專題18利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)及新題型

題型一、利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)

第一步：確定函數(shù)自變量取值范圍；

第二步：列表、描點、連線；

第三步：根據(jù)函數(shù)圖象解答相關(guān)題目.

題型二、定義新題型

提出一些新穎的概念，根據(jù)概念解答相關(guān)題型.

典例剖析

Y—2

【例1】(2019?開封模擬)參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究函數(shù)＞一(x=0)的圖象與性

x

質(zhì).

因為丁二巳==1—一，即＞二——+1,所以我們對比函數(shù)y=——來探究.

XXXX

列表:

1

X???-4-3-2-11234???

~22

2???2_2???

y=一—124-4-2-1

X23~2

x—2351

y=???235-3-10.??

X2332

x—2

描點：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量X的取值為橫坐標(biāo)，以歹=——相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出

X

相應(yīng)的點，如圖所示:

yk

4

.,2-

--------------------十------------------------

?????_?I???

-5-4-3-2-1O12345%

-1--

-2-

-3

-4-

(1)請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用一條光滑曲線順次連接起來.

(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題：

①當(dāng)x<0時，y隨x的增大而；(填“增大”或“減小”)

②歹=三二的圖象是由J=—-的圖象向平移個單位而得到;

XX

③圖象關(guān)于點中心對稱.(填點的坐標(biāo))

x—2

(3)函數(shù)>=----與直線y=-2x+l交于點/,B,求A4O5的面積.

X

【變式1-1](2019?鄭州模擬)探究函數(shù)》=工+色的圖象與性質(zhì)

X

4

(1)函數(shù)了=x+2的自變量X的取值范圍是；

X

(2)下列四個函數(shù)圖象中可能是函數(shù)y=x+4的圖象的是

X

.

拓展運用

(4)若函數(shù)y=XTX+9,則了的取值范圍是.

X

【例2】（2018?洛陽三模）在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線廠"一a為拋物線尸OX2+6X+C（a、b、

c為常數(shù)，a#0）的“夢想直線”.有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三

角形”.

已知拋物線y=-手/-Rx+26與其“夢想直線”交于48兩點（點/在點8的左側(cè)），與x

軸負半軸交于點C.

（1）填空該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點/的坐標(biāo)為，點8

的標(biāo)為;

（2）如圖，點M為線段C2上一動點，將△/CM以所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N,

若為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點R使得以點工、

C、E、尸為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點￡、尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【變式2-1］（2019?安陽一模）如果一條拋物線y=aN+6x+c（a#0）與x軸有兩個交點，那么以拋物

線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，［a,b,c］稱為“拋物線系

數(shù)”.

（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是（填“真”或“假”）命題；

（2）若一條拋物線系數(shù)為［1,0,-2］,則其“拋物線三角形”的面積為；

（3）若一條拋物線系數(shù)為［-1,2b,0］,其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式

（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點為4與x軸交于O,8兩點，在拋物線上是否存在一點尸,

過尸作尸。上》軸于點°,使得0s△O4B?如果存在，求出尸點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

壓軸精練

V2

1.(2018?逆襲卷)有這樣一個問題：探究函數(shù)y=—的圖象與性質(zhì).

2x+2

下面是小強的探究過程，請補充完整:

2

(1)函數(shù)y=的自變量X的取值范圍

2x+2

(2)下表是y與x的幾組對應(yīng)值.

??????

X-5-4-3-20123

_25_89j_29

???-20???

~~8-34438

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，描出了以上表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點.

點生和當(dāng)，43和品，4和國均關(guān)于某點中心對稱，則該點

的坐標(biāo)為.

r2

②小文分析函數(shù)y=—的表達式發(fā)現(xiàn)：當(dāng)xv?l時，函數(shù)的最大值為-2,則該函數(shù)圖象在直線尸.1

2x+2

左側(cè)的最高點的坐標(biāo)為

(3)畫出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)

2.(2019?偃師一模)如圖，拋物線尸aN+bx+4(20)交為軸于點4(4,0),2(-2,0),交y軸于點

c.

(1)求拋物線的解析式.

(2)點。是x軸上位于點，，8之間的一個動點，點￡為線段8C上一個動點，若始終保持/￡08=

/CAB,連接CQ,設(shè)ACOE的面積為S,點。的橫坐標(biāo)為加，求出S關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S

取最大值時點。的坐標(biāo).

(3)點P為拋物線上位于AC上方的一個動點，過點P作PFLy軸，交直線AC于點F,點、D

的坐標(biāo)為(2,0),若O,D,尸三點中，當(dāng)其中一點恰好位于另外兩點的垂直平分線上時，我們把這個點

叫做另外兩點的“和諧點”，請判斷這三點是否有“和諧點”的存在，若存在，請直接寫出此時點尸的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.(2019?三門峽二模)定義：在平面直角坐標(biāo)系xQy中，把從點尸出發(fā)沿縱或橫方向到達點。(至

多拐一次彎)的路徑長稱為P,。的“實際距離”.如圖，若尸(-1,1),Q(2,3),則P,0的“實際距

離”為5,即尸S+S0=5或尸a7。=5.環(huán)保低碳的共享單車，正式成為市民出行喜歡的交通工具.設(shè)

B,C三個小區(qū)的坐標(biāo)分別為/(3,1),B(5,-3),C(-1,-5),若點M表示單車停放點，且滿足M

至I]/,B,C的“實際距離”相等，則點”的坐標(biāo)為()

A.(1,-2)B.(2,-1)C.-1)D.(3,0)

2

4.(2019?開封模擬)【閱讀理解】

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短

邊相等，補短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,ZUBC是等邊三角形，點。是邊3c下方一點，NBDC=120°,探索線段。/、DB、

DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路延長DC到點￡,使CE=BD,連接根據(jù)/A4C+/ADC=180°,可證

易證得△48。g△NCE,得出是等邊三角形，所以從而探尋線段D/、DB、。。之間的數(shù)

量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請直接寫出94、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在必△48C中，/B4c=90°,AB=4C.若點。是邊2c下方一點，ZBDC=90°,探

索線段1、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為14c加的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間

的距離PQ的長分別為cm.

圖1圖2圖3

5.(2019?鄭州聯(lián)考)如圖1,在及△4BC中,N/=90°,AB=AC,點。，￡分別在邊48,AC±,

AD^AE,連接DC,點跖P,N分別為DE,DC,3c的中點.

(1)觀察猜想:

圖1中，線段尸”與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；

（2）探究證明：

把△/￡>￡繞點/逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MV,BD,CE,判斷的形狀，并說明理

（3）拓展延伸：

把繞點/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若40=4,42=10,請直接寫出面積的最大值.

6.（2019?平頂山三模）已知△4BC,AB=AC,。為直線3c上一點，E為直線NC上一點，AD^AE,

設(shè)/BAD=a,/CDE=B，

（1）如圖1,若點。在線段3c上，點E在線段NC上.ZABC^60°,NADE=70°,則a

=。；B=

（2）如圖2,若點。在線段8c上，點￡在線段/C上，則a,￡之間有什么關(guān)系式？說明理由.

（3）是否存在不同于（2）中的a,萬之間的關(guān)系式？若存在，請寫出這個關(guān)系式（寫出一種即可），

說明理由；若不存在，請說明理由.

圖1圖2

4

7.（2019?鄭州外國語模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線嚴b+左與雙曲線y=—（x>0）交

x

于點4(1,a).

(1)求a,k的值;

（2）已知直線I過點。（2,0）且平行于直線產(chǎn)入+匕點P（m,幾）,（冽>3）是直線/上一動點，過點P作坐標(biāo)

軸的平行線，交雙曲線y=3于點M、N,雙曲線在點M、N之間的部分與線段PM、7W所圍成的區(qū)域（不

含邊界）記為W.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點.

①當(dāng)加=4時，直接寫出區(qū)域沙內(nèi)的整點個數(shù);

②若區(qū)域沙內(nèi)的整點個數(shù)正好是8個，結(jié)合圖象，求機的取值范圍.

8.（2019?鄭州外國語模擬）如圖，一段拋物線尸-N+4（-2WxW2）為G，與無軸交于4、4兩點,

頂點為。1；將G繞點4選擇180°得到。2,頂點為。2；G與。2組成一個新的圖象，垂直于y軸的直線/

與新圖象交于點尸1（X1，%），尸2（X2/2），與線段AA交于點B（X3，夕3），設(shè)Xi,X2,X3均為正數(shù)，Z=XI+X2+^3>

則/的取值范圍是（

■>

X

5

A.6<fW8B.6W/W8C.10<?^12D1OW02

9.（2019?南陽二模）如圖，在8x8的網(wǎng)格中，每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方

形的頂點稱為格點.如果拋物線經(jīng)過圖中的三個格點，那么以這三個格點為頂點的三角形稱為該拋物線

的“內(nèi)接格點三角形”.設(shè)對稱軸平行于y軸的拋物線與網(wǎng)格對角線0M的兩個交點為N,B,其頂點為

C,如果△N8C是該拋物線的內(nèi)接格點三角形，且N3=30，點4B,C的橫坐標(biāo)物，XB，M滿足蘢4V

4＜期，那么符合上述條件的拋物線的條數(shù)是.

10.（2017?禹州市二模）有這樣一個問題：探究函數(shù)＞=」?fàn)t+_1的圖象與性質(zhì)，小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)