第06講拋物線方程及其性質(zhì)

（5類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

切線長

2023年新II卷，第10題,6分根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線

直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題

由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（不含參）

2023年新I卷，第22題,12分

求直線與拋物線相交所得弦的弦長基本（均值）不等式的應(yīng)用

求平面軌跡方程

拋物線定義的理解

根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2023年新H卷，第10題,5分無

求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)與地物線焦

點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)

根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線求直線與拋物線相交所得弦

2022年新I卷，第11題,5分

判斷直線與拋物線的位置關(guān)系的弦長

拋物線定義的理解數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2022年新n卷，第10題,5分

求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩點(diǎn)求斜率

根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線

2021年新I卷，第14題,5分無

根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程

2021年新II卷，第3題,5分根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線已知點(diǎn)到直線距離求參教

2020年新I卷，第13題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長無

2020年新H卷,第14題,5分求拋物線焦點(diǎn)弦長無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.熟練掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會基本量的求解

2.熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并會相關(guān)計算

3.會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，會拋物線方程簡單的實際應(yīng)用

1

5.會求拋物線的相關(guān)最值

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容,常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計算及最值的求解,

需重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

Ir.考點(diǎn)梳理。

考點(diǎn)4拋物線中的最值問題

考點(diǎn)5拋物線的簡單應(yīng)用

知識講解

1.拋物線的定義

平面上一動點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)E(：,0)的距離與到定直線/：x=-f的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線

2.拋物線的圖形

3.數(shù)學(xué)表達(dá)式

\PF\=\PPi

4.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

設(shè)p(x,y),由定義可知：

|PF|=|P^|.-J(x-^)2+/=x+g,等式兩邊同時平方得:

.,.(x-^)2+y2=(x+^)2=4>x2-px+^+y1=x2+Px+~~=>/=2px

2

5.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)

焦點(diǎn)

X軸正半軸X軸負(fù)半軸y軸正半軸y軸負(fù)半軸

位置

5.

Pl\5J/

(

4,

圖形0

-5VTH

-5

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2Pxy2=-2pxX2=2pyX2=-2py

方程

焦點(diǎn)

g，。）(-f,o)（吟

坐標(biāo)

準(zhǔn)線p

x=-PX_Py=——

方程222

6.通徑

通徑長：2p,半通徑長：p

7.焦半徑（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）

橫軸尸司=聞+]

焦半徑

縱軸：|尸刊=閱+]

8.焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

(1)%=-P?,%%=7

PP

(2)AB\^+x+p^^-（5）｛/尸,8尸｝*=

Xl21+COS01-COS0

sin6min

（6）NCFD=90°

（7以N8為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切

=2（焦點(diǎn)弦中垂線問題）

考點(diǎn)一、拋物線的定義

3

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）已知拋物線/=4x上有一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為9,那么點(diǎn)P到無軸的距離為.

【答案】4亞

【分析】根據(jù)拋物線的定義知物=8,將其再代入拋物線方程即可.

【詳解】由/=4x知拋物線的準(zhǔn)線方程為％=-1,設(shè)點(diǎn)PQoJo），由題意得％+1=9,解得％=8,

代入拋物線方程必=4無，得訴=32,解得％=±4后，

則點(diǎn)尸到x軸的距離為4夜.

故答案為：4c.

2.（2023?北京?高考真題）已知拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)”在C上.若M到直線x=-3的距離為5,

則|〃F|=（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】D

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】因為拋物線C:/=8x的焦點(diǎn)尸（2,0）,準(zhǔn)線方程為了=-2,點(diǎn)M在C上，

所以M到準(zhǔn)線x=-2的距離為|"F|,

又M到直線x=-3的距離為5,

所以|吹|+1=5,故|MF|=4.

故選：D.

即時檢測

■一

1.（2023高三?全國?專題練習(xí)）動點(diǎn)P到直線x+4=0的距離減去它到點(diǎn)M（2,0）的距離等于2,則點(diǎn)尸的

軌跡是（）

A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，動點(diǎn)尸到直線的距離與到定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義可知，點(diǎn)尸的軌跡為

拋物線.

【詳解】如圖所示，由于動點(diǎn)P到直線x+4=0的距離減去它到點(diǎn)M（2,0）的距離等于2,

于是動點(diǎn)P在直線x=T的右邊，且動點(diǎn)P到直線x+4=0的距離大于2,

因此動點(diǎn)P到直線》=-2的距離等于它到點(diǎn)“（2,0）的距離，

進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義，可知點(diǎn)尸的軌跡是拋物線.

故選：D

2.（2024?陜西西安?一模）平面上動點(diǎn)M到定點(diǎn)尸（3,0）的距離比M到N軸的距離大3,則動點(diǎn)M滿足的方

4

程為.

【答案】或y=0(x<0)

【分析】考慮x'O和x<0兩種情況，xWO時確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到‘=3,得到答案.

2

【詳解】動點(diǎn)河到定點(diǎn)廠(3,0)的距離比河到y(tǒng)軸的距離大3,

當(dāng)尤20時，動點(diǎn)/到定點(diǎn)尸(3,0)的距離等于到了=-3的距離，軌跡為拋物線，

設(shè)拋物線方程為/=2.，則］=3,即。=6,所以/=12x；

當(dāng)x<0時，P=0滿足條件.

綜上所述：動點(diǎn)刊的軌跡方程為：xNO時，y2=12x；x<0時，y=0,(x<0).

故答案為：/=⑵或y=0(x<0)

考點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

典例引領(lǐng)

1.(2024高三下?江西新余?專題練習(xí))請寫出一個以(0,1)為焦點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為對稱軸的拋物線方

程：.

【答案】，=勺(答案不唯一)

【分析】舉例尤2=4了，再驗證即可.

【詳解】不妨取頂點(diǎn)為原點(diǎn)，設(shè)f=2?，則勺1,解得。=2,則尤2=僅

故可舉例—=4y.

故答案為：x2=4y.

2.(2024?貴州畢節(jié)三模)已知點(diǎn)(1,2)在拋物線C:y=2/“p>0)上，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為()

1111

A.x=——B.x=——C.y=——D.y=——

2828

【答案】D

【分析】將點(diǎn)(1,2)代入拋物線方程求出0,再將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出準(zhǔn)線方程.

【詳解】因為點(diǎn)(1,2)在拋物線C:y=2.2(p>o)上,

所以2=2p,解得。=1,

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=；>,

所以拋物線。的準(zhǔn)線方程為了=-1

O

故選：D.

3.(2024?寧夏石嘴山?三模)如圖，過拋物線/=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸的直線/交拋物線于兩點(diǎn)/、B,交其

5

準(zhǔn)線于C,NE與準(zhǔn)線垂直且垂足為E,若忸c|=2忸刊,|NE|=3,則此拋物線的方程為（）

23x,

A.y=—B.y=9x

C.y2=D.y2=3x

2

【答案】D

【分析】過點(diǎn)42作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)忸司=。，得到|/c|=3+3*結(jié)合拋物線的定義,求得。=1,再由助//%,

列出方程求得。的值，即可求解.

【詳解】如圖所示，分別過點(diǎn)8作準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，

設(shè)忸用=a,則忸C|=2忸刊=2a,

由拋物線的定義得\BD\=\BF\=a,

\BD\1

在直角△BCO中,可得sin/BCD=J----\,所以N8CD=30°,

\BC\2

在直角中，因為|/目=3,可得|4C|=3+3a,

由|/C|=2|/E|,所以3+3a=6,解得a=l,

因為BD//FG,所以；*，解得所以拋物線方程為V=3x.

即時檢測

I_______________________

1.（2024?北京?高考真題）拋物線r=16尤的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（4,0）

6

【分析】形如V=2px,（°N0）的拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為由此即可得解.

【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為r=16x,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）.

故答案為：（4,0）.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）過點(diǎn)（2,-3）,且焦點(diǎn)在V軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

9_2422n

A.x2=—3yB.x=~~^yC.x=~~yD.x2=—4y

【答案】B

【分析】利用待定系數(shù)法，設(shè)出拋物線方程，把點(diǎn)代入求解即可.

【詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為苫2=即僅力0）,

4

將點(diǎn)點(diǎn)⑵-3）代入，得22=-3°,解得.=-§,

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是/=-］小

故選：B

3.（23-24高三下?湖北?開學(xué)考試）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)尸關(guān)于其準(zhǔn)線的對

稱點(diǎn)為（6,0）,則C的方程為（）

A.y2=-8xB.y2——4xC./=8xD.y1=4x

【答案】A

【分析】設(shè)拋物線的方程為必=-2/5>0）,設(shè)焦點(diǎn)廠關(guān)于準(zhǔn)線/的對稱點(diǎn)為2%,0）,求得毛=學(xué)，得到

”=6,進(jìn)而得拋物線的方程.

【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為必=一2川（p>0）,

可得焦點(diǎn)坐標(biāo)廠（-0）,準(zhǔn)線方程為/：x=5,

設(shè)焦點(diǎn)廠關(guān)于準(zhǔn)線/的對稱點(diǎn)為次％,0）,可得x0+（_g=2xg解得/=當(dāng)，

因為點(diǎn)廠關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)為（6,0）,可得當(dāng)=6,解得p=4,

所以拋物線的方程為V=_8x.

故選：A.

考點(diǎn)三、拋物線的幾何性質(zhì)

典例引領(lǐng)

7

1.（24-25高三上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試）已知點(diǎn)在拋物線C:/=2px上，則A到C的準(zhǔn)線的距離

為.

【答案】4

4

【分析】利用給定條件求出拋物線方程，進(jìn)而求出準(zhǔn)線方程，計算距離即可.

【詳解】因為點(diǎn)/0,6）在拋物線C:r=2/上，

代入拋物線中得3=2p,解得p=所以C:/=3x

2/

故拋物線的準(zhǔn)線方程為％=―3-，

4

所以A到。的準(zhǔn)線的距離為1+：3=-7.

44

7

故答案為：—

4

2.（24-25高三上?黑龍江?階段練習(xí)）已知拋物線。:/=2.（P〉0）的焦點(diǎn)為方，若拋物線上一點(diǎn)M滿足

\MF\=2,ZOFM=60°,則P=（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線定義及焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離列方程求參數(shù)即可.

【詳解】

過M分別向1軸和準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為4N,

根據(jù)拋物線定義，有|"F|=WW|=2,

所以夕=|7W|+|MF|-cos60o=3.

故選：A

3.（24-25高三上?河南焦作?開學(xué)考試）已知點(diǎn)420+1,30+：在拋物線C:/=2pyS>0）上，則C的焦

點(diǎn)與點(diǎn)。,2）之間的距離為（）

A.4B.VsC.2D.y/2

【答案】D

【分析】根據(jù)A在拋物線上可求0的值，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)后結(jié)合距離公式可得正確的選項.

8

【詳解】因為A在拋物線上，故（2p+l『=2p（3p+；］,

整理得到：4/+"+1=6/+］即202-?-1=0,

解得。=2或〃=-；（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

故所求距離為^12+（2-1）2=41，

故選：D.

4.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）己知拋物線X?=2即（。>2）的焦點(diǎn)為RP為拋物線上一點(diǎn)，且滿足忸尸|=5,

4

設(shè)直線尸尸的傾斜角為6,若cos6=］，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】（-4,1）

4

【分析】活用拋物線定義，將戶尸|=5轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線距離，由cos0=］得出sin。，將傾斜角6和sing結(jié)合焦

點(diǎn)坐標(biāo)用幾何圖形表示出來即可找到關(guān)系式求解。的值，進(jìn)而得力和拋物線的方程，從而得與得解.

【詳解】由題可知尸（0段），準(zhǔn)線方程為y=~|,

如圖，過尸作尸G，/交/于點(diǎn)G,則尸G=P尸=5,

過下作FE_LPG交尸G于點(diǎn)E,則￡G=2OR=a,APFE=0,PE=5-a或PE=a-5,

4I------------§

又由cos6=1以及傾斜角范圍得sin?=Jl-cos20,

由I、I公尸￡_5_Q_3_a-5_3

所以有--------=-=＞。=2或---=----=—n。=8,

PF55PF55

又Q>2,故。=8,此時x?=2砂=16y,yP=5--1-=1,

將%=1代入x2=16y得今=4（舍去）或今=-4,故P（T,1）.

故答案為:P（-4,l）.

即時檢測

I___________________

1.（2024?江西?一模）已知點(diǎn)尸。,比）是拋物線C:/=2pxS>0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到。的焦點(diǎn)距離為2,則

P=.

【答案】2

9

【分析】求出準(zhǔn)線方程，由拋物線定義列方程求解即可.

【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為X=-5,則點(diǎn)P到C的焦點(diǎn)距離為1+5=2,所以。=2.

故答案為：2.

2.（2024?山東聊城?二模）點(diǎn)尸在拋物線/=8尤上，若點(diǎn)尸到點(diǎn)（2,0）的距離為6,則點(diǎn)尸到P軸的距離為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】由拋物線的定義知，點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，結(jié)合點(diǎn)P和準(zhǔn)線的位置，求點(diǎn)P到

y軸的距離.

【詳解】拋物線/=8無開口向右，準(zhǔn)線方程為》=-2,

點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為6,則點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為6,

點(diǎn)尸在y軸右邊，所以點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為4.

故選：A.

3.（23-24高三下?全國?開學(xué)考試）拋物線C:必=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸,C上的點(diǎn)到尸的距離等于到直線

x=-l的距離，則P=（）

11

A.2B.1C.-D.-

24

【答案】A

【分析】利用拋物線的定義建立方程，求解參數(shù)即可.

【詳解】因為拋物線上的點(diǎn)到尸的距離等于到直線x=T的距離，

所以x=T是拋物線的準(zhǔn)線，故-^=-1,解得。=2,故A正確.

故選：A

4.（23-24高二上?江蘇南通?階段練習(xí)）已知M是拋物線/=8x上一點(diǎn)，/是拋物線的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).若

NMFO=120°,則線段MF的長為.

【答案】8

【分析】設(shè)出線段期的長度，再由已知條件表達(dá)出M的坐標(biāo)，代入拋物線即可得出結(jié)果.

設(shè)=易求尸（2,0）,作軸于點(diǎn)E,

因為ZMFO=120°,所以AMFE=60°

10

所以在RMME/,ME=MF^sm60°=—a,EF=MF-cos60°=-,

22

(h、

}

所以M2H—a,—a,

(22)

又因為〃■是拋物線V=8x上一點(diǎn)，所以—a=8x〔2+La),即3/—16〃-64=0

、2JV2)

Q

解得a=8或a=--(舍去).

所以線段九牛的長為8.

故答案為：8

考點(diǎn)四、拋物線中的最值問題

.典例引領(lǐng)

1.（2024?陜西?二模）已知拋物線C:/=2px（p>0）上的點(diǎn)P到定點(diǎn)。（2,0）的最小距離為2,貝U

P=.

【答案】巫亡拒

33

【分析】設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)系，再借助二次函數(shù)求出最小值即可得解.

【詳解】依題意,設(shè)尸（20產(chǎn),2pf）（〃R）,于是|尸?！?（2p產(chǎn)-2p）2+（2pf）2=4爐（〃_產(chǎn)+1）,

則當(dāng)時，產(chǎn)。1nlm=&=2,所以夕=孚?

故答案為：空

3

2.（2024?福建莆田?二模）已知拋物線j?=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在拋物線上.若點(diǎn)。在圓（x-3）?+/=1上,

則|兒廬|+|九0|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】畫出圖形結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系以及圓上點(diǎn)到定值線距離的最值即可求解.

【詳解】如圖所示：

11

由題意拋物線必=4x的準(zhǔn)線為尤=-1,它與x軸的交點(diǎn)為（-1,0）,焦點(diǎn)為F（1,O）,

過點(diǎn)M向拋物線的準(zhǔn)線引垂線，垂足為點(diǎn)N,

設(shè)圓（X-3）2+/=I的圓心為尸（3,0）,已知圓與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E,

\MF\+\MQ\^\MN\+\MQ\>\NQ\>\NP\-\PQ\^\NP\-r^\NP\-l>\DP\-1^4-l=3,

且\MF\+|九0|=3成立的條件是O重合且QE重合，

綜上所述，|兒田|+|〃。|的最小值為3.

故選：C.

3.（2024?江西鷹潭?一模）已知拋物線Y=16y的焦點(diǎn)為尸，P是C上的動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作直線了=左@-4）+4

的垂線，垂足為。，則|尸。|+忸尸|的最小值為.

【答案】6

【分析】先分析得。的軌跡，再利用拋物線的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】如圖所示，易知尸（0,4）,直線y=k（x-4）+4過定點(diǎn)。（4,4）,

因為尸。，紗，所以。在以尸。為直徑的圓上,

不妨設(shè)其圓心為￡（2,4）,顯然半徑忸=2,

分別過作準(zhǔn)線>=-4的垂線EM,PG,垂足為M,G,|EM|=8

結(jié)合拋物線定義有|尸+附=\PQ\+\PG\>\PE\-\EQ\+|PG|>\EM\-\EQ\^6,

當(dāng)且僅當(dāng)。、尸均在線段瓦0上時取得等號.

故答案為：6.

4.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知P是拋物線/=2x上的點(diǎn)，。是圓（x-5）2+/=1上的點(diǎn)，則|尸。|的最

小值是（）

A.2B.272C.2gD.3

12

【答案】A

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求?尸a的最小值，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得?尸a的最小值再減去半徑即可.

【詳解】如圖，拋物線上點(diǎn)P(x,y)到圓心c(5,o)的距離為|尸4|。尸區(qū)2@+|尸。］,

因此|尸0以3-1,當(dāng)最小時，|尸。|=|。尸|-1最小，

M|CP|2=(x-5)2+y2［。7］+y2=^-(j；2-8)2+9,

當(dāng)k±2及時，|CP|m,n=3,因此|PQ|的最小值是2.

故選：A.

PB

5.(2023?河南開封?模擬預(yù)測)已知拋物線C:/=8x,尸為。上一點(diǎn)，/(-2,0),5(2,0),當(dāng)不了最小時,

rA

點(diǎn)尸到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為()

A.2石B.372C.2A/3D.8

【答案】A

【分析】設(shè)尸(%,%),由拋物線的定義可得|P2|=|PD=x°+2,|P4|=Jx：+12xo+4,設(shè)t=x0+2,化簡工

1A

11IDDI

可得當(dāng)時，W取得最小值，求出P的坐標(biāo)，即可求解

t4\PA\

【詳解】因為拋物線C:/=8x,則焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線為x=-2,

又-2,0),8(2,0),則點(diǎn)8(2,0)為拋物線的焦點(diǎn)，

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，

設(shè)尸值,為)，則尤=8%,故

由拋物線的定義可得|P8HPO1=x°+2,

13

2

|P/|=J(Xo+2)+仇-0)=JM+2f+>(/=&2+4XO+4+8XO=-^0+12^0+4,

又飛NO,則設(shè)f=x(,+2,故d2,/="2,

則

|PB|x0+2tt

IPA\&+12xo+4""2)2+12(/2)+4A/2-4?+4+12f-24+4

=__叵__=___!___=______!________=-,1-----(t>2)

…Ff?HRFRTF，

當(dāng)時，/取得最小值為二="，貝卜=4，々=2，

t4\PA\V22

將x°=2代入拋物線可得乂=16,所以|。尸卜J4+16=26

故選：A

■即_時__檢__測___

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知拋物線方程為必=4x,點(diǎn)工（1,0）,8（2,-1）,點(diǎn)尸在拋物線上，則|尸/|+|尸耳

的最小值為.

【答案】3

【分析】利用拋物線定義將所求距離轉(zhuǎn)化為|尸判+|尸同，然后利用三點(diǎn)共線求解最小值即可.

【詳解】由題知點(diǎn)A為焦點(diǎn)，由拋物線定義知|04|就是點(diǎn)尸到準(zhǔn)線x=T的距離，如圖，

貝I]|「/|+|P5|=|PD|+|P5|>\BD\,

此時尸，民。三點(diǎn)共線，即當(dāng)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1時，I尸旬+1尸到的值最小,

最小值為2-(T)=3.

故答案為：3

2.（2024?全國?二模）已知點(diǎn)尸為拋物線丁=8x上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓C:（X-5）2+J?=I的兩條切線，切點(diǎn)

分別為M,N,貝！IcosNMPN的最小值為（）

A./2911

B.一C.—D.—

231012

【答案】D

14

【分析】設(shè)點(diǎn)P(f，s),根據(jù)給定條件，結(jié)合切線長定理及二倍角的余弦公式將cosNMPN的函數(shù)，再求出函

數(shù)的最小值即得.

【詳解】設(shè)點(diǎn)P(f,s),則s2=8,

由尸”，尸N切圓C于點(diǎn)得NMPN=2NCPM,且CM_LEM,

因止匕cosNMPN=l-2sin2NCPM=l-2?(^^j2=l-，

Kff|CP|2=(Z-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)*.JF24>24,當(dāng)且僅當(dāng)f=l時取等號,

211

所以當(dāng)￡=1時，cosZMPN取得最小值1-----二一.

3.(2024?四川成都?三模)已知點(diǎn)尸,0分別是拋物線C:j?=4x和直線/:x=:上的動點(diǎn)，若拋物線C的焦點(diǎn)

為萬，則|尸。|+|0尸|的最小值為()

A.3B.2+V3C.2A/3D.4

【答案】C

【分析】按點(diǎn)P在直線x=*上及右側(cè)、左側(cè)分類，借助對稱的思想及兩點(diǎn)間線段最短列式求出并判斷得解.

2

【詳解】設(shè)P的坐標(biāo)為(飛,凡)，則只=4%,拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)網(wǎng)1,0),準(zhǔn)線方程為x=-l,

當(dāng)點(diǎn)尸在直線X=g上及右側(cè)，即時，\PQ\+\QF\>\PF\,當(dāng)且僅當(dāng)。是尸尸與直線/的交點(diǎn)時取等號，

75

此時|尸。|+\QF\>|PF|=X0+1>-,當(dāng)且僅x0=-時取等號,

當(dāng)點(diǎn)尸在直線X=g左側(cè)，即04%<g時，點(diǎn)尸(1,0)關(guān)于/的對稱點(diǎn)是7(4,0),則|。尸|=|。7|,

\PQ\+\QF\=\PQ\+\QT^\PT|=J廢-司+m力(印-Q+4年'(印-2j+12>^T],

當(dāng)且僅當(dāng)。是P歹與直線/的交點(diǎn)，且々=2時取等號，而26<^,

所以戶0|+|0川的最小值為26.

故選：C

15

4.（2023?遼寧撫順?模擬預(yù)測）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是以尸為焦點(diǎn)的拋物線式=4x上任意一點(diǎn)，M是線段

尸尸上的點(diǎn)，且1PM=可兒間，則直線。M的斜率的最大值為（）

V3

A.V2DR.----

322

【答案】B

m=4x-3

【分析】設(shè)/（％,%）,確定比>0,根據(jù)向量之間的關(guān)系得到0,得到，+;=%,

〃=儀

1

」，利用均值不等式計算得到答案.

/0十/I

4%

【詳解】尸。，0）,設(shè)/（%,%）,顯然當(dāng)為<0時，kOM<0,當(dāng)%>0時，kOM>0,

要想求解直線的斜率的最大值，此時為>0.

設(shè)尸1PM=3|MF|,y0>0,貝1J兩=3赤，BP(x0-m,y0-n)=3(l-x0,-y0),

m=4x—3

解得0

n=4%

3

n2=4m,故16y：=4(4%—3),即呼+^=%,

%_%1-<,V3

%>0，故壇"一

%233一3,

「2

4%

3即『等時，等號成立，故直線加的斜率的最大值為日

當(dāng)且僅當(dāng)為=丁

4%

故選：B.

16

考點(diǎn)五、拋物線的簡單應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）某社會實踐小組在調(diào)研時發(fā)現(xiàn)一座石造單孔橋（如圖），該橋拋物線拱形部分的

橋面跨度為21.6m,拱頂距水面10.9m,路面厚度約1m.若小組計劃用繩子從橋面石欄放下攝像機(jī)取景，

使其落在拋物線的焦點(diǎn)處，則繩子最合適的長度是（）

C.5mD.6m

【答案】B

【分析】建立適當(dāng)?shù)牡钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可求得參數(shù)0,進(jìn)

一步即可得解.

【詳解】以拱形部分的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，垂直于x軸，且方向向上，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)拋物線的方程為x2=-2py（p>0）.

1八O2

易知拋物線過點(diǎn)（10.8T0.9）,則IO"=21.8°,得°

21.8

所以2=旺。2.7,所以《+1。3.7.

210.92

故選：B.

2.（2023?河南?模擬預(yù)測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有〃溫潤〃〃淡遠(yuǎn)〃〃清新〃的特征.如

圖，已知碗體和碗蓋的內(nèi)部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm,碗蓋口直徑為8cm,碗體口直徑為10cm,

碗體深6.25cm,則蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.8.25cm

【答案】C

17

【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)碗體的拋物線方程為/=2處（p>0）,將點(diǎn)（5,6.25）代入求出

即可得到拋物線方程，設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為人（cm）,則兩拋物線在第一象

限的交點(diǎn)為（4,力-3）,代入方程計算可得.

【詳解】以碗體的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，向上方向為>軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)碗體的拋物線方程為x2=2抄（p>0）,將點(diǎn)（5,6.25）代入，得52=2px6.25,

解得P=2,則f=4y,

設(shè)蓋上碗蓋后，碗蓋內(nèi)部最高點(diǎn)到碗底的垂直距離為/z（cm）,

則兩拋物線在第一象限的交點(diǎn)為（4,八3）,代入到無2=4%解得42=4色-3）,解得〃=7.

故選：C

3.（23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí)）假設(shè)一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為

2m,渠深0c為L5m,水面E尸距為0.5m,則截面圖中水面寬￡尸的長度約為（）（收=1.414，

由“732,"a2.449）

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線方程并將水面寬度坐標(biāo)化即可求得結(jié)果.

【詳解】以。為原點(diǎn)，oc為>軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=2h（p>0）,

1o

由題意可得41,1.5）,代入/=2抄得l=3p,得P=；，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=：y,

18

2?

設(shè)廠(Xo，%)(x0>0,%>0),則為=1.5-0.5=l,則x：=]xl=]

即可得x。=0.816,

所以截面圖中水面寬斯的長度約為0.816x2Q1.63m,

故選：D.

即時檢測

■一

1.（23-24高三下?陜西安康,階段練習(xí)）在水平地面豎直定向爆破時，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動軌跡

均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部

分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中安全拋物線達(dá)到的最大高度為30

米,碎片距離爆炸中的最遠(yuǎn)水平距離為60米,則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為米.

【答案】60

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線方程形式，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求解，即得答案.

【詳解】如圖，以安全拋物線達(dá)到的最大高度點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于底面的直線為x軸，

和地面垂直的直線為夕軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則拋物線方程為V=-2抄,（p>0）,由題意可知460,-30）,

代入x2=-2py,（p>0）可得602=-2p（-30）,p=60,

即安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為60米，

故答案為：60

2.（2023?河北張家口?二模）探照燈、汽車前燈的反光曲面、手電筒的反光鏡面,太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.

燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒

的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是

80cm,燈深40cm,則光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為（）

B.10cmC.30cmD.40cm

19

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上即可求解.

【詳解】在縱斷面內(nèi)，以反射鏡的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過頂點(diǎn)垂直于燈口直徑的直線為無

軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

由題意可得/（40,40）.

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2px（p>0）,于是4。2=2P40,解得p=20.

所以拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為￡=10,即光源到反射鏡頂點(diǎn)的距離為10cm.

2

故選：B.

3.（2024?山西晉城?一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱

江東路.霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該

拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為。米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩

根吊索之間的距離均為。米（將每根吊索視為線段）.已知最中間的吊索的長度（即圖中點(diǎn)A到橋面的距離）

為b米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點(diǎn)3到橋面的距離）為（）

A,呼3米49a2+pb

P

_169a2+pb169/+2p6小

C.--------------術(shù)D.----------------不

P2。

【答案】A

【分析】建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)8橫坐標(biāo)，代入拋物線即可求解.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為V軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單

位均為米）,

依題意可得拋物線的方程為x2=2眇.

因為同一邊的懸索連接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為。米，則點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為-14°,

xi(-14a)298a2■“生-3口匚--“98a2+pb

則為=#=.=——，所以點(diǎn)8到橋面的距因為------L米?

2P2Ppp

20

故選：A.

Ml.好題沖關(guān).

，基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）若拋物線r=加尤的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/一/=2的右焦點(diǎn)，則/的值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點(diǎn)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為雙曲線V-/=2的右焦點(diǎn)為（2,0）,

又拋物線/=機(jī)關(guān)的準(zhǔn)線方程為x=-;，貝|-'=2,即加=-8.

44

故選：C

2.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知拋物線C:/=2.（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過下且斜率為2的直線/交拋物線C于

A,B兩點(diǎn)，若[48|=5,則（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】設(shè)/：了=21-￡|,4（”），B（x2,y2）,聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義建立關(guān)

于。的方程，解之即可求解.

【詳解】由題意知，下2°）設(shè)/：>=2（》-9,/（占,乂）,3（22），

聯(lián)立直線與拋物線得，I2）,消去V,得4——6/+P2=0,

y2=2Px

3

所以石+工2=5，

由拋物線的定義知|/2|=|/司+忸司=、+。|+[2+￡|=七+七+0=|0+0=：0.

而|/4