第一次月考（壓軸32題10種題型）

范圍：八年級(jí)下冊(cè)第一-第二單元

二次根式有意義的條件（共1小題）

1.若|2017-7l+Ym-2018=m,則m-20172=2018.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：V|2017-/n|+Vm-2018=^-

.".m-2018^0,

加22018,

由題意，得帆-2017+Vin_2018—m-

化簡(jiǎn)，得Virr2018=2017,

平方，得根-2018=20172,

m-20172=2018.

故答案為：2018.

二.二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（共3小題）

2.把a(bǔ)/Z中根號(hào)外面的因式移到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：原式=-―2=-C，

故答案為：-V_a

3.先閱讀下列的解答過程，然后作答：

形如劣m±2五的化簡(jiǎn),只要我們找到兩個(gè)數(shù)。、匕使a+b=，“，ab=n,這樣（?）?+

（Vb>2=m,Va*Vb=Vn-那么便有Jm±±a）2=4土加（?！?/p>

b）例如：化簡(jiǎn)J7+44

解:首先把Y7+4百化為-7+2任，這里機(jī)=7,n=12；

由于4+3=7,4X3=12,即（74）2+（V3）2=7,V4'V3=^/12>

?1?V7+4V3=V7W12=V（V4W3）2=2+如

由上述例題的方法化簡(jiǎn)：

（1）V13-2V42；

⑵V7-V40；

⑶V2-V3.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）V13-2V42—（A/7-Vo）2=V7-Vs；

⑵VT-TZO"=V7~2\AIO=-7（Vs-V2）=_V2；

（3）=18-46=娓S.

V42

4.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)_|a+b|+7（c-a）2+Ib+c卜

,.?---1>

a匕0c

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由數(shù)軸可得：

〃<0,〃+。<0,c-a>0,0+cV0,

故原式=-a+（a+b）+c-a-b-c

~~-a.

三.分母有理化（共1小題）

5.已知了=遍+3,>=遙-3,求下列各式的值

（1）x2-2xy+y2,（2）x2-y2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：⑴當(dāng)尸&+3,尸泥-3時(shí)，

x2-2xy+j2=:（x-y）2—[（^5+3）-（V5-3）]2—62—36；

（2）?-7=（尤+y）（x-y）=[（V5+3）+（V5-3）][（遍+3）-（遙-3）]=275

X6=12A/5

四.二次根式的化簡(jiǎn)求值（共1小題）

6.閱讀下面計(jì)算過程：

1_1義（加-1）飛1

2-1

V2+r（V2+i）（V2-i）^

1_1x（代-%）?反一叵

ETEWDM心）7r

11X(赤-2)=亞_2

V5+2(V5+2)(V5-2)

試求：

(1)l1L的值為五~V6.

V7W6———

(2)求1一「廠I「IL1/__的值.

1W2V2W3V3+V4V98+V99V99W100

(3)若a==1——，求/-4a+4的值.

V5-2

【答案】⑴V7-V6；

(2)9；

(3)5.

【解答】解：(1)

_V7W6

=_______w_______

(V?W6)(V7-Vs)

=V7-Vs>

故答案為：V?-Vs：

1W2+V2W3+V3W4…V98W99+V99W100

=V2-1+V3-V2+-+V99-V98+V100-V99

=Vioo-1

=10-1

=9；

(3)a=-7A—=V5+2,

V5-2

:?a?-4〃+4

=(a-2)2

=(V5+2-2)2

=(V5)2

=5.

五.二次根式的應(yīng)用(共2小題)

7.細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題.

0A寧(V1)2+1=2,S1=2^L；0氏2=仔+(&)2=3,52=^-；…

2232

ni2=l2+(V3)2=4,S3=^~；…

42

(1)請(qǐng)用含有為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律：042=n,Sn=1.

氣—2~

(2)若一個(gè)三角形的面積是2m，計(jì)算說明它是第幾個(gè)三角形？

(3)求出$2+$2+§2+…+$2的值.

1239

【解答】解：(1)因?yàn)槊恳粋€(gè)三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OAi=Vl，

,

OA2=V2>OA3=V3"OAw=Vn>所以0/=〃.5"=」?1?石=石■故：答案為"與

n22

~2~_

(2)當(dāng)S,=2加時(shí)，有：26=石_,解之得：n=32

2

即：說明它是第32個(gè)三角形.

(3)q2+q2+???+《

>1^2^3A

=_L+2+???+9

444

=11.25

即：§2+§2+§2+…+§2的值為1L25.

1239

8.已知°,6均為正整數(shù).我們把滿足1x=2a+3b的點(diǎn)p(居,)稱為幸福點(diǎn).

[y=3a+2b

(1)下列四個(gè)點(diǎn)中為幸福點(diǎn)的是尸1(5,5)；

Pi(5,5)；P2(6,6)；P3(7,7)；P4(8,8)

(2)若點(diǎn)P(20,力是一個(gè)幸福點(diǎn)，求f的值；

(3)已知點(diǎn)尸(y+1,、6-1)是一個(gè)幸福點(diǎn)，則存在正整數(shù)a,b滿足卜￡+；2a+3b,

IVm-l=3a+2b

試問是否存在實(shí)數(shù)k的值使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q(L+匕l(fā)b-k)到x軸的距離相等，且到y(tǒng)

22

軸的距離也相等？若存在，求出左的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴Pi(5,5)；

(2)f的值為15或20或25；

(3)人的值為10.5,理由見解析.

【解答】解：(1),:a,6均為正整數(shù)，滿足卜=2@+3b的點(diǎn)2a,,)稱為幸福點(diǎn)，

|y=3a+2b

???當(dāng)〃=1,。=1時(shí)，x=5,y=5,故尸1(5,5)是幸福點(diǎn)，

當(dāng)a=l,〃=2時(shí)，x=8,y=7,故(8,7)是幸福點(diǎn)，

當(dāng)〃=2,6=1時(shí)，x=7,y=8,故(7,8)是幸福點(diǎn)，

：.Pi(5,5),Pi(6,6),尸3(7,7),尸4(8,8)中只有尸1(5,5)是幸福點(diǎn)，

故答案為：P1(5,5)；

(2)??,點(diǎn)尸(20,力是一個(gè)幸福點(diǎn),

2〃+3/?=20,3a+2b=t,

???〃，。均為正整數(shù)，

，4=1,Z?=6或〃=。=4或〃=7,。=2,

當(dāng)〃=1,。=6時(shí)，t=15,

當(dāng)a=b=4時(shí)，t=20,

當(dāng)a=7,。=2時(shí)，t=25,

??"的值為15或20或25；

(3)...點(diǎn)尸(?+1,1)是一個(gè)幸福點(diǎn)，則存在正整數(shù)。，6滿足+l”a+3b

Ivm-l=3a+2b

「?消去加得，。=〃+2,

,:P(2〃+3。，3〃+2。)，Q(工〃+左，—b-k),

22

:?P(5〃+6,5〃+4),Q(Atz+Z,Azz+l-k),

22

??,點(diǎn)P和點(diǎn)Q到x軸的距離相等，

，有4種情況，

,1

5a+6=^a+k

。：，

5a+4=-a+1-k

解得，a=-1（舍），k=—；

2

「1

5a+6=萬a+k

②,，

5a+4=--a-l+k

解得，a=lf左=10.5,

:,b=3,符合題意;

5a+6=-~a-k

5a+4=*a+l-k

解得，a=-3（舍）,

5a+6=-~a-k

④，

5a+4=—^-a-l+k

解得，a=-1（舍）,

???當(dāng)4=1,。=3,女=10.5時(shí)，點(diǎn)尸和點(diǎn)。至！Jx軸的距離相等，且到y(tǒng)軸的距離也相等.

六.勾股定理（共13小題）

9.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°，AZ）平分NCAB,BE平分NABC,AO,BE相交于點(diǎn)

F,若AP=4,EF=V2>則AC=（）

C.炳D.段

5

【答案】D

【解答】解：如圖,過點(diǎn)E作EGLAD于G,連接CR

,：AD,BE是分別是NBAC和NABC的平分線，

：.ZCAD=ZBAD,NCBE=/ABE,

VZACB=90°,

：.1CZBAD+ZABE）=90°,

：.ZBAD+ZABE=45°,

：.ZEFG=ZBAD+ZABE=45°,

在RtZiEPG中，EF=M，

：.FG=EG=1,

VAF=4,

：.AG=AF-FG=3,

根據(jù)勾股定理，得

：AD平分/CAB,BE平分/ABC,

；.CP是NACB的平分線，

/.ZACF=45°=ZAFE,

'：ZCAF=ZFAE,

：.AAEF^AAFC,

?AE=AF

"AFAC，

?AC=AF2=16=8折

..5

故選：D.

10.如圖,在RtZXABC中,ZBAC=9Q°,以其三邊為邊分別向外作正方形，延長EC,DB

分別交GEAH千點(diǎn)、N,K,連接KN交AG于點(diǎn)M,若SI-S2=2,AC=4,則AB的長

為（）

A.2B.&C,2V2D.Z

3

【答案】A

【解答】解：（1）如圖，根據(jù)條件得到“K”型,LABC咨LFNC,得到NF=A8=x.

（2）連接GK,可以發(fā)現(xiàn)△GNK的面積=GNXAG+2=2GN,同理△必G的面積=2AK.

利用條件SI-S2=2,得到GN-AK=1,即"-m=1,又因?yàn)椤?x=4,所以優(yōu)=3-x.

（3）在△KBC中，有射影定理A82=ACXAK.

這樣可以得到方程：f=4X（3-尤），解得x=2,即AB=2.

故選：A.

11.如圖，AB=AC=4,尸是8C上異于8、。的一點(diǎn)，貝U人尸+^尸?尸。的值是（）

A.16B.20C.25D.30

【答案】A

【解答】解：過點(diǎn)A作A0L8C于點(diǎn)D

BPD

\'AD±BCf

：.△AO尸"ABD都為直角三角形.

222222

：.AP=AD+DPfAB=AD+BD.

VAB=AC,ADLBC,

：.BD=CD.

■:PC=CD+DP,BD=CD,

：.PC=BD+DP.

?：BP=BD-DP,PC=BD+DP,

:.BP，PC=B?-DP1.

2121

'：AP=AD+DP9BP?PC=BI^-DP,

：.AP2+BPXPC=AD1+Bb2.

???AB2=AD1^-BD2,AP2^BPXPC=AD1^BD1,

：.AP2+BP^C=AB2.

???A5=4,

：.AP2+BP^C=16.

故選：A.

12.如圖，在四邊形ABC。中，已知ACLLBDAC=4,BD=5,則AO+8C的最小值是（）

D7

V41

A.3B.6D.V41

~2~

【答案】D

【解答】解：設(shè)AC,8。的交點(diǎn)為O,AB,BC,CD,D4的中點(diǎn)分別是P,Q,R,S,

連接尸Q，QR，RS,SP,OQ,OS,QS,如圖：

,：AC,80互相垂直,

.?.△AOD和△BOC為直角三角形，且A，BC分別為斜邊，

：.AD=2OS,8c=20。，

：.AD+BC=2(.OS+OQ),

.?.當(dāng)OS+O。為最小時(shí)，AO+8C為最小，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：OQ+OS>QS,

當(dāng)點(diǎn)。在線段QS上時(shí)，OQ+OS為最小，最小值為線段QS的長，

:點(diǎn)P,。分別為AB,3C的中點(diǎn)，

...PQ為△ABC的中位線，

：.PQ=XAC=2,PQ//AC,

同理：QR=LBD=2QR//BD,RS=1AC=2,RS//AC,SP=ABD=A,SP//BD,

22222

J.PQ//AC//RS,QR//BD//SP,

四邊形PQRS為平行四邊形，

'JACLBD,PQ//AC,SP//BD,

：.PQ±SP,

...四邊形PQRS為矩形，

在Rt/YPQS中，PQ=2,SP=立，

2

由勾股定理得：QS=JpQ2+sp2=隼,

.*.02+05的最小值為退1,

2

J.AD+BC的最小值為值.

故選：D.

13.如圖，在△ABC中，AC=8,NA=30°,ZB=45°,點(diǎn)尸是AC延長線上一動(dòng)點(diǎn)，PM

_L8C邊與點(diǎn)M,PNLAB邊與點(diǎn)N,連接MN,則MN的最小值為()

c.V2W3D.啦嗎

【答案】A

【解答】解：過點(diǎn)C作CHLAB,

VZA-30°,AC=8,

：.CH=4,AHS

VZB=45°,

：.BH=CH=4,

.?.A8=4+4百，

連接PB,取尸8的中點(diǎn)。，連接“。，QN,

"：PM±BCPNLAB,

點(diǎn)尸，M,N,8四點(diǎn)共圓，點(diǎn)。為圓心，

VZB=45°,

:.NMQN=2NB=90°,

：.MN=42QN,

'：PB=2QN,

:.MN=^^PB,

2

...當(dāng)PB最小時(shí)，MN最小，

設(shè)PN=x,

VZA=30°,

：.PA=2x,AN=MX，

，BN=4+4百-Mx,

'：PB2=PN2+NB2,

.".PB2=?+(4+4A/3-V3x)2=4?-(8A/3+24)犬+64+32我，

V4>0,

...當(dāng)尤=8近+24=a+3時(shí),即/^=如+3時(shí)，Pl有最小值,

2X4

此時(shí)BN=4+4愿-V3x=V3+l>

:.PN=MBN,

；.PB=28N=2百+2,

：.MN=^-X(2"/3+2)=&+衣，

2

故選：A.

14.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，連結(jié)CR作GM

J_CF于點(diǎn)M,A/_LGM于點(diǎn)J,AK_LBJ于點(diǎn)K,交CF于點(diǎn)L.若正方形ABGF與正方

形JKLW的面積之比為5,3=百5+&,則C8的長為（）

A.V5B.c.2A/2D.A/10

2

【答案】C

【解答】解：設(shè)C尸交AB于點(diǎn)尸，過C作CNLAB于點(diǎn)N,如圖：

正方形JKLM面積為m2,

:正方形ABGF與正方形JKLM的面積之比為5,

正方形ABGF的面積為5m2,

由已知可得：ZAFL=90°-ZMFG=ZMGF,ZALF=90°=ZFMG,AF=GF,

：./\AFL^/\FGM(A4S),

：.AL=FMf

設(shè)x,則也=/〃+地=%+如

在RtZ"1也中，AL2+FL2=AF2,

???W+(x+m)2=2,

解得％=m或x=-2m(舍去)，

:.AL=FM=m,FL=2m,

VtanZAFL=-^.=-^L=JL=A,

AFFL2m2

?AP_1

下>m2

...4尸=近旦

2__________________

???"=、AM+AF2=J嗎5L)2+(述m)2=1_〃z,BP=AB-AP^^m-^^二

^5m

----,

2

：.AP^BP,即P為AB中點(diǎn)，

VZACB=90°,

CP=AP=BP=^m,

2

ZCPN=ZAPF,ZCNP=90°=ZFAP,

:ACPNs^FPA,

m

.CP-CN.PNpn2_CN_PN

FPAFAP旦依m(xù)45m

2mI-

CN—m,PN~-m,

2

：.AN=AP+PN=遍+1〃7,

2

譚皆透一標(biāo)2’

2m

?/AA￡C和△BC”是等腰直角三角形,

△AECs^BCH,

?BC=CH

"ACCE)

VCE=-/10+V2>

?2=CH

,75+1迎啦’

：.CH=242>

故選：c.

15.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,以AC,BC和AB為邊向上作正方形ACED和正方

形BCA〃和正方形A8GF,點(diǎn)G落在上，若AC+BC=7,空白部分面積為16,則圖中

陰影部分的面積是典.

—5—

【答案】典.

5

:四邊形A8GB是正方形，

ZFAB=ZAFG=ZACB=9G0,

AZFAC+ZBAC=ZFAC+ZABC=W0,

ZFAC=ZABC,

：./^FAH^AABN(ASA),

??S/\FAH=S叢ABN,

??S/\ABC=S四邊形尸NC”,

在△ABC中，ZACB=90°,

：.AC1-^BC1=AB2,

VAC+BC=7,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC?BC=49,

：.AB2+1AC-BC^49,

2

?/AB-SAABC=16,

：.AB2-AAC?BC=16,

2

：.BC*AC=^-,AB2=113,

55

：.AC2+BC2=m,

5

.?.陰影部分的面積和=4。2+叱2+2必鉆<:-S白=213+2X工X地-16=里.

5255

故答案為：91

5

16.如圖，在正方形ABCD的對(duì)角線AC上取一點(diǎn)E,使得/CAE=15°,連接BE并延長

BE到R使CF=C2,8尸與C。相交于點(diǎn)8,若AB=%,有下列四個(gè)結(jié)論：①/CBE

=15°；②AE=J§+1；③SADEC=1二1；?CE+DE=EF.則其中正確的結(jié)論有

2—

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：①：四邊形ABCO是正方形,

：.BC=CD,NBCE=NDCE=45°.

，BC=DC

在ABCE和△OCE中，，ZBCE=ZDCE-

CE=CE

：./\BCE^/\DCE(SAS),

:.NCBE=NCDE=15°,故①正確；

②過D作DW_LAC于M,

'：ZCDE=150,ZADC=90°,

:./ADE=75°,

VZ￡>AE=45°,

AZAED=60°,

?：AD=AB=4^,

：.AM=DM=晅乂娓=M,

_2_

ME=M=返X百=1,

33

.*.A￡=V3+1＞故②正確；

③根據(jù)勾股定理求出AC=2j§,

?：DM=M，EM=1,

'：ZDCA=45°,NA￡D=60°,

:.CM=M，

:.CE=CM-EM=M-1,

/.5AD￡C=1X(V3-l)＞＜百=生2巨，故③錯(cuò)誤;

22

④在上取一點(diǎn)G,使EG=EC,連接CG,

'：BC=CF,

：.ZCBE=ZF,

：.ZCBE=ZCDE=ZF=150.

；.NCEG=60°.

,:CE=GE,

.?.△CEG是等邊三角形.

：.ZCGE=60°,CE=GC,

AZGCF=45°,

：.ZECD=GCF.

'CE=GC

在和△尸GC中，，NECD=/GCF，

CD=CF

:.△DEC"XFGC(SAS),

：.DE=GF.

'：EF=EG+GF,

:.EF=CE+ED,故④正確；

故答案為：①②④.

17.如圖，Rt^ABC中，ZBAC=90°,分別以AABC的三條邊為直角邊作三個(gè)等腰直角三

角形：△AB。、AACE,ABCF,若圖中陰影部分的面積Si=6.5,%=3.5,$3=5.5,則

【答案】2.5.

【解答】解：???△AB。、AACE,ZiBC尸均是等腰直角三角形，

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

i^AB=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,S/xABG=m,S^ACH=n,

a2+b2=c1,

SAABD+S/^ACE—SABCF,

Si+m+n+S4=S2+S3+m+n,

；.S4=3.5+5.5-6.5=2.5

故答案為：2.5.

18.閱讀：如圖1,在△ABC中，3ZA+ZB=180°,BC=8,AC=10,求AB的長.

小明的思路：如圖2,作BELAC于點(diǎn)E,在AC的延長線上取點(diǎn)。，使得。E=AE,連

接B。，易得/A=/D,△43。為等腰三角形，由3/A+N8=180°和/A+NABC+/

BCA=180°,易得NBCA=2NA,△BCD為等腰三角形，依據(jù)已知條件可得AE和A3

的長.

解決下列問題:

(1)圖2中，AE=9,AB=12；

(2)在△A3C中，NA,/B,NC的對(duì)邊分別為〃、b、c.如圖3,當(dāng)3NA+2NB=180°

時(shí)，用含Q,C式子表示反

圖1圖2圖3

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)如圖2,作BELAC于點(diǎn)在AC的延長線上取點(diǎn)D,使得OE=AE,

連接

則BE是AD的垂直平分線，

：.AB=BD,ZA=ZD,

V3ZA+ZABC=180°,ZA+ZABC+ZBCA=180°,

：.ZBCA=2ZA,

?；/BCA=/D+/CBD,

：.ZBCA=ZA+ZCBD=2ZA,

：.ZCBD=ZA,

：.DC=BC=S,

???AD=OC+AC=8+10=18,

：.AE=AD=9,

：.EC=AD-CD=9-S=1.

???在直角ABCE和直角AAEB中，

由勾股定理得到：BC2-CE2=AB2-AE2,即82-12=AB1-92,

解得，AB=12,

故答案為：9；12；

(2)作BEJLAC于點(diǎn)區(qū)在AC的延長線上取點(diǎn)。，使得連接30,

則BE是邊A0的垂直平分線，

：.AB=BD,ZA=ZD.

V3ZA+2ZB=180°,ZA+ZABC+ZBCA=180°,

???2NA+NA3C=ZACB,

NACB=/D+/DBC,

：.2ZA+ZABC=ND+NDBC,

ZA=ZD,

AZA+ZABC=ZDBCfBD=AB=c,即NOC3=NO5C,

:?DB=DC=c,

由題意得，Z)E=AE=kiS,

2

：.EC=AE-AC=k!S-6=_￡Zk,

22

在RtABEC中，BE2=BC2-EC2,

在RtABEA中，BE2=BA2-EA2,

222222

ABC-EC=BA-EA,即)=c-(b+c)2,

22

22

整理得，b=2H.

19.如圖，已知四邊形ABC。中，AB//CD,2C=AO=4,AB=CD=10,ZDCB=90°,

E為CO邊上的一點(diǎn)，DE=1,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著邊AB向

終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接尸E,設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

(1)求8E的長；

(2)若48尸￡為直角二角形，求t的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)VCD=10,DE=T,

：.CE=10-7=3,

在RtZ\CBE中，BE=>J^Q2^2=5-

(2)當(dāng)NBPE=90°時(shí)，AP=10-3=7,

則f=7+l=7(秒)，

當(dāng)/B￡P(guān)=90°時(shí)，BE^+PEr^BP1,即52+42+(7-/)?=(10-r)2,

解得，字=互,

3

.?.當(dāng)f=7或5時(shí)，△BPE為直角三角形.

3

20.如圖1,四邊形AOCO中，ZAOC=90°,ZADC=90°,AD=7,0c=24,CO=15.

(1)求線段AO的長度；

(2)如圖2所示，。2是/AOC的平分線，一動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度

的速度沿射線運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)△AO尸是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出f

(2)/的值為5如或10或IOA/2.

【解答】解：如圖1,連接AC,

VZAZ)C=90°,AD=7,DC=24,

'AC=VAD2+DC2=V72+242=25'

VZAOC=90°,CO^15,

；?=VAC2-co2=V252-i52=20;

(2)如圖2,YOB是NAOC的平分線,

/.ZAOB=ZCOB=45°,

:一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿射線OB運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為/秒，

：.OP=2t,

當(dāng)44。尸是等腰三角形時(shí)，分3種情況討論：

①當(dāng)AP=OP時(shí)，

：.ZPAO=ZPOA=45°,

.?.△AOP是等腰直角三角形，

由(1)知：AO=20,

：.OP=^-AO=10y/2,

2

；.f=5加；

②當(dāng)0A=0尸"時(shí)，

/.2/=20,

③當(dāng)AP=AO時(shí)，

/.ZAP'O=ZAOPf=45°,

.?.△AOP是等腰直角三角形，

：.OP=?AO=2Q近,

：.2t=20如,

的值為5&或10或1072.

21.如圖，/XABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6an,若動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始，按C-A

一8一C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒Ie：",設(shè)出發(fā)的時(shí)間為f秒.

(1)出發(fā)2秒后，求AABP的周長；

(2)當(dāng)/為幾秒時(shí)，8P平分/ABC；

(3)問/為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

A

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)VZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,；.有勾股定理得AC=8cm,動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始，按C-A-B-C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm

出發(fā)2秒后，則CP=2cro,那么AP=6aw.

VZC=90",

/.由勾股定理得PB=2y[lQcm

...△ABP的周長為：AP+PB+AB=6+10+2V10=(16+2^10)cm；

(2)如圖2所示，過點(diǎn)P作POLAB于點(diǎn)￡>,

：8尸平分/ABC,

:.PD=PC.

在RtABPZ)與RtABPC中，jPD=PC,

lBP=BP

:.RtABPD咨RSPC(HL),

:?BD=BC=6cm,

'.AD—10-6=4cm.

設(shè)PC=xcm,則B4=(8-x)cm

在RtZXAPD中，尸￡>2+4爐=以2,

BP?+42=(8-x)2,

解得：尤=3,

.?.當(dāng)t=3秒時(shí)，BP平分/CAB；

(3)若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=6cm,

此時(shí)用的時(shí)間為6s,△BCP為等腰三角形；

若尸在邊上時(shí)，有兩種情況：

①若使BP=CB=6CT?I,此時(shí)AP=4a",尸運(yùn)動(dòng)的路程為12C%,

所以用的時(shí)間為12s,故f=12s時(shí)△BCP為等腰三角形；

②若3=2。=6的，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8的，

根據(jù)勾股定理求得BP=1.2cm,

所以P運(yùn)動(dòng)的路程為18-7.2=10.8cm,

的時(shí)間為10.8s,ABCP為等腰三角形；

③若BP=CP時(shí)，貝i|NPCB=ZPBC,

VZACP+ZBCP=90°,ZPBC+ZCAP=90°,AZACP=ZCAP,：.PA=PC

.'.PA=PB=5cm

；.尸的路程為13c機(jī),所以時(shí)間為13s時(shí)，aBC尸為等腰三角形.

.1=6s或13s或12s或10.8s時(shí)△BCP為等腰三角形.

七.勾股定理的證明（共2小題）

22.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示

的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直

角三角形較長直角邊長為。，較短直角邊長為江若4=6,大正方形的面積為16,則小

正方形的面積為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】C

【解答】解：由題意可得，,

,a^+b^=16

???小正方形的面積=（〃-。）2=a2+b2-2ab=16-12=4,

故選：C.

23.如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形A5CD與正方形ENG”.連

結(jié)EG,BD相交于點(diǎn)。、BD與"C相交于點(diǎn)P.若GO=GP,則也些的值是（

^AEFG

BC

A.1+V2B.2+V2C.5-V2D.K

4

【答案】B

【解答】解：；四邊形瓦GH為正方形，

：.ZEGH=45°,ZFGH=90°,

OG=GP,

：.ZGOP=ZOPG=61.5°,

：.ZPBG=22.5°,

VZDBC=45°,

.\ZGBC=22.5°,

：.ZPBG=ZGBC,

'：ZBGP=ZBGC^90°,

在△BPG和△BCG中，

'NPBG=NCBG

(BG=BG，

ZBGP=ZBGC=90°

:.叢BPG沿ABCGCASA),

：.PG=CG.

設(shè)OG=PG=CG=x,

?：O為EG,8。的交點(diǎn)，

:.EG=2x,FG=?x,

???四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，

；.BF=CG=x,

BG=x+\l'^x,

:.BduBd+Cd-W(V2+1)2+x2=(4+2V2)/，

...SAABD2"—(4+2,日)x2=2

SAEFGyFG2(V2x)2

故選：B.

八.勾股定理的逆定理(共2小題)

24.已知△ABC中，BC—m-n("z>">0),AC=2-\/nn-AB=m+n.

(1)求證：△ABC是直角三角形；

(2)當(dāng)NA=30°時(shí)，求相，“滿足的關(guān)系式.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)BC=m-n(m>w>0),AC=2Vm>AB=m+n,

.,.AC2+CB2=(m-n)2+4//zw=m2+n2-Imn+^mi^n^+r^+lmn=(%+〃)2=AB2.

：.ZC=90°.

/.△ABC是為直角三角形；

(2)：NA=30°,

?BC=m-n=1

"AB病T

Am=3n.

25.定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB,若以AM、MN、N8為邊的三

角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn).

(1)已知M、N把線段A8分割成AM、MN、NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,則

點(diǎn)M、N是線段A8的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由.

(2)己知點(diǎn)M、N是線段A2的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=24,AM=6,求

8N的長.

????

/MNB

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)是.

理由：,/AM2+BN2=1,52+22=6.25,W2=2.52=6.25,

：.AM2+NB2^MN2,

：.AM.MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，

???點(diǎn)M、N是線段A3的勾股分割點(diǎn).

(2)設(shè)BN=x,貝ljMN=24-AM-3N=18-x,

①當(dāng)MN為最長線段時(shí)，依題意MN2=A"+N32,

即(18-x)2=7+36,

解得％=8；

②當(dāng)8N為最長線段時(shí)，依題意5N2=AM2+“N2.

即X2=36+(18-x)2,

解得x=10,

綜上所述，BN=8或10.

NMNB

九.勾股定理的應(yīng)用(共6小題)

26.勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最

重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一.它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，

更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷.

如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度將它往前推6%至C處時(shí)(即水平距

離0)=6〃。,踏板離地的垂直高度CF=4%,它的繩索始終拉直,則繩索AC的長是()

m.

【答案】B

【解答】解：設(shè)繩長為x米,

在RtzXAOC中,

AD=AB-BD=AB-(.DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)米,

DC=6m,AC=x米,

：.AB2+DC2^AC2,

根據(jù)題意列方程：?=（X-3）2+62,

解得：尸生，

2

...繩索AC的長是正.

2

故選：B.

27.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是以A8為直徑的半圓，下方是長方形

的仿古通道，已知AD=2.3米，CO=2米；現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高2.5米，寬1.6

米，請(qǐng)問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道？請(qǐng)說出你的理由.

【解答】解：：車寬L6米，

...卡車能否通過，只要比較距廠門中線0.8米處的高度與車高.

在RtZ\OEF中，由勾股定理可得：

￡F=VOE2-OF2=V1-0-82=O-6

EH=EF+FH=0.6+2.3=2.9>2.5,

；.卡車能通過此門.

28.如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯

子頂端距離地面的垂直距離記作"A，如果梯子的底端尸不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)

梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB.

(1)當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角8處，若K4=1.6

米，AP=1.2米，則甲房間的寬度AB=3.2米.

(2)當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA=2.4米，MP=2.5米，且NMPN=90°,求乙房間的寬

AB；

(3)當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得加4=2.8米，且/Affi4=75°,ZNPB=45°.

①求NMPN的度數(shù)；

②求丙房間的寬48.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)在RtZXAMP中，VZA=90°,MA=1.6米，AP=1.2米,

PM=VAM2+AP2=71.62+l.22=2>

"：PB=PM=2,

甲房間的寬度AB=AP+PB=3.2米，

故答案為：3.2；

(2)VZMPN=90°,

/.ZAPM+ZBPN=90°,

VZAPM+ZAMP^90°,

：.NAMP=NBPN.

'NAMP=NBPN

在△AMP與△BPN中，，ZMAP=ZPBN=90°，

MP=PN

AAMP沿ABPN,

.?.A/A=PB=2.4,

VB4=^pH2_AH2=o.7,

AB=以+尸8=0.7+2.4=3.1；

(3)①NMPN=180°-ZAPM-ZBPN=60°；

②過N點(diǎn)作MA垂線，垂足點(diǎn)D連接NM.

設(shè)AB=x,且AB=ND=x.

:梯子的傾斜角/8PN為45°,

...△BNP為等腰直角三角形，為等邊三角形(180°-45°-75°=60°,梯子

長度相同)，ZMND=15°.

VZAPM=15°,

：.ZAMP=15°.

ZDNM=ZAMP,

「△PM/為等邊三角形，

：.NM=PM.

:.LAMP當(dāng)ADNM(44S),

：.AM=DN,

.'.AB=DN=AM=2.8米，

即丙房間的寬AB是2.8米.

丙

29.今年第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”登陸我國沿海地區(qū)，風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有

極強(qiáng)的破壞力.如圖，臺(tái)風(fēng)“煙花”中心沿東西方向由A向8移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一

海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、8的距離分別為AC=300切38c=400切1,又A8

=500歷"，經(jīng)測(cè)量，距離臺(tái)風(fēng)中心260hw及以內(nèi)的地區(qū)會(huì)受到影響.

(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？

(2)若臺(tái)風(fēng)中心的移動(dòng)速度為28千米/時(shí)，則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長?

c

【答案】(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解答過程；

(2)臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為眼小時(shí).

7

【解答】解：(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：

VAC=300^m,BC=400km,AB=500km,

:.AC1+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，90°；

過點(diǎn)C作CD±AB于。，

,/△ABC是直角三角形，

：.ACXBC=CDXAB,

.\300X400=500XCD,

.*.C￡>=240(km),

:以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，

海港C受臺(tái)風(fēng)影響；

(2)當(dāng)EC=260初Z,PC=260加時(shí)，正好影響C港口,

22

V￡Z)=A/EC2_CD2=7260-240=100(公力

：.EF=2ED=2Q0km,

,/臺(tái)風(fēng)的速度為28千米/小時(shí)，

.,.200+28=/(小時(shí)).

7

答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為型■小時(shí).

30.己知：在中，/C=90°NA、ZB./C所對(duì)的邊分別記作a、b、c.如圖1,

分別以AABC的三條邊為邊長向外作正方形,其正方形的面積由小到大分別記作Si、S2、

S3,則有S1+S2=S3;

（1）如圖2,分別以△ABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分別記

作Si、S2、S3,請(qǐng)問S1+S