第1章行列式1.1.1二階行列式對于二元一次方程組定義二階行列式則當(dāng)時上述二元一次方程組有唯一解,并且通過帶入消元法方程組的解為1.1二階與三階行列式即可用二階行列式表示為,例1

解二元一次方程組解,1.1.2三階行列式定義三階行列式為則三元一次方程組當(dāng)時方程組的解可用三階行列式表示為例2

計算行列式解

1.2逆序與對換1.2.1排列與逆序自然數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個元排列,記為.

規(guī)定按從小到大的順序排列的叫做標(biāo)準(zhǔn)排列（自然排列）.為標(biāo)準(zhǔn)排列.即排列定義1

在一個排列中,如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反,即前面的數(shù)大于后面的數(shù),那么它們就稱為一個逆序,一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù).排列的逆序數(shù)記為

計算排列逆序數(shù)的方法:對于排列,其逆序數(shù)為每個元素的逆序數(shù)之和.中元素，如果比大且排在前面的元素有個，就說的逆序數(shù)為,全體元素的逆序數(shù)之和為

即對于排列即

例3求排列的逆序數(shù).解在排列中

定義2逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列.1.2.2對換

定義3

把一個排列中某兩個數(shù)的位置互換而其余的數(shù)不動就得到另一個排列,這樣一個變換稱為一個對換.對換改變排列的奇偶性.

將一個奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列需要奇數(shù)次對換,將一個偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列需要偶數(shù)次對換.1.3階行列式的定義定義4

由個數(shù)組成數(shù)表從中選取處在不同行不同列的個元素相乘,其中為的一

個全排列,并冠以符號,則為階行列式,記作稱和或簡記為,其中表示處在第行,第列位置的元素.

例4

計算行列式其中未寫出部分全為零.解在行列式的展開式中共有個乘積

,顯然如果則必為零,

從而這個項也必為零,因此只須考慮的項.同理只須考慮

,也即行列式的展開式中只有(其他的項乘積均為零),而,因而其符號為正.因此

定義5

對角線以上（下）的元素全為零的行列式稱為下（上）三角行列式.

由例4還可得出關(guān)于上、下三角行列式的如下結(jié)論:例5

計算行列式解在行列式的展開式中共有個乘積,

顯然如果則必為零,從而這個項也必為零,因此只須考慮

的項.同理只須考慮,也即行列式的展開式中只有(其他的項乘積均為零),而因而其符號為，因此由例5還可得出下三角行列式的如下結(jié)論：

以上各種形式是計算行列式的常用形式,應(yīng)該對這幾種形式加以注意并加強對它們的理解和應(yīng)用.1.4行列式的性質(zhì)

行列式的計算是一個重要的問題,也是一個很麻煩的問題.對于階行列式,當(dāng)很大時直接從行列式的定義進(jìn)行行列式的計算幾乎是不可能的.為此有必要對行列式的性質(zhì)進(jìn)行研究,從而簡化行列式的計算.記稱行列式為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1

行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等,即性質(zhì)2

互換行列式的兩行(列)元素,則行列式變號.推論1

若行列式中某兩行元素對應(yīng)相等,則行列式的值為零.性質(zhì)3

行列式某行元素都乘以數(shù)等于用乘以行列式,即推論2

由性質(zhì)3知若行列式中某行(列)元素含有公因數(shù)可以將數(shù)提到行列式外.,則推論3

若行列式的某兩行(列)元素對應(yīng)成比例,則此行列式的性質(zhì)4

若行列式的某一行(列)是兩組數(shù)之和,則這個行列式可值為零.以寫成兩個行列式的和,即此性質(zhì)可以推廣到某一行元素為多組數(shù)之和的形式.性質(zhì)5

把行列式中某行(列)元素的倍加到另外一行(列)的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.即例6

計算行列式的值,其中解

例7

計算行列式的值,其中解法一分別將行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得解法二利用行列式的性質(zhì)將行列式的第一行和第四行互換可得例8

計算行列式的值,其中解

例9計算行列式的值,其中解把前一列乘以加到后一列上去得再將第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以加到第三列上去得由于此時行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的性質(zhì)可得1.5行列式按行（列）展開1.5.1余子式與代數(shù)余子式定義6

在階行列式

中劃去元素

所在的第行和第

列的元素,剩下的個元素按原來的排法構(gòu)成一個階的行列式,稱為元素的余子式,記作

.對冠以符號后稱為元素

的代數(shù)余子式,記為

,即1.5.2行列式按行（列）展開引理設(shè)是一個階行列式，如果其中第行所有元素除

外都為零，那么這個行列式的值等于乘以它的代數(shù)，即余子式定理1

行列式的值等于其某行（列）元素與其代數(shù)余子式乘積之和,即

；

．這個定理稱為行列式按行(列)展開法則．例10

算行列式的值,其中解

例11

計算行列式的值，其中解

例12

設(shè)行列式為求的值.解為行列式按第二行的展開式,因此的值等于行列式.而因此．作為定理1的推論,我們有推論

階行列式的的任意一行(列)的各元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即，或

綜合定理1及其推論，我們有關(guān)于代數(shù)余子式的下述性質(zhì)：或1.6克萊姆法則1.6.1克萊姆（Cramer）法則

現(xiàn)在我們來應(yīng)用行列式解決線性方程組的問題.在這里只考慮方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的情形.定理2

如果線性方程組的系數(shù)構(gòu)成的行列式那么線性方程組有解,并且解是惟一的,解可以由下式給出其中是行列式中第列換成方程組的常數(shù)項而得到的行列式.

此定理稱為克萊姆法則,克萊姆法則主要解決方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的方程組的求解問題，而這類方程組又是非常特殊、非常重要的方程組.例17

解方程組解方程組的系數(shù)行列式由克萊姆法則得所以方程組的唯一解為.定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)構(gòu)成的行列式那么它只有零解.1.6.2克萊姆法則的推論定理4

若非齊次線性方程組無解或有多個解，則其系數(shù).行列式推論:如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式.例18

為何值時,方程組

有非零解.

解由以上推論知,當(dāng)齊次線性方程組有非零解時它的系數(shù)行列式,即所以.不難驗證,當(dāng)時方程組確有非零解.第2章矩陣及其運算2.1矩陣的基本概念2.2矩陣的運算2.3逆矩陣2.4矩陣分塊法定義1由個數(shù)排成的行列的數(shù)表,

稱為行列的矩陣,簡稱矩陣.

記作2.1矩陣的基本概念2.1.1矩陣的定義2.1.2幾種特殊形式的矩陣1.行矩陣與列矩陣2.同型矩陣與矩陣的相等兩個矩陣行數(shù)相等、列數(shù)也相等時,稱為同型矩陣.如果矩陣與矩陣是同型矩陣,且它們的對應(yīng)元素相等,即那么就稱這兩個矩陣相等.記作3.零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作注意:不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣稱為階矩陣或階方陣階方陣的元素稱為主對角線元素5.上(下)三角矩陣6.對角矩陣7.單位矩陣2.2矩陣的運算

2.2.1矩陣的加法

1.定義2

2.運算規(guī)律3.負(fù)矩陣4.矩陣的減法例2.2.2數(shù)與矩陣的乘法1.定義3

數(shù)與矩陣的乘積記作或規(guī)定為注：與為同型矩陣2.運算規(guī)律例

設(shè)求解

2.2.3矩陣與矩陣的乘法1.定義4

其中注意:(1)(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘的元素就是第一個矩陣與第二個矩陣的第列的對應(yīng)元素的乘積和的第行例

設(shè)求解記則,設(shè)則注：（1）矩陣的乘法一般不滿足交換律,即一般來說,

（2）進(jìn)行矩陣乘法時,一定要注意乘的次序,不能隨意改變例設(shè)求與解

例設(shè)求與解

注意:注：對于兩個階矩陣,若則稱方陣是可以交換的.如2.運算規(guī)律(假定運算都是可行的),(其中為數(shù))(左分配律)(右分配律)3.矩陣的冪為正整數(shù)矩陣的冪滿足下列運算規(guī)律注:一般來說例

例

例線性方程組

若設(shè)則其矩陣形式為2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義6

設(shè)稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.

即把矩陣的行換成同序號的列得到的一個新矩陣.

2.運算規(guī)律(假定運算都是可行的)如例

3.定義7

設(shè)矩陣為階方陣,如果滿足即

那么稱為對稱矩陣如果滿足即

那么稱為反對稱矩陣注:(1)對稱矩陣的特點是:它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等(2)反對稱矩陣的特點是:它的元素以主對角線為軸對應(yīng)互為相反數(shù),且主對角線元素全為零階方陣2.2.5方陣的行列式1.定義8由(每個元素的位置不變),稱為方陣的行列式.記作或.的元素所構(gòu)成的行列式2.方陣的行列式滿足的運算規(guī)律3.奇異矩陣與非奇異矩陣當(dāng)時,稱為奇異矩陣;時,稱當(dāng)為非奇異矩陣

2.2.6方陣的伴隨矩陣1.定義9

由階方陣的行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的階方陣

稱為的伴隨矩陣,簡稱伴隨陣.例

例

2.方陣的伴隨矩陣滿足的性質(zhì)(,正整數(shù));若,則

,正整數(shù));2.2.7共軛矩陣1.定義10設(shè)為復(fù)矩陣,表示的共軛復(fù)數(shù),記稱為的共軛矩陣2.運算規(guī)律2.3逆矩陣2.3.1逆矩陣的定義及性質(zhì)1.定義11設(shè)為階方陣,若存在階方陣,使,則稱方陣可逆,稱為的逆矩陣

注：如果矩陣是可逆矩陣,那么的逆矩陣是惟一的

的逆矩陣記作.

，即滿足的與互為逆矩陣

即可逆,且2.3.2方陣可逆的充分必要條件及的求法

定理1若矩陣可逆,則,即為非奇異矩陣.定理2

若,則矩陣,其中,為矩陣的伴隨矩陣.由以上兩定理可知矩陣可逆的充分必要條件是,即可逆矩陣就是非奇異矩陣;若可逆,則

若可逆,則于是可逆,且時,矩陣推論

若方陣滿足(或),則都可逆,且

例

所以,當(dāng)可逆時,矩陣不可逆

當(dāng)因為從而,當(dāng)例

例

求矩陣,使解

若存在,則例

設(shè)階矩陣滿足,證明

都可逆,并求它們的逆矩陣.證明由得于是由,知可逆,且

由,知可逆,且

2.3.3可逆矩陣的性質(zhì)若可逆,則也可逆,且

若可逆,則也可逆,且

若可逆,數(shù)則也可逆,且

若為同階可逆矩陣,則也可逆,且

若可逆,則也可逆,且

2.4矩陣分塊法1.定義用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,每一個小矩陣稱為的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.將矩陣2.4.2分塊矩陣的運算1.分塊矩陣的加法與減法設(shè)矩陣為同型矩陣,采用相同的分塊法,有

2.數(shù)與分塊矩陣的乘法3.分塊矩陣的乘法的列數(shù)分別等于的行數(shù),則4.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置2.4.3分塊對角矩陣都是方陣）形如稱為分塊對角矩陣分塊對角矩陣性質(zhì)若都可逆,則可逆,且例

第3章

矩陣的初等變換與線性方程組3.1初等變換與初等矩陣3.1.1矩陣的初等變換與初等矩陣定義1矩陣的初等行變換指的是以下三種變換:（1）互換矩陣中任意兩行元素的位置（記作）；（2）用非零數(shù)乘以矩陣的某一行（記作）；

（3）把矩陣中第行的倍加到第行上去（記作）.以上三種變換對列也同樣成立,稱為初等列變換，標(biāo)記時只須把換成，即三種初等列變換分別寫成，.，矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.例1

設(shè)利用初等行變換將矩陣化為行階梯形.解

在行階梯形的基礎(chǔ)上,如果再對矩陣進(jìn)行初等行變換,則可將矩陣化為行最簡形,即矩陣的非零元素行的第一個非零元素為1,并且其所在的列其他元素為零.如上例中

利用矩陣的初等變換行將矩陣化為行階梯形和行最簡形是解決矩陣問題的主要方法之一.同學(xué)們應(yīng)該熟練掌握.

對于矩陣的行最簡形，如果再對其進(jìn)行初等列變換，則可以得到一種更為為簡潔的形式——標(biāo)準(zhǔn)形.例如矩陣即為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素為零.對于矩陣，總可以經(jīng)過初等變換（初等行變換和初等列變換）把它化為標(biāo)準(zhǔn)形其中為階單位陣，即為矩陣的行階梯形中非零元素行的行數(shù).3.1.2初等矩陣定義2

對單位矩陣施行一次初等行（列）變換得到的矩陣稱為初等矩陣.

由初等矩陣的定義知,對應(yīng)于三種初等變換,初等矩陣具有以下三種形式:（1）互換的第兩行（或第兩列）,得（2）用非零數(shù)乘以矩陣的第行（或第列）,得（3）把矩陣的第行的倍加到第行上,得定理1對矩陣施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以一個相應(yīng)的階初等陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以一個相應(yīng)的階初等陣定理2設(shè)矩陣為階可逆矩陣,則可經(jīng)過有限次初等變換化為單位矩陣.定理3設(shè)為可逆陣，則存在有限個初等陣，使.推論矩陣的充分必要條件是：存在階可逆陣及階可逆陣，使3.1.3用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣?yán)?利用初等行變換求矩陣的逆矩陣,其中解因此例3利用初等行變換求矩陣的逆矩陣,其中解因此例4解下面的矩陣方程,其中解分析:因為,所以可逆,下面首先利用初等變換法求出的逆陣,再對方程兩邊分別左乘,可得所以因此3.2矩陣的秩3.2.1矩陣秩的概念定義3設(shè)矩陣為型矩陣,在中選定

行列,則位于這

行列交叉位置上的個元素按照原來的排列方式構(gòu)成一個階方陣,稱為矩陣的階子矩陣,的階子方陣的行列式稱為的階子式.定義4設(shè)矩陣中存在階非零子式,并且所有的(如果存在的話)階子式全為零,則稱矩陣

的秩為,記作,并稱該

階子式為矩陣的最高階非零子式.3.2.2用初等變換求矩陣的秩定理4若矩陣與矩陣等價,則例7

求矩陣的秩.解對施行初等行變換到行階梯形,即由于,因此例8求矩陣的秩,并求的一個最高階非零子式.解先求的秩,為此對作初等行變換,將化成行階梯形矩陣.上式最后一個矩陣是行階梯形矩陣,其非零元素行的行數(shù)為因此.所以下面再求的一個最高階非零子式.為此先求的一個最高階非零子式.顯然在中,第行與第列的元素構(gòu)成的三階子式為為的一個最高階非零子式,同時注意到在求的秩時我們只對作了初等行變換,中第行分別與中行對應(yīng),而的第列即為的第列,因此得出的最高階(三階)非零子式為3.3線性方程組的解3.3.1齊次線性方程組的解對于齊次線性方程組必有零解,但我們關(guān)心其在什么條件下具有非零解,為此我們給出定理5

齊次線性方程組(1)有非零解的充分必要條件是,其中為其系數(shù)矩陣.（1）例9求解方程組解對方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換因為,所以方程組有非零解.與矩陣對應(yīng)的方程組為并且與原方程組等價.當(dāng)未知量取定某一組值時,的值也隨之確定,即得到方程組的一組解,因此對于未知量的任意一組取值,均能得到方程組的解,我們稱滿足這樣條件的未知量為自由未知量.設(shè)自由未知量,得(其中為任意常數(shù)).例10解方程組解對方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換得所以因此該方程組只有零解.例11解方程組.解對方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換與對應(yīng)的方程組的同解方程組為令,則得(其中為任意常數(shù))也即(其中為任意常數(shù))3.3.2非齊次線性方程組的解對于非齊次線性方程組(2)的情況,我們有如下定理定理6非齊次線性方程組(2)有解的充分必要條件是其中稱為方程組的增廣矩陣.對一般的元線性方程組當(dāng)時方程組無解,當(dāng)時方程組有解,并且(1)當(dāng)時,方程組有唯一解;(2)當(dāng)時,方程組有無數(shù)解.例12解方程組解對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換因此有令得(其中為任意常數(shù))例13求解線性方程組解對方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等變換,化其為行階梯形,因為,所以原方程組無解.例14討論方程組當(dāng)取何值時方程組有惟一解;

無解;

有無限多個解.解當(dāng)且時有,此時方程組有惟一解;當(dāng)時,此時方程組無解;當(dāng)時,,此時方程組有無數(shù)解.第4章向量組與線性方程組的解的結(jié)構(gòu)

4.1向量組及其線性組合4.2向量組的線性相關(guān)性4.3向量組的秩4.4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)即矩陣4.1向量組及其線性組合4.1.1維向量的概念

1．維向量的定義個有次序的數(shù)組成的數(shù)組稱為維向量，這個數(shù)稱為該向量的分量，第個數(shù)稱為第個分量（或第個坐標(biāo)）．

行向量列向量即矩陣2．零向量3．負(fù)向量4．向量的相等5．向量組同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合稱為向量組4.1.2維向量的線性運算

1．加法與數(shù)乘為任意實數(shù)，則2．加法與數(shù)乘的運算規(guī)律（略）注：利用向量的運算，對于方程組則4.1.3向量組的線性組合與線性表示1.定義2(1)給定向量組,對于任何一組實數(shù),表達(dá)式稱為向量組

的一個線性組合，稱為該線性組合的系數(shù)(2)給定向量組和向量,如果存在一組實數(shù),使則稱是向量組的線性組合，或稱可由向量組線性表示2.定理1

可由向量組線性表示的充分必要條件是矩陣的秩等于矩陣的秩注：設(shè)可由向量組唯一線性表示的充分必要條件是例

試問能否由線性表示？若能，寫出具體表示式解

所以能否由惟一線性表示，且例

因為,所以,不能由線性表示

4.1.4向量組的等價1.定義3

設(shè)兩個向量組若向量組中的每個向量都可由向量組線性表示，則稱向量組可由向量組線性表示若向量組與向量組可以互相線性表示，則稱向量組與向量組等價2.定理2設(shè)向量組與向量組等價向量組可由向量組線性表示推論：維向量組4.2向量組的線性相關(guān)性4.2.1線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義1.定義4

設(shè)有,若存在一組不全為零的數(shù)使

,則稱向量組線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．換言之，若線性無關(guān)，則上式當(dāng)且僅當(dāng)時才成立．

2.由定義4可知，(1)僅含一個零向量的向量組必線性相關(guān);(2)僅含一個非零向量的向量組必線性無關(guān);(3)任何包含零向量在內(nèi)的向量組必線性相關(guān);(4)向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解4.2.2向量組線性相關(guān)的充分必要條件定理3

向量組線性相關(guān)線性相關(guān)向量組例討論向量組的線性相關(guān)性解

由于,從而線性相關(guān)定理4

向量組線性相關(guān)向量可以由其余個向量線性表示向量組中至少有一個注：兩個向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對應(yīng)分量成比例4.2.3線性相關(guān)性的判斷定理定理5

（1）若線性相關(guān),則也線性相關(guān)2）線性無關(guān)向量組的任何部分組必線性無關(guān)定理6

線性無關(guān),而若線性相關(guān),則能由線性表示，且表示式是惟一的定理7

設(shè)有兩個向量組若向量組線性無關(guān)，則向量組也線性無關(guān)；若向量組線性相關(guān)，則向量組也線性相關(guān)注:向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念可用于線性方程組．當(dāng)方程組中有某個方程是其余方程的線性組合時，這個方程就是多余方程，此時稱方程組（各個方程）是線性相關(guān)的；當(dāng)方程組中沒有多余方程，則稱該方程組（各個方程）是線性無關(guān)（或線性獨立）的.4.3向量組的秩4.3.1向量組的極大無關(guān)組與秩的定義1.定義5

設(shè)有向量組,如果在中能選出個向量滿足⑴向量組線性無關(guān)；⑵向量組中任意一個向量都能由線性表示那么稱是向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組；極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩注:(1)只含零向量的向量組沒有極大線性無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0．

(2)任何非零向量組必存在極大無關(guān)組．

(3)向量組的極大無關(guān)組與向量組本身等價．

(4)線性無關(guān)向量組的極大無關(guān)組就是其本身.(5)向量組的極大無關(guān)組一般不是惟一的.但每一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是惟一的,等于向量組的秩．列即是列向量組的一個極大無關(guān)組，4.3.2向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系定理8矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩結(jié)論:若是矩陣的一個最高階非零子式，則所在的所在的是行向量組的一個極大無關(guān)組行即是4.3.3利用初等行變換求向量組的秩與極大無關(guān)組將所討論的向量組的每一個向量作為矩陣的列寫成一個矩陣,并對此矩陣施行初等行變換,化為行階梯形矩陣,其非零行的行數(shù)就是矩陣的秩,也是向量組的秩(當(dāng)然也是極大無關(guān)組所含向量的個數(shù));行階梯形矩陣的每一個非零行的第一個非零元所在的列對應(yīng)的向量構(gòu)成的向量組就是向量組的一個極大無關(guān)組.例

解將向量組構(gòu)成矩陣,進(jìn)行初等行變換從而向量組的秩為3,

為其一極大無關(guān)組例

解將向量組按列排成矩陣,用初等行變換將化為行階梯形矩陣故是其一個極大無關(guān)組4.4線性方程組的解的結(jié)構(gòu)4.4.1齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)1若為(2)的解,則為(2)的解性質(zhì)2若為(2)的解,為實數(shù)則為(2)的解,稱為(2)的解向量組,結(jié)論:將方程組(2)的全體解所組成的集合記作如果能找到解向量組的一個極大無關(guān)組則的任何線性組合都是方程(2)的解,因此式就是(2)的通解齊次線性方程組的解向量組的極大無關(guān)組稱為該齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.由上面的討論,要求齊次線性方程組的通解,只需求出它的基礎(chǔ)解系.定理9

設(shè)矩陣的秩,則元齊次線性方程組的解向量組的秩例求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解解對系數(shù)矩陣作初等行變換同解方程組為即所以,方程組的通解為一基礎(chǔ)解系為4.4.2非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)3設(shè)是方程(5)的解,則是方程(6)的解性質(zhì)4設(shè)是方程(5)的解,是方程(6)的解,則是方程(5)的解.結(jié)論:若為方程(6)的一個基礎(chǔ)解系,是方程(5)的一個特解,則方程(5)的通解為

為任意實數(shù))例

求解方程組解對增廣矩陣

作初等行變換同解方程組為即所以,方程組的通解為一特解為對應(yīng)的齊次線性方程組的通解為一基礎(chǔ)解系為第5章相似矩陣與二次型5.1向量的內(nèi)積、正交化方法5.2方陣的特征值與特征向量5.3相似矩陣5.4實對稱矩陣的相似矩陣5.5二次型及其矩陣表示5.6二次型的標(biāo)準(zhǔn)形5.7正定二次型5.1向量的內(nèi)積、正交化方法5.1.1向量的內(nèi)積定義1

設(shè)有維向量稱為向量與的內(nèi)積向量的內(nèi)積具有下列性質(zhì)令5.1.2向量的長度定義2

設(shè)令稱為向量的長度（或范數(shù)）向量的長度具有下列性質(zhì)性質(zhì)1

非負(fù)性:當(dāng)時,;當(dāng)時,性質(zhì)2

齊次性:（為實數(shù)）

性質(zhì)3

三角不等式當(dāng)時,可以證明稱為維向量與的夾角

當(dāng)時,稱向量與顯然,零向量與任何向量都正交.正交5.3.3正交向量組定義3

一組兩兩正交的非零向量組,稱為正交向量組兩兩正交的單位向量組,稱為單位正交向量組,記作正交向量組有下列性質(zhì)性質(zhì)1

若是正交向量組,則線性無關(guān)性質(zhì)2

設(shè)為單位正交向量組,為同維數(shù)的任一向量,若存在數(shù),使則例已知兩個3維向量正交,求一個非零向量使兩兩正交.解記,則應(yīng)滿足齊次線性方程組,即因為所以同解方程組為,通解為一基礎(chǔ)解系為,取即可5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化過程)設(shè)為一線性無關(guān)向量組（1）正交化取依次類推,一般的,有可以證明,兩兩正交,且與等價（2）單位化令則為單位正交向量組,且等價例已知,求一組非零向量,使兩兩正交．解

應(yīng)該滿足即其同解方程組為它的通解為一基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求．取于是得即為所求.階矩陣5.1.5正交矩陣定義4

如果滿足,那么稱為正交矩陣，簡稱正交陣．

例如都是正交矩陣．為正交陣，那么正交矩陣有下列性質(zhì)：性質(zhì)1

若是可逆陣,且或－１;為正交陣，那么性質(zhì)2

若

是正交陣;為正交陣性質(zhì)3

性質(zhì)4

若為同階正交矩陣,則也是正交矩陣．的特征值，非零列向量稱為方陣5.2方陣的特征值與特征向量

5.2.1方陣的特征值與特征向量

定義5設(shè)是一個階方陣,如果存在數(shù)及

維非零列向量

使得

,那么,這樣的數(shù)

稱為方陣的對應(yīng)于(或?qū)儆?特征值的特征向量．是方陣的特征值,是對應(yīng)的特征向量(此為個未知數(shù)個方程的齊次線性方程組)

是方陣的特征值是對應(yīng)于的特征向量是齊次線性方程組的非零解(右式稱為的特征多項式,記為,稱為特征方程)(設(shè))5.2.2求方陣的特征值與特征向量的步驟

計算的特征多項式求出特征方程的所有根（重根按重數(shù)計算）：對每個特征值,求出相應(yīng)的齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為對應(yīng)于的全部特征向量.不全為零)則例

求矩陣的特征值與特征向量

解

所以的特征值為

對于特征值解方程,由得同解方程組通解為一基礎(chǔ)解系為．

所以對應(yīng)于的全部特征向量為．

對于特征值解方程,由得同解方程組通解為一基礎(chǔ)解系為所以對應(yīng)于的全部特征向量為例求矩陣的特征值與特征向量．解

所以有2重特征值，有單特征值

對于特征值，解方程，得同解方程組故得通解所以對應(yīng)于特征值的全部特征向量為由對于特征值，解方程得同解方程組故得通解對應(yīng)于特征值的全部特征向量為重特征值算作階方陣是可逆方陣5.2.2特征值的性質(zhì)性質(zhì)1

若的全部特征值為（個特征值）則：性質(zhì)2

設(shè)的一個特征值，

為對應(yīng)的特征是的一個特征值，

為對應(yīng)向量,且則特征向量;是方陣性質(zhì)3

設(shè)的一個特征值，

為對應(yīng)的特征是的一個特征值，

為對應(yīng)特征向量;向量,則是一個正整數(shù),

是方陣性質(zhì)4

設(shè)的一個特征值，

為對應(yīng)的特征是的一個特征值，

為對應(yīng)特征向量;向量,若則的特征值都不為零，知可逆，故例設(shè)3階矩陣的特征值為,求．解因為.而所以把上式記作，則

故的特征值為：

于是的互不相同的特征值，5.2.3特征向量的性質(zhì)

是方陣性質(zhì)1

設(shè)的一個特征值，

為對應(yīng)的特征向量,若又有數(shù)

，則．性質(zhì)2

設(shè)是方陣是對應(yīng)于的特征向量,則向量組即對應(yīng)于互不相同特征值的特征向量線性無關(guān)．線性無關(guān)．的相似矩陣，或稱方陣5.3相似矩陣定義6

設(shè)都是階方陣，若有可逆矩陣,使,則稱是與相似，記作．，有，從而．即．如5.3.1相似矩陣的概念的對應(yīng)于與的某個特征值，若是5.3.2相似矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1

（因為性質(zhì)2

若則性質(zhì)3

若則性質(zhì)4

相似矩陣有相同的特征多項式,從而所有的特征值都相同；性質(zhì)5設(shè)是是的特征向量，則的對應(yīng)于的特征向量．

（3）可以證明，對應(yīng)于的每一個重特征值若正好有個線性無關(guān)的特征向量,即則必有個線性無關(guān)的特征向量，從而一定可以對角化．定理1階方陣與對角矩陣相似（即能對角化）的充分必要條件是有個線性無關(guān)的特征向量．推論（能對角化的充分條件）如果階方陣的個特征值互不相等，則與對角矩陣相似．注意（1）推論的逆命題未必成立．（2）當(dāng)有重特征值時，就不一定有線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．5.3.3矩陣的相似對角化的特征多項式為例判斷下列矩陣是否可以對角化？若可以對角化,求可逆矩陣使之對角化．解（1）的特征值為1，3，是兩個不同的特征值，所以可以對角化．對，解方程．,由于同解方程組為通解為一基礎(chǔ)解系為對，解方程,由于同解方程組為通解為一基礎(chǔ)解系為令則因此,的特征值為1，1，3．的特征多項式為（2）對，解方程．,由于同解方程組為通解為,一基礎(chǔ)解系為對，解方程

,由于同解方程組為通解為一基礎(chǔ)解系為

有三個線性無關(guān)的特征向量，所以可以對角化．令則是5.4實對稱矩陣的相似矩陣5.4.1實對稱矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1

實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，特征向量為實向量；性質(zhì)2

實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交；性質(zhì)3

設(shè)階實對稱矩陣,是的則齊次線性方程組重特征根,的系數(shù)矩陣的秩,從而的對應(yīng)于特征值性無關(guān)的特征向量恰有的線個.個特征值.是定理2

設(shè)階實對稱矩陣,則存在正交矩陣使,其中為對角矩陣,且元素是矩陣對角線上的的5.4.2實對稱矩陣的相似對角形

根據(jù)上述定理，任何一個實對稱矩陣都與對角陣正交相似．尋找正交矩陣,使成為對角陣的步驟如下：1．根據(jù)特征方程,求出矩陣的特征值的所有不同及它們的重數(shù)2．對每一個特征值,解齊次線性方程組,求得它的一個基礎(chǔ)解系3．利用施密特正交化方法，把向量組正交單位化得單位正交向量組從而得到個兩兩正交的單位特征向量組:的個4．令則為正交矩陣,且為對角矩陣，且對角線上的元素含恰好是矩陣個特征值.其中的主對角元素的重數(shù)為順序與,并且排列排列順序相對應(yīng)．中正交向量組的例設(shè),求一個正交矩陣,使為對角矩陣．解由得的特征值為

對應(yīng)于,解方程,由得同解方程組

通解為一基礎(chǔ)解系為,單位化得對應(yīng)于,解方程由得同解方程組通解為一基礎(chǔ)解系為取單位化,得,令則有注意上例中若令可逆,則例設(shè),求解

為實對稱矩陣所以可以對角化,即存在可逆矩陣,使為對角矩陣.于是從而由得的特征值為于是對于,由得對于,由得令,再求出,于是一般地，為正整數(shù)).合同．5.5二次型及其矩陣表示5.5.1合同矩陣定義7

設(shè)有兩個階矩陣,如果存在一個可逆矩陣使得,則稱矩陣與

合同關(guān)系是矩陣之間的又一重要關(guān)系，它是研究二次型的主要工具．合同關(guān)系具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

與自身合同．

性質(zhì)2

若合同,則與合同.與性質(zhì)3若

合同,與合同,則與合同.與個變量的二次齊次函數(shù)5.5.2二次型及其矩陣表示定義8

含有稱為二次型．

取則實二次型可以寫成：

則二次型可記作

記

任給一個二次型，就惟一確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可惟一確定一個二次型．這樣，實二次型與實對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)關(guān)系．因此，我們把對稱矩陣叫做二次型的矩陣，也把叫做對稱矩陣的二次型．對稱矩陣的秩就叫做二次型的秩．例如可表示為可逆變換,正交變換.經(jīng)可逆變換二次型的矩陣變?yōu)榕c合同的矩陣且二次型的秩不變．

研究矩陣的合同與實二次型理論的關(guān)系．在將實二次型變化的過程中，我們常常需要作變換，這種變換可以用如下關(guān)系描述：稱為由變量到變量線性變換．矩陣形式為5.6二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定義9

如果二次型通過可逆線性變換化成二次型且僅含平方項．即

則稱上式為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．一般的，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不惟一．標(biāo)準(zhǔn)形所對應(yīng)的矩陣為對角矩陣，即5.6.1二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義其中是矩陣的特征值，正交矩陣的個列向量是對應(yīng)于的特征向量．定理3任給一個二次型總存在正交變換使化為標(biāo)準(zhǔn)形5.6.2用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)鍵試找到一個正交矩陣使二次型的矩陣化成對角矩陣,具體步驟如下

1.寫出二次型的矩陣2.求出矩陣3.對重特征值(如