第06講多邊形內(nèi)角和(7種題型)

D【知識(shí)梳理】

一、多邊形內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和為和-2)?180°(n23).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用:①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和;②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；

(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于5—2)?180；

n

二、多邊形的外角和

多邊形的外角和為360°.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和.n邊形

的外角和恒等于360。，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān)；

(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于隨；

n

(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊

形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù).

三.平面鑲嵌(密鋪)

(1)平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接.彼此

之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.

(2)正多邊形鑲嵌有三個(gè)條件限制：①邊長(zhǎng)相等；②頂點(diǎn)公共；③在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊

形的內(nèi)角之和為360。.

判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角，若

能構(gòu)成360°,則說(shuō)明能夠進(jìn)行平面鑲嵌，反之則不能.

(3)單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形.

(4)兩種正多邊形的鑲嵌：3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形、四個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形、2

個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形、1個(gè)正三角形和2個(gè)正十二邊形、1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形

等.

(5)用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案.

、j【考點(diǎn)剖析】

題型一：利用內(nèi)角和求邊數(shù)

例1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°,則它是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

【變式1】（2021?河北承德市?八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°,這個(gè)多邊形的

邊數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.7

【變式2】（2021?浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,則

這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

題型二：求多邊形的內(nèi)角和

例2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800°,截去一個(gè)角后，得到的多邊形的內(nèi)角和為（）

A.1620°B.1800°

C.1980°D.以上答案都有可能

【變式1］（2021?云南臨滄?八年級(jí)期末）一個(gè)八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）

A.360°B.720°C.900°D.1080°

【變式2】（2021?廣西來(lái)賓市?八年級(jí)期中）已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外

角的4倍多30。，求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.

【變式3】（2020?南京市寧海中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）問(wèn)題1：如圖，我們將圖（1）所示的

凹四邊形稱(chēng)為“鏢形”.在“鏢形”圖中，/40C與/人NC、N戶(hù)的數(shù)量關(guān)系為

ZC+AP.

B

BB

P

圖1圖2圖3圖4

問(wèn)題2：如圖(2),已知4P平分/胡2,CP平分4BCD,/后28°,N慶48°,求N戶(hù)的大

??；

小明認(rèn)為可以利用“鏢形”圖的結(jié)論解決上述問(wèn)題：

由問(wèn)題1結(jié)論得：AAOC=APAO^APC(AAAPC,

所以2/A0O22PAa24PC階2/APC,

即2/AOO/BAS/DC82/APC；

由“”得：/AOC=NBA8NB,ZAO(=ZDC(AZD.

所以2/AOO/BAm/DCm/B+/D.

所以2乙APO.

所以ZAPC=

請(qǐng)幫助小明完善上述說(shuō)理過(guò)程，并嘗試解決下列問(wèn)題(問(wèn)題1、問(wèn)題2中得到的結(jié)論可以直

接使用，不需說(shuō)明理由)；

解決問(wèn)題1：如圖(3)已知直線(xiàn)/戶(hù)平分/曲，的外角/物〃CP平分/BCD的外角NBCE,

猜想/戶(hù)與N6、的關(guān)系為

解決問(wèn)題2：如圖(4),已知直線(xiàn)/戶(hù)平分/周〃CP平分/BCD的外角/BCE,則/戶(hù)與N6、

/〃的關(guān)系為_(kāi)______________

題型三：復(fù)雜圖形中的角度計(jì)算

例3.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+Z7=()

A.450°B.540°C.630°D.720°

【變式1］（2021?全國(guó)八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在五邊形/以龍中，/〃=120°,與/EAB

相鄰的外角是80°,與/DEA,/49C相鄰的外角都是60°,則/C為度.

【變式2】（2020?南京市寧海中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，五邊形46優(yōu)的兩個(gè)內(nèi)角平分

線(xiàn)相交于點(diǎn)0,Zl,Z2,Z3是五邊形的3個(gè)外角，若Nl+N2+N3=220°,則/

AOB=_

【變式3】（2022春?武岡市期中）如圖，求N1+/2+/3+/4+/5+/6+/7的度數(shù).

【變式4】（2022春?宿城區(qū)校級(jí)月考）利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍

的效果.

幾何模型：

如圖（1）,我們稱(chēng)它為“A”型圖案，易證明：ZEDF=ZA+ZB+ZC.

運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題:

（1）如圖（2）,“五角星”形，求N4+NA2+NA3+NA4+NA5=?

分析：圖中4A3加4是“A”型圖，于是乙42加5=/4+乙43+/4,所以NA1+/A2+/A3+

N4+ZAs—_____________

（2）如圖（3）,“七角星”形，求/A1+NA2+NA3+NA4+NA5+/A6+/A7的度數(shù).

題型四：利用方程和不等式確定多邊形的邊數(shù)

例4.一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為1125。，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了以后,

重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個(gè)內(nèi)角，問(wèn)這個(gè)內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？

【變式1】.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）看圖回答問(wèn)題:

小華小明

⑴內(nèi)角和為2014。，小明為什么說(shuō)不可能？

（2）小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？

【變式2】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）解決多邊形問(wèn)題：

⑴一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，它是幾邊形？

（2）小華在求一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，重復(fù)加了一個(gè)角的度數(shù)，計(jì)算結(jié)果是1170。，這個(gè)多

邊形是幾邊形？

題型五：已知各相等外角的度數(shù)，求多邊形的邊數(shù)

例5.正多邊形的一個(gè)外角等于36°,則該多邊形是正（）

A.八邊形B.九邊形C.十邊形D.十一邊形

【變式1】.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是30。，那么這個(gè)多

邊形的邊數(shù)是.

【變式2】（2021?廣西八年級(jí)期中）己知一個(gè)〃邊形的每一個(gè)外角都等于30°.

（1）求〃的值.

（2）求這個(gè)〃邊形的內(nèi)角和.

題型六：多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合運(yùn)用

例6.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為540°,則它是（）

A.五邊形B.四邊形C.三角形D.不能確定

【變式1]（2021?陜西）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)之和為1260。，求這個(gè)多邊形

的邊數(shù).

【變式2】(2021?廣西來(lái)賓市?八年級(jí)期中)已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都比它相鄰的外

角的4倍多30。，求這個(gè)多邊形是幾邊形？并求出這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.

【變式3】(2021秋?泰州期末)【相關(guān)概念】將多邊形的內(nèi)角一邊反向延長(zhǎng)，與另一條邊相

夾形成的那個(gè)角叫做多邊形的外角.如圖，將△ABC中NACB的邊CB反向延長(zhǎng)，與另一

邊AC形成的NAC。即為aACB的一個(gè)外角.三角形外角和與三角形內(nèi)角和對(duì)應(yīng)，為與三

個(gè)內(nèi)角分別相鄰的三個(gè)外角的和.

【求解方法】借助一組內(nèi)角與外角的數(shù)量關(guān)系，可以求出三角形的外角和.

如圖，ZkABC的夕卜角和=(180°-ZACB)+(180°-ZCAB)+(180°-NABC)=540°

-(ZACB+ZABC+ZCAB)=540°-180°=360°.

【自主探究】根據(jù)以上提示，完成下列問(wèn)題：

(1)將下列表格補(bǔ)充完整.

名稱(chēng)圖形內(nèi)角和外角和

三角形180°360°

四邊形360°360°

五邊形540°360°

????????????

。邊形180°360°

(n-2)

(2)如果一個(gè)八邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，請(qǐng)用兩種不同的方法求出這個(gè)八邊形一個(gè)內(nèi)

角的度數(shù).

題型七：平面鑲嵌

例7.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）用同一種下列形狀的圖形地磚不能進(jìn)行平面鑲嵌的是

（）

A.正三角形B.長(zhǎng)方形C.正八邊形D.正六邊形

【變式】（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）用正多邊形來(lái)鑲嵌平面的原理是共頂點(diǎn)的各個(gè)角之和

必須等于360。.現(xiàn)在有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④

正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、⑦正十五邊形.請(qǐng)你用其中的不同的三種正多

邊形來(lái)鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：.（請(qǐng)用序號(hào)表示，只需寫(xiě)出兩種即

可）

W【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期末）如圖是由射線(xiàn)AB,BC,CD,DE,EF,E4組成的平

面圖形，則ZI+/2+/3+/4+/5+/6的值為（）

A.180°B.360°C.540°D.720°

2.（2023春?山東泰安?八年級(jí)?？计谀┱噙呅蔚膬?nèi)角和為720。，則這個(gè)多邊形的一個(gè)

內(nèi)角為（）

A.90°B.60°C.120°D.135°

3.（2023春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)多邊

形是（）

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形

4.（2023春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的外角不

可能是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

5.（2023春?全國(guó)八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF^()

C.360°D.540°

6.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）將一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后所得的多邊形內(nèi)角和為2520,

則原多邊形的邊數(shù)為（）

A.15或16B.16或17C.15或16或17D.16或17或18

7.（2023秋?廣西欽州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為2020。；老

師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角！則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.110°B.120°C.130°D.140°

8.（2023?全國(guó)■八年級(jí)假期作業(yè)）已知一個(gè)多邊形內(nèi)角和為1080。，則這個(gè)多邊形可連對(duì)角

線(xiàn)的條數(shù)是（）

A.10B.16C.20D.40

9.（2023秋?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形，則這個(gè)多邊形原

來(lái)的邊數(shù)是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

二、填空題

10.（2023春?安徽淮北?八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若“邊形的每個(gè)內(nèi)角都是108,

則邊數(shù)"為—.

11.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖是由射線(xiàn)AB、BC、CD、AA組成的平面圖形，則

12.（2023春?浙江寧波?八年級(jí)校聯(lián)考期中）一個(gè)正"多邊形的一個(gè)內(nèi)角是它的外角的4

倍，貝!.

13.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角均為36。，則這個(gè)多邊形的

內(nèi)角和為度.

14.（2023?全國(guó)?八年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)多邊形外角和是內(nèi)角和的:，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)

是.

15.（2023春?陜西西安?八年級(jí)西安行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和

的3倍，則它是邊形.

16.（2023?全國(guó),八年級(jí)假期作業(yè)）一個(gè)〃邊形的所有內(nèi)角和等于540。，則”的值等于

17.（2023春?上海?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，0A+回2+06+[3。+團(tuán)￡+13/+團(tuán)6+[3￡⑷3/+13K的度數(shù)為

18.（2023春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)

角和是1440。.則原來(lái)多邊形的邊數(shù)是.

19.（2021秋?工業(yè)園區(qū)期末）某休閑廣場(chǎng)的地面中間是1塊正六邊形地磚，周?chē)怯谜?/p>

形和正三角形地磚按如圖方式依次向外鋪設(shè)10圈而成，其中第1圈有6塊正方形和6塊

正三角形地磚，則鋪設(shè)該廣場(chǎng)共用地磚塊.

三、解答題

20.（2023春?廣東茂名?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)正多邊形其一個(gè)內(nèi)角與其相鄰的一

個(gè)外角的度數(shù)之比是7:2,求這個(gè)多邊形是幾邊形？

21.（2022秋?云南楚雄?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)多邊形的外角和比這個(gè)多邊形的內(nèi)角

和小540。.

（1）求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；

⑵求這個(gè)多邊形的所有對(duì)角線(xiàn)條數(shù).

22.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，求NA+/3+NC+/O+NE+/F的大小.

23.（2022春?八年級(jí)單元測(cè)試）已知四邊形A3CD的四個(gè)外角的度數(shù)之比為3:4:5:6,那

么這個(gè)四邊形各內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？

24.（2023春?全國(guó)?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀材料: