專題33將軍飲馬模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】兩點一線

1.如圖，在直線/兩側(cè)各有一個定點，分別是點A、B,怎樣在直線/上找到一點P,使得PA+PB的值最?。?/p>

A

?B

思路：由“兩點間線段最短”可得當(dāng)A、P、B三點共線時，PA+PB的值最小，即為AB的長度.

構(gòu)圖：連接AB,AB與/的交點即為點P,如圖所示：

2.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個定點，怎樣在直線/上找到一點P,使得PA+PB的值最小？

A

構(gòu)圖：作點A關(guān)于/的對稱點A，，連接A，B,A，B與直線/的交點即為點P,如圖所示:

B

A

T

T

\_

+

A'

3.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個定點，怎樣在直線/上找到一點P,使得|P4—的值最大？

?B

A

構(gòu)圖：連接AB并延長與/的交點即為點P,如圖所示:

P

4.如圖，在直線/兩側(cè)各有一個定點，分別是點A、B,怎樣在直線/上找到一點P,使得|H4—的值

最大?

A

B?

構(gòu)圖：作點B關(guān)于直線/的對稱點連接AB，并延長與/的交點即為點P,如圖所示:

A

Bi

5.如圖，在直線/同側(cè)有A、B兩個定點，怎樣在直線/上找到一點P,使得|P4—的值最小？

A

B?

構(gòu)圖：連接AB,作AB的垂直平分線與直線/交于點P,此時為0,如圖所示:

【模型2】一定兩動

1.如圖，點P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點C,在OB上找一點D,使4PCD的周長最?。?/p>

構(gòu)圖：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點P、P”,連接PT”,交OA、OB于點C、D,此時4PCD的周長

最小，PP”即為4PCD的周長最小值，如圖所示：

A

2.如圖，點P在NAOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點C,在0B上找一點D,使PD+CD的值最小？

構(gòu)圖：作點P關(guān)于0B的對稱點P,過點P作PCLOA交0B于點D,交0A于點C,此時PD+CD的值

最小，PC即為PD+CD的值最小.

P'

3.如圖，點P在/AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、0B上分別取點C、D,使得APCD的周長最??？

A

構(gòu)圖：分別作點P、Q關(guān)于OA、OB的對稱點P，、Q\連接P'Q'分別交OA、OB于點C、D,此時4PCD

的周長最小值為PQ+P'Q',如圖所示：

【模型3】兩點兩線

在直線m、n上分別找兩點P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.

l.A、B兩點都在直線的外側(cè)

2.一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)

A

m

A?

*B

--------------------------------------------n

3.兩個點都在內(nèi)側(cè)

Ar

A?

|\/

?B.?b"

i/v

--------------------------------------n*

B'

【例1】如圖，正方形4BC。的邊長為4,點M在。C上,且?！?1,N是NC上一動點，則DgMV的最

小值為（）

工j

A.4B.4&C.275D.5

【例2】如圖，。為矩形45CZ）對角線4C,5。的交點，AB=8,M,N是直線5C上的動點，且MN=2,則

OM+ON的最小值是.

【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸的負(fù)半軸、了軸的正半軸交于/、2兩點，其中

。4=2,S/3c=12,點。在x軸的正半軸上，MOC=OB.

(1)求直線43的解析式；

(2)將直線向下平移6個單位長度得到直線/”直線//與y軸交于點E,與直線C5交于點。，過點￡作

y軸的垂線以若點尸為y軸上一個動點，0為直線為上一個動點，求BD+PQ+。。的最小值；

(3)若點“為直線上的一點，在了軸上是否存在點N,使以點/、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊

形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

一、單選題

1.如圖，點M是菱形4BCD的邊BC的中點，尸為對角線5D上的動點，若48=2,乙4=120。，則尸M+

PC的最小值為()

AD

P.

BM

A.2B.V3C.V2D.1

2.已知線段N2及直線/,在直線/上確定一點P,使尸N+P3最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件

3.如圖1,在菱形/BCD中，AB=6,48/0=120。，點E是8c邊上的一動點，點尸是對角線8。上一動

點，設(shè)PD的長度為x,PE與尸C的長度和為力圖2是/關(guān)于x的函數(shù)圖象，其中〃（a,b）是圖象上的

最低點，則a+b的值為（）

4.如圖，等邊A42C的邊長為6,40是2C邊上的中線，〃是40上的動點，E是邊/C上一點，若/￡=

2,則EM+Q0的最小值為（）

A.V26

5.如圖，正方形48co的邊長是4,點E是。C上一個點，且DE=1,尸點在NC上移動，則PE+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5

6.如圖，在PA48c中，ZC=9O°,AC=6,BC=8,點尸在邊/C上，并且CF=2,點￡為邊上的動

點，將△CEF沿直線即翻折，點C落在點P處，則點尸到邊48距離的最小值是（）

A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不對

7.如圖，矩形/BCD中，奶=4,3C=6,點尸是矩形/BCD內(nèi)一動點，且則尸C+尸。的最

小值是（）

A.4GB.475

C.2萬D.2729

8.如圖，在△ZSC中，AB=2,Z^5C=60°,乙4cB=45。，。是8c的中點，直線/經(jīng)過點D,AEH,

BFLI,垂足分別為￡,F,則NE+AF的最大值為（）

A.-^6B.2V2

二、填空題

9.在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、N4的打印紙等，其實這些矩形

的長與寬之比都為血：1，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形中，如圖所示,

點0在DC上，且若G為邊上一動點，當(dāng)△/G。的周長最小時，則穿的值為

GB

10.如圖，點P是乙4。5內(nèi)任意一點，0P=3cm,點初和點N分別是射線CM和射線。上的動點,

N/OB=30。，則APAW周長的最小值是

11.如圖，菱形/BCD的邊長為6,445c=120。，M是2c邊的一個三等分點，P是對角線NC上的動點,

當(dāng)PB+PM的值最小時，的長是

D

12.如圖，等邊AABC的邊長為4,點E是NC邊的中點，點P是AABC的中線40上的動點，則EP+CP的

最小值是.

13.如圖，等邊三角形/8C的邊2C上的高為6,是8C邊上的中線，M是線段上的-一個動點，E

是/C中點，則EM+CM的最小值為.

14.如圖，正方形/BCD的邊長為8,點M在。C上且ZW=2,N是NC上的一動點，則DN+MV的最小

值是.

三、解答題

15.如圖，在一條東西向的馬路上有廣場/和醫(yī)院C,在各自正北方向上分別有汽車站3和汽車站。，己

知，C=14ktn,^5=4km,CD=8km,市政府打算在馬路NC段之間建造一個加油站尸.

(1)若要使得加油站尸到兩汽車站的距離之和最小，請用尺規(guī)作圖在圖1中作出加油站P的位置，并直接

寫出此時的最小值.(作圖請保留痕跡，結(jié)果可以保留根號)

(2)若要使得加油站到兩汽車站的距離相等，請用尺規(guī)作圖在圖2中作出加油站P的位置，并求出此時

PA的距離.(作圖請保留痕跡)

圖1圖2

16.如圖，一個牧童在小河的南4華里(長度單位)的/處牧馬，而他正位于他的小屋8的西8華里北7

華里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少?

小河

北

牧童工?

_Lt

h.

8小屋

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,已知點火2,5),8(2,1),C(6,l).

(1)畫出A48C關(guān)于了軸對稱的△43?；

(2)在x軸上找一點尸，使尸B+PC的值最小(保留作圖痕跡)，并寫出點尸的坐標(biāo).

18.如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,點B,C都是格點.

(1)畫出A42C關(guān)于直線MN對稱的△44G.

(2)若8為坐標(biāo)原點，請寫出4、B”。的坐標(biāo)，并直接寫出44的長度..

(3)如圖2,A,C是直線同側(cè)固定的點，。是直線九W上的一個動點，在直線上畫出點D,使AD+ZX?

19.如圖，一次函數(shù)了=h-6過點/(-2,-2),與了軸交于點2.

(1)求一次函數(shù)表達(dá)式及點B坐標(biāo);

(2)在x軸上找一點C,連接8C,AC.當(dāng)8C+/C最小時，

①請直接寫出點C的坐標(biāo)為;

②請直接寫出直線3C的函數(shù)表達(dá)式為；

③在坐標(biāo)軸上找點。，連接2D,CD,使請直接寫出點。的坐標(biāo)為

20.教材呈現(xiàn)：下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第111頁的部分內(nèi)容.

如圖1925,在菱形.438中，NBAD=

2NR試求出N3的大小，并說明A4SC是等邊B

三角形.

圖③

圖①圖②

(1)問題解決：請結(jié)合圖①，寫出例1的完整解答過程.

(2)問題探究：在菱形4BCD中，對角線/C、AD相交于點O,48=4,乙BAD=2乙4BC.過點D作DE//AC

交BC的延長線于點￡.如圖②，連結(jié)?！?/p>