常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

無(wú)窮級(jí)數(shù)8.1.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念給定一個(gè)常數(shù)列稱為(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù).記為即其中第

n項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),或通項(xiàng).則表達(dá)式定義8.1級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.記為即則稱級(jí)數(shù)收斂,極限s稱為級(jí)數(shù)的和,則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.注:如果級(jí)數(shù)發(fā)散,只是形式上的和,無(wú)數(shù)值意義.如果部分和數(shù)列的極限不存在,稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).顯然有當(dāng)n充分大時(shí),當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其部分和是級(jí)數(shù)和s的近似值.誤差為解例1討論等比級(jí)數(shù)(又稱幾何級(jí)數(shù))的收斂性,其中q叫做級(jí)數(shù)的公比.收斂;

發(fā)散;發(fā)散;

發(fā)散.級(jí)數(shù)變?yōu)?/p>

綜上所述重要結(jié)論:例公比為q的幾何級(jí)數(shù)的和解例2判定級(jí)數(shù)的斂散性.所以,該級(jí)數(shù)收斂,且其和為1.的部分和分別為

則于是證性質(zhì)1k是一常數(shù),所以,8.1.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)如果級(jí)數(shù)收斂于s,

并且其和為ks.則級(jí)數(shù)也收斂,

性質(zhì)2發(fā)散.收斂,發(fā)散,均發(fā)散,斂散性不確定.證極限的性質(zhì)即證.級(jí)數(shù)的部分和如果級(jí)數(shù)都收斂,

性質(zhì)3添加或去掉有限項(xiàng)不影響一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4設(shè)級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)其各項(xiàng)任意加括號(hào)所得新級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證則注意:收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.收斂發(fā)散推論

如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)也發(fā)散.證性質(zhì)5

(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)若級(jí)數(shù)

收斂,則例如,所以(1)級(jí)數(shù)收斂的必要條件,常用判別級(jí)數(shù)發(fā)散;(3)必要條件不是充分條件.如調(diào)和級(jí)數(shù)(2)也可用于驗(yàn)證級(jí)列極限的為“0”;但級(jí)數(shù)是否收斂?

發(fā)散注意:例如,發(fā)散重要結(jié)論:所以,級(jí)數(shù)發(fā)散.這是不可能的,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂,其和為s.于是因有練習(xí)判別級(jí)數(shù)