第17講解直角三角形（精講）

孽對(duì)日籍金

1.銳角三角函數(shù)（sinA,cosA,tanA）解直角三角形

2.30°,45°,60°角的三角函數(shù)值

3.使用參考數(shù)據(jù)由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對(duì)應(yīng)銳角

4.用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題

匡?考支導(dǎo)就

第17講解直角三角形（精講）........................................................1

考點(diǎn)1:銳角三角函數(shù)的計(jì)算.......................................................2

考點(diǎn)2：解直角三角形..............................................................5

考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用......................................................10

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..............................................................17

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固.........................................................19

考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算

①銳角三角函數(shù)：

4的對(duì)邊_a

正弦：sinA-

斜邊c

J-A的鄰邊_b

余弦:cosA

斜邊c

J-A的對(duì)邊a

正切：tcikiA.

乙A的鄰邊b

②特殊角的三角函數(shù)值

三角彘、30°45°60°

]_

sinA

2~T2

V3j_

cosA旦

222

V3

tanA1V3

3

，?…N學(xué)春筆記

例41卷新

【例題精析1】｛三角函數(shù)的定義★｝已知RtAABC中，ZC=90°,AC=2,8C=3,那么下列各式中

正確的是（)

222

A.sinZ=2B.tanZ=一C.tanB=—D.cosB=—

3333

【例題精析2】｛三角函數(shù)的定義★｝在口1必8（3中，ZC=90°,AC:BC=1:2.,則NN的正弦值為（

)

AB.拽

TC.2

55

【例題精析3】｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：Zsin。45。+tanGO-tanBO。-<20560。=

方對(duì)支羽珠

4

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛三角函數(shù)的定義★｝如圖，在RtAABC中，ZC=90°,sin^=-,8c=8,則

AB=

【對(duì)點(diǎn)精練21｛三角函數(shù)的定義★｝在區(qū)14人3(2中，ZC=90°,BC=6,AB=10,貝!jcos/=

【對(duì)點(diǎn)精練31｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝計(jì)算：sin245°+2cos230°=

【對(duì)點(diǎn)精練41｛三角函數(shù)的計(jì)算★｝在AA8C中，(2cos^-V2)2+|l-tanS|=0,則AABC一定

是:

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?瀘州）在銳角A42c中，NA,ZB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,有以下結(jié)

論：，一="一=—L=2R（其中及為AA8C的外接圓半徑）成立.在AA8C中，若乙4=75。，

sinAsinBsinC

48=45。，c=4,則AA8C的外接圓面積為（）

A16萬c64%

A.-----B.-----C.167rD.64萬

33

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2020?桂林）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5f則cosZ的值

是.

圖a敘找理

考點(diǎn)2：解直角三角形

①解直角三角形的概念：

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角,由直角三角形中除直角外的已知元

素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形.

②解直角三角形的常用關(guān)系：

(1)三邊之間的關(guān)系：。2+62=02；

(2)銳角之間的關(guān)系：乙4+4=90。；

、、、、Qb〃

(3)邊角之間的關(guān)系：sinA==cosB=—,cosA=sinB=—tanA=—.

ccfb

打工學(xué)有筆記

a例籟卷幫

【例題精析1】｛解直角三角形玄｝如圖，在AA8C中，AB=AC=10,3c=12,點(diǎn)。為3c的中點(diǎn),

?！阓148于點(diǎn)后,則tanNBAE的值等于（)

BcD

5-i-1-1

【例題精析2】｛解直角三角形玄｝如圖,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝Isin44cB的值為（

)

A.3BC.-----

-I10。?嚕

【例題精析3】｛解直角三角形玄｝如圖,在四邊形A8CD中，/B=/D=90°,AB=3,BC=2,

)

6

A.2BD.

-I5

【例題精析4】｛解直角三角形十｝（2021?內(nèi)江）已知，在AA8C中,4=45°,AB=4A/2,BC=5,

則NABC的面積為

【例題精析5】｛解直角三角形玄｝如圖，A45C中，/ACB=90。，/C=,點(diǎn)。、點(diǎn)E分別在

AB.ACh,連接CD、ED,ED=CD,tanZADE=-,BD=亞,貝!)/8=

3

對(duì)童利依

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛解直角三角形玄｝如圖，A45c的頂點(diǎn)/,B,C都在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)

上，BD,4c于點(diǎn)D,則tan/340的值為.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛解直角三角形玄｝如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線。4與x軸正半軸的夾角為

a,如果CM=逐，tana=2,那么點(diǎn)/的坐標(biāo)是.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛解直角三角形★｝在入43。中，ZACB<90°,/5=13,AC=4A/10,tanAABC=—,

則BC的長(zhǎng)為.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛解直角三角形★｝在AABC中，AD是A42c的高線，tanZC4Z)=-,AB=5,

3

AD=3,則BC長(zhǎng)為.

■修兵4疆

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?黑龍江）如圖，在AABC中，N/C8=90。，點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，連接CZ）,

7AC

若AB=2BD,tanZBCZ>=-,則一的值為（）

3BC

22

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2021?宜賓）如圖，在A4BC中，點(diǎn)。是角平分線N。、的交點(diǎn)，^AB=AC=10,

BC=12,則tanNOBD的值是（）

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3】（2021?廣東）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=3,乙43c的平分線交

/C于點(diǎn)D,CD=1,則。。的直徑為（）

A.V3B.2百C.1D.2

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典4]（2021?宜昌）如圖，A43C的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，貝UcosNNBC的值為（）

V2

R

D.--------C.-D.平

,V23

;孑、如鑰做理

考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用

仰角'俯角'坡度、坡角和方向角：

（1）仰'俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角.（如圖①）

（2）坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母，表示.坡角：坡面與水平面

的夾角叫做坡角，用a表示，則有，=fa〃a.（如圖②）

（3）方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)O作一條水平線（向右為東向）和一條鉛垂線（向上為北向），則從點(diǎn)。出發(fā)

的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.（如圖③）

.?，旦學(xué)硝筆記

-Qj州做卷新

【例題精析1】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，太陽光線與地面成80。角，窗子/8=2米，要在窗子

外面上方0.2米的點(diǎn)D處安裝水平遮陽板。C,使光線不能直接射入室內(nèi)，則遮陽板。C的長(zhǎng)度至少是

()

222

A.---------米B.2sin80。米C.—--米D.2.2cos80。米

tan80°tan80°

【例題精析2】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”

就是利用圓內(nèi)接正多邊形無限逼近圓來確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率萬。3.14.劉徽從正六邊形開始

分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形…割的越細(xì)，圓的內(nèi)接

正多邊形就越接近圓.設(shè)圓的半徑為R,圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)％=6R,計(jì)算萬名莊=3.下面計(jì)算

27?

圓內(nèi)接正十二邊形的周長(zhǎng)正確的是()

A.pn=247?sin30°B.pn=247?cos30°

C.pn=247?sin15°D.pn=247?cos15°

【例題精析3】｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖大壩的橫斷面，斜坡48的坡比i=l:2,背水坡CO的

坡比i=1:1,若坡面。的長(zhǎng)度為6亞米，則斜坡的長(zhǎng)度為米.

i=l:2

【例題精析4】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿

的高度.如圖，某一時(shí)刻，旗桿N5的影子一部分落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)3C為6米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD

為4米，ABVBC,同一時(shí)刻，光線與旗桿的夾角為37。，斜坡的坡角為30。，旗桿的高度48約為

米.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75,41al.73,精確到0.01米）

FEN

【例題精析5】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝（2021?阜新）如圖，甲樓高21機(jī)，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋?/p>

是45。，看乙樓底的俯角是30。，則乙樓高度約為加（結(jié)果精確到『1.7）.

□

□

□

□

□

□□

□□

【例題精析6】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房⑺的高度，在

水平地面N處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房C。頂部點(diǎn)。的仰角為45。，向前走20米到達(dá)4處，測(cè)得點(diǎn)。的仰

角為67.5。，已知測(cè)傾器N2的高度為1.6米，則樓房C。的高度為米.（保留根號(hào)）

【例題精析7】｛解直角三角形的應(yīng)用玄｝如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60。方向，距離燈塔

60海里的小島/出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東45。方向上的8處，這

時(shí)輪船3與小島/的距離約是—海里.（結(jié)果保留整數(shù)，1.732）

【例題精析8】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝如圖，在東西方向的海岸線上有4,8兩個(gè)港口，甲貨船從/

港沿北偏東60。的方向以4海里/小時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從3港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇

在點(diǎn)尸處，則乙貨船每小時(shí)航行海里.（精確到0.1機(jī)，參考數(shù)據(jù)收名1.414）

玄對(duì)童利掠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝小李想測(cè)量一棵樹的高度，假設(shè)樹是豎直生長(zhǎng)的，用圖

中線段N8表示，小李站在C點(diǎn)測(cè)得N3C/=45。，小李從C點(diǎn)走4米到達(dá)了斜坡的底端。點(diǎn)，并

測(cè)得/CZ>￡=150。，從。點(diǎn)上斜坡走了8米到達(dá)￡點(diǎn)，測(cè)得ZAED=60。，B,C,。在同一水平線

上，/、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，則大樹48的高度約為米.(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)

據(jù)：V2?1.41,V3-1.73)

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛解直角三角形的應(yīng)用★★｝如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面CD和地

面3c上，量得CD=12米，2c=20米，CD的坡度為，=1:2收；且此時(shí)測(cè)得1米桿在地面上的影長(zhǎng)

為2米，則電線桿的高度為一米.

A

BC

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人

越來越多.為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造.如圖2所示，改

造前的斜坡々=200米，坡度為1:6；將斜坡的高度/E降低/C=20米后，斜坡A8改造為斜坡

CD,其坡度為1:4.則斜坡CD的長(zhǎng)為二.(結(jié)果保留根號(hào))

圖1圖2

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛解直角三角形的應(yīng)用***｝如圖1,這是一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面

裝進(jìn)汽車貨箱的立體示意圖，圖2是它的平面示意圖.已知汽車貨箱高度BG=2m,貨箱底面距地面

的高度昉r=0.6機(jī)，坡面與地面的夾角=木箱的長(zhǎng)(FC)為2相，高(EF)為1.6m,寬小于汽

車貨箱的寬度.已知sina=三，木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)N重合，則木箱底部懸空部分8尸的長(zhǎng)為

5

m,木箱上部頂點(diǎn)E到汽車貨箱頂部NG的距離為m.

N

汽車貨箱用

Hd?

圖2

【對(duì)點(diǎn)精練5】｛解直角三角形的應(yīng)用*｝某市為了加快5G網(wǎng)格信號(hào)覆蓋，在市區(qū)附近小山頂架設(shè)信號(hào)

發(fā)射塔，如圖所示.小軍為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點(diǎn)/測(cè)得發(fā)射塔頂端尸點(diǎn)的仰角是

45°,向前走60米到達(dá)3點(diǎn)測(cè)得尸點(diǎn)的仰角是60。，測(cè)得發(fā)射塔底部。點(diǎn)的仰角是30。，則米

信號(hào)發(fā)射塔尸。的高度為一米.（結(jié)果精確到01米，V3=1,732）

【對(duì)點(diǎn)精練6】｛解直角三角形的應(yīng)用玄｝如圖，一艘船由N港沿北偏東65。方向航行30&加至3港,

然后再沿北偏西40。方向航行至C港，C港在/港北偏東20。方向，則4,C兩港之間的距離為

【對(duì)點(diǎn)精練7】｛解直角三角形的應(yīng)用十｝（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這

種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示,底座為AA8C,點(diǎn)2、C、。在同一條直線上，測(cè)得N/C3=90。,

AABC=60°,AB=32cm,NBDE=75°,其中一段支撐桿CD=84cw,另一段支撐桿DE=70cm.求

支撐桿上的點(diǎn)E到水平地面的距離斯是多少？（用四舍五入法對(duì)結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin15°?0.26,

cosl5°?0.97,tanl5°?0.27,73?1.732)

E

D

匕一

F

【對(duì)點(diǎn)精練8】｛解直角三角形的應(yīng)用十｝周末，甲乙兩人相約去附近的山頂C處寫生.甲從小山的正

東方向4處出發(fā)，乙從小山正西方向的3處出發(fā).已知工處的海拔高度為18米，3處的海拔高度比工

處高30米，且工、3兩地的水平距離為1048米.山坡/C的坡角為32。，山坡8c的坡度問:

12

（1）小山的海拔高度CE是多少米?

（2）甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin32°?—,cos32°?—,tan32°?-

13658

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?呼和浩特）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4,剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求

出此正八邊形的外接圓直徑d,根據(jù)我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形

的周長(zhǎng)近似代替其外接圓周長(zhǎng)，便可估計(jì)4的值，下面d及4的值都正確的是（）

A.d-、后,萬。8sin22.5°

sin22.5°

B.d=—,7i?4sin22.5°

sin22.5°

C.d=*收~~—,"q8sin22.5°

sin22.5°

D.d=—,乃。4sin22.5°

sin22.5°

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2021?荊州）如圖1是一臺(tái)手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB,可分別繞點(diǎn)

B轉(zhuǎn)動(dòng)，測(cè)量知BC=8cm,AB=16cm.當(dāng)45,BC轉(zhuǎn)動(dòng)至U/BAE=60°，/ABC=50。時(shí)，點(diǎn)C至！JAE

的距離為c冽,（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°?0.94,6BL73）

圖1圖2

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

的對(duì)邊

正弦：sinA=

斜邊一c

=乙4的鋁邊

余弦：cosA:

銳角三角函數(shù)斜邊c

二NA的對(duì)邊=aC--------J------------

正切:IcuiA-

乙4的鄰邊b

30°45。60°

。銳角三角函數(shù)的計(jì)算

1&道

sinA

222

三角函數(shù)特殊值S1

222

第17講：解直角三角形tanA當(dāng)i16

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，

。解直角三角形概念由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形

仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.

視線在水平線下方的角叫做俯角.

坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），

用字母i表示.坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用a表示，

。解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題型

則有i=tana.

方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)0作一條水平線（向右為東向）和一條鉛

垂線（向上為北向），則從點(diǎn)。出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，

叫做觀測(cè)的方向角.

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固

二J今反演依

*卒考盤

I.（2022秋?宛城區(qū)校級(jí)期末）如圖，在4x4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，AABC的頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中448C的正切值是（）

B

A.2B.述C.-D.—

525

2.（2022秋?大名縣校級(jí)期末）在RtAABC中，ZC=90°,BC=\,AC=N,那么tang的值是（）

A.-B.-C.—D.V3

233

3.（2023?小店區(qū)校級(jí)一模）小敏利用無人機(jī)測(cè)量某座山的垂直高度.如圖所示，無人機(jī)在地面5c上方

130米的。處測(cè)得山頂/的仰角為22。，測(cè)得山腳C的俯角為63.5。.已知/C的坡度為1:0.75,點(diǎn)4,B,

C,。在同一平面內(nèi)，則此山的垂直高度N8約為（）

（參考數(shù)據(jù)：sin63.5°?0.89,tan63.5°?2.00,sin22°?0.37,tan22°?0.40）

A.146.4米B.222.9米C.225.7米D.318.6米

4.（2022秋?密云區(qū)期末）乙4為銳角，若cos/=；,則//的度數(shù)為（）

A.75°B.60°C.45°D.30°

5.（2022秋?宣州區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4,-3）,如果射線。/與x軸正半軸的

夾角為a,那么的正弦值是（）

34

A.?B.C.-D.

453

ZACB=90°，于。，下列式子正確的是（）

C.tan^=—D.cosB=

ABAB

7.（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度，在點(diǎn)/處測(cè)得樹頂。的仰角為45。，在點(diǎn)3

處測(cè)得樹頂。的仰角為60。，且/,3,。三點(diǎn)在同一直線上，若45=16次，則這棵樹CQ的高度是（）

mC.6（3—百）加D.6（3+百）冽

8.（2022?從化區(qū)一模）如圖，將A45C放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)/,B,。在格點(diǎn)上,

￡

C.2D.

2

9.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，河壩橫斷面迎水坡45的坡比為1：6.壩高5C為4加，則的長(zhǎng)

度為_

B

3

10.（2022秋?德惠市期末）在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,cosA=-那么的長(zhǎng)為

4f

11.（2022秋?駐馬店期末）在A43c中，若|sin/-1+（cos2-=0,則NC的度數(shù)是.

12.（2022秋?廣饒縣校級(jí)期末）一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4c機(jī)和6cm,則其底角的余弦值為.

用當(dāng)錯(cuò)或

1.（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖，在A/43C中，sin5=-,AB=8,AC=5,且NC為銳角，cosC的

2

值是（）

2.（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,AA8C的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，貝i]cos45C

等于（）

A.1B.茹C.旦D.巫

2552

3.（2022秋?鄒城市校級(jí)期末）如圖.某同學(xué)為測(cè)量宣傳牌的高度他站在距離教學(xué)樓底部￡處9米遠(yuǎn)

的地面C處，測(cè)得宣傳牌的底部8的仰角為60。，同時(shí)測(cè)得教學(xué)樓窗戶。處的仰角為30。（/、B、D、E

在同一直線上）.然后，小明沿坡度i=l:±的斜坡