專(zhuān)題11全等三角形模型之一線三等角模型全攻略

【模型說(shuō)明】

①三垂直全等模型

5⑷CB'Bc⑷B，

②線三等角模型

【例題精講】

例1.（基本模型1）在直線機(jī)上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)D,A,E,在直線機(jī)上方有

AB=AC,=ZAEC=ABAC=a.

【積累經(jīng)驗(yàn)】

（1）如圖1,當(dāng)夕=90。時(shí)，猜想線段。E,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系是

圖1

【類(lèi)比遷移】

（2）如將2,當(dāng)0<a<180。時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證

明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

C

B

DAEm

圖2

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在AABC中，NBAC是鈍角，AB=AC,NBAD<NCAE,

ZBDA=ZAEC=ZBAC,直線相與C2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E若BC=3FB,AABC的面積是

12,請(qǐng)直接寫(xiě)出與/XACE的面積之和.

圖3

【答案】(1)DE=BD+CE-,(2)￡>E=BE>+CE仍然成立，理由見(jiàn)解析；(3)4FBD與

△ACE的面積之和為4.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定

與性質(zhì).

(1)由/迎M=/54。=/4￡。=90。得到/54。+/￡37=/54。+"54=90。，進(jìn)而得

到ND54=N￡AC,然后結(jié)合AB=AC得證△054/△E4C,最后得到OE=3D+CE；

(2)由/3蛆=/?4。=^/1￡1。=。得至1」修71￡)+/￡4。=/&4￡)+/￡)34=180°-。，進(jìn)而

得到N￡>54=N￡AC,然后結(jié)合AB=AC得證也△E4C,最后得到￡>E=BD+CE.

(3)由/BAOcNCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,得出NC4E=NABD,由AAS證得

^ABD^CAE,得出顯相。=18￡，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的

比，得出S.BF=4F即可得出結(jié)果.

【詳解】解：(1)DE=BD+CE,理由如下，

^ZBDA=ZBAC=ZAEC^90°,

0/BAD+ZEAC=ABAD+/DBA=90°,

S\ZDBA=ZEAC,

^AB=AC,

0ADBA^AE4C(AAS),

0AD=CE,BD=AE,

團(tuán)DE=AD+AE=BD+CE,

故答案為：DE=BD+CE.

(2)DE=BD+CE仍然成立,理由如下，

^\ZBDA=ABAC=ZAEC=a,

/.NBAD+NEAC=NBAD+NDBA=180。一a,

二.NDBA=NEAC,

團(tuán)AB=AC,

0ADBA^A￡AC(AAS),

團(tuán)BD=AE,AD=CE,

/.DE=AD+AE=BD+CE；

(3)^\ZBAD<ZCAE,ZBDA=ZAEC=ABAC,

^\ZCAE=ZABD,

在△ABO和VC4E中，

ZABD=ZCAE

</BDA=/CEA,

AB=AC

EAABr>^AC4E(AAS),

回S&ABD=S?CAE,

設(shè)AABC的底邊BC上的高為〃，則△AB尸的底邊8尸上的高為/7,

05

AABC=^BC-h=n,S^ABF=^BF-h,

^BC=3BF,

0S&ABF=4,

團(tuán)S、ABF=S、BDE+^AABD=SAFBD+S.ACE=4,

EAFBD與/XACE的面積之和為4.

例2.(基本模型2)在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且

AD_LMN于。，BELMN于E.

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；

(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，試問(wèn)：DE、AD,8E有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)

出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明；

⑶當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，DE、AD,班之間的等量關(guān)系是—(直接寫(xiě)

出答案，不需證明).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)AD=BE+DE,證明見(jiàn)解析

(3)BE=AD+DE

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于找出證明三

角形全等的條件.

(1)先用AAS證明△")€1絲△CEB,得AD=CE,BE=CD,進(jìn)而得出DE=3E+CD；

(2)先用AAS證明△">(7四△C￡B,可得AO=CE,BE=CD,進(jìn)而得出

AD=CD+DE=BE+DE；

(3)證明過(guò)程同(2),進(jìn)而可得=

【詳解】(1)證明：由題意知，ZBC4=90°,ZADC=ZBEC=90°,

0ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

SZACD=ZCBE,

在ZXADC和ACEB中，

ZADC=ZCEB=90°

^\lzACD=ZCBE,

AC=BC

EZ\ADC^ACES(AAS),

團(tuán)AD=CE，BE=CD，

團(tuán)DE=DC+CE=BE+AD,

^DE=AD+BE.

(2)解：AD=BE+DE.

證明：團(tuán)AD_L7VW,BE±MN,

回NADC=NBEC=90。,

[2ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

^\ZACD=ZCBEf

在△ABD和△ACE中，

NADC=/CEB

^\ZACD=ZCBE,

AC=BC

團(tuán)△ACD也磯AAS),

0AD-CE，BE=CD，

又回CE=CD+DE=BE+DE,

SAD=BE+DE.

(3)解：BE=AD+DE.

證明：EIAD_LMV于。，BELMN于E,

SZADC=ZBEC=90°,

0NBCE+NEBC=90°,ZACD+ZBCE=90°,

S3\ACD=BEBC,

在AACD和△CBE中，

ZADC=ZCEB

^ZACD^ZCBE,

AC=BC

(WCD均C阻AAS),

國(guó)AD—CE,BE=CD,

又團(tuán)CD=CE+DE=AD+DE,

^BE^AD+DE.

例3.（模型拓展1）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：（模型呈現(xiàn)）

（1）如圖1,ZBAD=90°,AB=AD,過(guò)點(diǎn)8作3C，AC于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作。E人AC于

點(diǎn)E.由/1+/2=/2+/。=90。，得Nl=ND.又NACB=NAED=90。，可以推理得到

△ABC咨△DAE.進(jìn)而得到AC=,BC=AE.我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為"K

字"模型或"一線三等角"模型;

（模型應(yīng)用）

（2）如圖2,ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AC=AE,連接3cDE,且3CLAF于點(diǎn)

歹,OE與直線AF交于點(diǎn)G.求證：點(diǎn)G是OE的中點(diǎn)；

（深入探究）

（3）如圖，已知四邊形ABCD和￡＞￡GF為正方形，△AFD的面積為的面積為

邑，則有m邑（填"＞、=、＜"）

【答案】（1）AC=DE-（2）見(jiàn)解析；（3）=。

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；

（2）分別過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)E作。"LEG于點(diǎn)a,EQLFG于點(diǎn)Q,進(jìn)而可得

NBAF=/ADH,然后可證名AZMH,則有AF=D”,進(jìn)而可得DH=E。，通過(guò)

證明GHG經(jīng)苴QG可求解問(wèn)題；

（3）過(guò)點(diǎn)。作。OJLA尸交Ab于。，過(guò)點(diǎn)E作ENJ_OD交OD延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)C作

。/1.0。交0。延長(zhǎng)線于“，由題意易得ZAZ）C=，90。，AD=DC,DF=DE,然后

可得NADO=N￡>af,則有AAOZ^ADA/C,AFOD'DNE,進(jìn)而可得OD=NE,通過(guò)

證明邳衛(wèi)4cMp及等積法可進(jìn)行求解問(wèn)題.

【詳解】解：（1）SAABC^ADAE,

BAC=DE,

故答案為AC=DE；

（2）分別過(guò)點(diǎn)。和點(diǎn)E作。"LRG于點(diǎn)H,E。，/G于點(diǎn)。，如圖所示：

^ZDAH+ZADH=90°,

SZBAD=90°,

0ZBAF+ZZMH=9O°,

^ZBAF^ZADH,

SBCA.AF,

ZBFA=ZAHD=9Q°,

團(tuán)AB=DA，

B^ABF^DAH，

團(tuán)AF=DH,

同理可知Ab=石Q,

團(tuán)OH=石。，

國(guó)DHLFG,EQLFG,

國(guó)NDHG=NEQG=90。,

田NDGH=/EGQ

回△DHG-EQG,

團(tuán)。G=XG,即點(diǎn)G是的中點(diǎn);

(3)Si=S2,理由如下：

如圖所示，過(guò)點(diǎn)。作。尸交A方于。，過(guò)點(diǎn)E作石NLQD交。。延長(zhǎng)線于N,過(guò)點(diǎn)C

作CN，。。交0D延長(zhǎng)線于M

團(tuán)四邊形ABCD與四邊形OEG尸都是正方形

團(tuán)/4X7=/90。，AD=DC,DF=DE

^DOLAF,CM1OD,

國(guó)NAOD=NCMD=90。，ZOAD+ZODA=9QQ,NCDM+NDCM=90。,

又回NODA+NCDM=90°,

^\ZADO=ZDCM,

^^AOD^ADMC,

團(tuán)^AAOD=^/\DMC，OD—MCj

同理可以證明AFOD2GNE,

團(tuán)SAFOD=S^DNE，OD=NE,

國(guó)MC=NE,

0EZV1OZ),CMLOD,NEPN=NCMP,

團(tuán)△Ewacwp,

^/\ENP~^ACMP，

回^^ADF=^^AOD+SME='QCM~^MP+J)EN+S由NP，

田S^DCE~SGCM+SQEN~^AOD+SjOD,

回SADCE—S4ADF即S]=§2,

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及等積法，

熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

例4.(模型拓展2)如圖，等邊三角形A8C中，放置等邊三角形。跖，且點(diǎn)0,E分別落

在AB,BC±,AD=5,連結(jié)CR若C尸平分NACB,則的長(zhǎng)度為2.5.

【解答】解：如圖，在BC上截取EG=BO,連接FG,

AABC和△DE尸是等邊三角形，

:.DE=EF,AB=BC,NDEF=NB=NACB=60°,

ZDEC=ZBDE+ZB=ZDEF+ZFEG,：.ZBDE=ZFEG,

rDE=EF

在△BED和△GbE中，＜NBDE=NFEG，:.△BED"AGFE(SAS),

BD=EG

.?.NB=NEG尸=60°,BE=FG,

平分NACB,?.ZACF=ZECF=3O°,

'：ZEGF=ZGFC+ZFCG,：.ZGFC=ZGCF=30°,:.FG=CG=BE,

'：AB=BC,BD=EG,：.AD=BE+CG=2BE=5,：.BE=2.5.故答案為：2.5.

例5(培優(yōu)綜合)如圖所示，在Rt^ABC中，/C=90°,點(diǎn)。是線段C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，

且AD^AB.點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF,以DF為斜邊作等腰RtADFE.連接EA,

且EA±AB.

(1)若NAEP=20°,ZADE^50°,則NA2C=60°；

(2)過(guò)D點(diǎn)作DGLAE,垂足為G.

①填空：△DEGdEFA；

②求證：AE=AF+BC；

(3)如圖2,若點(diǎn)尸是線段8A延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出線段AE,AF,BC之

間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

【解答】(1)解：VZAEF=20°,ZDEF=90°,

：.ZDEA=10°,

VZADE=50°,

AZDAE=60°,

■:NEAB=90°,

：.ZBAC=30°,

VZACB=90°,

AZABC=60°,

故答案為，60.

(2)①解：VDGXAE,

：?/DEG+NEDG=90°,

VZDEF=90°,

ZDEG+ZAEF=90°,

：.ZEDG=ZFEA,

在LDEG和△EE4中，

<ZDGE=ZEAF

<ZEDG=ZFEA,

DE=EF

AADEG^AEM(AAS),

故答案為：EFA.

②證明：'：ZGDA+ZGAD=90°,ZGAD+ZBAC=90°,

：.ZGDA=ZBAC,

'：AD=AB,ZDGA=ZC=90°,

???△GOAdCAB(AAS),

:?BC=AG,

ADEG^AEM,

：.EC=AF,

：.AE=AG+GE=AF+BC.

(3)解：BC=AE+AF,理由如下，

如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,則N￡)GE=90°,

,：AE±AB,；.NEAF=NDGE=90°,

???△DEF是以。尸為斜邊的等腰直角三角形，

：.ZDEF=9Q°,DE=EF,

：.ZGDE+ZGED=/GED+/AEF=90°,

：.ZGDE=ZAEF,

:.Z\GDE出AAEFCAAS),

：.GE=AF,

■:NDGE=NEAF=90°,

C.DG//AB,

：.ZGDA=ZCAB,

rZDGA=ZC

在△GD4和△CAB中，，ZGDA=ZCAB)

AD=AB

.?.△GDA^ACAB(.AAS),

：.BC=AG,

【課后訓(xùn)練】

1.如圖，在等腰Rt^ABC中，AC^BC,。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，S.ZBCD=ZCAD,若

CD=4,則△BCD的面積為.

【答案】8

【分析】由線段C。的長(zhǎng)求ABCD的面積，故過(guò)8作C。的垂線，則由三角形面積公式可

知：S&BCD=^CDXBE,再由題中的N3CZ)=NC4r＞和等腰直角三角形ABC,即可求證

AACD絲ACBE,最后由CD=3E=4即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)2作CD的垂線，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

ZACB=90°

:.ZBCD+ZACD=90°

???ZBCD=/CAD

ZACD-^-ZCAD=90°

/.ZADC=90°

BELCD

:.ZE=90°

:.ZBCD+ZCBE=90°

ZACD=ZCBE

???AC=CB

:.^ACD^\CBE

：.CD=BE=4

5XCDXB￡=X4X48

?■?ABCT=|^=

故答案是：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫(huà)法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形面

積公式，屬于中檔難度的幾何證明題.解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫(huà)出合適的輔助

線.

2.如圖，一個(gè)等腰直角三角形42c物件斜靠在墻角處(00=90°),若。4=50cm,0B=

28cm,則點(diǎn)C離地面的距離是___cm.

【答案】28

【分析】作CZB03于點(diǎn)依據(jù)AAS證明再根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CD0O2于點(diǎn)。，如圖，

回AABC是等腰直角三角形

SAB=CB,ZABC=90°

^ZABO+ZCBD=90°

又NCBD+/BCD=90。

^\ZABO=ZBCD

在AABO和ABCD中，

ZAOB=NBDC

<NABO=ZBCD

AB=CB

0AA5O=ABC￡>(AAS)

0CD=B(9=28cm

故答案為：28.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，正確作出輔

助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在“1BC中，AB^AC=2,ZB=ZC=40°,點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)(。不與

B、C重合)，連接AD,作ZADE=40。，DE交線段AC于E.

⑴當(dāng)ZBZM=115。時(shí)，ZEDC=。，ZDEC=°；點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸

變(填"大"或"小")；

(2)當(dāng)。C等于多少時(shí)，AABD^ADCE,請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，VADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出/BD4

的度數(shù).若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴25；115；小

(2)當(dāng)DC=2時(shí)，AABD^ADCE

(3)可以；的度數(shù)為110°或80°

【分析】(1)由已知平角的性質(zhì)可得N￡?C=180O-NAD3-NADE,再利用三角形內(nèi)角和

定理進(jìn)而求得/DEC,即可判斷點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，逐漸變??；

(2)當(dāng)。C=2時(shí)，由已知和三角形內(nèi)角和定理可得/DEC+NEDC=140。，

ZADB+ZEDC=140°,等量代換得NAD3=/DEC,又由AB=AC=2,可得

△ABg/xDCE(AAS)；

(3)根據(jù)等腰三角形的判定定理，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【詳解】(1)解：ZEDC=1800-ZADB-ZADE=180°-115°-40°=25°,

ZDEC=180°-ZEDC-NC=180°-25°-40°=115°,

點(diǎn)。從8向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，逐漸變小，

故答案為：25；115；小.

(2)解：當(dāng)DC=2時(shí)，AABgADCE,

理由：?.-ZC=40°,

.-.ZDEC+ZEDC=140°,

又?.?ZADE=40。,

EZADB+ZEDC=140°,

:.ZADB=ZDEC,

又；NB=NC,AB=DC=2,

AABD^ADCE(AAS)；

(3)解：當(dāng)/BD4的度數(shù)為110?；?0。時(shí)，VADE的形狀是等腰三角形；

理由：?.?494=110。時(shí)，

:.ZADC=70°,Z￡DC=70°-40°=30°,

-,-zc=40°,

:.ZDAC=1Q°,ZA￡D=ZC+Z￡ZX?=30o+40°=70°,

.-.ZDAC=ZAED,

,VADE是等腰三角形；

?/ZBDA=80°時(shí)，ZADC=100°,

-.-ZC=40°,

:.ZDAC=40°,

:.ZDAC=ZADE,

VADE的形狀是等腰三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解

題的關(guān)鍵.

4.（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如圖1,已

知：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,班＞/直線/,CEL直線/,

（2）組員小明想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2,將（1）中的條

件改為：在“LBC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直線/上，并且有

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論上=取＞+8是否成

立？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3,過(guò)

AABC的邊AB,AC向外作正方形和正方形ACFG,A”是BC邊上的高.延長(zhǎng)HA

交EG于點(diǎn)I.若SAAEG=7,則Sae/=.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）3.5

【分析】（1）由條件可證明0ABDEHCAE,可得ZM=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知勖A￡）+EICAE=：L80°-a,且回￡＞氏4+回84。=180°七，可得EI￡）54=EICAE,結(jié)合條

件可證明EABDH3C4E,同（1）可得出結(jié)論；

（3）由條件可知EM=AH=GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明犯BGN/,可得出結(jié)論/

是EG的中點(diǎn).

【詳解】解：（1）證明：如圖1中，貼。國(guó)直線/,CEB1直線/,

EBBDA=[3CE4=90°,

0EIBAC=9O°,

00BAD+EICA￡=9O°,

00BAD+EIABD=9OO,

^BCAE=SABD,

在團(tuán)408和EICEA中，

2ABD=ZCAE

＜ABDA=ACEA,

AB^AC

^SiADB^ECEA（AAS）,

^\AE=BDfAD-CE,

^\DE=AE+AD=BD+CE.

(2)解：成立.

理由：如圖2中，

^\BDA=^\BAC=af

o

^DBA^BAD=^BAD+^\CAE=130-af

加DBA二團(tuán)CAE,

在國(guó)AD3和團(tuán)CE4中，

ZBDA=ZAEC

</DBA=NCAE,

AB=AC

^\ADB^\CEA(AAS),

^\AE=BD,AD=CE,

^DE=AE+AD=BD+CE.

(3)如圖3,過(guò)萬(wàn)作EM回印于M,GN力〃的延長(zhǎng)線于N.

圖3

EHEA〃=EIGN/=90。

由(1)和(2)的結(jié)論可知EM=AH=GN

REM=GN

在I3EM/和［3GN/中，

AGIN=ZEIM

<EM=GN,

AGNI=ZEMI

^EMJ^GNl(AA5),

0E/=G/,

團(tuán)/是EG的中點(diǎn).

^\SAAEI=^SAAEG=3.5.

故答案為：3.5.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(1)課本習(xí)題回放："如圖①，ZACB=90°,AC^BC,ADYCE,BE±CE,垂足

分別為O,E,AD=2.5cm,DE=1.1cm.求BE的長(zhǎng)"，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：物的長(zhǎng)

為.

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)、B,C在NM4N的邊3、AN±.,AB=AC,點(diǎn)、E,尸在

NM4N內(nèi)部的射線AD上，且NBED=NCFD=NBAC.求證：AABE^CAF.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在AABC中，AB^AC,AB>BC.點(diǎn)。在邊8C上，

CD=2BD,點(diǎn)E、尸在線段AD上，NBED=NCFD=NBAC.若AABC的面積為15,則

AACF與ABDE的面積之和為.（直接填寫(xiě)結(jié)果，不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

【答案】（1）0.8cm；（2）見(jiàn)解析（3）5

【分析】（1）利用A4S定理證明團(tuán)CEBfflAOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）由條件可得［3BEA=EIAFC,04=0ABE,根據(jù)A4s可證明ElABEEBCAE

（3）先證明EABEB3CAF,得到AACF與ABDE的面積之和為財(cái)8。的面積，再根據(jù)

CD=23。故可求解.

【詳解】解：（1）0BEI3CE,AD0C￡,

EBE=0AOC=9O°,

0EIEBC+EBCE=9OO.

E0BCE+EAC￡）=9O°,

S3\EBC=BDCA.

ZE=ZADC

在回CEB和EL4OC中,|NEBC=NDCA

BC=AC

aaCEBEHADC(A4S),

⑦BE=DC,CE=AD=2.5cm.

國(guó)DC=CE-DE,DE=1.7cm,

團(tuán)OC=2.5—L7=0.8c機(jī)，

^\BE=Q.8cm

故答案為：0.8cm；

(2)證明：團(tuán)團(tuán)1=團(tuán)2,

^\BEA=^\AFC.

0Ell=EIABE+03,03+04=EIBAC,EI1=EIBAC,

aBBAC=EL4BE+l33,

0[34=EIABE.

E0AEB=0AFC,0ABE=04,AB=AC,

^EABE^CAF(A4S).

(3)0/BED=NCFD=NBAC

^ABE+^BAE^FAC^BAE^FAC+^ACF

SEABE^CAF,^BAE^ACF

XAB=AC

^\ABE3^CAF,

0S?ABE=SQF

0MCF與ABDE的面積之和等于MBE與ABDE的面積之和,即為0ABD的面積,

ECD=2BD,0ABO與EL4c。的高相同

則SAAB。=SAABC=5

故AACF與ABDE的面積之和為5

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，線段42=6,射線5GSA2,P為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊做正方形APC。，且

點(diǎn)C、。與點(diǎn)B在AP兩側(cè)，在線段。尸上取一點(diǎn)E,使得SEAABBAP,直線CE與線段

AB相交于點(diǎn)尸（點(diǎn)尸與點(diǎn)A、2不重合），

（1）求證：△AEPEBCEP；

（2）判斷CF與AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）AAEE的周長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）CF^AB,理由見(jiàn)解析；（3）是，為16.

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到。P平分EAPC,PC^PA,求得S4PO=團(tuán)CPE>=45。，根據(jù)

全等三角形的判定定理得到EAEPMCEP（SAS）；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到SEAASECP,求得SBAASFCP,根據(jù)垂直的定義得到

CFSAB；

（3）過(guò)點(diǎn)C作CM/8.根據(jù)平行線的性質(zhì)得到回CPN=aPCF=aEAP=aR4B,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得至I]CN=PB=8F,PN=AB,推出AE=CE,于是得到0AM的周長(zhǎng).

【詳解】解：（1）證明：回四邊形APCQ正方形，

回。尸平分ElAPC,PC=PA,EAPC=90°,

mAPE=BCPE=45°,

在0AEP與EICE尸中,

AP=CP

<NAPE=NCPE,

PE=PE

EHAEPEBCEP(SAS)；

(2)CFWiB,理由如下:

0EL4￡P(guān)00C￡P(guān),

00EAP=EECP,

^EAP^BAP,

0EIBAP=0FCP,

EBAPC=90°,

團(tuán)團(tuán)尸CP+團(tuán)CM尸=90°,

團(tuán)團(tuán)AM尸+團(tuán)以8=90°,

甌AFM=90°,

團(tuán)C7回48；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CNZIPB.

團(tuán)團(tuán)尸NC二團(tuán)8二90。，F(xiàn)C^\BN,

^CPN=^PCF=^EAP=^\PAB9

又AP=CP,

^IPCN^APB(AAS),

⑦CN=PB=BF,PN=AB,

甌AEPfflCEP,

^\AE=CEf

^BAEF的周長(zhǎng)=AE+EF+A尸

二CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

二AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

=16.

故0A所的周長(zhǎng)是否為定值，為16.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，其中(3)中證明

0PCM3EL4PB(A4S)是本題的關(guān)鍵.

7.(1)觀察理解：

如圖1,fflACB=90°,AC=BC,直線/過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)A,8在直線/同側(cè)，8。皿，A￡HZ,垂足

分別為。，E,求證：BAE^CDB.

圖1“

（2）理解應(yīng)用：

如圖2,過(guò)0ABe邊AB、AC分別向外作正方形A2OE和正方形ACFG,A//是BC邊上的

高，延長(zhǎng)/M交EG于點(diǎn)/.利用（1）中的結(jié)論證明：/是EG的中點(diǎn).

圖2

（3）類(lèi)比探究：

①將圖1中0AEC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180。得到圖3,則線段ED、EA和BD的關(guān)系:

圖3

②如圖4,直角梯形A3CZ）中，AD//BC,ABSBC,4。=2,BC=3,將腰。C繞。點(diǎn)逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至。E,0AEZ）的面積為.

圖4

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）①ED=EA-BD；②1

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得她=國(guó)8。。，再利］用AAS證得HAEafflCOS即可；

（2）分別過(guò)點(diǎn)E、G向印作垂線，垂足分別為M、N,由（1）可證得SEMAfflAHB,

0ANGEBCH4,從而得到￡M=GN,可得到EIEMTEEIGN/,從而得到E/=/G,即可求證；

（3）①由（1）得：SAECQSCDB,可得CE=BD,AE=CD,即可；②過(guò)點(diǎn)C作CR3AD交

AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E作交A。延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得根據(jù)題意

得：ECD￡=90°,CD=DE,再由（1）可得EICOPHSDE。，從而得到。P=EQ,然后根據(jù)兩平

行線間的距離，可得AP=8C,進(jìn)而得到尸。=1,即可求解.

【詳解】（1）證明：0B￡>0/,AESI,

00A￡C=0B￡）C=9O°,

又EEACB=90。

fflA+EACE=ElACE+EIBa）=90°,

0EIA=0BCD,

在EAEC和EICDB中，

ZEC=ZCDB

<ZA^ZBCD

AC=BC

EHAECEHCDB（AAS）；

（2）證明：分別過(guò)點(diǎn)E、G向小作垂線，垂足分別為M、N,

由(1)得：EEMA00AHB,^ANG^CHA,

SEM=AH,GN=AH,

@EM=GN,

在團(tuán)EM/和團(tuán)GN/中，

ZEIM=/GIN

</EMI=AGNI=90°

EM=GN

回回EMHEGN/(A4S)；

BEI=IGf

即/是EG的中點(diǎn)；

(3)解：①由(1)得：^AEC^BCDB,

田CE=BD,AE=CD,

⑦ED=CD-CE,

^\ED=EA—BD；

故答案為：ED=EA-BD

②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHMD交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E作EQEAD交A￡>延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,

根據(jù)題意得：fflCDE=90",CD=DE,

由（1）得：SCDP^EDEQ,

^DP=EQ,

直角梯形A2CD中，AD//BC,AB0BC,

0AB0AD,EIABI3CP,

0BC0CP,

0BC=3,0Ap=BC=3,

0A￡>=2,

回。P=AP-AZ）=1,

MQ=1,

aaADE的面積為L(zhǎng)AD?ENL倉(cāng)21=1.

22

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，平行間的距離，熟練掌

握全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行間的距離，并利用類(lèi)比思想解答是

解題的關(guān)鍵.

8.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型"K字"模型或"一線三等角"模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

DEJ.AC于點(diǎn)E.求證：BC=AE.

［模型應(yīng)用］如圖2,AELAB且AE=AB,3CLCD且3C=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)

據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為-

［深入探究］如圖3,ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AC^AE,連接BC,DE,且

3。，所于點(diǎn)￡DE與直線AF交于點(diǎn)G.若BC=21,AF=12,則△ADG的面積為

【答案】［模型呈現(xiàn)］見(jiàn)解析；［模型應(yīng)用］50；［深入探究］63

【分析】［模型呈現(xiàn)］證明AIBC四△以￡,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到8C=AE；

［模型應(yīng)用］根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,

CG=3G=3,根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作DPLAG于P,過(guò)點(diǎn)E作EQLAG交AG的延長(zhǎng)線于0,根據(jù)全等三角

形的性質(zhì)得到DP=A尸=12,EQ=A尸=12,AP=BRAQ=b,證明ADPG且AEQG,得到

PG=GQ.,進(jìn)而求出AG,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】［模型呈現(xiàn)］證明：0Z&4￡)=9O°,

SZBAC+ZDAE=90°,

^\BCLAC,DELAC,

0ZACS=ZDE4=90°,

EZBAC+ZABC=90°,

0ZABC=ZZME,

在AABC和A/ME中，

'NABC=NDAE

<NACB=ZDAE,

BA=AD

回△A8C0A￡)AE(AAS),

SBC=AE-,

［模型應(yīng)用］解：由［模型呈現(xiàn)］可知，AAEP咨4BAG4CBG冬由CH,

^\AP=BG=3,AG=EP=6,CG=DH=4,CG=BG=3,

則S實(shí)線圍成的圖形=1(4+6)X(3+6+4+3)-1X3X6-1X3X6-1X3X4-|X3X4=50,

乙乙乙乙乙

D

CE

故答案為：50；

［深入探究］過(guò)點(diǎn)。作DP，AG于P,過(guò)點(diǎn)E作，AG交AG的延長(zhǎng)線于Q,

由［模型呈現(xiàn)］可知，AAFBaDPAqAFC'EQA,

^\DP=AF=12,EQ=AF=12,AP=BF,AQ=CF,

在ADPG和中，

ZDPG=ZEQG

</DGP=/EGQ,

DP=EQ

團(tuán)△。尸G也△EQG(AAS),

回PG=GQ,

團(tuán)BC=2L

^\AQ+AP=21,

國(guó)AP+AP+PG+PG=21,

團(tuán)AG=AP+PG=10.5,

團(tuán)S△aA〃DO丫——2x10.5x12=63,

故答案為：63.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的

判定定理是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，ZABC=90°,于點(diǎn)A,。是線段AB上的點(diǎn)，AD^BC,AF=