專題02有理數(shù)的運(yùn)算（考點(diǎn)清單，10個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）

【清單01】有理數(shù)加法運(yùn)算

【清單02】有理數(shù)減法運(yùn)算

【清單03】有理數(shù)加減混合運(yùn)算

【清單04】有理數(shù)乘法運(yùn)算

【清單】有理數(shù)除法運(yùn)算

心考點(diǎn)清單05

【清單06】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

【清單07】有理數(shù)乘方運(yùn)算

【清單08】有理數(shù)混合運(yùn)算

【清單09】科學(xué)i己數(shù)法

【清單10】近似數(shù)

有理數(shù)運(yùn)算

【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)的加法（共3題）

【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)的減法（共4題）

【考鋰型三】有理數(shù)的乘除（共6題）

【考點(diǎn)題型四］有理數(shù)的乘方史8尊

【考點(diǎn)題型五】科箕型當(dāng)有效數(shù)字（蕓5嗎

如魅清單

【考點(diǎn)題型六】有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用（共4題）

【考點(diǎn)題型七】有理數(shù)的新定義運(yùn)算（共7題）

I【考點(diǎn)題型八】與絕對(duì)值有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)、最值綜合問題（共4題）

【考點(diǎn)題型九】九軸上的動(dòng)點(diǎn)綜合問題（共4題）

［考點(diǎn)題型十］數(shù)軸上的中點(diǎn)、分點(diǎn)綜合問題（共3題）

考點(diǎn)儕單

同號(hào)兩數(shù)相加，和取相同的符號(hào)，且和的絕把T大于的數(shù)表示成的形式

科學(xué)記數(shù)法10ax10"

對(duì)陷于力嗷的期寸鮑和.\中a大于或等于1亙小于10,n是正整數(shù)）

絕對(duì)值不畸的異號(hào)蹴相加，和取絕對(duì)

值較大的力嗷的符號(hào)，且和的絕對(duì)值等于加法視近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)

加教的絕對(duì)值中較大者與較〃然的差互為

相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0

先乘方，再乘除，最后加減

Tii與o相加，仍得這個(gè)數(shù)

同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行

混合運(yùn)算

如果有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括

減一^,等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)減法法PW

號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行

兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的

a+b=b+a

期寸值等于乘數(shù)的細(xì)寸值蹄乘法法則乃轆/--------

*\ab=ba

任何數(shù)與0相乘，都得0

運(yùn)算律律(a+b)+c=a+(b+c)

X(ab)c=a(bc)

除以Y不等于QM數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)"除法涮

分配律a(b^c)=ab+ac

求n個(gè)相同棘蹄的吉，叫作乘方，乘方的

結(jié)果叫作幕附算觸行儂數(shù)睢算

【清單01】有理數(shù)加法運(yùn)算

1.加法法則：

①同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加.

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值.

*1*11的瘠號(hào)■空絲u大的加ttw符號(hào)

r-=T-|r-=；_1

■3”2)>^5

為能時(shí)值**J*較大怵絡(luò)碼M減去較小拘他用值

③一個(gè)數(shù)同o相加，仍得這個(gè)數(shù).

有理數(shù)加法運(yùn)算的步驟

4t(芝葩,

g?4(?

■定豪相相關(guān)味UImfit相關(guān)法司

同號(hào)、鼻號(hào)還大臂制的符號(hào)計(jì)算紿對(duì)值的

<-tMRAo相或.

2.有理數(shù)加法的運(yùn)算律

運(yùn)算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎?/p>

加法交換律兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變a+b=b+a

扇注4±八違三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后

加法結(jié)合律g人崢川1加H十(a+b)+c=a+(b+c)

兩個(gè)數(shù)相加，和不變

3.加法運(yùn)算律的運(yùn)用技巧

⑴互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加----“相反數(shù)結(jié)合法”；

⑵符號(hào)相同的數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”；

⑶整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)、分母相同(或分母成倍數(shù)關(guān)系易化成同分母)的數(shù)先相加——“同形結(jié)合法”；

(4)幾個(gè)相加得整數(shù)的數(shù)先相加——“湊整法”；

(5)帶分?jǐn)?shù)相加時(shí)，可先拆成整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，再分別相加----"拆項(xiàng)結(jié)合法”.

【清單02】有理數(shù)減法運(yùn)算

1.減法法則：

減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù).即a-b=a+(-切.

減號(hào)變加號(hào)

2.兩數(shù)相減差的符號(hào)

⑴較大的數(shù)一較小的數(shù)=正數(shù)，即若貝la—6>0.

(2)較小的數(shù)一較大的數(shù)=負(fù)數(shù)，即若。<6,貝！ja—6<0.

(3)相等的兩個(gè)數(shù)的差為0,即若a=6,貝3。一b=0.

特別解讀

減法轉(zhuǎn)化為加法過程中，應(yīng)注意“兩變一不變”.“兩變”是指運(yùn)算符號(hào)“一”號(hào)變成“+”號(hào)，減數(shù)變成

它的相反數(shù)；“一不變”是指被減數(shù)和減數(shù)的位置不變.

【清單03】有理數(shù)加減混合運(yùn)算

1.有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法

(1)運(yùn)用減法法則，將有理數(shù)加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，轉(zhuǎn)化為加法后的式子是幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的

和的形式.

(2)運(yùn)用加法交換律，加法結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算，使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

如：(+7)-(+10)+(-3)-(-8)

=(+7)+(-10)+(-3)+8

=(7+8)+[(—10)+(—3)]=15+(—13)=2.

2.省略和式中的括號(hào)和加號(hào)

將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算時(shí)，在和式里可以把加號(hào)及加數(shù)的括號(hào)省略不寫，以簡(jiǎn)化書寫形

式.如(―20)+(—3)+(+2)+(—5)可以寫成一20—3+2—5.

這個(gè)式子有兩種讀法：

(1)按加法的結(jié)果來讀：負(fù)20、負(fù)3、正2、負(fù)5的和；

⑵按運(yùn)算來讀：負(fù)20減3加2減5.

【清單04】有理數(shù)乘法運(yùn)算

1.有理數(shù)的乘法法則

(1)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且積的絕對(duì)值等于乘數(shù)的絕對(duì)值的積.

⑵任何數(shù)與0相乘，都得0.

2.有理數(shù)乘法的符號(hào)法則

。與b乘積的符號(hào)。與b的符號(hào)

正同號(hào)，即”>0,加>0或avo,bvo

負(fù)同號(hào)，即。>0,>>0或〃vO,b<0

0至少一個(gè)為0,即4=0或方=0

3.倒數(shù)

定義乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

倒數(shù)與相反數(shù)之間的關(guān)系

不同點(diǎn)

相同點(diǎn)

定義表示性質(zhì)判定

若a,b互為若a*b=l,

倒乘積是1的兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)是上

倒數(shù)，則

數(shù)互為倒數(shù)a

a-b=l則〃，力互為倒數(shù)

若。+8=0,都成對(duì)出現(xiàn)

相只有符號(hào)不同的兩若a,b互為

反個(gè)數(shù)叫作互為相反a的相反數(shù)是一a相反數(shù)，則a

則用方互為相反

數(shù)數(shù)+b=0

數(shù)

4.乘法運(yùn)算律

運(yùn)算律文字表示用字母表示

乘法交換律兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不

乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)

變

一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，

分配律a(b+c)=ab+ac

再把積相加

【清單05】有理數(shù)除法運(yùn)算

1.除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù).即a+b=a?L（b=0）.

b

2.有理數(shù)除法法則二兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，且商的絕對(duì)值等于被除數(shù)的絕對(duì)值除以除數(shù)的絕對(duì)

值的商.0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0.

方法點(diǎn)撥：除法法則的選用原則

「定特號(hào)

L絕對(duì)值踴t

3.分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)

（1）實(shí)質(zhì)

分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)，即利用有理數(shù)除法法則，用分?jǐn)?shù)的分子除以分母的運(yùn)算過程.

（2）分?jǐn)?shù)的符號(hào)法則

分?jǐn)?shù)的分子、分母及分?jǐn)?shù)本身的符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)，分?jǐn)?shù)的值不變.

【清單06】有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算順序

在運(yùn)算時(shí)要注意按照“先乘除，后加減”的順序進(jìn)行，如果有括號(hào)，應(yīng)先算括號(hào)里面的.在同級(jí)運(yùn)算中，要

按從左到右的順序來計(jì)算，并合理運(yùn)用運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

【清單07】有理數(shù)乘方運(yùn)算

1.乘方運(yùn)算的意義

概念示例

a?a?????

求"個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫作乘

乘方、R不0

方

讀作“a的“次方”

乘方的結(jié)果叫作塞（京4t的個(gè)數(shù)）

在率

中，。叫作底數(shù)，”叫作指數(shù)

底數(shù)和指數(shù)

2.an,-an和（一））"的聯(lián)系與區(qū)別

a〃-an（一“）”

區(qū)底數(shù)為“，表示〃表示〃個(gè)“相乘底數(shù)為一”，表示〃

別

個(gè)〃相乘的積的積的相反數(shù)個(gè)一"相乘的積

聯(lián)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，一“"=（一"）"，它們分別與互為相反數(shù)；

系

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，?"=（-?）"?它們分別與一口互為相反數(shù)

知識(shí)拓展：（1）負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次尿是正數(shù)；（2）乘方運(yùn)算中，當(dāng)?shù)讛?shù)有“一”號(hào)時(shí)，底數(shù)要加

括號(hào)；（3）當(dāng)?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時(shí)，它們的奇次幕也互為相反數(shù)，偶次事相等.

3.乘方的運(yùn)算法則

（1）負(fù)數(shù)的奇次暴是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次累是正數(shù)；

（2）正數(shù)的任何次嘉都是正數(shù)；

（3）0的任何正整數(shù)次事都是0.

【清單08】有理數(shù)混合運(yùn)算

有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

③如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.

【清單09】科學(xué)記數(shù)法

1.定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成axlO"的形式（其中l(wèi)W|a|<10,〃是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記

數(shù)法.例如：200000=2xl05.

2.科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的步驟

?的…*g的小敷點(diǎn)向左移，使其基數(shù)位數(shù)se&ttMs——=--------1

只有TLBP13OMS.7?W4S7xW

t?

方法I；根露原數(shù)的?N

如:4I

—力演「?羸斂的陵數(shù)位數(shù)城

NI-2MQQD,-IMMI。

m小數(shù)點(diǎn)囪左善動(dòng)的位數(shù)

方法2：根據(jù)小景點(diǎn)

首動(dòng)的位數(shù)未確定

3.還原科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)

4JO2Ki(r?―

一|■不夠的位微

方?，14蝴蟆數(shù)力"1、不喻緋加,

,用琳足力“xK■-3I4MW\)?麗i

方出：的x10■中觥小數(shù)點(diǎn)/L_

向右移岫喊MUM右―

4.方法點(diǎn)撥：比較用科學(xué)記數(shù)法表示的兩個(gè)數(shù)大小的方法

【清單10］近似數(shù)

1.準(zhǔn)確數(shù)：與實(shí)際完全符合的數(shù)，稱為準(zhǔn)確數(shù).

2.近似數(shù)：許多實(shí)際情況中，較難取得準(zhǔn)確數(shù)，把接近準(zhǔn)確數(shù)但不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)稱為近似數(shù).

3.近似數(shù)的精確度：近似數(shù)的精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.一般地，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪

一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.

近似數(shù)的精確度的表述方法：

⑴用數(shù)位表示，如精確到千位，精確到千分位等；

⑵用小數(shù)表示，如精確到0.1,精確到0.0I等；

（3）對(duì)帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到1kg,精確到1m等.

4.取近似數(shù)的方法：通常用四舍五入法；特殊情況下使用去尾法、進(jìn)一法.

強(qiáng)型陸單

【考點(diǎn)題型一】有理數(shù)的加法（共3題）

191

1.(2023秋?瀘縣校級(jí)期末)計(jì)算：4.5+[(-2.5)+9-+(-15-)]+2-.

2.（2。23秋.合江縣校級(jí)期末）計(jì)算：㈠f+（+9+（-。.5）+（+日）.

3.（2021秋?涼山州期末）數(shù)學(xué)張老師在多媒體上列出了如下的材料:

計(jì)算：一53+(一9|)+17：+(-3；).

5231

解：原式=[(-5)+(--)]+[(-9)+(--)]+(17+—)+[(-3+(--)]

6342

5213

=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(--)+(-—)+(--)+—]

6324

=o+(_i:)

=-11.

4

上述這種方法叫做拆項(xiàng)法.

741

請(qǐng)仿照上面的方式計(jì)算：(-2021-)+(-2022-)+4044+(--).

777

【考點(diǎn)題型二】有理數(shù)的減法（共4題）

1.（2023秋?濟(jì)南期末）計(jì)算：23+（-14）-35-（-10）.

1119

2.(2023秋?太湖縣期末)3—+(-―)-(—)+2-.

2233

3.（2023秋?敘永縣校級(jí)期末）計(jì)算：（-0.5）-（-3」）+3.75-

4.（2023秋?商南縣校級(jí)期末）小蟲從某點(diǎn)。出發(fā)在一條直線上來回爬行，假設(shè)向右爬行的路程記為正，向

左爬行的路程記為負(fù)，爬行的路程依次為（單位：cm）:+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.

（1）小蟲離開出發(fā)點(diǎn)O最遠(yuǎn)是一厘米.

（2）小蟲是否回到了原點(diǎn)O?

（3）在爬行過程中，如果每爬行l(wèi)ow獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻，則小蟲共可得到多少粒芝麻?

【考點(diǎn)題型三】有理數(shù)的乘除（共6題）

1.（2023秋?泳口區(qū)期末）已知|a|=5,|6|=8,5.a+b>0,求質(zhì)的值.

2.（2023秋?昌邑區(qū)校級(jí)期末）

123218

3.（2023秋?中原區(qū)期末）學(xué)了有理數(shù)的運(yùn)算后，老師給同學(xué)們出了一題.

計(jì)算：19—x（-9）,下面是兩位同學(xué)的解法：

18

?士官3359八32311“I

小方：原式=----x9=---------=-179—；

18182

17171

小楊：原式=（19+—）x（—9）=—19x9——x9=—179—.

18182

（1）兩位同學(xué)的解法中，誰(shuí)的解法較好？

（2）請(qǐng)你寫出另一種更好的解法.

4.（2023秋?綏陽(yáng)縣期末）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算”：

1236

小華的解法：(-—)4-(---)=--

123612312641020

大白的解法：原式的倒數(shù)為第一步,

=(1_f")x(一12)

第二步,

3o

=Y+10.....................第三步,

=6第四步.

所以

分析兩位同學(xué)的解法，請(qǐng)你回答下列問題:

（1）兩位同學(xué)的解法中，—同學(xué)的解答正確；

（2）大白解法中，第二步到第三步的運(yùn)算依據(jù)是

（3）用一種你喜歡的方法計(jì)算:（q）+g_g+》.

5.（2023秋?射陽(yáng)縣期末）已知：|a|=3,g|=5.

（1）若a>b,求ab的值；

（2）若aZ?<0,求a的值.

6.（2023秋?淮北期末）閱讀理解:

計(jì)算（l+-+-+-）x（-+-+-+-）-（l+l+-+-+l）x（-+-+-）B^,若把d+W3與（』+』+」）分另Ij

234234523452342345234

各看作一個(gè)整體，再利用分配律進(jìn)行運(yùn)算，可以大大簡(jiǎn)化難度.過程如下：

解:設(shè)（；+｝；）為A,為3,

貝I原式=2(1+4)-4(1+3)=3+48-A-AB=B-A=g.請(qǐng)用上面方法計(jì)算：

?(1+—+-+-+-+-)(—+-+—+-+-+-)-(1+-+-+—+-+-+—)(—+-+-+-+-)

2345623456723456723456

?(l+-+-...+-)(-+-...+^—)-(1+-+-...+^—.

23n23n+123n+123n

【考點(diǎn)題型四】有理數(shù)的乘方（共8題）

1.（2023秋?曲靖期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營(yíng)養(yǎng)和

生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2"來表示.即：2'=2,

2Z=4,23=8,24=16,2$=32,…，請(qǐng)你推算Z??4的個(gè)位數(shù)字是（）

A.6B.4C.2D.8

2.（2023秋?德城區(qū)期末）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,7^=343,74=2401,T=16807,

根據(jù)其中的規(guī)律可得7°+丁+72++7283的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是.

3.（2023秋?龍湖區(qū)期末）已知a,6都是有理數(shù)，若（a+2）2+|6-l|=0,則（4+6嚴(yán)23=.

4.（2023秋?合肥期末）計(jì)算：-12024<（-5）2X（-|>10.8-11.

5.(2023秋?隆回縣期末)計(jì)算:

(2)-14-(1-0.5)X|X[3-(-3)2].

(1)4X(-1)2024-13+(——)-M3|；

6.(2023秋?涼州區(qū)校級(jí)期末)已知。，6滿足|。+3]+(6-2>=0,求(a+b)2823的值.

7.(2023秋?射陽(yáng)縣期末)閱讀理解：根據(jù)乘方的意義，可得：22X23=(2X2)X(2X2X2)=25.請(qǐng)你試一試,

完成以下題目:

(1)a3-a"=(a-a-a)-(a-a-a-a)=

(2)歸納、概括：am-a"=；

(3)如果/=4,%"=25,運(yùn)用以上的結(jié)論，計(jì)算：產(chǎn)”=.

8.(2023秋?東城區(qū)期末)小明設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖所示的數(shù)值轉(zhuǎn)換程序.

(1)當(dāng)輸入a=-5,6=-3時(shí)，求輸出M的值為多少？

(2)若a=-3,M的值大于4,直接寫出一個(gè)符合條件的6的值.

【考點(diǎn)題型五】科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字（共5題）

1.（2023秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）用四舍五入法按要求對(duì)0.05019分別取近似值，其中錯(cuò)誤的是（）

A.0.1（精確到0.1）B.0.05（精確到百分位）

C.0.05（精確到千分位）D.0.0502（精確到0.0001）

2.（2023秋?蓬江區(qū)期末）用四舍五入法把數(shù)25.862精確到十分位，所得的近似數(shù)是（）

A.25.8B.25.9C.25.86D.25.87

3.（2023秋?惠城區(qū)期末）5G是第五代移動(dòng)通信技術(shù)，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度可以達(dá)到每秒1300000循以

上.用科學(xué)記數(shù)法表示1300000是（）

A.13xl05B.1.3xlO5C.1.3xlO6D.1.3xl07

4.（2023秋?羅湖區(qū)期末）2023年2月10號(hào)，神舟十五號(hào)航天員乘組圓滿完成了他們的首次出艙任務(wù)，飛

船的速度約為每小時(shí)28000千米，28000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.2.8xlO4B.2.8xlO5C.2.8xlO6D.28xl03

5.（2023秋?龍華區(qū)期末）紅樹林、海草床和濱海鹽沼組成三大濱?！八{(lán)碳”生態(tài)系統(tǒng).相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，按

全球平均值估算，我國(guó)三大濱海“藍(lán)碳”生態(tài)系統(tǒng)的年碳匯量最高可達(dá)約3080000噸二氧化碳.將308000

。用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.3.08xl04B.3.08xlO6C.308xlO4D.0.308xlO7

【考點(diǎn)題型六】有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用（共4題）

1.（2023秋?萬(wàn)州區(qū)期末）張阿姨水果店以每箱200元的價(jià)格從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)20箱櫻桃，若以每箱凈

重10千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：

與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的差值（單位：千克）-0.5-0.250+0.2540.8+0.5

箱數(shù)143453

（1）這20箱櫻桃的總質(zhì)量是多少千克?

（2）張阿姨水果店購(gòu)進(jìn)這批櫻桃需要付運(yùn)費(fèi)100元，計(jì)劃把這些櫻桃全部以零售的形式賣掉，按照全部銷

售完后獲得的利潤(rùn)為成本的30%作為銷售目標(biāo)，并制定零售價(jià)為30元/千克，在實(shí)際銷售時(shí)，第一天水果

店以該零售價(jià)售出了總質(zhì)量的60%,第二天因害怕剩余的櫻桃腐爛，把剩余的櫻桃按原零售價(jià)的七折售

完.（提示：成本=總進(jìn)價(jià)+運(yùn)費(fèi)）計(jì)算該水果店在實(shí)際銷售這批櫻桃的過程中共盈利多少元？是否達(dá)成原

定銷售目標(biāo)？

2.（2023秋?安溪縣期末）某水果店以每箱180元的價(jià)格從水果批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)20箱草莓，若以每箱凈重10

千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，稱重的記錄如下表：

與標(biāo)準(zhǔn)重量的差值（單位：千克）-0.5-0.2500.250.30.5

箱數(shù)233552

（1）求這20箱草莓的總重量;

（2）若水果店打算以每千克25元銷售這批草莓，則全部售出可獲利多少元?

3.（2023秋?蓮都區(qū)期末）如圖1是1個(gè)紙杯和6個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，量得1個(gè)紙杯的高為10cm,

6個(gè)疊放在一起的紙杯的高為14c〃z.

圖2

（2）若一批這樣的紙杯按照?qǐng)D2的方式疊放，測(cè)得總高度為90cm,求紙杯個(gè)數(shù).

4.（2023秋?襄城縣期末）小華有5張寫著不同數(shù)的卡片如圖，請(qǐng)你按要求抽出卡片，完成下列各題:

（1）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)乘積最大，最大值是

（2）從中抽出2張卡片，使這2張卡片上的數(shù)相除的商最小，最小值是

（3）從中抽出4張卡片，用學(xué)過的運(yùn)算方法使結(jié)果為30,寫出運(yùn)算式子（至少寫出兩種）.

日與血回至

【考點(diǎn)題型七】有理數(shù)的新定義運(yùn)算（共7題）

1.(2023秋?鄭縣期末)規(guī)定一種新運(yùn)算“※”，兩數(shù)。，6通過“※”運(yùn)算得(“+2)x2-6,即?！?/p>

6=(a+2)x2—6,例如：5=(3+2)x2-5=10-5=5,根據(jù)上面規(guī)定解答下題：

(1)求7※(-3)的值；

(2)7※(-3)與(-3)派7的值相等嗎？

2.(2023秋?江州區(qū)期末)［新定義運(yùn)算］:如果/=N(a>0,awl,N>0),則6叫做以。為底N的對(duì)數(shù),

記作log〃N=6,例如：因?yàn)?3=125,所以1。氏125=3；因?yàn)榻ǘ?所以lo&J21=2.

(1)填空：log33=，log05-^-=;

lo

(2)如果logs|相-41=2,求機(jī)的值；

(3)log327+log4x=log232,求2(x-l)的值.

3.(2023秋?成都期末)【初探】

從1~9這九個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)不同數(shù)字，分別記為a,b,由這兩個(gè)數(shù)字可以組成兩個(gè)兩位數(shù)，再用這兩個(gè)

兩位數(shù)相加的和除以11,所得的商記為尸(a/).如：a=l,6=2,可以組成12,21,它們的和為33,因

為33+11=3,所以尸(1,2)=3.

(1)尸(2,7)=；

(2)尸(a,6)一定是整數(shù)嗎？請(qǐng)說明理由；

【拓廣】

從1~9這九個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)不同數(shù)字，記為m，”，。,由這三個(gè)數(shù)字組成六個(gè)不同的兩位數(shù)，再用這

六個(gè)兩位數(shù)相加的和除以22,所得的商記為G(〃z,”，p).

(3)若G(m，n,p)=3p,且九=相+2,求〃—"Z的值.

4.(2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末)【思考】

定義一種新運(yùn)算“※”，觀察下面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

3X5=8,(_3悖5=-8,3派0=3,

(-3)^(-5)=8.3※(-5)=—8.(一3)派0=3.

【歸納】

（1）兩數(shù)進(jìn)行“X”運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加.任何數(shù)同0進(jìn)行“X”運(yùn)算,

都得—.

【運(yùn)用】

（2）計(jì)算：（-12住（4※6；

（3）化簡(jiǎn)：（-7）※尤.

（提示：對(duì)于運(yùn)算“※”，如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算.）

5.（2023秋?輝縣市期末）觀察下列兩個(gè)等式：2°=2x\l,5-2=5一+1給出定義如下：我們稱使等

3333

式6=必+1成立的一對(duì)有理數(shù)“a,6”為“共生有理數(shù)對(duì)"，記為（a,6）,如：數(shù)對(duì)（2$）,（5,$都是

“共生有理數(shù)對(duì)”.

（1）通過計(jì)算判斷數(shù)對(duì)（1,2）是不是“共生有理數(shù)對(duì)”；

（2）若（利,〃）是“共生有理數(shù)對(duì)"，則（-〃,-加）—“共生有理數(shù)對(duì)"（填“是”或“不是”）；

（3）如果（〃?,"）是“共生有理數(shù)對(duì)”，且%=4,求（-5/的值.

6.（2023秋?梁山縣期末）有理數(shù)。和6分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)3,定義=為數(shù)。、。的中

點(diǎn)數(shù)，定義0（。*）=|切為點(diǎn)A、3之間的距離，其中|“-6|表示數(shù)。、b的差的絕對(duì)值.例如：數(shù)-1和

3的中點(diǎn)數(shù)是M(_l,3)=二7=1,數(shù)軸上表示數(shù)-1和3的點(diǎn)之間的距離是5-1,3)=|-1-3|=4.請(qǐng)閱讀以

上材料，完成下列問題：

(1)M(2,4)=,。(2,4)=；

(2)已知M(-6,x)+D(6,8)=5,求D(x,9)的值；

Y-1

(3)當(dāng)0(-2,7)+0(4,x)=13時(shí)，求M(二3一,6)的值.

7.(2023秋?大荔縣期末)“幸福是奮斗出來的”，在數(shù)軸上，若尸到A的距離剛好是3,則尸點(diǎn)叫做A的

“幸福點(diǎn)”；若尸到A、5的距離之和為6,則尸叫做A和3的“幸福中心”.

(1)若點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,則A的幸福點(diǎn)尸所表示的數(shù)應(yīng)該是；

(2)如圖，M>N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)/所表示的數(shù)為4,點(diǎn)N所表示的數(shù)為-2,若點(diǎn)/就是M■和N的

幸福中心，則歹所表示的所有數(shù)中，整數(shù)之和是多少？

NM

I_____I________IJI1I_______I_______IJI_______I?

—5—4—3—2—10123456”

【考點(diǎn)題型八】與絕對(duì)值有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)、最值綜合問題(共4題)

1.(2023秋?太和縣期末)已知：。是最大的負(fù)整數(shù)，且。、b>c滿足(c-6y+|Q+Z?|=0,

（1）直接寫出a=，b=,c=.

（2）a,b,c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若點(diǎn)A以每秒機(jī)（0（機(jī)＜3）個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)3和

點(diǎn)C分別以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度和6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)f秒鐘過后，若點(diǎn)3與點(diǎn)C之間的距離

表示為BC,點(diǎn)A與點(diǎn)3之間的距離表示為AB.

①當(dāng)點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)，且加時(shí)，請(qǐng)問：33C-4AB的值是否隨著時(shí)間f的變化而變化.

4

②當(dāng)3BC-2AB的值不隨著時(shí)間f的變化而變化，求機(jī)的值.

2.（2023秋?贛州期末）【閱讀】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，

揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).例如，|3-1|表示3與1差的絕對(duì)值，也可理解

為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；13+11可以轉(zhuǎn)化為13-（-1）|,表示3與-1的差的絕對(duì)值，

也可理解為3與-1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

【探索】

-5-4-3-2-1012345

⑴13-（-1）|=—；

（2）利用數(shù)軸，解決下列問題：

①若|x+l|=3,則工=；

②若|x-3|+|x+2|=5,請(qǐng)直接寫出所有的整數(shù)：；

③是否存在有理數(shù)x,使得式子|x+l|-|x-3|有最大值？如果存在，寫出一個(gè)符合條件的x的值及式子的

最大值；如果不存在，說明理由.

3.（2023秋?成都期末）已知：6是最小的正整數(shù)，且。、6滿足（c-5）2+|a+6|=0,請(qǐng)回答問題

A3C

（1）請(qǐng)直接寫出a、b、c的值.

a=,b=，c=

（2）a、b、c所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C,點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,點(diǎn)P在0到2之間運(yùn)動(dòng)

時(shí)（即QBk2時(shí)），請(qǐng)化簡(jiǎn)式子：|x+l|-|x-l|+2|x+5|（請(qǐng)寫出化簡(jiǎn)過程）

（3）在（1）（2）的條件下，點(diǎn)A、B、C開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)

動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)3和點(diǎn)C分別以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)f秒鐘過后，若點(diǎn)3

與點(diǎn)C之間的距離表示為3C,點(diǎn)A與點(diǎn)5之間的距離表示為請(qǐng)問：3C-的值是否隨著時(shí)間f的

變化而改變？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值.

4.（2023秋?鳳翔區(qū)期末）【數(shù)學(xué)概念】如圖，A、3為數(shù)軸上不重合的兩個(gè)點(diǎn)，P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，我

們比較線段必和尸3的長(zhǎng)度，將較短線段的長(zhǎng)度定義為點(diǎn)尸到線段4?的“靠近距離”.特別地，若線段必

和PB的長(zhǎng)度相等，則將線段以或PB的長(zhǎng)度定義為點(diǎn)P到線段AB的“靠近距離”.

【概念理解】如圖①，點(diǎn)A表示的數(shù)是T,點(diǎn)3表示的數(shù)是2.

（1）若點(diǎn)尸表示的數(shù)是-2,則點(diǎn)P到線段的“靠近距離”為—；

（2）若點(diǎn)尸表示的數(shù)是機(jī)，點(diǎn)P到線段4?的“靠近距離”為3,則機(jī)的值為—（寫出所有結(jié)果）；

【概念應(yīng)用】

（3）如圖②，在數(shù)軸上，點(diǎn)尸表示的數(shù)是-6,點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,點(diǎn)3表示的數(shù)是2.點(diǎn)尸以每秒2個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)3以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/

秒，當(dāng)點(diǎn)尸到線段AB的“靠近距離”為2時(shí)，求f的值.

???,A????/?????》

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖②

-7-6-5-4-3-2-101234567

圖①

iiii??F??????

-7-6-5-4-3-2-101234567

【考點(diǎn)題型九】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)綜合問題（共4題）

1.（2023秋?廣州期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左側(cè)，點(diǎn)3在原點(diǎn)O的右側(cè)，點(diǎn)A距離原點(diǎn)12個(gè)單位

長(zhǎng)度，點(diǎn)3距離原點(diǎn)2個(gè)單位長(zhǎng)度.

（1）A點(diǎn)表示的數(shù)為—，3點(diǎn)表示的數(shù)為一，兩點(diǎn)之間的距離為一；

（2）若點(diǎn)尸為數(shù)軸上一點(diǎn)，且3P=2,求AP的值；

（3）若點(diǎn)尸、Q、M同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)。從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M從點(diǎn)3出發(fā)，且

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度是每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)

單位長(zhǎng)度.運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)與另外兩個(gè)點(diǎn)的距離相等時(shí)，求這時(shí)三個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)各是多少？

2.（2023秋?泰興市期末）已知點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上，點(diǎn)A和點(diǎn)C表示的數(shù)分別為-8、2,點(diǎn)3在點(diǎn)

A的右側(cè)，點(diǎn)。在點(diǎn)C的右側(cè)，且AB=4,CD=2.

（1）直接寫出點(diǎn)3和點(diǎn)。表示的數(shù)分別為：—、—；

（2）若線段的沿著數(shù)軸向右以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段8沿著數(shù)軸向左以1個(gè)單位長(zhǎng)度

/秒的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f（秒），/＞（）.

①若3和。重合，則f的值為—，若A和C重合，則f的值為—；

②若線段四和線段CD重疊部分為1個(gè)單位長(zhǎng)度，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間f的值；

③當(dāng)時(shí)，下面兩個(gè)式子：@BC+AD；②3C-AD中有一個(gè)式子的值是定值，你認(rèn)為是定值的式

33

子是—（填寫序號(hào)），并求這個(gè)定值.