概念常用結(jié)論函數(shù)的奇偶性判斷一看定義域二看等式復(fù)習引入函數(shù)的奇偶性???應(yīng)用蘇教版同步教材名師課件學(xué)習目標學(xué)習目標核心素養(yǎng)理解函數(shù)圖象的對稱性直觀想象掌握函數(shù)的奇偶性的簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象課程目標1.學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì);2.能夠根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決相關(guān)問題;數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)據(jù)分析:利用圖象求奇偶函數(shù);2.數(shù)學(xué)建模:在具體問題情境中,運用數(shù)形結(jié)合思想,利用奇偶性解決實際問題.學(xué)習目標1.奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱.反過來,若一個函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱,那么這個函數(shù)是奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱.反過來,若一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱,那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

奇、偶函數(shù)的圖像與性質(zhì)探究新知2.重要性質(zhì)(1)奇函數(shù)在區(qū)間[a,b]和[?b,?a](b>a>0)上有相同的單調(diào)性.(2)偶函數(shù)在區(qū)間[a,b]和[?b,?a](b>a>0)上有相反的單調(diào)性.探究新知奇同偶異奇、偶函數(shù)的圖像與性質(zhì)奇偶性單調(diào)性“整體”

“局部”函數(shù)值隨自變量的變化趨勢函數(shù)圖象在整個定義域上的對稱性探究新知函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的作用判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)偶函數(shù)的圖像不一定過原點,奇函數(shù)的圖像一定過原點. (

)(2)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.(

)×若奇函數(shù)的定義域含有元素0,則圖像一定過原點,否則不過原點.√∵y=f(x+a)是偶函數(shù),∴y=f(x+a)的圖像關(guān)于y軸對稱,∴y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱.探究新知判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)探究新知(3)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x(1+x),則f(?1)=?2.(

)√f(1)=1×2=2,又f(x)為奇函數(shù),∴f(?1)=?f(1)=?2.例1.(1)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=?x+1,則當x<0時,f(x)的解析式為f(x)=

.

設(shè)x<0,則?x>0,所以f(?x)=?(?x)+1=x+1.又因為函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),所以f(?x)=?f(x)=x+1,所以當x<0時,f(x)=?x?1.?x?1典例講解解析例1.(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)+g(x)=x2+x?2,求f(x),g(x)的解析式.因為f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),所以f(?x)=f(x),g(?x)=?g(x).由f(x)+g(x)=x2+x?2,①得f(?x)+g(?x)=(?x)2?x?2,即f(x)?g(x)=x2?x?2.②由①②得f(x)=x2?2,g(x)=x.典例講解解析首先設(shè)出所求區(qū)間上的自變量,利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的特點,把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上,代入已知的解析式,然后利用函數(shù)的奇偶性求解即可.方法歸納利用奇偶性求解析式的方法1.已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[?5,5],且在區(qū)間[0,5]上的圖像如圖所示.(1)畫出f(x)在區(qū)間[?5,0]上的圖像;(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以y=f(x)在[?5,5]上的圖像關(guān)于原點對稱.由y=f(x)在[0,5]上的圖像,可知它在[?5,0]上的圖像如圖所示.(2)由圖像知,使f(x)<0的x的取值集合為(?2,0)∪(2,5).變式訓(xùn)練解析例2.奇函數(shù)f(x)是定義在(?1,1)上的減函數(shù),若f(m?1)+f(3?2m)<0,求實數(shù)m的取值范圍.原不等式可化為f(m?1)<?f(3?2m).因為f(x)是奇函數(shù),所以f(m?1)<f(2m?3),因為f(x)是減函數(shù),所以m?1>2m?3,解得m<2.又f(x)的定義域為(?1,1),所以?1<m?1<1且?1<3?2m<1,即0<m<2且1<m<2,解得1<m<2.綜上,實數(shù)m的取值范圍是(1,2).典例講解解析要注意兩點:(1)奇函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在定義域內(nèi)的關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反.(2)確定單調(diào)區(qū)間,依據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式,在這個區(qū)間上解不等式.方法歸納利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式2.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),則下列各式成立的是(

)A.f(?2)>f(0)>f(1)B.f(?2)>f(?1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(?2)D.f(1)>f(?2)>f(0)因為f(x)是R上的偶函數(shù),所以f(?2)=f(2),f(?1)=f(1).又2>1>0,f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),所以f(2)>f(1)>f(0),即f(?2)>f(1)>f(0),f(?2)>f(?1)>f(0).故選B.B變式訓(xùn)練解析如果我們知道一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),根據(jù)它的圖象關(guān)于原點對稱或關(guān)于??軸對稱的特征,只要把這個函數(shù)的定義域分成關(guān)于原點對稱的兩部分,由函數(shù)在其中一部分上的圖象和性質(zhì),即可推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì).而要研究其中一部分圖象的情況,就要研究其函數(shù)值的變化,也就是研究其單調(diào)性.把這兩種性質(zhì)結(jié)合在一起才能更好地了解函數(shù)的特征.素養(yǎng)提煉1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x?4)=?f(x),且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,則(

)A.f(?25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(?25)C.f(11)<f(80)<f(?25)D.f(?25)<f(80)<f(11)D當堂練習解析

因為f(x)滿足f(x?4)=?f(x),所以f(x?8)=f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(?25)=f(?1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x?4)=?f(x),得f(11)=f(3)=?f(?1)=f(1).因為f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[?2,2]上單調(diào)遞增,所以f(?1)<f(0)<f(1),即f(?25)<f(80)<f(11).2.已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=?1,f(3)=1,則滿足?1≤f(x?2)≤1的x的取值范圍是 (

)A.[3,5] B.[?1,1]C.[1,3] D.[?1,1]∪[3,5]由偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,可得f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減.又f(1)=?1,f(3)=1,則f(?1)=?1,f(?3)=1.由?1≤f(x?2)≤1,得1≤|x?2|≤3,即1≤x?2≤3或?3≤x?2≤?1,解得3≤x≤5或?1≤x≤1,即所求x的取值范圍為[?1,1]∪[3,5],故選D.D當堂練習解析3.若y=f(x)(x∈R)是奇函數(shù),則下列坐標表示的點一定在y=f(x)的圖像上的是(

)A.(a,?f(a)) B.(?a,?f(a))C.(?a,?f(?a)) D.(a,f(?a))B∵f(x)為奇函數(shù),∴f(?a)=?f(a),∴點(?a,?f(a))一定在函數(shù)y=f(x)的圖像上.當堂練習解析4.已知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=x2?2x+3,則當x<0時,f(x)的解析式是(

)A.f(x)=?x2+2x?3 B.f(x)=?x2?2x?3C.f(x)=x2?2x+3 D.f(x)=?x2?2x+3B若x<0,則?x>0,因為當x>0時,f(x)=x2?2x+3,所以f(?x)=x2+2x+3.因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(?x)=x2+2x+3=?f(x),所以f(x)=?x2?2x?3,即當x<0時,f(x)=?x2?2x?3.故選B.當堂練習解析

C∵f(x)是偶函數(shù),∴f(?π)=f(π),f(?4)=f(4).∵3<π<4,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(?π)<f(?4).當堂練習解析6.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[?7,?3]上是減函數(shù)且最大值為5,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是(

)A.增函數(shù)且最小值為?5B.