D=3a;,根據(jù)''任

意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等”求解即可.

ciOB-CFQBS._}OB-OA

【詳解】解：⑴?.?普--------OBM:.SvSa=S4;

^^OD-CFOD'S4^OD-OAOD

⑵如答圖，分別過點(diǎn)4。作AE_LBD于點(diǎn)ECFLBD于點(diǎn)F.

...g_1°岳%_OB.S=±°B'CF_QB....S、_S：：,sf.

SA^OD-OAOD'S3^OD-CFOD、S&Sj1_4，

X

（3）由SAAOB：S48D—1:3,S/^AOJJ—4,S^BUC=6,設(shè)S^AOB=,^ACOD=3’,

根據(jù)任意凸四邊形被對角線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等，

可得：3/=4x6=24,貝Iaj=2/，=3x272=6A/2,

四邊形ABCD的面積=SAAOD+SZRCC+S&AOB+S^COD—4+6+2A/2+6V2=10+8。V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了面積及等積變換，掌握三角形的高相同，面積比等于底的比、任意凸四邊形被對角線分成

的兩對對頂三角形的面積之積相等是解題的關(guān)鍵.

模型3.燕尾（定理）模型

模型解讀

模型證明

條件:如圖，在△力中，E分別是上的點(diǎn)，G在力E上一點(diǎn)。

MS

結(jié)論:S1：S2=S3：S4=(Si+S3MS2+SJ=BE,EC.

證明：由基礎(chǔ)模型2)知：S/S尸BE:EC；Si1AB盤人謝:BE:EC；故S/S2=BE:EC；

即S1：S2=S3：S4=(Si+S3)：(S2+S4)=BE-.EC.

10.（23-24七年級下.江蘇宿遷.期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.

（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系:如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的

比，如圖1,/XABC的邊上有一點(diǎn)河,請證明：?竺=鏢:

（結(jié)論應(yīng)用）（2）如圖2,△CDE的面積為1,卷=）,桀=[,求△ABC的面積;

AC4UJDO

（拓展延伸）（3）如圖3,A4BC的邊上有一點(diǎn)“，。為CM?上任意一點(diǎn)，請利用上述結(jié)論,證明：

S^ADCy1711.

S^BDCBM

（遷移應(yīng)用）⑷如圖4,△ABC中，河是AB的三等分點(diǎn)（4W=1AB）,N是的中點(diǎn)，若AABC的

面積是1,請直接寫出四邊形BMDN的面積:.

【答案】（1）見解析;（2）12；（3）見解析；⑷需

【分析】本題主要考查了三角形的面積公式以及三角形的中線的性質(zhì)的運(yùn)用：

【經(jīng)驗(yàn)發(fā)展】過。作SLAB于H,依據(jù)三角形面積計(jì)算公式，即可得到結(jié)論；

【結(jié)論應(yīng)用】連接AE,依據(jù)“如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比”，即可得到

△ABC與△CC?面積之間的關(guān)系；

【拓展延伸】依據(jù)如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的比，即可得到△ADC與/\BDC

面積之間的關(guān)系；

【遷移應(yīng)用】連接設(shè)△ADC,即可得出S①乂=2a,SMCD=3a、S^CDN=S^BDN=-^S^BCD=3a,進(jìn)而得

至S四邊形BM0N=S2ABC*

【詳解】（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）如圖1,過。作CH,AB于

???

11Su*^AMxCH

??CH,Sw/BMXCH,.-.■AM即SMCM_AM

J-

~BMS^CMW

=

（結(jié)論應(yīng)用）如圖2,連接AE,=^,.*.S^CDE~^S^CE,

q??CE_].Q_]Q.Q_]丫]Q_]Q

人?CB-至QAABC，.?Q^CDE_Z入Q^ABC~Q^ABC，

又???△CC石的面積為1,??.△ABC的面積為12.

（拓展延伸）如圖3,是AB上任意一點(diǎn)，.?.譽(yù)也=踞

^ABCMBM

c

???D是CM上任意一點(diǎn)，??.S叢ACDXS^ACM，SwcD~XS^CM,

CD*q

.S^ACD_CM△.須_S^ACM即S^ADC_AM

S也D漆xSgSABCM，SgDcBM

.S^ACD_AA/1

（遷移應(yīng)用）如圖4,連接60,???M是48的三等分點(diǎn)

S^BCDBM2

；N是BC的中黑，：.冬也=祭=\,

^AABDBN

設(shè)SAADM=a，貝US/^BDM—2a,S^ACD=3a,SACDTV=SABDN=]S/\BCT>—3a,

=

?''S四邊彩BJWDN=5a,S^ABC=12a,.'.Sq亞^BMDN=^/\ABCX1=-py.故答案為-jy.

11.（23—24七年級下?寧夏銀川?期末）【問題情境】如圖1,是△ABC的中線，A4BC與△46。的面積

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊RC上的高AE,根據(jù)中線的定義可知皿=CD.因?yàn)楦?/p>

相同所以口=S^ACD于是S=

AEI,Si1AB1AABC2s4ABD,

圖3

據(jù)此可得結(jié)論:三角形的一條中線平分該三角形的面積.

（1）【深入探究】如圖2,點(diǎn)。在4ABC的邊BC上，點(diǎn)P在AD上.

①若AD是4ABC的中線,請判斷SAAPB與S^pc的大小關(guān)系,并說明理由.

②若BD=3。。,則SAAPB：SAAPC

（2）【拓展延伸】如圖3,分別延長四邊形4BCD的各邊，使得A,B,C,D分別為DH,AE,BF,CG的

中點(diǎn)，依次連接E,F,G,H得四邊形ERGH.直接寫出SM?G，S中BE與S四邊形的①之間的等量關(guān)系;

【答案】（1）①1:1,理由見解析;②3：1（2）S△J/°G+S"BE~2s四邊形/Be。

【分析】本題考查了三角形的中線，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個(gè)等底同高的三角形是題的關(guān)

鍵.（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得50山=54^°,點(diǎn)。為石。的中點(diǎn)，推得PO是△PBC的中線，SAPOB=

Swe，得到S^PBUS^PC，即可得出結(jié)果;②設(shè)△ABC邊B。上的高為九,根據(jù)三角形的面積公式可得

S410B=￡義BDXh,S叢ADC=]XDCX九，即可推得SAADB=3sA，同理推得S^PDB=3sMDC，即可求得

S/^APB=3sAAPC，即可證明S&APB：S^APC=3:1；

（2）連接AG,AC,CE,根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得SAG.~S^GAD~工S^GHD，S^CBA=^ACBE=1^ACAE，

S^ECF~^AECB~了S.FB，S^ADC~S^ADG~5^^ACG，推得—S"OG=S^GHD，S^CBA~S^CBE

—S^EFB,即可求得S四邊形ABC。=（S^GHD+S^FB），即可證明S4HDG+S^FBE~2s四邊形ABCD*

【詳解】（1）解:①證明：:AD是4ABe的中線，，點(diǎn)。為的中點(diǎn)，SMDB=S*,

：,PD是APBC的中線，S"DB~S"DC，?二SMDB-^^PDB~S4ADC—^^PDC，

艮（3S^APB~S^XPC，S^PB'S^APC=1:1

②設(shè)△ABC邊BC上的高為拉，則S3——xBDxh,S3*xDCxh,

BD—3DC,—3s△xpo，同理^^PDB~3sApDC,

貝“SMDB-S^DB~3s—3S"DC，艮!7S^APB~3sMpc，?#?^^APB:^/^APC=3:1.

（2）①證明：連接4G,47,CE,如圖：

???點(diǎn)A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點(diǎn)，

??.AG,BC,CE,DA分別為△GHD,/XCAE,^EFB,/XACG的中線，

??S^GAH~S^GAD~qS4GHD，S^CBA~S^CBE~S^CAE，SgcF~SgcB~/S^EFB,S^ADC=0G=/^/^ACG，

S^ADC~^/^ADG~工S^GHD，SMBA~S^CBE~S^EFB

3四邊形/瓦加.

**S四邊形ABCD=SMDC+SRCBA=S^GHD+/^/^EFB=/（S4GHD+S^EFB）,用S^DG+S^FBE—2s

S'ABD

12.（23-24七年級下?浙江杭州?期中）已知D是^ABC的邊上一點(diǎn)，連結(jié)AD,此時(shí)有結(jié)論

SbACD

雋，請解答下列問題：（1）當(dāng)。是邊上的中點(diǎn)時(shí)，AABD的面積△ACD的面積（填

Oxy

“V”或

⑵如圖1,點(diǎn)。、E分別為AB,AC邊上的點(diǎn),連結(jié)CD,BE交于點(diǎn)O,若bBOD、kCOE、NBOC的面

積分別為5,8,10,則AADE的面積是（直接寫出結(jié)論）.

（3）如圖2,若點(diǎn)。，E分別是AABC的AB,AC邊上的中點(diǎn)，且S^c=60,求四邊形ADOE的面積.

可以用如下方法:連結(jié)AO,由4D=DB得S”DO=S^BDO，同理:S\cEO~S^AEO，設(shè)S^DO—X,S^CEO=

X

V，則S、ADO=，SAMO=g,由題意得S'^E—SAABC=30，S^ADC-SAABC=30,可列方程組為：

『匕"=黑，解得x+y=20,可得四邊形ADOE的面積為20.解答下面問題：

[x+2y=30

如圖3,。，尸是AB的三等分點(diǎn)，E,G是C4的三等分點(diǎn)，CD與班交于。，且S”BC=60，請計(jì)算四

邊形ADOE的面積，并說明理由.

【答案】（1）=;（2）18;（3）午,見解析

【分析】⑴利用同高（或同底）的三角形面積比等于對應(yīng)邊（或高）的比即可得.

（2）連接40,利用同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得.

（3）連接AO,利用同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比，結(jié)合已知條件聯(lián)立方程可得.

【詳解】⑴.??言迪=黑，。是BC邊上的中點(diǎn)BD=CD,含膽=需=1,則S^D=S^CD

^^ACD'bACDJU

⑵如圖，連結(jié)AO

,:ABOD、bCOE、ABO。的面積分別為5,8,10,

?SNBDO_DO^_XSRDEO_DO^_X?c_4談q—-h

Q^BCOUL/QZJEOUL/

則S^ADE=a+b—S^DEO=10+12—4=18.

⑶連結(jié)AO,設(shè)S、AOD~x，S〉coE~y9**?S型OD~2力，S〉A(chǔ)OE~2y,???

22

**S^ABC~60,S^ABE~QS^ABC=可x60=403x+2y-40

oo

?*S^ABC~60,S^ACD~；S^ABC=[X60=20x+3g=20

oo

篇鬼:,加減消元法解得'

則可列方程組

四邊形ADOE的面積為：a+2夕=爺

【點(diǎn)睛】本題考查同高的三角形面積比等于對應(yīng)邊的比這一知識點(diǎn)推論，掌握從中理解此推論是解題關(guān)鍵.

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

共角三角形s兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。

（等角型）條件:如圖1，在三角形ABC中，。、E分別是AB,AC上的點(diǎn)，結(jié)論：答里=絲?絲

,△ABC.40

（互補(bǔ)型）箝;如圖2,已知ABAC+4DAE=180°,結(jié)論：=絲?絲

SAAB。AID*AG

證明：（等角型）如圖1,分別過點(diǎn)E,。作EG，于點(diǎn)G,CZU于點(diǎn)F,

NAGE=ZAFC,又；ZA=ZA,&GAE?/\FAC,：.孕=萼

CFAC

又：[ADEG,=AD-EG=叁.江即:叁.江

SAABC-^-AB-CFS^ABCAB-CFABACS^ABCABAC

C

HB??

（互補(bǔ)型）如圖2,過點(diǎn)。作CG，AB于G,過點(diǎn)E作石DA交DA延長線于尸，

NEFA=ACGA=90°，:ZBAC+ADAE=180°,ADAE+NEAF=180°,

:.NCAG=NEAF,4CAG?MAF,0AB=5DA?EF,SAABC=士AB?CG,

AEAC22

.S^DAE.=^DA-EF=DA-EF=DA-AE

；

"SAABC~±AB-CG~AB-CG~AB-AC

13.如圖，在三角形ABC中，L?、E是48,AC上的點(diǎn)，且AD：AB=2:5,AE：AC=4：7,三角形4DE的面

積是16平方厘米，則ABC的面積為0

【答案】70平方厘米

【解析】①觀察：圖中存在鳥頭模型。假設(shè):設(shè)三角形ABC的面積為a

轉(zhuǎn)化：由鳥頭模型比例關(guān)系有：16:a=(4x2):(5x7),得a=70。

即三角形ABC的面積是70平方厘米。

14.(2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習(xí))閱讀理解

如果兩個(gè)三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ),那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積

比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比，

例:在圖1中，點(diǎn)。，E分別在人口和AC上，△A0E和△ABC是共角三角形，則黑膽=妾絲

S^ABCAB-AC

證明:分別過點(diǎn)E,。作區(qū)2，人8于點(diǎn)3,。歹，48于點(diǎn)9,得到圖2,

AAGE=AAFC,又NA=N4/\GAE?/\FAC,：.架=笑

CFAC

又..SAADE=工AD?EG.$但=AD-EG=AD_AE_即S&ADE=ADAE_

'S”一^AB-CF??S^ABC~AB-CF~AB'ACS4ABe~AB'AC

圖2圖3

任務(wù)：（1）如圖3,已知ABAC+NDAE=180°,請你參照材料的證明方法,求證：要變=AD-AE

SAAB。~AB-AC

⑵在⑴的條件下'若含"，裕/加=9,則人--

【答案】（1）見解析；（2）6

【分析】⑴過點(diǎn)。作CG，于G,過點(diǎn)E作EF±DA^DA延長線于F,可得NEFA=A.CGA