專題31圓中的重要模型之四點(diǎn)共圓模型

四點(diǎn)共圓是初中數(shù)學(xué)的常考知識點(diǎn)，近年來，特別是四點(diǎn)共圓判定的題目出現(xiàn)頻率較高。相對四點(diǎn)共

圓性質(zhì)的應(yīng)用，四點(diǎn)共圓的判定往往難度較大，往往是填空題或選擇題的壓軸題，而計(jì)算題或選擇中四點(diǎn)

共圓模型的應(yīng)用（特別是最值問題），通常能簡化運(yùn)算或證明的步驟，使問題變得簡單。本文主要介紹四點(diǎn)

共圓的四種重要模型。

四點(diǎn)共圓：若在同一平面內(nèi)，有四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”。

模型1、定點(diǎn)定長共圓模型（圓的定義）

【模型解讀】若四個(gè)點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。這也是圓的基本定義，到定點(diǎn)的距離等于

定長點(diǎn)的集合。

條件：如圖，平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)。、4、B、C、D,使得O4=0B=0C=0D,

結(jié)論：/、B、C、。四點(diǎn)共圓（其中圓心為O）。

例1.（2023春?廣東梅州?九年級?？计谥校┤鐖D，量角器的直徑與直角三角板N5C的斜邊42重合

（AB=6）,其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)/重合，射線CP從C4處出發(fā)沿順時(shí)針方向以每秒3度的

速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)￡,第20秒時(shí)點(diǎn)E在量角器上運(yùn)動(dòng)路徑長是—.

例2.（2021,浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A43c中，/BAC=90。,4B=/C=5,點(diǎn)。在4C上，且

4。=2,點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)。E,點(diǎn)尸，G分別是3C,的中點(diǎn)，連接/G,FG,SAG=FG

時(shí)，線段。E長為（）

AEB

例3.（2023?江蘇淮安?統(tǒng)考三模）如圖，將矩形/BCD的邊48繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到"，連接8尸，過點(diǎn)

。作B尸的垂線，垂足E在線段8尸上，連接CE.若4D=3,AF=C，則/DEC的度數(shù)為°.

例4.2021?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtA/8C中，ZACB=90。,。為的中點(diǎn)，0。平分//OC

交/C于點(diǎn)G,OD=OA,AD分別與/C,OC交于點(diǎn)E,F,連接4D,CD,則g=的值為；若

模型2、定邊對雙直角共圓模型

同側(cè)型異側(cè)型

1）定邊對雙直角模型（同側(cè)型）

條件：若平面上B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足/48。=44。=90。,

結(jié)論：/、B、C、。四點(diǎn)共圓，其中AD為直徑。

2）定邊對雙直角模型（異側(cè)型）

條件：若平面上/、B、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足NABC=N4DC=90。,

結(jié)論：4、B、C、。四點(diǎn)共圓，其中NC為直徑。

例1.（2021,湖北鄂州,統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形/ADC中，AC=BC,乙4c2=90。，AD工BD于點(diǎn)、

D.若BD=2,CD=4A/2.則線段的長為

例2.（2022春?山東?九年級專題練習(xí)）定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線

相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

（1）如圖1,NE是―白？中乙4的遙望角.①若乙4=40。，直接寫出NE的度數(shù)是；

②求乙E與乙4的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.（2）如圖2,四邊形/5CD中，UBC=UDC=90。，點(diǎn)、E在BD

的延長線上，連CE,若N8EC是―臺。中NH4C的遙望角，求證：DA=DE.

例3.（2022?湖北武漢??？级＃┤鐖D，等腰RQABC中，ZACB=90°,D為BC邊上一點(diǎn)，連接AD.

（1）如圖1,作BE_LAD延長線于E,連接CE,求證：NAEC=45。；

（2）如圖2,P為AD上一點(diǎn)，且NBPD=45。，連接CP.若AP=2,求aAPC的面積；

例4.（2022秋?廣東梅州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AABC=AADC=90°,E是

AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若ZBAC=15°,ZDAC=45°,CD=4,貝1|EF的長為()

C.2D.273

模型3、定邊對定角共圓模型

條件：如圖1,平面上aB、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足/〃）5=4C8,結(jié)論：4、B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,AC.BD交于H,AHCH=BHDH,結(jié)論：4B、C、。四點(diǎn)共圓.

例1.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，在RS/8C中，乙BAC=90°,乙48c=40。，將繞N點(diǎn)順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到“DE,使D點(diǎn)落在BC邊上.

（1）求乙B4D的度數(shù)；（2）求證：/、D、B、E四點(diǎn)共圓.

例2.（2023?浙江紹興?九年級校聯(lián)考期中）如圖1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底

邊BC上取一點(diǎn)D,連結(jié)AD,使得NDACNACD.如圖3,將4ACD沿著AD所在直線折疊，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)

E處，連結(jié)BE,得到四邊形ABED.則BE的長是（）

例3.（2022?江蘇無錫?中考真題）A48C是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線

AD與直線/￡交于點(diǎn)尸.如圖，若點(diǎn)。在A42c內(nèi)，3BC=20。,則42/尸=°；現(xiàn)將△￡＞可繞點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段/斤長度的最小值是

例4.（2022?貴州遵義,統(tǒng)考中考真題）探究與實(shí)踐："善思"小組開展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論

對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：如圖1,在線段/C同側(cè)有兩點(diǎn)3,D,連接40,AB,BC,CD,如果48=/。，那么A,

B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

圖4

探究展示如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)A,C,。的。。，在劣弧/C上取一點(diǎn)E（不與A,C重合），連接NE,CE

則N/EC+ND=180。（依據(jù)1）

?.-/B=NDNAEC+Z5=180°

.,.點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

:?點(diǎn)、B,。在點(diǎn)A,C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

二點(diǎn)A,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

⑴反思?xì)w納：上述探究過程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形/BCD中，/1=/2,N3=45。，則N4的度數(shù)為.

⑶拓展探究：如圖4,已知。8C是等腰三角形，A8=/C,點(diǎn)。在2c上（不與BC的中點(diǎn)重合），連接

4D.作點(diǎn)C關(guān)于4D的對稱點(diǎn)E,連接班并延長交4D的延長線于尸，連接NE,DE.①求證：A,

D,B,E四點(diǎn)共圓；②若AB=2亞,/D2尸的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請

說明理由.

模型4、對角互補(bǔ)共圓模型

條件：如圖1,平面上aB、C、。四個(gè)點(diǎn)滿足//8C+乙4DC=180。，結(jié)論：A.B、C、。四點(diǎn)共圓.

條件：如圖2,BA、CD的延長線交于P,PA-PB=PDPC,結(jié)論：A.B、C、D四點(diǎn)共圓.

1.（2023?浙江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形N3CD中，AD//BC,ZC=45°,以N8為腰作等腰直角三角

形A4E,頂點(diǎn)E恰好落在邊上，若40=1,則CE的長是（）

BC

A.V2B.—C.2D.1

2

例2.（2023?河南周口?校考三模）在中，CA=CB,M是“8C外一動(dòng)點(diǎn)，滿足

DCAM+E）CBM=180°,若NCK4=60。，MA=4,MB=2,則MD的長度為

例3.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）如圖，AB1BC,AB=5,點(diǎn)E、尸分別是線段48、射線BC上的動(dòng)

點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰RtADEF,E）D=90。，連接AD,則4D的最小值為

例4.（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在探究"四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出:

在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.請應(yīng)用此結(jié)論.解決以下問題：

如圖1,“8C中，AB=AC,ABAC=a（60。<a<180。）.點(diǎn)。是8c邊上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與8,C重

合），將線段繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a到線段/E,連接BE.

圖2備用圖

（1）求證：A,E,B,。四點(diǎn)共圓；（2）如圖2,當(dāng)時(shí)，。。是四邊形NEAD的外接圓，求證：/C是

。。的切線；（3）已知a=120。，BC=6,點(diǎn)M是邊5c的中點(diǎn)，此時(shí)。P是四邊形NEAD的外接圓，直接寫

出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023秋?河北張家口?九年級?？计谀┤鐖D①，若8c是RtA48c和RtADBC的公共斜邊，則/、B、

C、。在以2C為直徑的圓上，則叫它們“四點(diǎn)共圓如圖②，的三條高40、BE、C/相交于點(diǎn)

則圖②中“四點(diǎn)共圓，，的組數(shù)為（）

2.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)8,C,。到點(diǎn)。的距離相等，連接NC,BD.下

列結(jié)論不一定成立的是（）

A./1=/2B./3=/4C.ZABC+ZADC=D.AC平分NB4D

3.（2023?江蘇宿遷?九年級校考期末）如圖，在RtA4BC中，44c8=90。，BC=3,/C=4,點(diǎn)P為平面

內(nèi)一點(diǎn)，S.ZCPB=ZA,過C作C0LCP交PB的延長線于點(diǎn)Q,則CQ的最大值為（）

r4指D.還

55

4.（2023?北京海淀?九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)。為線段42的中點(diǎn)，點(diǎn)8,C,。到點(diǎn)O的距離相等，連

接/C,&X請寫出圖中任意一組互補(bǔ)的角為和（不添加輔助線，不添加數(shù)字角標(biāo)和

字母）

5.（2023?廣東?二模）如圖，點(diǎn)。為線段3c的中點(diǎn)，點(diǎn)4C、。到點(diǎn)。的距離相等，若乙12C=50。,則

的度數(shù)是0

6.（2023?浙江金華?統(tǒng)考二模）如圖，在。8C中，=75°,/C=45°,BC=6-2日P是上一動(dòng)

點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)、E,POL/C于點(diǎn)。，則線段DE的最小值為（）

A.y/3B.1C.3>/3-3D.473-6

7.（2023,浙江?模擬預(yù)測）如圖，RtZk/BC中，AB=AC=12亞,RtZk4DE中，4D=AE=6也，直線BD

與CE交于尸，當(dāng)NE/Z）繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)的過程中，尸到直線距離的最大值是.

8.（2023春?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在“BC中，點(diǎn)。為3c上一點(diǎn)，/4DC=60。，點(diǎn)E

在線段40上，/BEC=120°,若BC=36,AE=25則/C的最大值為

9.（2023?廣東惠州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將。BC繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得至IJV4DE,其中點(diǎn)8與

點(diǎn)。對應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)￡對應(yīng).（1）畫出VADE.（2）直線2C與直線相交于點(diǎn)尸，證明：A,C,F,E四

點(diǎn)共圓.

10.（2023?湖北九年級課時(shí)練習(xí)）如圖1,“8C中，AC=BC=4,A4C5=90°,過點(diǎn)C任作一條直線CD,

將線段8c沿直線8翻折得線段CE,直線/E交直線CD于點(diǎn)尸.直線5E交直線CD于6點(diǎn).

（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)E在N8上方時(shí)，UEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下

推理過程：

?：AC=BC=EC,；.A、B、￡三點(diǎn)在以C為圓心以NC為半徑的圓上，

：.^AEB=—^ACB,（填寫數(shù)量關(guān)系）

：.Z-AEB=°.

⑵如圖2,連接8尸，求證/、B、F、C四點(diǎn)共圓；

⑶線段/E最大值為一，若取3c的中點(diǎn)〃，則線段的最小值為一.

11.（2023春?重慶南岸?八年級?？计谀┮阎毫庑?BCD的對角線/C、8。交于點(diǎn)。，以/。為斜邊構(gòu)

造等腰放△/￡〃，連接BE.

B

圖2

⑴如圖1,若/。48=60。，40=4,求AAED的面積.（2）如圖2,延長DE交48于點(diǎn)尸，過點(diǎn)。作。G_LCD

于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作。〃，。尸于點(diǎn)〃，CH與OG交于點(diǎn)、M,且。河=3尸.求證：AO=142BE.

12.（2023春?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出如圖1,點(diǎn)￡為等腰A/8C內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,

ABAC=a,將/E繞著點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到4D,求證：AABE為ACD.

嘗試應(yīng)用如圖2,點(diǎn)D為等腰RtA/BC外一點(diǎn)，AB=AC,BD^CD,過點(diǎn)/的直線分別交的延長

線和的延長線于點(diǎn)N,M,求證：S^ABN+S^ACM=^AN-AM.

問題拓展如圖3,AABC中，4B=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,2c上，NBDA=ZBEA=60°,AE,BD

交于點(diǎn)若CE=a,AH=b,直接寫出BE的長度（用含a,6的式子）.

13.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）綜合與實(shí)踐

“善思"小組開展"探究四點(diǎn)共圓的條件”活動(dòng)，得出結(jié)論：對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進(jìn)行探究.

提出問題：如圖1,在線段NC同側(cè)有兩點(diǎn)3,D,連接4D,AB,BC,CD,如果乙8=〃>,那么B,C,

D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

探究展示：如圖2,作經(jīng)過點(diǎn)/,C,。的O。，在劣弧NC上取一點(diǎn)E（不與4,C重合），連接/瓦CE,

則ZAEC+AD=180。（依據(jù)1）

,:乙B=幺D山￡C+N8=180°

??.點(diǎn)/,B,C,E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓）

.?點(diǎn)B,。在點(diǎn)N,C,E所確定的。。上（依據(jù)2）

.?.點(diǎn)/,B,C,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上

⑴上述探究過程中的“依據(jù)1"、"依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：—;依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形/BCD中，Z1=Z2,43=45。，貝比4的度數(shù)為.

拓展探究：⑶如圖4,已知A48C是等腰三角形，/8=NC,點(diǎn)。在8C上（不與8C的中點(diǎn)重合），連接

ND.作點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)￡,連接￡8并延長交/。的延長線于尸，連接/￡,DE.①求證：A,D,

B,E四點(diǎn)共圓；②若AB=2母,/D?/尸的值是否會(huì)發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理

由

14.（2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）如圖，將一副斜邊相等的直角三角板按斜邊重合擺放在同一平面內(nèi)，其中

4D4B=45。,^CAB=30°,點(diǎn)。為斜邊48的中點(diǎn)，連接CD交N8于點(diǎn)￡.設(shè)N8=l.

（1）求證：/、B、C、。四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)。為圓心的同一個(gè)圓上；

（2）分別求ZU8C和A48。的面積；（3）過點(diǎn)。作。尸|山。交48于點(diǎn)尸，求?！辏篛尸的比值.

C

D

15.（2023?重慶九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于。。，對角線/C/AD,垂足為E,CF1AB

于點(diǎn)尸，直線CF與直線8。于點(diǎn)G.

（1）若點(diǎn)G在。。內(nèi)，如圖1,求證：G和。關(guān)于直線4C對稱；

（2）連接/G,若AG=BC,且NG與。。相切，如圖2,求/A8C的度數(shù).

16.（2023?江蘇?九年級假期作業(yè)）【問題情境】如圖①，在四邊形/BCD中，NB=ND=90。，求證：/、B、

C、D四點(diǎn)共圓.

小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)/C,取NC的中點(diǎn)。，連結(jié)08、0D,請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程;

【問題解決】如圖②，在正方形48CD中，AB=2,點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊8C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連結(jié)AF,作尸于點(diǎn)尸.

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在正方形/BCD對角線2。上時(shí)，線段/尸的長度為

（2）如圖③，過點(diǎn)尸分別作于點(diǎn)PNLBC于HN,連結(jié)則MN的最小值為

圖①

17.（2023春?江蘇南京?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在和Rt△。所中，ZC=ZF=90°,

NB=NE=30°,AC=AF=6,用這兩個(gè)直角三角形研究圖形的變換.

圖1圖2圖3

【翻