2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷（本試卷共23題，測試時間100分鐘，測試范圍：二次根式、一元二次方程的概念與解法）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．若成立，則滿足得條件A． B． C． D．2．計算的結(jié)果是A． B．3 C． D．3．祁縣是“中國酥梨之鄉(xiāng)”，某超市將進(jìn)價為每千克5元的酥梨按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了盡快減少庫存并且讓利顧客，決定降價銷售，超市發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價每千克下降1元時，其日銷售量就增加10千克，設(shè)售價下降元，超市每天銷售酥梨的利潤為120元，則可列方程為A． B． C． D．4．下列根式中屬于最簡二次根式的是A． B． C． D．5．下列各數(shù)中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．6．下列運(yùn)算中正確的是A． B． C． D．7．若某三角形的三邊長分別為2，5，，則化簡的結(jié)果為A．5 B． C． D．108．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．169．若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值是A．2 B． C． D．10．將方程化為的形式，則的值為A． B． C．5 D．11二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．若與是可以合并的二次根式，則這兩個二次根式的和是．12．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．14．已知代數(shù)式和．（1）無論為何值，代數(shù)式的值較大的代數(shù)式是；（2）若這兩個代數(shù)式的和為5，則的值為．三、解答題（共9小題，滿分54分）15．計算：．16．已知關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時，此方程是一元二次方程，并求出此時方程的解？17．（1）一元二次方程的兩根為、，求代數(shù)式的值．（2）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根為，求的值及方程的另一個根．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．19．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問題：（1）請寫出第4個等式；（2）請寫出第個等式是正整數(shù)，用含的式子表示），并證明．20．下面是小明解一元二次方程的過程：解：原方程可化為，第一步方程兩邊同除以得，，第二步系數(shù)化為1得．小明的解答是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請指出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并寫出正確的解答過程．21．某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個面積為的花壇，甲、乙兩個工程隊給出如下兩個施工方案．甲：花壇為長方形，且長與寬的比為．乙：花壇為正方形．（1）求長方形花壇的寬．（2）嘉淇說：“正方形花壇的邊長肯定比長方形花壇的寬長．”請你判斷嘉淇的說法是否正確，并通過計算說明．22．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩條邊長．①求的值；②求的周長．23．閱讀材料，解決問題．材料1：我們規(guī)定：如果兩個含有二次根式的因式的積中不含根號，那么就稱這兩個因式互為有理化因式．如，我們稱與互為有理化因式．材料2：利用分式的基本性質(zhì)和二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，可以對進(jìn)行如下的化簡：，從而把分母中的根號化去，我們把這樣的化簡稱為“分母有理化”．問題：（1）與是否是互為有理化因式？并說明理由；（2）分母有理化：；（3）化簡．

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考卷（本試卷共23題，測試時間100分鐘，測試范圍：二次根式、一元二次方程的概念與解法）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）1．若成立，則滿足得條件A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性質(zhì)得到，利用絕對值的意義得到，然后解不等式即可．【解答】解：，，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．2．計算的結(jié)果是A． B．3 C． D．【分析】把式子變形后先用平方差公式計算，再算乘方和乘法【解答】解：原式；故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和冪的乘方、積的乘方公式的應(yīng)用．3．祁縣是“中國酥梨之鄉(xiāng)”，某超市將進(jìn)價為每千克5元的酥梨按每千克8元賣出，平均一天能賣出50千克，為了盡快減少庫存并且讓利顧客，決定降價銷售，超市發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價每千克下降1元時，其日銷售量就增加10千克，設(shè)售價下降元，超市每天銷售酥梨的利潤為120元，則可列方程為A． B． C． D．【分析】當(dāng)售價下降元時，每千克酥梨的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為千克，利用超市每天銷售酥梨獲得的利潤每千克的銷售利潤平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：當(dāng)售價下降元時，每千克酥梨的銷售利潤為元，平均每天的銷售量為千克，依題意得：．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．下列根式中屬于最簡二次根式的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐一判斷即可．【解答】解：，是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；，，被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；，，被開方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；，，被開方數(shù)含有開的盡方的因數(shù)和因式，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了最簡二次根式，熟記最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．5．下列各數(shù)中是一元二次方程的解的是A． B． C． D．【分析】利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解一次方程后對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：，，或，所以，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了一元二次方程的解．6．下列運(yùn)算中正確的是A． B．C． D．【分析】計算出各個選項(xiàng)中式子的正確結(jié)果，即可判斷哪個選項(xiàng)符合題意．【解答】解：，故選項(xiàng)正確，符合題意；不能合并，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．7．若某三角形的三邊長分別為2，5，，則化簡的結(jié)果為A．5 B． C． D．10【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對值得出，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：三角形的三邊長分別為2，5，，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和二次根式的性質(zhì)，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．8．如果成立，那么A．1 B．2 C．9 D．16【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性得出方程組，求出方程組的解，最后代入求出答案即可．【解答】解：，且，即，解得：，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性，解二元一次方程組，求代數(shù)式的值等知識點(diǎn)，能得出關(guān)于、的方程組是解此題的關(guān)鍵．9．若一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值是A．2 B． C． D．【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，得出△，解關(guān)于的方程，即可得出答案．【解答】解：一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，△，解得：，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程，當(dāng)△時方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解，△時，無實(shí)數(shù)解，△時，有兩個不相等的實(shí)數(shù)解．10．將方程化為的形式，則的值為A． B． C．5 D．11【分析】利用完全平方公式整理后得，即可求出與的值．【解答】解：方程，變形得：，配方得：，即，則，，故，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程—配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分）11．若與是可以合并的二次根式，則這兩個二次根式的和是．【分析】根據(jù)二次根式的定義、二次根式有意義的條件求出的值，根據(jù)二次根式的加法法則計算即可．【解答】解：是二次根式，，，解得：，則，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是同類二次根式、二次根式的性質(zhì)、二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的定義、二次根式有意義的條件求出的值是解題的關(guān)鍵．12．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程），求的值，注意二次項(xiàng)的系數(shù)不為0．【解答】解：是一元二次方程，解得：，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】題目主要考查一元二次方程的定義及解一元二次方程，理解一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．13．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【分析】根據(jù)完全平方公式配方，然后再把3寫成利用平方差公式繼續(xù)分解因式．【解答】解：，，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，主要利用了完全平方公式以及平方差公式，把3寫成的形式是解題的關(guān)鍵．14．已知代數(shù)式和．（1）無論為何值，代數(shù)式的值較大的代數(shù)式是；（2）若這兩個代數(shù)式的和為5，則的值為．【分析】（1）利用作差法比較大?。唬?）根據(jù)題意列方程求解．【解答】解：（1），，故答案為：；（2），解得：或，故答案為：1或．【點(diǎn)評】本題考查了整式的加減，掌握配方法和方程思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共9小題，滿分54分）15．計算：．【分析】先算乘除，再合并同類二次根式即可．【解答】解：．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．16．已知關(guān)于的方程，當(dāng)為何值時，此方程是一元二次方程，并求出此時方程的解？【分析】直接利用一元二次方程的定義得出最高次數(shù)為2，最高次項(xiàng)系數(shù)不為0進(jìn)而求出即可．【解答】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，且，解得：，則方程為：，即，，解得，．【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握次數(shù)與系數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（1）一元二次方程的兩根為、，求代數(shù)式的值．（2）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根為，求的值及方程的另一個根．【分析】（1）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分得到，然后利用整體代入的方法計算；（2）設(shè)方程的另一個根為，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，然后解方程組即可．【解答】解：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以；（2）設(shè)方程的另一個根為，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，解得，，所以的值為，方程的另一個根為2．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．18．已知，．求下列各式的值．（1）；（2）．【分析】先利用、的值分別計算出，，的值，再利用乘法公式變形得到（1）；（2），然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：，，，，，（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．利用整體代入的方法可簡化計算．19．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；根據(jù)上述規(guī)律，解答下面的問題：（1）請寫出第4個等式；（2）請寫出第個等式是正整數(shù)，用含的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律求解；（2）根據(jù)規(guī)律寫出等式，再利用二次根式的性質(zhì)證明．【解答】解：（1）第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式為：，即；（2）由（1）可得：第個等式為：，證明：左邊，左邊右邊，等式成立．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，分式的加減運(yùn)算和二次根式的化簡，理解題意發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律是解題關(guān)鍵．20．下面是小明解一元二次方程的過程：解：原方程可化為，第一步方程兩邊同除以得，，第二步系數(shù)化為1得．小明的解答是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請指出從第幾步開始出現(xiàn)錯誤，分析出現(xiàn)錯誤的原因，并寫出正確的解答過程．【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式分解因式，即可得到兩個一元一次方程的積，再解一元一次方程即可．【解答】解：從第二步開始出現(xiàn)的錯誤，其錯誤原因是等式的性質(zhì)2用錯，正確的解答過程如下：，，，則或，解得：、．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．21．某小區(qū)準(zhǔn)備修建一個面積為的花壇，甲、乙兩個工程隊給出如下兩個施工方案．甲：花壇為長方形，且長與寬的比為．乙：花壇為正方形．（1）求長方形花壇的寬．（2）嘉淇說：“正方形花壇的邊長肯定比長方形花壇的寬長．”請你判斷嘉淇的說法是否正確，并通過計算說明．【分析】（1）設(shè)長方形花壇的寬為，則長為，利用面積公式列出等式，再利用算術(shù)平方根求解；（2）假設(shè)嘉淇的說法正確，計算出正方形的面積，與花壇的面積比較即可．【解答】解：（1）設(shè)長方形花壇的寬為，則長為，由題意得，因此，即長方形花壇的寬為．（2）嘉淇的說法錯誤，理由如下：由（1）知長方形花壇的寬為5米，若嘉淇的說法正確，正方形花壇的邊長為：，則正方形花壇的面積為：，因此假設(shè)不成立，即嘉淇的說法錯誤．【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，利用算術(shù)平方根的定義解方程等，理解題意，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵．22．已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）已知是關(guān)于的方程的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰三角形的兩條邊長．①求的值；②求