高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省鞍山市普通高中2025屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分命題范圍：高考范圍（除了概率與統(tǒng)計(jì)）第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）A.2 B.2 C.2 D.2【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)還是2.故選：A.2.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線與直線平行，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)或時(shí)兩直線平行．故“”能得到“直線與直線平行”，但是“直線與直線平行”不能得到“”故選：A3.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記m，＝n，則＝（）A3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2（－），所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n.故選B.4.設(shè)圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），過B作圓O的切線l，若動點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A與軸交于，兩點(diǎn)（在的上方），所以，，又因?yàn)檫^作圓的切線，所以切線的方程為，因?yàn)閯狱c(diǎn)到的距離等于到的距離，所以動點(diǎn)的軌跡為拋物線，且其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以的軌跡方程為．故選：A.5.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍【答案】B【解析】依題意，，則，所以第一次的“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B6.定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)（）.A.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間是增函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間是增函數(shù)【答案】B【解析】，關(guān)于直線對稱，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，又是偶函數(shù)，，，是周期為2的函數(shù)，在區(qū)間也是增函數(shù).故選：B7.圓柱形玻璃杯中盛有高度為10cm的水，若放入一個(gè)玻璃球（球的半徑與圓柱形玻璃杯內(nèi)壁的底面半徑相同）后，水恰好淹沒了玻璃球，則玻璃球的半徑為（）A. B.15cm C. D.20cm【答案】B【解析】由題意玻璃球的體積等于放入玻璃球后的體積減去原來的體積.設(shè)玻璃球半徑為，即圓柱形玻璃杯的底面半徑為則玻璃球的體積為，圓柱的底面面積為若放入一個(gè)玻璃球后，水恰好淹沒了玻璃球，則此時(shí)水面高度為所以，解得故選：B8.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”．根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在性定理可得：存在唯一的，使得.故選：B二．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.的最小正周期為 B.曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱C.的最大值為 D.曲線關(guān)于直線對稱【答案】ACD【解析】由題意，函數(shù)，對于A，由于的最小正周期，故正確；對于B，由于，故錯(cuò)誤；對于C，由于，故正確；對于D，的對稱軸為得，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于直線對稱，所以D正確.故選：ACD.10.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓C的離心率為 B.的最大值為6C.的周長為10 D.存在點(diǎn)P，使得為等邊三角形【答案】ABD【解析】由橢圓C：，可得，，則，對于選項(xiàng)A，橢圓C的離心率，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)時(shí)，可得，故B正確；對于選項(xiàng)C，的周長為，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的短軸的端點(diǎn)時(shí)，可得，，此時(shí)為等邊三角形，故D正確．故選：ABD11.函數(shù)滿足，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】依題意，令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上遞減，對于A，，，則，A正確；對于B，，，則，B錯(cuò)誤；對于C，，，則，C正確；對于D，，，則，D錯(cuò)誤.故選：AC第II卷（非選擇題，共92分）三．填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿足，，若，，則的值為______.【答案】或【解析】因?yàn)椋?，所以?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.由，，得，，所以.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.綜上，的值為或.故答案為：或13.若a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，定義函數(shù)，現(xiàn)將的圖像先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，則的解析式為______.【答案】【解析】由題意，，a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，在中，∵的圖像先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后得到函數(shù)∴，∴的解析式為：.故答案為：.14.如圖，已知是的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為_____．【答案】【解析】∵平面，∴平面．連接，如圖所示，則是在平面上的射影，∴就是與平面所成的角．設(shè)，則，∵，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵平面，平面，∴，∴，∴，∴與平面所成角的余弦值為四．解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且（1）求角B；（2）若的面積為，BC邊上的高，求，的值．解：（1）因?yàn)?，所以所以，即由余弦定理可得，因?yàn)椋裕?）由（1）知，，因?yàn)锽C邊上的高，所以，在中，由正弦定理可得，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得.在中,由余弦定理,得，則所以的值為，的值為.16.如圖，在多面體中，，，垂直于底面，且滿足，，.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.解：（1）證明：由題意得，，，，，垂直于底面，，，，，可得，所以，故.由，，，，，得.又，由，得，所以，故.又，因此平面，因?yàn)槠矫妫?（2）如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線，為，軸的正半軸，過點(diǎn)作平行于且向上的射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，因此，，，.設(shè)平面的法向量，所以，即，則；同理可得，平面的一個(gè)法向量，，故二面角的余弦值為.17.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，為的左頂點(diǎn)，且．（1）求的方程；（2）若動直線與恰有個(gè)公共點(diǎn)，且與的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、．求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值．解：（1）易知點(diǎn)、、，，，所以，，解得，，則，所以，雙曲線的方程為.（2）證明：分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線軸時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之積為；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由題意可知直線不與雙曲線的漸近線平行或重合，即，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，可得，則，不妨點(diǎn)、分別為直線與直線、的交點(diǎn)，聯(lián)立可得，聯(lián)立可得，此時(shí)，.綜上所述，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值.18.已知函數(shù)，．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極大值；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．并說明理由．解：（1）由，知，即切點(diǎn)求導(dǎo)，則切線的斜率所以曲線在處切線的斜率為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值所以函數(shù)的極大值為（3）函數(shù)，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以方程在有且僅有一個(gè)根，即函數(shù)在有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即討論方程的根的個(gè)數(shù)，即討論方程的根的個(gè)數(shù)，即討論函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，求導(dǎo)，令，得或當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；又，，又，所以函數(shù)與沒有交點(diǎn)，即函數(shù)在上無零點(diǎn).綜上可知，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).19.對于給定的正整數(shù)和實(shí)數(shù)，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)：①；②對，，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）對于給定的正奇數(shù)，若數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3