高二12月份階段性檢測數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知直線‘過點(diǎn)則直線.的傾斜角為（）

A.30°B,45°c,60°D,120°

【答案】A

【解析】

【分析】先用斜率公式求得斜率，然后利用直線的傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)橹本€.過點(diǎn)（°」）、（",）

上=±L正

所以直線，斜率為;.

設(shè)直線，的傾斜角為d

3史.

所以3,即6=30.

故選：A.

xy.

2.已知橢圓C：43的左、右焦點(diǎn)分別為尸I,仍，過點(diǎn)后作直線/交橢圓C于N兩點(diǎn)，則

因僅'的周長為（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由四“N的周長為=陋卜1幽卜1A司+陋1+囚用+此I,結(jié)合橢圓的定

義，即可求解.

3

cXy*1

C'=11

【詳解】由題意，橢圓43,可得了=4,Bpa-2,

如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得亞的周長為，-4=網(wǎng)+陶1+1幽I

=網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)+網(wǎng)=%+i=4?=8

故選：D.

3.已知圓CH）+（y+2）=1與圓gU-7）+（.r-l）=16,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.外切B.內(nèi)切C.相交D.相離

【答案】A

【解析】

【分析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑之和半徑之差的關(guān)系，即可判斷位置關(guān)系.

【詳解】對圓C仆一3'+11'+21=I,其圓心G(3.-21,半徑一=1.

對圓仃("°7)MD=16,其圓心6(7,1),半徑弓=4；

又卜￡|=丁-79+(-”19=5=八+,故兩圓外切.

故選：A.

4.在平行六面體加2-44/4中，M為AC與8。的交點(diǎn)，若44=1,4A=b,4<=三，則

下列向量中與瓦M(jìn)相等的向量是().

I.1r.

—ad—b+c

B.22

1.1r.

—a—o+c

D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

4nr?r>4sr,nBM■―BD?—(AD—ABI■—(4A—44I

【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w質(zhì)8-4瓦34中，222,

=B?+BM=4Z+T44—45j=—三4曷+彳49+4Z=—彳

所以---

故選：A.

5.若拋物線F二］四的焦點(diǎn)與雙曲線/-J=1的右焦點(diǎn)重合，則.〃=()

A.2B.4C二6D.C

【答案】C

【解析】

【分析】先求出雙曲線？-寸二?的右焦點(diǎn)，此焦點(diǎn)是拋物線F=::嚴(yán)的焦點(diǎn)，求出「

【詳解】在雙曲線？-『=】中，1=1+1=2,所以右焦點(diǎn)月(工°),

p)~=P—iW

心是拋物線?」=~DT的焦點(diǎn)，

故選：C

6.已知A(2,1),拋物線C：：,="丫的焦點(diǎn)為R尸是拋物線C上任意一點(diǎn)，則APAF周長的最小值為

()

A.30B.l+C.3+75D.3+2V2

【答案】c

【解析】

【分析】借助拋物線的定義，將.叩轉(zhuǎn)化成PH,4尸三點(diǎn)共線時，周長最小.

拋物線的準(zhǔn)線、=-1,過點(diǎn)尸作垂直于準(zhǔn)線，由題可知，△尸AF的周長為

AF+PA+PF=AF+PA+PH,

經(jīng)=心,易知當(dāng)4只日三點(diǎn)共線時，周長最小，且最小值為3+W.

故選：c.

±_±=1

7.已知雙曲線/(?>0,5>0),點(diǎn)尸為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)3(°，捫，若8尸所在直線與雙曲線的

其中一條漸近線垂直，則該雙曲線的離心率為()

,^5+1^5*1

A.V^+lB.2C,2D,4-1

【答案】B

【解析】

⑷上7

【分析】由已知條件可得Ic)a,b'=c'-￡,所以c'-ac--=O,即/-。-1=0,解方

程即可求解.

,_b-Q_b九

【詳解】右焦點(diǎn)“(,°,點(diǎn)‘(°㈤，所以上"一晨￡一_￡<

若SF所在直線與雙曲線的其中一條漸近線垂直,

J2

a,可得b'=",

又因?yàn)?所以c'-a'=ac,即，，r-l=O,

g_5/5+1_1-V5

解得：--或"2(舍)

5+1

所以該雙曲線的離心率為2,

故選：B.

-+-a-=1>6>0)

8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓C:、：‘匕’的左焦點(diǎn)，A,8分別為C的左，右頂點(diǎn).P為

C上一點(diǎn)，且尸尸，尤軸.過點(diǎn)A的直線/與線段尸尸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)E.若直線3M經(jīng)過OE的中

點(diǎn)，則C的離心率為

112N

A.3B.2C.ID.4

【答案】A

【解析】

L2

,4—a.0).M(~c.^―)=

【詳解】試題分析：如圖取尸與“重合，則由c直線

Q

AM:y=―-—(x+a)=E(O.2—)

—c+aa-c同理由

J

=>a=3c=>e=

3，故選A.

考點(diǎn)：1、橢圓及其性質(zhì)；2、直線與橢圓.

【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓及其性質(zhì)、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思

想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.

二、多選題(本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

Ci:―=1Cj―—-=-1

9.關(guān)于雙曲線916與雙曲線916,下列說法正確的是（）.

A.它們有相同的漸近線B.它們有相同的頂點(diǎn)

C.它們的離心率不相等D.它們的焦距相等

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)即可.

cy=±-,雙曲線0》的漸近線方程為:

【詳解】雙曲線1的漸近線為：.故A錯誤;

雙曲線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，°）,雙曲線°：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±4「，故8錯誤;

165

雙曲線°的離心率3,雙曲線0〉的離心率

,%工叼，故c正確;

雙曲線C的焦距2c=10,雙曲線0】的焦距2c=10,故D正確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，屬基礎(chǔ)題.

—=l（ieR）

10.已知曲線C的方程為上+】5-上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)*=二時，曲線C為圓

B.曲線C為橢圓的充要條件是-1<上<5

C.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，貝肽<-【

D.存在實(shí)數(shù)上使得曲線C為拋物線

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓、橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可逐項(xiàng)判斷求解.

【詳解】對于A,當(dāng)大-二時，曲線C的方程為/十1'=3,此時曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為有的

圓，所以A正確；

對于B,若曲線c為橢圓，則k+「>0,5T>0且先+”5-七，所以B錯誤；

對于C,若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則上+1<0,5-i>0,解得上<-1,所以C正確；

對于D,曲線C不存在X,y的一次項(xiàng)，所以曲線C不可能是拋物線，所以D錯誤.

故選：AC.

Q\+1=l（a>6>0）

11.已知橢圓,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若"=則橢圓Q的離心率為二

B.若橢圓0的離心率越趨近于0,橢圓越接近于圓

C.若點(diǎn)尸「凡分別為橢圓。的左、右焦點(diǎn)，直線/過點(diǎn)耳且與橢圓。交于A,8兩點(diǎn)，則"空耳的周長

為4。

D.若點(diǎn)4?4分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓0上異于點(diǎn)4?4的任意一點(diǎn)，則直線尸尸4的

J>3

斜率之積為a-.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的方程和幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)驗(yàn)證得出結(jié)果.

cJ3

【詳解=且解得離心率a2,選項(xiàng)A錯誤；

根據(jù)橢圓離心率的性質(zhì)“離心率越小橢圓越圓”，選項(xiàng)B正確；

根據(jù)橢圓的定義，1盟1+席卜刈即|+此卜%

所以“8居的周長為卜4+解|+|3瑪1=1.|+附|+|即|+|34I=3,選項(xiàng)c正確；

x3y1

根據(jù)題意，4（-a，°），4（a，°）,設(shè)點(diǎn)尸（MJ'i,其中不與一

yy_y_a2[

kk=__L=_L

所以"Mv+ay-ax2-a2A3-a1a2,選項(xiàng)D正確.

故答案為：BCD.

12.已知正方體，奶。。外用/口的棱長為4,點(diǎn)￡斤//分別是sc,且4,3尻的中點(diǎn)，則（）

A.異面直線4。與E尸所成的角的正切值為0

B.平面截正方體所得截面的面積為18

C.四面體曲6E的外接球表面積為"兀

D.三棱錐工一小紀(jì):。1的體積為~3~

【答案】ABC

【解析】

【分析】對于A中，取5c的中點(diǎn)區(qū)，取反弓的中點(diǎn)G,連接4°,證得4G“B，把異面直線

4。與E尸所成的角轉(zhuǎn)化為直線4。與4G所成的角，在直角的玲中，可判定A正確；延長

交于點(diǎn)月，連接。月交兒§于點(diǎn)M連接孫兒8!,掙得多平面DM。截正方體所得截面為

等腰梯形AWDCi,求得其面積，可判定B正確；畫出以￡尸為對角線的長方體，得到該長方體的外接球

即為四面體4E&V的外接球，結(jié)合長方體的性質(zhì)和球的表面公式，可判定C正確；結(jié)合

’39A=,可判定D錯誤.

【詳解】對于A中，取5C的中點(diǎn)號，連接即，再取員工的中點(diǎn)G,連接43,

因?yàn)?尸〃EG且4尸=SG,所以四邊形4FEG為平行四邊形，所以4G〃所，

所以異面直線4。與￡尸所成的角，即為直線4口與AG所成的角，即2G4°,

因?yàn)檎襟w-如CD一型￡4的棱長為4,可得4G=DG=::底&=4史,

可得」1DG為等腰三角形，取4。的中點(diǎn)GI,則g"。,

4

在直角從毀中，可得四=JAG'-AG；=4所以3n一。"4Gl2^2"

直線40與￡尸所成的角的正切值為0,所以A正確;

對于B中，延長GMC8交于點(diǎn)兒連接。月交須于點(diǎn)M連接孫網(wǎng)

因?yàn)?8J/CG,“為的中點(diǎn)，所以可得m為月。的中點(diǎn),

又因?yàn)殓?//CD,所以N1為A6的中點(diǎn)，所以MM//45!,

因?yàn)閍C\,所以期CQ為平行四邊形，所以盟〃

所以MNIg,平面口g截正方體所得截面為等腰梯形,

在等腰梯形MWDC；中，DC\=忠MN=*.DN=M^=*

所以梯形的高為?的SY-30

iz?ix（4V2+2^）x3V?=1S

所以梯形孫“1的面積為二，所以B正確.

對于c中，畫出以E尸為對角線的長方體MES-FPQR,

則該長方體的外接球即為四面體4砌'的外接球，

可得外接球的直徑為*->/川+AB'+BE3=7?+7+?=2氓,

PP

4K/?3=4兀K(----)A=24K

所以外接球的表面積為2,所以c正確；

對于D中，連接g竭C,則g"1"吊C,

因?yàn)榧?平面3cq%4°u平面BCC31,所以/_1%，

又因?yàn)橛胣g=3且應(yīng)gu平面必7上，所以J■平面必汨,

因?yàn)椤盀榈闹悬c(diǎn)，

所以三棱錐”-4能的高為押=仃

所以33,所以D錯誤.

三、填空題(本大題共4小題，共20分)

13.若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線J的準(zhǔn)線距離為2,則巾=

土二

【答案】8

【解析】

【分析】

根據(jù)拋物線性質(zhì)可得結(jié)果.

33：產(chǎn)」|-2J=2

【詳解】由「=""化為標(biāo)準(zhǔn)方程m',準(zhǔn)線方程.Am,故由題意I4k,

m=±—

得8.

±1

故答案為：8

14.已知雙曲線的漸近線方程為!一士則雙曲線的離心率為.

【答案】■或亍

【解析】

?=J1+-T

【分析】分兩種情況，焦點(diǎn)在,軸上，焦點(diǎn)在軸上，兩種情況，分別代入V"即可求解.

g-±=i—=v?=「

【詳解】當(dāng)雙曲線為。b時，a,e….

￡

故答案為：。=力或2.

15.直線與雙曲線丁-4】"=4相交于48兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸T.lI為線段的中點(diǎn)，則直線的方程是.

【答案】》一尸3=°

【解析】

【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知t+±=s,ri+,'-］；利用點(diǎn)差法可求得直線斜率**1,進(jìn)而得到直

線方程.

【詳解】設(shè)41"/，"（?'?''」

:P4J）為心中點(diǎn)..丸+4=8,］\+?。?2

X-4y；=4

由1》；-44=4兩式作差可得：（再+與）區(qū)fl=4（“+”心\一.匕?

4一町4（j，］+》J

直線斜率

直線方程為：廠1=1/7|,即=°

故答案為J］」3=°

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)弦中點(diǎn)求解直線方程的問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用點(diǎn)差法，將直線的斜率與中點(diǎn)坐

標(biāo)之間的關(guān)系表示出來，從而求得直線斜率.

16.已知拋物線C的方程為：］一=4T,尸為拋物線C的焦點(diǎn)，傾斜角為45?的直線；過點(diǎn)尸交拋物線c于

A、B兩點(diǎn),則線段AB的長為

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程，再求出點(diǎn)48的橫坐標(biāo)和即可計(jì)算作答.

【詳解】拋物線C：.'=4、的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為、=-［,

x-l

依題意，直線/的方程為：，=TT,由丁消去x并整理得：Y-6」+】=0,

設(shè)題》期).8⑸、)則七+與=6,于是得?"卜|“?+1如卜西+】+,+1=g

所以線段的長為&

故答案為：8

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知在平面直角坐標(biāo)系‘0丫中，圓「二.

⑴過點(diǎn)H?.拘作圓的切線，求切線方程；

(2)求過點(diǎn)的圓的弦長的最小值.

【答案】(1)"舟-《二。

(2)272

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)"(,"I在圓。上，求出直線4。的斜率；再根據(jù)圓的性質(zhì)可得出所求切線的

斜率和方程.

(2)先根據(jù)點(diǎn)3仁/)在圓C內(nèi)，求出圓心二到點(diǎn)口的距離；再利用幾何法可得圓心二到直線AW

距離的最大值；最后利用勾股定理即可求出過點(diǎn)‘二」，的圓的弦長的最小值.

【小問1詳解】

由圓c。-】尸+『=4可得：圓心C(L°),半徑r=

..(2-1)'+(一)=4

點(diǎn)'C在圓。上，即點(diǎn)/(工業(yè)為切點(diǎn).

晨.=旦="

?.?直線4。的斜率為2-1

￡=-1=-叵

所求切線斜率為Lc3.

rJ3

3'-x/3=--Ix-2)zr-n

切線方程為3，即T+J牙-5=0.

【小問2詳解】

aa

v(2-l)+l=2<4

點(diǎn)E,D在圓。內(nèi).

設(shè)直線2仆【過點(diǎn)“'二」'，圓心0到直線AW距離為d,

?.?圓C半徑，,-2

則的=

???結(jié)合圖形可知當(dāng)時，a取得最大值，為四卜Jc-1)'+P=8

過點(diǎn)叫口的圓的弦長的最小屋「面=/詞="

18.(1)焦點(diǎn)在\軸上的橢圓過點(diǎn)IL,離心率,2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知雙曲線過點(diǎn)"°二1I*二?T

,它的漸近線方程為,V,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

一+:-=[___-

【答案】⑴3627；(2)188

【解析】

【分析】

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入已知點(diǎn)，再由離心率.三及f=9+1可解得基本量.

(2)由漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為9，代入〃點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】(1)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則

,又聯(lián)立解得°=6力=3&,

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：36^27

,2x2y2.

jp匚i,^x?=4

(2)由雙曲線的漸近線方程.3,可設(shè)雙曲線方程為：94

…6：仁切，

又雙曲線過點(diǎn)“W'L所以于一4解得以=2,

x2/1

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：ISS

【點(diǎn)睛】此題為基礎(chǔ)題，考查橢圓和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法.

19.如圖，在長方體ABC。-421C1D1中，AD=AAi^l,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動.

(2)若EB3,求二面角Di-EC-。的大小.

【答案】(1)見解析(2)30°.

【解析】

【分析】(1)以。為原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)(0SW2),證明40=。即得證；(2)利用向量法求二面角。1-EC-。的大小.

【詳解】證明：(1)以。為原點(diǎn)，DA,DC,ODi所在直線分別為無，》z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AE=f,(0<Z<2),則。I(0,0,1),E(1,t,0),Ai(1,0,1),￡)(0,0,0),

口E=(i,r,-i),4?=(-1,0,-1),

所以AE40=o,

：.DiE±AiD.

(2)；EB3,：.E(1,23,0),C(0,2,0),

_一近一

：(1,3,0),CA=(0,-2,1),

設(shè)平面CEDi的法向量5=(x,?z),

\——

nCE=x-——v=0

.3.

則bS=Yj'+二=°,取y=3,得彳=(A,6),

平面CAE的法向量而=(0,0,1),

設(shè)二面角Di-EC-D的平面角為0,

則cos。網(wǎng)同相’2,所以0=30。,

二面角Di-EC-D的大小為30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面位置關(guān)系的證明，考查空間二面角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理

解掌握水平和計(jì)算能力.

（。中』

20.已知橢圓Jb2經(jīng)過I

（1）求橢圓E的方程；

（2）若直線'、-丁-1=°交橢圓E于不同兩點(diǎn)A,P,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，求A。,45的面積.

3

x31

一+V=1

【答案】（1）4■

4

（2）5

【解析】

【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出方的值，可求出橢圓的方程；

（2）直線，方程與橢圓方程聯(lián)立，消去1,得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)》】，

5=-|0P|ly,-rJ

v設(shè)直線，與1軸交于點(diǎn)P,利用-","進(jìn)行求解.

【小問1詳解】

伊=1

+=1

E*1=1(0.1)/j3,1^|4-T

橢圓a，6*經(jīng)過卜-A將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，得49,解得:

,6=1,

^―+r=1

即橢圓E的方程為4*；

【小問2詳解】

記底玉.內(nèi)），可設(shè)心的方程為X="1,

P+4yl=43

由L=「+l,消去、得5y3=0,解得1,33~5,

D”nsS=—lOPlIr.-vJ=-x1x-=-

直線,與'軸交于點(diǎn)尸（L0）,則21I"'J|255.

21.如圖，在五面體ABCDE中，平面BCDJ,平面ABC,AC1BC,ED//AC,且

<4C=BC=2￡Z）=2,DC=DB=6

(1)求證：平面/L5E」平面H8U.

(2)線段BD上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面，4CW與平面的夾角的余弦值等于H?若存在，求

DF

布的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

DF,

(2)存在，F(xiàn)B

【解析】

【分析】(1)首先根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面488和平面■位C的法向量，證明

法向量垂直，即可證明面面垂直；

(2)首先求平面且「尸的法向量，根據(jù)法向量的夾角的余弦值，即可求解點(diǎn)尸的位置.

【小問1詳解】

如圖，設(shè)BC中點(diǎn)為o,過。作。

由于4cH,所以。x_LBC,由于DC=D8,則有D018C,

又平面3CDJ■平面4BC,平面BCDCI平面45。=8。,兇u平面BCD,

所以DOJ?平面/BC,又Qru平面45。，所以DO_LOx.

又0alEC,故0T,OB,8三條直線兩兩垂直.

如圖，以。為原點(diǎn)，Oy,QB,0D分別為-】、二軸，建立空間直角坐標(biāo)系°一D二,

依題意可得山-T叫E（L6?,B（0,1.0）,

^45=（-2.2.0）

，，

設(shè)平面的法向量為=4-I

AEnt=0,-覆+“+V^i=0

則有3%=°,即1一乂+比=°,令玉=1,得一=（LL。），

取平面4SC的一個法向量嗎=（.°」），

因?yàn)橐还?。，所以平面ABEJ平面4BC；

【小問2詳解】

設(shè)方=2五（0s2wh,

由（1）知D（0.0.V2|C（0,-1.0iMO.l.O）,CD=（O.1.V2|PB=（O.L-V2|

所以方=24gi,

而麗=而+而=（o.】.VT）+|（u.-Vii）=（（u+i.b-6i

則，

CF標(biāo)=0

設(shè)平面4?尸的法向量”二（卬.匕二力則有［AC山=0,

因?yàn)楣ぁ?T.0,C?,

X]=0

U+1M+S-0gMo

所以o,即4+t

令二廣用，可得月=則而=(o.6"ir+il

因?yàn)槠矫婀F與平面，如8的夾角的余弦值等于11.

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