高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)2025屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設(shè)集合，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所?故答案為：2.不等式的解集為______．【答案】【解析】不等式等價于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：3.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．4.已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為______．【答案】2【解析】正實(shí)數(shù)、滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2.故答案為：25.已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【解析】因?yàn)閳A錐的高為8，底面半徑為，所以圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積.故答案為：.6.的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】28【解析】在的二項(xiàng)展開式中，含的項(xiàng)為，所以項(xiàng)的系數(shù)為28.故答案為：287.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時，所以.故答案為：8.從10名數(shù)學(xué)老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為______．【答案】144【解析】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種.所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.故答案為：1449.已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當(dāng)、取遍所有正整數(shù)時，的值中不同虛數(shù)的個數(shù)為______．【答案】6【解析】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個.故答案為：610.已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)．若，則______．【答案】【解析】橢圓，則、，設(shè)Ax0,y0即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案為：.11.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，左右兩個扇形區(qū)域?yàn)榛▔▋蓚€扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域?yàn)椴萜海F(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點(diǎn)在線段上，另外兩個頂點(diǎn)在線段上，則該游樂區(qū)面積的最大值為______平方米．（結(jié)果保留整數(shù)）【答案】137【解析】設(shè)游樂區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當(dāng)分別于圓弧相切時，取得最大值，由對稱性，只討論，設(shè)與圓弧相切于點(diǎn)，連接，設(shè)，因?yàn)椤眨?，則，，因?yàn)椋?，，，，所以，因?yàn)椋?，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以平方米，即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米．故答案為：137.12.已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，即，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時，必然成立；若，因，，不妨設(shè)，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯(lián)立得，即，所以，又，所以，，當(dāng)時，，不符合條件；當(dāng)時，，則，此時；當(dāng)時，，則或，此時或，因?yàn)?，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，B是；對于C，函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，C不是；對于D，當(dāng)時，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，D不是.故選：B.15.設(shè)，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】對于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而當(dāng)時，，當(dāng)時，，取，則，A不是；對于B，當(dāng)為第二象限時，，，取，，則，B不；對于C，當(dāng)為第三象限時，，取，，，C不是；對于D，當(dāng)為第四象限時，，，則，當(dāng)為第四象限時，，D正確.故選：D16.已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對于下述兩個命題：①對于任意的，任意的，都有是嚴(yán)格增數(shù)列；②對于任意的，存在，使得是嚴(yán)格減數(shù)列．以下說法正確的為（）A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】A【解析】對于①，時，，，時，；時，，也有，故①為真命題.對于②，時，，，當(dāng)時，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時，，，不嚴(yán)格遞減；當(dāng)時，，若，則，同理當(dāng)時，，則存在，使得，則，，不嚴(yán)格遞減.綜上所述，時，不可能是嚴(yán)格遞減數(shù)列.故②為假命題.故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟．17.在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點(diǎn)．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的大?。?）證明：如圖所示：連接，因?yàn)?、分別為和中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為m=x則，即，令，得，則，易知平面ABC的一個法向量為：，設(shè)二面角的大小為，則，二面角大小為.18.已知（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的值域是.（2）當(dāng)時，，由，得，則，整理得，而，，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.19.為了解某市高三學(xué)生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學(xué)生中隨機(jī)抽取600人，統(tǒng)計他們的日均睡眠時長及分布人數(shù)如下表所示：睡眠時長（小時）人數(shù)150270180注：睡眠時長在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．（1）估計該市6.6萬名高三學(xué)生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為多少？（2）估計該市高三學(xué)生日均睡眠時長；（3）若從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步訪談?wù){(diào)查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率．解：（1）由題知，隨機(jī)抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)為（人），所以估計該市6.6萬名高三學(xué)生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為（萬人）；（2）隨機(jī)抽取的600人的日均睡眠時長為（小時），所以估計該市高三學(xué)生日均睡眠時長約為（小時）；（3）從這600名學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，所以睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，睡眠時長在抽取（人），則從這20人中隨機(jī)抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學(xué)生的概率為.20.已知圓，雙曲線，直線，其中．（1）當(dāng)時，求雙曲線的離心率；（2）若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點(diǎn)；（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)、，與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)、，四個點(diǎn)從左至右依次為、、、．當(dāng)時，是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）解：由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）證明：由直線與圓相切，得，即，聯(lián)立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根之積為，因此兩根一正一負(fù)，即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點(diǎn).（3）解：設(shè)，聯(lián)立，得，得，由可得.聯(lián)立得，得且分別交于左右兩支可得又，又、、、四個點(diǎn)在同一直線上，，，還可得，，即，化簡后可得:，代入后化簡可得:，解得，由，得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時與兩支分別有交點(diǎn)，為唯一滿足條件的實(shí)數(shù).21.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，集合．若中有且僅有一個元素，則稱為函數(shù)的一個“值”（1）設(shè)，求的值；（2）設(shè)，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實(shí)數(shù)取值的集合；（3）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴(yán)格增函數(shù)的一個充要條件是．（1）解：由題設(shè)知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值為.（2）解：，當(dāng)時，由可得：或，由可得：或，所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，，畫簡圖如下：若的函數(shù)值中不存在值，則不存在唯一解，即，解得：；當(dāng)時，，令，則，令，