2024年秋季高二檢測(cè)卷數(shù)學(xué)（A卷）時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋虼?，?fù)數(shù)的虛部為.故選：D.2.下列表達(dá)式化簡(jiǎn)結(jié)果與相等的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量加減的運(yùn)算法則可解.【詳解】對(duì)于A，，不滿足題意；對(duì)于B，，滿足題意；對(duì)于C，，不滿足題意；對(duì)于D，具體不知.故選：B.3.若函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件 C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】C【解析】【分析】由零點(diǎn)存在定理易判斷“”是“”的充分條件，利用舉反例可說(shuō)明“”不是“”的必要條件即得.【詳解】因是區(qū)間上連續(xù)曲線，由，利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知必；而由不能得出，如設(shè)，顯然，但.故“”是“”的充分不必要條件.故選：C.4.設(shè)函數(shù)．已知，且的最小值為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由條件可得，又由的最小值為，可知半個(gè)周期為，即可計(jì)算得到.【詳解】由題意，因，且的最小值為，則，解得.故選：B.5.某學(xué)校高二年級(jí)擬舉辦藝術(shù)節(jié)，要求各班級(jí)從《黃河大合唱》，《我和我的祖國(guó)》，《北京歡迎你》，《我愛(ài)你中國(guó)》和《我們走在大路上》這五首指定曲目中任選一首作為表演節(jié)目，則高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】理解題意，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理和古典概型概率公式計(jì)算即得.【詳解】高二（1）班與高二（2）班分別從這五首曲目中任選一首作為表演節(jié)目的方法數(shù)有種，而要使兩個(gè)班抽到不同曲目，可分步完成：先讓高二（1）班選一首有5種方法，再由高二（2）班從余下的4首曲目中選一首，有4種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知方法數(shù)有種.由古典概型概率公式，可得高二（1）班與高二（2）班抽到不同曲目的概率為.故選：D.6.如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且軸，，則此橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)得到，確定，得到離心率.【詳解】橢圓方程，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，，，于是，，由得，即，故，．故選：B7.若等比數(shù)列滿足，則（）A B.1012 C. D.1013【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)得出,再計(jì)算化簡(jiǎn)求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，所以，設(shè),,,所以，,.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋罱獾?；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于直線與圓，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B直線與圓不可能相切C.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最小值為6D.圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為8【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)含參直線方程求定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；判斷直線過(guò)的定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷B；當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最小，計(jì)算可求弦長(zhǎng)的最小值判斷C；根據(jù)圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為可判斷D.【詳解】對(duì)于A：可變形為，由，得，所以直線過(guò)定點(diǎn)2,3，故A不正確；對(duì)于B：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑為3，由，所以點(diǎn)2,3在圓的內(nèi)部，所以與相交，不會(huì)相切，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)與點(diǎn)2,3和圓心的連線垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最小.此時(shí)圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)的弦長(zhǎng)最小值為，故C不正確；對(duì)于D：圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，故D正確.故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.有最小值D.存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有【答案】ACD【解析】【分析】推導(dǎo)出，利用等差數(shù)列的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)；令，可判斷B選項(xiàng)；分、兩種情況討論，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，對(duì)于A選項(xiàng)，，則等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，不妨取，則,此時(shí)，數(shù)列不單調(diào)，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則對(duì)任意的，，則，所以，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的最小值為；若，由，可得，不妨取（其中x為不超過(guò)的最大整數(shù)），則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為的最小項(xiàng)，綜上所述，的最小值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，不妨取，則當(dāng)時(shí)，，即；若，由，可得，取，當(dāng)時(shí)，，所以，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，總有，D對(duì).故選：ACD.11.曲線是平面內(nèi)與三個(gè)定點(diǎn)和的距離的和等于的點(diǎn)的軌跡．則下列結(jié)論正確的有（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上存在點(diǎn)，使得C.曲線上存在點(diǎn)，使得四邊形的周長(zhǎng)為9D.若點(diǎn)在曲線上，則面積的最大值為4【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，說(shuō)明也在曲線上即可判斷；對(duì)于B，由假設(shè)時(shí)，可推得，排除B項(xiàng)，對(duì)于C，由四邊形的周長(zhǎng)為9，推得曲線不存在，排除C項(xiàng)，對(duì)于D，通過(guò)條件放縮，推得，知點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)（含邊界），兩個(gè)曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，由即可求得的面積最大值.【詳解】設(shè)曲線上任取點(diǎn)，依題意，,代入和，可得.對(duì)于A，在方程中，用替代，方程不變，可得曲線關(guān)于軸對(duì)稱，即A正確；對(duì)于B，若，則,此時(shí)曲線不存在，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若四邊形的周長(zhǎng)為9，因，故得，此時(shí)曲線不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，故點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)（含邊界），因曲線與橢圓有唯一的公共點(diǎn)，此時(shí),故當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，的面積最大，為，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求出的值，可得出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，則，則，所以，.故答案為：.13.寫(xiě)出與圓和圓都相切的一條直線方程________．【答案】或或（寫(xiě)出其中一條即可）.【解析】【分析】先判斷兩圓外切得出兩圓有3條公切線，根據(jù)兩圓圓心關(guān)于直線對(duì)稱，且半徑相等，求得一條公切線方程，結(jié)合圖形設(shè)出另兩條切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得另兩條公切線方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則,即兩圓外切，故共有3條公切線(如圖).又因，且與關(guān)于直線對(duì)稱，故直線即為兩圓的一條公切線；由圖知，另兩條公切線與直線平行，又,故可設(shè)公切線方程為，即，由圓心到直線的距離，解得：或，則另兩條切線方程為：或.綜上，與兩圓都相切的直線方程為或或.故答案為：或或.14.在網(wǎng)絡(luò)加密通信中，為了確保信息安全，常常需要對(duì)密鑰進(jìn)行復(fù)雜的生成和更新操作．為生成密鑰序列，現(xiàn)定義一個(gè)簡(jiǎn)單的加密算法，它的作用是在第輪對(duì)密鑰片段進(jìn)行一次變換．具體變換規(guī)則如下：若為奇數(shù)，則將在第輪變換中讓序列的奇數(shù)項(xiàng)的值增加1，偶數(shù)項(xiàng)的值減少；若為偶數(shù)，則將在第輪變換中讓序列的奇數(shù)項(xiàng)的值增加，偶數(shù)項(xiàng)的值減少3.若初始密鑰序列，，則加密序列的所有項(xiàng)之和為_(kāi)_______．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】分別找出偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的變化規(guī)律，從而求出加密序列的各項(xiàng)，從而得到其所有項(xiàng)的和.【詳解】因?yàn)闉榕紨?shù),為奇數(shù),所以對(duì)于密鑰序列的偶數(shù)項(xiàng)變換規(guī)律為：,所以,則為等差數(shù)列,則在加密序列中：第2項(xiàng)為：,

第4項(xiàng)為：,

第6項(xiàng)為：.所以加密序列的偶數(shù)項(xiàng)之和為：.對(duì)于密鑰序列的奇數(shù)項(xiàng)變換規(guī)律為：，所以,則為等差數(shù)列，則在加密序列中：第1項(xiàng)為：1,

第3項(xiàng)為：,

第5項(xiàng)為：.所以加密序列的所有奇數(shù)項(xiàng)之和為：.故所以加密序列的所有項(xiàng)之和為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解加密序列的算法，以學(xué)習(xí)過(guò)的等差數(shù)列相關(guān)的知識(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)一類問(wèn)題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問(wèn)題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得公比，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）采用錯(cuò)位相減法可求得，分離參數(shù)可得，由數(shù)列單調(diào)性可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，可設(shè)其公比為，，解得：（舍）或，.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，，兩式作差得：，，由得：，為遞減數(shù)列，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.如圖，已知正三棱柱分別為棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】利用線面垂直判定定理來(lái)證明；用向量法計(jì)算兩平面夾角的余弦值，再求夾角的正弦值；【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，由正三棱柱性質(zhì)得，互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)，則，則．證明：，由，得，由，得，因?yàn)槠矫妫云矫妫拘?wèn)2詳解】由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，則,故，令，得面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的值為，則，所以，二面角的正弦值為．17.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．（1）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，點(diǎn)在內(nèi)，，求．【答案】（1）直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角的余弦公式及和角的正弦化簡(jiǎn)求出角即可判斷得解.（2）由，得，再由已知條件，結(jié)合正弦定理及和角的正弦公式化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出的值．小問(wèn)1詳解】在中，由及正弦定理，得，化簡(jiǎn)得，則，而，因此，又，則，所以是直角三角形.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，在中，，由，得，由，得，則，，于是，在中，，由，得，在中，設(shè)，則，由正弦定理，得，即，整理得，即，解得，所以.18.已知拋物線的焦點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到其準(zhǔn)線的距離之和的最小值為2.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)是拋物線上不同的三點(diǎn).（?。┤糁本€過(guò)點(diǎn)，且交準(zhǔn)線于點(diǎn)，求的值；（ⅱ）若直線的斜率分別為，且，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義結(jié)合最小值求出.（2）（i）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即得；（ii）設(shè)直線：，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式列式可得，再借助判別式求出范圍.【小問(wèn)1詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為：，設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，由拋物線定義得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，依題意，，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，又，由消去得，，，由，得，整理得，同理得，所以.（ii）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)是拋物線上，所以，所以，所以，由消去得，則，又，由，得，即，則，解得，由，得，解得或，則所以直線的斜率的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.若是集合的非空子集，且滿足，則稱為級(jí)好集，級(jí)好集的個(gè)數(shù)記為．其中表示集合中元素的個(gè)數(shù)．（1）求；（2）已知是一個(gè)級(jí)好集，是否存在一個(gè)級(jí)好集，滿足：中的元素之和中的元素之和？（3）是否存在末位數(shù)是999的？【答案】（1）（2）存在（3）存在【解析】【分析】（1）分別寫(xiě)出元素個(gè)數(shù)為1,2,4集好集即可；（2）設(shè)，再設(shè)是一個(gè)元集合，再結(jié)合好集的定義即可判斷；（3）對(duì)所有所有級(jí)好集可以分為三類討論即可.【小問(wèn)1詳解】元素個(gè)數(shù)為1的好集有；元素個(gè)數(shù)為2的好集有；元素個(gè)數(shù)為3及3以上的4級(jí)好集不存在，故.【小問(wèn)2詳解】存在.設(shè)，則.則，設(shè)是一個(gè)元集合，且最小元素，故存在一個(gè)級(jí)好集，滿足:中的元素之和中的元素之和.【小問(wèn)3詳解】所有級(jí)好集可以分為以下3類：()不含元素；()含元素，且不是一元集；