第二十三章概率初步(35道壓軸題專練)

壓軸題型專訓

1.有一枚質地均勻的正方體骰子，六個面上的點數(shù)分別為1、2、3、4、5、6,現(xiàn)將這枚骰子先后拋擲兩次，

記下拋擲后朝上的面上的點數(shù)，第一次記下的點數(shù)為機，第二次記下的點數(shù)為〃，則關于％、V的二元一次

2.從同一副撲克牌中挑出5張紅桃、6張黑桃、7張方塊，將這18張撲克牌洗勻后背面朝上，再從中抽出15

張牌，抽出的這15張牌中恰好有4張紅桃的概率是()

A.1B.劣C.±D.』

551010

3.如圖(1),一只圓形平盤被同心圓劃成M,N,S三個區(qū)域，隨機向平盤中撒一把豆子，計算落在M,N,

S三個區(qū)域的豆子數(shù)的比.多次重復這個試驗，發(fā)現(xiàn)落入三個區(qū)域的豆子數(shù)的比顯示出一定的穩(wěn)定性，總在

三個區(qū)域的面積之比附近擺動.如圖(2)將一根筷子放在該盤中A3位置,發(fā)現(xiàn)三個圓弧剛好將A3五等分.我

們把豆子落入三個區(qū)域的概率分別記作尸(M),P(N),P(S),已知尸(S)=；,則尸(M)等于()

4.現(xiàn)有三個正方體形的公正骰子，每個骰子的六個面上分別標有點數(shù)1,2,3,4,5,6.投擲這三個骰子，

則其中兩個骰子的點數(shù)之和恰好等于余下的一個骰子的點數(shù)的概率是()

A.工B.竺C.1D,

3672624

5.同一元素中質子數(shù)相同，中子數(shù)不同的各種原子互為同位素，如;2c與￡c、與;7。.在一次制取co

的實驗中，；2c與;3c的原子個數(shù)比為2：1,與;7。的原子個數(shù)比為1：I,若實驗恰好完全反應生成CO,

則反應生成;;的概率()

6.某市有6名教師志愿到四川地震災區(qū)的甲、乙、丙三個鎮(zhèn)去支教，每人只能去一個鎮(zhèn)，則恰好其中一鎮(zhèn)

去4名，另兩鎮(zhèn)各去1名的概率為（）

A.里B.9C.工D.也

8181243243

7.如圖1所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他

采取了以下辦法:用一個長為8m,寬為5m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機朝長方形

區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（小球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結果），他

將若干次有效試驗的結果繪制成了圖2所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約是（）

圖1

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

8.我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直

角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖，若4=2,b=3,現(xiàn)

隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域內的概率（）.

￡

D.

4

9.小亮有黑、白各10張卡片，分別寫有數(shù)字0?9.把它們像撲克牌那樣洗過后，數(shù)字朝下，排成四行，排

列規(guī)則如下：

①從左至右按從小到大的順序排列：

②黑、白卡片數(shù)字相同時，黑卡片放在左邊.

小亮每行翻開了兩張卡片，如圖所示:

第一行:

□H1DH

第二行：

HBDD0

第三行:

BIDDI

第四行:

■QIDD

其余卡片上數(shù)字小亮讓小明根據排列規(guī)則進行推算，小明發(fā)現(xiàn)有的卡片上數(shù)字可以唯一確定，例如第四行

最后一張白色卡片上數(shù)字只能是有的卡片上的數(shù)字并不能唯一確定，小明對不能唯一確定的卡片上數(shù)

字進行猜測，則小明一次猜對所有數(shù)字的概率是.

10.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代數(shù)學家趙

爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點得到圖2的

“風車”圖案（陰影部分）.若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為9,較短直角邊為5,現(xiàn)隨機向圖2大

正方形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為.

圖1圖2

11.金華創(chuàng)建文明城市，推行垃圾分類.小區(qū)里有可回收、不可回收、有害垃圾和廚余垃圾四種垃圾箱.一

天小林把家里分好類的四袋垃圾拿去投放，他不小心放錯了其中的三個垃圾袋，則小林將四個垃圾袋中的

三個垃圾袋投放錯誤的概率是.

12.若關于x的一元一次不等式組?“一2：之）的解集為*z6,且關于y的分式方程2號+平心=2的

Ia-2x<-5J-11-J

解是正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)。是非負整數(shù)的概率為.

13.如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形EFG”.連結3D交AF、CH

于點V、N.若上平分現(xiàn)隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為.

14.在一ABC中，AB=6,AC=4,AD是BC邊上的中線，記相>=機且/為正整數(shù).則加使關于x的分

式方程*1+4=―二有正整數(shù)解的概率為____.

3-xx-3

15.從-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4這9個數(shù)中任意選一個數(shù)作為機的值，使關于x的分式方程:

工3=3的解是負數(shù)，且使關于x的函數(shù)>=一圖象在每個象限y隨x的增大而增大的概率為—.

16.有三張正面分別標有數(shù)字-1,1,2的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它們背面朝

上，洗勻后從中任意抽取一張，將該卡片正面上的數(shù)字記為a；不放回，再從中任意抽取一張，將該卡片正

'3x-23

___________<XH----

面朝上的數(shù)字記為b,則使關于x的不等式組22的解集中有且只有2個非負整數(shù)的概率

ax>b

為.

17.已知火工。"=1,2,…,2。12）滿足國+固+國+—+包』+色蟲=2000,則使一次函數(shù)

%。2”2011”2012

廣平+4=1,2,…,2012）的圖象經過一、二、四象限的處的概率是.

18.現(xiàn)有張正面分別標有數(shù)字0,1,2,3,4,5的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同.現(xiàn)將它

們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為。，則使得關于x的一元二次方程爐-2犬+晟=0

有實數(shù)根，且關于x的分式方程上蕓+2=4有解的概率為.

x-22-尤

19.“雙減”政策實施后，某校為豐富學生的課余生活，開設了A書法，8繪畫，C舞蹈，。樂器，E武術共

五類興趣班.為了解學生對這五類興趣班的喜愛情況，隨機抽取該校部分學生進行了問卷調查，并將調查

結果整理后繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據統(tǒng)計圖信息回答下列問題.

圖1

(1)本次抽取調查的學生共有______人，機=，〃=，并補全條形統(tǒng)計圖;

(2)估計該校2600名學生中喜愛“樂器”興趣班的人數(shù)約為人;

(3)九(1)班有王紅和李明等五人參加了“樂器”興趣班，在班級聯(lián)歡會上，班主任從他們中隨機抽取兩人上

臺共奏一曲，請用“列表法”或“畫樹狀圖法”，求出王紅和李明至少有一人參與演奏的概率.

20.某公交公司有一棟4層的立體停車場，第一層供車輛進出使用，第二至四層停車.每層的層高為6m,

橫向排列30個車位，每個車位寬為3m,各車位有相應號碼，如：201表示二層第1個車位.第二至四層每

層各有一個升降臺，分別在211,316,421,為便于升降臺垂直升降，升降臺正下方各層對應的車位都留空.每

個升降臺前方有可在軌道上滑行的轉運板(以第三層為例，如圖所示).該系統(tǒng)取車的工作流程如下(以取

停在311的車子為例)；

①轉運板接收指令，從升降臺316前空載滑行至311前；

②轉運板進311,托起車，載車出311；

③轉運板載車滑行至316前；

④轉運板進316,放車，空載出316,停在316前；

⑤升降臺垂直送車至一層，系統(tǒng)完成取車.

停車位停車位升降臺留空停車位

301311316321330

??

轉

?運?

轉運板滑行區(qū)轉運板滑行區(qū)

板

??

如圖停車場第三層平面示意圖，升降臺升與降的速度相同，轉運板空載時的滑行速度為lm/s,載車時的滑

行速度是升降臺升降速度的2倍.

（1）若第四層升降臺送車下降的同時，轉運板接收指令從421前往401取車，升降臺回到第四層40s后轉運

板恰好載著401的車滑行至升降臺前，求轉運板載車時的滑行速度；

（說明：送至一層的車駛離升降臺的時間、轉運板進出車位所用的時間均忽略不計）

（2）在（1）的條件下，若該系統(tǒng)顯示目前第三層沒有車輛停放，現(xiàn)該系統(tǒng)將某輛車隨機停放在第三層的停車

位上，取該車時，升降臺已在316待命，求系統(tǒng)按上述工作流程在1分鐘內完成取該車的概率.

21.某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎.抽獎規(guī)則如下：

1.抽獎方案有以下兩種：

方案A,從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15

元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；

方案8,從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球則獲得獎金10元，

否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中.

2.抽獎條件是：

顧客購買商品的金額每滿100元，可根據方案A抽獎一次：每滿足150元，可根據方案2抽獎一次（例如

某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據方案A抽獎三次或方案8

抽獎兩次或方案A,B各抽獎一次）.

已知某顧客在該商場購買商品的金額為250元.

（1）若該顧客只選擇根據方案A進行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；

（2）以顧客所獲得的獎金的平均值為依據，應采用哪種方式抽獎更合算？并說明理由.

22.如圖，程序員在數(shù)軸上設計了A、8兩個質點，它們分別位于一6和9的位置，現(xiàn)兩點按照下述規(guī)則進

行移動：每次移動的規(guī)則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點數(shù)：

AB

----???------A

左-6------0-----------9右

①若兩次向上面的點數(shù)均為偶數(shù)，則A點向右移動1個單位，B點向左移2個單位；

②若兩次向上面的點數(shù)均為奇數(shù)，則A點向左移動2個單位，8點向左移動5個單位；

③若兩次向上面的點數(shù)為一奇一偶，則A點向右移動5個單位，B點向右移2個單位.

(1)經過第一次移動，求B點移動到4的概率；

(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動中，發(fā)現(xiàn)正方體骰子向上面的點數(shù)均為偶數(shù)或奇數(shù)，設正方

體骰子向上面的點數(shù)均為偶數(shù)的次數(shù)為。，若A點最終的位置對應的數(shù)為b,請用含。的代數(shù)式表示6,并

求當A點落在原點時，求此時8點表示的數(shù)；

(3)從如圖所示的位置開始，經過尤次移動后，若相=3,求無的值.

23.一場數(shù)學游戲在兩個非常聰明的學生甲、乙之間進行，裁判在黑板上寫出正整數(shù)2,3,4,2006,

然后隨意擦去一個數(shù)，接下來由甲、乙兩人輪流擦去其中一個數(shù)(即乙先擦去其中一個數(shù)，然后甲再擦去

一個數(shù)).如此下去，若最后剩下的兩個數(shù)互素，則判甲勝；否則，判乙勝，按照這種游戲規(guī)則，求甲獲勝

的概率(用具體數(shù)字作答).

24.某校開展主題為“防疫常識知多少”的調查活動，抽取了部分學生進行調查，調查問卷設置了A：非常了

解、B：比較了解、C：基本了解、D-.不太了解四個等級，要求每個學生填且只能填其中的一個等級，

采取隨機抽樣的方式，并根據調查結果繪制成如圖所示不完整的頻數(shù)分布表和頻率直方圖，根據以上信息

回答下列問題：

等級頻數(shù)頻率

A200.4

B15b

C100.2

Da0.1

（1）頻數(shù)分布表中a=,b=,將頻數(shù)分布直方圖補充完整;

（2）若該校有學生1000人，請根據抽樣調查結果估算該校“非常了解”和“比較了解”防疫常識的學生共有多

少人？

（3）在“非常了解”防疫常識的學生中，某班有5個學生，其中3男2女，計劃在這5個學生中隨機抽選兩

個加入防疫志愿者團隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個學生中至少有一個女生的概率.

25.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是:齊王有上、中、下三匹馬A，4G，

田忌也有上、中、下三匹馬&,四,62,且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示如下：

Ai>A2>Bl>B2>Cl>C2（注：/>6表示A馬與8馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定:

每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局

比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、

下馬比賽，即借助對陣獲得了整場比賽的勝利，創(chuàng)造了以弱勝強的經典案例.

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

（1）如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？并求其

獲勝的概率；

（2）如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由；若不是，請

列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

26.某超市開展“五一”大酬賓，舉行購物抽獎活動，獎項設置為面值不同的購物卡，分別是：一等獎120

元，二等獎60元，三等獎10元，凡購買滿200元及以上者，每200元可抽獎一次（不足200元一概不計

入，每人當天購物最多可抽5次），每次抽獎過程如下：在一個不透明的袋子里裝有三個小球，球面上分別

標注數(shù)字“1”，“2”，“3”，它們除數(shù)字不同外沒有任何區(qū)別.抽獎顧客先隨機摸出一球，記下數(shù)字后，將小

球放回袋中充分攪勻，再隨機摸出一球，若兩球標注的數(shù)字之和為6,則獲一等獎，數(shù)字之和為5,則獲二

等獎，數(shù)字之和為4,則獲三等獎，其余均不獲獎.

（1）試利用樹狀圖或列表法顧客每抽獎一次分別獲得一等獎、二等獎、三等獎的概率；

（2）若此次超市大酬賓中，超市業(yè)績調查部分隨機抽查了100位顧客的消費金額并繪制成條形統(tǒng)計圖如下

（金額折算為200元的整數(shù)倍，其中扣除200元的整數(shù)倍后不足200元的部分全部去掉不計入）：

不同消費金額顧客人數(shù)條形統(tǒng)計圖

①求上述樣本數(shù)據中每位顧客消費金額的平均數(shù);

②據“五一節(jié)”當天統(tǒng)計，共有2500位顧客參與該超市的購物抽獎活動，已知該超市每銷售100元，平均可

獲利20元，請根據上述樣本數(shù)據分析，扣除兌現(xiàn)的購物卡金融外，估計這一天超市共盈利大約為多少元？

27.在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，男性、女性日常生活中幾乎全部領

域都支持手機支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普素合作，調查了

騰訊服務的6000名用戶（男性4000人，女性2000人），從中隨機抽取了60名（女性20人），統(tǒng)計他們出門

隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元），規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非

手機支付族”

（1）①：根據已知條件，將下列橫線表格部分補充完整（其中b=30,c=8）

手機支付非手機支付合計

男ab

女Cd

合計60

②：用樣本估計總體，由①可得，若從騰訊服務的女性用戶中隨機抽取1位，這1位女性用戶是“手機支付

族”的概率是多少？

（2）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案、

方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元：

方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎一次，抽獎規(guī)則如下：從裝有4個小球（其中2個紅球2個白球，

它們除顏色外完全相同）的盒子中隨機摸出2個小球（逐個放回后抽?。裘?個紅球則打9折，若摸到

2個紅球則打&5折，若未摸到紅球按原價付款.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從

實際付款的平均金額的角度分析，選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算.

28.如圖是某商場第二季度某品牌運動服裝的S號，M號,L號,XL號,皿號銷售情況的扇形統(tǒng)計圖和

條形統(tǒng)計圖.

根據圖中信息解答下列問題：

（1）求XL號，XXL號運動服裝銷量的百分比；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）按照M號，XL號運動服裝的銷量比，從M號、XL號運動服裝中分別取出x件、y件，若再取2件XL

號運動服裝，將它們放在一起，現(xiàn)從這（尤+y+2）件運動服裝中，隨機取出1件，取得"號運動服裝的概率

為：，求x,y的值.

29.寒假居家學習期間，小明在玩一個跳棋游戲，游戲規(guī)則如下：

①棋盤為正五邊形一跳棋棋子從點A開始按照逆時針方向起跳.從點A跳到點8為1步.從點B跳

到點C為1步，以此類推.每次跳的步數(shù)用擲正方體骰子所得點數(shù)決定：

②如果第一次擲骰子所得點數(shù)使得棋子恰好跳回到點A,就算完成了一次操作：

③如果第一次擲骰子所得點數(shù)不能使得棋子跳回到點A,就再擲一次，棋子按照兩次點數(shù)之和跳到相應位

置，不論是否回到點A.都算完成了一次操作.

（1）小明只擲一次骰子，就使棋子跳回到A點的概率為一.

（2）求小明經一次操作，使得棋子跳回到A點的概率，（請用“樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）

30.某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶

以每瓶2元的價格當天全部降價處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天本地最高氣溫有關.為了

制定今年六月份的訂購計劃，計劃部對去年六月份每天的最高氣溫x（℃）及當天售出（不含降價處理）的酸

奶瓶數(shù)），等數(shù)據統(tǒng)計如下：

X(℃)153<2020sx<2525sx<3030<x<35

天數(shù)610113

y（瓶）270330360420

以最高氣溫位于各范圍的頻率代替最高氣溫位于該范圍的概率.

（1）試估計今年六月份每天售出（不含降價處理）的酸奶瓶數(shù)不高于360瓶的概率；

（2）根據供貨方的要求，今年這種酸奶每天的進貨量必須為100的整數(shù)倍.問今年六月份這種酸奶一天的進

貨量為多少時，平均每天銷售這種酸奶的利潤最大？

31.九年級（1）班學生在完成課題學習“體質健康測試中的數(shù)據分析”后，利用課外活動時間積極參加體育

鍛煉，每位同學從籃球、跳繩、立定跳遠、長跑、鉛球中選一項進行訓練，訓練后都進行了測試.現(xiàn)將項

目選擇情況及訓練后籃球定時定點投籃測試成績整理后作出如下統(tǒng)計圖.請你根據上面提供的信息回答下

列問題：

（1）該班共有學生_____人，訓練后籃球定時定點投籃平均每個人的進球數(shù)是.

（2）老師決定從選擇鉛球訓練的3名男生和1名女生中任選兩名學生先進行測試，請用列表或畫樹形圖的方

法求恰好選中兩名男生的概率.

項目選擇人數(shù)情況統(tǒng)計圖

32.某風景區(qū)內的公路如圖1所示，景區(qū)內有免費的班車，從入口處出發(fā)，沿該公路開往草甸，途中?？?/p>

塔林（上下車時間忽略不計），第一班車上午8點發(fā)車，以后每隔10分鐘有一班車從入口處發(fā)車，小聰周

末到該風景區(qū)游玩，上午7：40到達入口處，因還沒到班車發(fā)車時間，于是從景區(qū)入口處出發(fā)，沿該公路

步行25分鐘后到達塔林，離入口處的路程》（米）與時間x（分）的函數(shù)關系如圖2所示.

（1）求第一班車從入口處到達塔林的時間.

（2）小聰在塔林游玩40分鐘后，想坐班車到草甸，則小聰最早能夠坐上第幾班車？如果他坐這班車到草

甸，比他在塔林游玩結束后立即步行到草甸提早了幾分鐘？（假設每一班車速度均相同，小聰步行速度不

變）.

（3）若小聰在8：30至8：50之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不

超過3分鐘的概率是多少？

入口

圖1

圖2

33.我們來定義下面兩種數(shù)：

（一）平方和數(shù)：若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分拆成最左邊、中間、最右邊三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=

（最左邊數(shù)）2+（最右邊數(shù)）2,我們就稱該整數(shù)為平方和數(shù).

例如：對于整數(shù)251.它中間的數(shù)字是5,最左邊數(shù)是2,最右邊數(shù)是1.

22+產=5,,251是一個平方和數(shù)

又例如：對于整數(shù)3254,它的中間數(shù)是25,最左邊數(shù)是3,最右邊數(shù)是4,

3、42=25,3254是一個平方和數(shù).當然152和4253這兩個數(shù)也是平方和數(shù)；

（二）雙倍積數(shù)：若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分拆成最左邊、中間、最右邊三個數(shù)后滿足：中間數(shù)

=2x最左邊數(shù)x最右邊數(shù)，我們就稱該整數(shù)為雙倍積數(shù).

例如：對于整數(shù)163,它的中間數(shù)是6,最左邊數(shù)是1,最右邊數(shù)是3,

2xlx3=6,.-.163是一個雙倍積數(shù)，

又例如：對于整數(shù)3305,它的中間數(shù)是30,最左邊數(shù)是3,最右邊數(shù)是5,

2x3x5=30,,3305是一個雙倍積數(shù)，當然361和5303這兩個數(shù)也是雙倍積數(shù).

注意：在下面的問題中，我們統(tǒng)一用字母。表示一個整數(shù)分拆出來的最左邊數(shù)，用字母匕表示該整數(shù)分拆出

來的最右邊數(shù)，請根據上述定義完成下面問題：

（1）①若一個三位整數(shù)為平方和數(shù)，且十位數(shù)為4,則該三位數(shù)為；

②若一個三位整數(shù)為雙倍積數(shù)，且十位數(shù)字為6,則該三位數(shù)為；

③若一個整數(shù)既為平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，貝|。乃應滿足的數(shù)量關系為；