第1章勾股定理全章復習與測試

O【知識梳理】

一、勾股定理

1.勾股定理

如圖，直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么〃+62=。2.

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，對于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關(guān)系.

②利用勾股定理時，必須分清直角邊，斜邊.尤其在記憶/+加=02時，此關(guān)系只有當C是

斜邊時才成立.若b是斜邊，則關(guān)系式是/；若。是斜邊，則關(guān)系式是62+02="2.

2.直角三角形斜邊上的高

①已知兩條直角邊，通過勾股定理求出斜邊.

②根據(jù)直角三角形的面積不變，即工出7求出人

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求

解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a-=c2-b2,b~=c2-a2,c2=[a+b^-2ab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中"=l+4x）必,所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

d=e-a)'+4x“，所以

2

將兩個直角三角形拼成直角梯形.

A

Bba

(3)

$3=（"6"）。鼻+￥，所以/+/一

三、勾股數(shù)

滿足不定方程必+產(chǎn)=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯

然，以X、Az為三邊長的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數(shù)，對解題會很有幫助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果（。、從C）是勾股數(shù)，當才為正整數(shù)時，以必、bt、U為三角形的三邊長，此三角

形必為直角三角形

四、如何判定一個三角形是否是直角三角形

首先確定最大邊（如C）.

驗證與/+〃是否具有相等關(guān)系.若C2=/+/,則4ABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則AABC不是直角三角形.

要點詮釋：當片+82<°2時，此三角形為鈍角三角形；當片+82>02時，此三角形為銳角

三角形，

其中C為三角形的最大邊.

五.勾股定理的逆定理

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三邊長分別為a,b,c,且/+/=°2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：

①不能說在直角三角形中，因為還沒確定直角三角形，當然也不能說斜邊和直角邊.

②當滿足。2+爐=。2時，C是斜邊，/C是直角.

③利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長邊，算出

最長邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為

直角三角形.

?——1

W【考點剖析】

勾股定理（共8小題）

1.（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，NA=90°,DE1BC,AB=3,BC=5,

5D是/ABC的角平分線，則的周長是（）

2.（2022秋?巴中期末）如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是3、5、2、3,則最大正

A.10B.13C.15D.26

3.（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，△ABC中，ZACB=90°,分別以△ABC的邊A3、

BC、AC向外作等腰RtZ\A8F,等腰RtZkBEC和等腰RtaAOC,記△ABF、ABEC,△

AOC的面積分別是Si,S2,S3,則51、52、S3之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Si<S2+S?,B.Si=S2+S3C.—Si>S2+&D.—Si=S2+&

22

4.（2023春?渝北區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，NABC=150°,平分/ABC,

過A點作AE〃BC交于點E,所，BC于點尺若AB=7,則EP的長為

5.（2022秋?陽城縣期末）如圖,已知Rt^ABC的三邊長分別為6、8、10,分別以它們的

三邊作為直徑向外作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為.

6.（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,A。平分NBAC,AB=4,AC

=3,則BD的長是.

-.勾股定理的證明（共6小題）

7.（2022秋?和平區(qū)期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）

ab

C.2D.3

8.（2022秋?鄲城縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)

學著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人

稱之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗

證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)

學規(guī)律和公式的方法,簡稱為“無字證明”.在驗證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想

C.分類思想D.方程思想

9.（2022秋?巴中期末）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人

稱其為“趙爽弦圖”.如圖是由弦圖變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成,

記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面積分別為Si,S3,若S1+&+&

=4,則&的值是.

AD

G

E

BC

10.（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，直角三角形AC8,直角頂點C在直線/上，分別過點A、

8作直線/的垂線，垂足分別為點。和點￡.

（1）求證：ZDAC=ZBCE；

（2）如果AC=BC.

①求證：CD=BE；

②若設△ADC的三邊分別為a、b、c,試用此圖證明勾股定理.

11.（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，AABH,MBCG,ZkCQE和△D4E是四個

全等的直角三角形，四邊形ABC。和四邊形EFGH都是正方形，如果AB=15,AH=9,

則四邊形GFEH的面積為

三.勾股定理的逆定理（共3小題）

12.（2022秋?丹徒區(qū)期末）若三角形的邊長分別為5c7小12c7小13。九，則它的最長邊上的

中線為cm.

四.勾股數(shù)（共2小題）

13.（2022秋?平昌縣期末）在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組數(shù)是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.5、12、13D.3、5、7

14.（2022秋?望花區(qū)校級期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）

A.1,2,2B.32,42,52C.5,12,13D.6,6,6

五.勾股定理的應用（共6小題）

15.（2022秋?成都期末）河濱公園有一塊長方形的草坪如圖所示，有少數(shù)的人為了避開拐

角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了一米，卻踩傷了花草！青

青綠草地，悠悠關(guān)我心，請大家文明出行，足下留“青”！

16.（2022秋?婺城區(qū)期末）圖1表示一雙開門關(guān)閉時的狀態(tài)圖，圖2表示打開雙門過程中，

某一時刻的示意圖，其中A3為門檻寬度.

（1）當NCAB=N=60°時，雙門間隙CD與門檻寬度AB的比值

為________________

（2）若雙門間隙C￡）的距離為2寸，點C和點。距離都為1尺（1尺=10寸），則

門檻寬度48是

（圖2）

17.（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，甲乙兩船同時從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向,

航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地.若C、8兩島的距離為30海里，

問乙船的航速是多少？

六.平面展開-最短路徑問題（共3小題）

18.（2022秋?東明縣校級期末）空心玻璃圓柱的底面圓的周長是24,高是5,內(nèi)底面的點A

有一只飛蟲，要吃到8點的食物，最短路徑的長是（）

A.6B.7C.13D.10

19.（2022秋?鄲都區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為22071,底面周長為30c〃z,在杯內(nèi)壁離

杯上沿3cm的點B處粘有一粒面包渣，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯底5cm與面包

渣相對的點A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁3處的最短距離為c加杯壁厚度不計）.

【過關(guān)檢測】

選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）△A8C三邊長分別為a,b,c,且a：b：c=3：4：5,則△ABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.（3分）在RtaABC中，ZA=90°,BC=13cm,AC^5cm,則第三邊AB的長為（）

A.18cmB.12cmC.8cmD.6cm

3.（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.7,12,13B.5,9,12C.3,4,6D.40,50,30

4.（3分）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）

A.1、2、3B.2、3、4C.3、4、5D.4、5、6

5.（3分）連接旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，若把繩子的下端拉開距旗桿底部端5米,

則繩子下端剛好接觸地面，則旗桿的高度是（

A.3米B.4米C.12米D.13米

6.（3分）己知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）

A.25B.7C.5和7D.25或7

7.（3分）下列條件能確定三角形ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=ZCB.ZA=40°,ZB=50°

C.AB^ACD.AB=2,AC=3,BC=4

8.（3分）如圖，一梯子AB斜靠在一豎直墻AC上，測得梯子的頂端到地面的距離為8加,

若梯子的頂端A沿墻下滑2m到點E,此時梯子的底端B滑到了D處，測得BD=2m,

則梯子A3的長度為（）

A.16mB.14/7/C.12mD.10m

9.（3分）將三個大小不同的正方形如圖放置，頂點處兩兩相接，若正方形A的邊長為4,

正方形C的邊長為3,則正方形5的面積為（）

10.（3分）如圖所示的一塊地，已知ZWC=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,

3c=20m,則這塊地的面積為（）n?.

C.96m2D.90m2

二.填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）

1L（4分）禪城區(qū)某一中學現(xiàn)有一塊空地465如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種草皮，經(jīng)測量

ZB=90,AB=3m,BC=4m,CD=13m,AD=11m,若每種植1平方米草皮需要300元，總

共需投入元

12.（4分）已知一個三角形的三邊長分別是12cm,16cm,20cm,則這個三角形的面積為

cm2.

13.（4分）如圖，有一段樓梯AC長為15米，由于這段樓梯較陡，為了方便行人通行，現(xiàn)

準備新修一條樓梯AD已知人。=20米,C￡）=7米,則樓梯的高度A3為米.

14.（4分）于ABC,有下列條件：?ZA+ZB=ZC；②AC：BC：AB=3：4：5；③

a'S+cXb-c）；④NAZB-.ZC=2：3：4.其中能確定一ABC是直角三角形的是.

15.（4分）如圖，在正方形方格紙中，/a與N0的度數(shù)和為.

16.（4分）如圖，標有“長”“街”“鎮(zhèn)”三字的三個正方形圍成一個直角三角形，正方形

“長”“街”的面積分別為81、400,則圖中標有“鎮(zhèn)”字的正方形面積是.

17.（4分）如圖，將直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形。斯的位置，DE交AC

于點。，已知A8=6,BE=4,OD=2,則四邊形OCFD的面積為

AD

三.解答題（共3小題，滿分18分，每小題6分）

18.（6分）如圖，在△ABC中，AD1.BC,AD=12,BD=16,CD=5.求：△ABC的周長.

19.（6分）如圖，在四邊形/用力中，AB=20,AD=15,CD=1,BC=24,NA=90。,

求證：ZZT=90°.

20.（6分）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點C

與公路上的?？奎cA的距離為800米，與公路上另一停靠點B的距離為600米，且C4

±CB,如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑450米范圍內(nèi)不得進入，問在進行爆破

時，公路段是否有危險需要暫時封鎖？請通過計算進行說明.

四.解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

21.（8分）如圖，鐵路上/、8兩點相距25km,C、，為兩村莊，于4于

B,已知/M=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路A3上