等和（高）線定理與奔馳定理

1.等和（高）線定理

⑴由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若而5=%為+〃為（九

〃6R）,貝族+〃=1,由△0/5與△CM'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)左，左GR,使得赤=kOP,

則赤=kOP=kXOA+kiLiOB,又5a=xOA+yOB（x,y￡R）,：.x+y=Jd+k^i=k；反之也

成立.

（2）平面內(nèi)一組基｛的，而｝及任一向量M,oF=AOA-\-/LiOB^,〃GR）,若點(diǎn)、P在直線

上或在平行于的直線上，貝以+〃=網(wǎng)定值）；反之也成立，我們把直線以及與直線

AB平行的直線稱為等和（高）線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，k=l；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線之間時(shí)，左6（0,1）；

③當(dāng)直線48在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，左6（1,十8）；

④當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=Q；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對稱，則定值依互為相反數(shù)；

⑥定值k的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比.

2.奔馳定理

如圖，已知尸為△N8C內(nèi)一點(diǎn)，則有SYBC?法+品碇?訪+&B?訖=0.

由于這個(gè)定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個(gè)定

理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題,

有著決定性的基石作用.

題型一利用等和線求基的系數(shù)和的值

例1如圖，在平行四邊形48CD中，AC,8。相交于點(diǎn)。，￡為線段N。的中點(diǎn).若前=收4

+〃5。（九〃￡R）,則等于（）

A

E

----乂

321

A.1B.-C.-D.-

432

答案B

解析方法一（常規(guī)方法）

???E為線段4。的中點(diǎn)，

方法二（等和線法）

如圖，為值是1的等和線，過點(diǎn)E作4。的平行線，設(shè)2+〃=左,

由圖易知，—即2+〃=左=3

BF44

思維升華利用等和線求基的系數(shù)和的步驟

（1）確定值為1的等和線；

（2）平移該線，作出滿足條件的等和線；

（3）從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算滿足條件的等和線的值.

跟蹤訓(xùn)練1設(shè)D,￡分別是△48。的邊48,8c上的點(diǎn)，AD=UB,AE=2BC若m=九壽+

23

九乂。（九，助為實(shí)數(shù)），則加+%2=

宏案-

2

解析方法一（常規(guī)方法）

由題意作圖如圖.

:在△NBC中，流=加+前=；石+：詼=卜+：（就一叁）=一灑+汴=九成+；1次,

?'?Al=----,22=—.

63

故九十丸2=1.

2

方法二（等和線法）

如圖，過點(diǎn)Z作成=力方，連接。足

「A工

BECH

設(shè)4月與5C的延長線交于點(diǎn)H,易知AF=FH,

.,.AF=^AH,因此為十七二。

題型二利用等和線求基的系數(shù)和的最值（范圍）

例2如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓。，尸為圓。上任一點(diǎn)，若成=x益+病,

則2x+2y的最大值為（）

C

84

A.-B.2C.-D.1

33

答案A

解析如圖，作的平行線與圓相交于點(diǎn)P,與直線相交于點(diǎn)￡,與直線4C相交于點(diǎn)

設(shè)4尸=/UE+〃AF,貝（U+〃=1,

「04

?:BCJ/EF,???設(shè)孑!=一1=佐貝1左￡廠'3」，

:.AE=kAB,AF=kAC,AP—XAE+fiAF=XkAB+[ikAC,：?x=/k,y=/ik,

：.2x+2y=2（2+〃）后=2左

思維升華求解步驟：

⑴確定值為1的等和線;

（2）平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)允許存在的區(qū)域，分析何處取得最大值和最小值；

（3）從長度比或點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值.

跟蹤訓(xùn)練2在扇形042中，ZAOB^60°,C為叁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若元=苫的+y加，則

3x+y的取值范圍是.

答案[1,3]

-?1-A-A-?-?-?-A

解析如圖，取點(diǎn)。使得OC^xOA+yOB=3xOD+yOB,作一系列與AD平行的

直線與圓弧相交，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)8重合時(shí)，3x+y取得最小值1；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)/重合時(shí)，3x+y

取得最大值3,故3x+y的取值范圍是[1,3].

題型三奔馳定理

例3已知。是內(nèi)部一點(diǎn)，滿足/+2宓+加女=0,且%則實(shí)數(shù)加等于（）

S^ABC7

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析由奔馳定理得品8℃?a+&/℃?宓?歷=0,

又54+2而+加女=0,

S^BOC:S^AOC:S^AOB=1：2：冽.

.S“OB_m_4

S4ABe1+2+冽7

解得m=4.

思維升華利用平面向量“奔馳定理”解題時(shí)，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點(diǎn)尸

為△45。內(nèi)一點(diǎn)；定理中等式左邊三個(gè)向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個(gè)三角形的面積之比.

跟蹤訓(xùn)練3已知點(diǎn)4,5,C,P在同一平面內(nèi),超=軻，QR=^QB,淳=取,則品”。：SAPBC

等于（）

C.24：5D.29：6

答案B

解析由。氏可得依一P。

=^1P-B*,-P~Q*■）,

~?1—?0~?1—?0—?

整理可得尸尺=沙+?0=沙+件

>A1>A1AA

由RP=；RC可得RP=：（PC-PR）,

-A1-A

整理可得產(chǎn)尺=一PC,

2

所以一1麗=1越+%,

239

整理得4萬+6而+9無=0,

由奔馳定理可得

SAABC:S△詠=（4+6+9）：4=19：4.

11能力提升

1.在△48。中，已知。是邊上一點(diǎn)，若db=gN+；l無，貝!U等于（）

211?

A.-B.-C.-1D.--

3333

答案A

解析由于。是45邊上一點(diǎn)，所以4,B,。三點(diǎn)共線，所以1+2=1,2=2.

33

2.已知△45C和點(diǎn)M滿足疝+施+證=0,若存在實(shí)數(shù)加，使得麻+就=加就/,則冽

等于（）

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析方法一（常規(guī)方法）

9：MA+MB+MC=O,

???M為△45。的重心，

如圖，連接4M并延長交5c于。，則。為5C的中點(diǎn)，

A

C

BD

:.AM=~AD

39

又AD=：(/2+/C),

：.AM=^A^+AC),

即就=3.，:.m=3.

方法二（等和線法）

3c是值為1的等和線，過河作8C的平行線,

AM=-AB+-AC,

mm

\AM\

易知M=z9，

\AD\3

.??2=2,

mm3

???加=3.

3.在△/8C中，M為邊3c上任意一點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，AN=L^+^iAC,貝以十〃的值為

（）

A.-B-C.-D.1

234

答案A

解析方法一（常規(guī)方法）

設(shè)BM=tBC,

則病=［京J（就+嬴）=1益+既=1叁+4衣一函=卜叁+且就，

22222223

?1_1__t__t?i_i___1

..Z—，u——,??/t十〃——.

2222

方法二（等和線法）

3

如圖，2C為值是1的等和線，過N作2C的平行線，設(shè)力+〃=左，貝|左=_.

\AM\

⑷V|1I

由圖易知，_=匕即%+〃=左=2

\AM\22

4.點(diǎn)尸在△48C內(nèi)部，滿足屈+2/+3訖=0,貝U品/BC：$》?°為（）

A.2：1B.3：2C.3：1D.5：3

答案C

解析根據(jù)奔馳定理得，S+BC:S+AC:S^PAB=1：2：3,所以S^ABC:S"PC=3：1.

5.如圖，△BCD與△/BC的面積之比為2,點(diǎn)尸是區(qū)域/8OC內(nèi)的任一點(diǎn)（含邊界），且/力=

XAB+kiAC,貝！U+〃的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,2]

C.[0,3]D.[0,4]

答案C

解析如圖，過點(diǎn)P作G〃〃3C,分別交NC,的延長線于點(diǎn)G,H,設(shè)成而,

則x+y=l,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)。時(shí)，G,〃分別位于點(diǎn)C',點(diǎn)次，

,.,△BCD與△43C的面積之比為2：1,

：.AC=3AC,AB'=3AB,

J.AP=xAC'+yAW^3xAC+3yAB=AAB+/xAC,

-3y?〃=3x0%+〃=3x+3y=3.

當(dāng)點(diǎn)P位于N點(diǎn)時(shí)，顯然有4+〃=0,

綜上，2+〃的取值范圍是[0,3].

6.已知點(diǎn)C為扇形/。8的弧48上任意一點(diǎn)，且/4。8=120。，若比=4①+〃而（九〃GR）,

貝以+〃的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.（1,電]

C.[1,也]D.[1,2]

答案D

解析方法一（常規(guī)方法）

設(shè)圓。的半徑為1,由已知可設(shè)03為x軸的正半軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系（圖略）,

其中工［2,

0,

2J,B（l,0）,C（cos0,$也。）1其中/3。。=0,6>efl

有次:=位+〃南;I,〃￡R）,

即（cosasin8）=[292]+〃（1,。），

整理得一；%+〃=cosa?^=sine,

初用12sindzj.sin0

解侍/!=■—廠,/z=cos

則/l+〃=^|^+cosO+號=3sin6+cosO=2sinK+J,昨_°'易得力+〃G[1,2].

方法二（等和線法）

設(shè)丸+〃=鼠

如圖，當(dāng)C位于點(diǎn)4或點(diǎn)5時(shí)，A,B,。三點(diǎn)共線,

所以左=2+〃=1,

當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到48的中點(diǎn)時(shí)，左=%+〃=2,

所以

7.如圖所示，在△/BC中，D,尸分別是48,4C的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)、0,設(shè)法=”，AC

=b,向量后=癡+〃b,則%+〃的值為.

冬空-

3

解析如圖，5c是值為1的等和線，過點(diǎn)。作5C的平行線，延長4。交5C于點(diǎn)M,

、.\4Q[

設(shè)丸+〃=鼠則k=_.

\AM\

由題設(shè)知。為△45。的重心,

毆=2

所以

\AM\3

8.已知。是面積為4的△/2C內(nèi)部一點(diǎn)，且有a+而+2比=0,則△/。。的面積為

答案1

解析方法一如圖，設(shè)NC的中點(diǎn)為M,8c的中點(diǎn)為N.

因?yàn)榧?由+2次=%+女+為+女=0,

所以2而+2赤=0,

即血+痂=0,

所以。為線段"V的中點(diǎn)，

所以SANOC=3S/VC=!X1品43°=3X1x4=l.

22222

方法二