PAGE1-3.2.3互斥事務(wù)[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．駕馭兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式以及對(duì)立事務(wù)的概率計(jì)算公式．2．正確理解互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的區(qū)分與聯(lián)系．[讀教材·自主學(xué)習(xí)]1．互斥事務(wù)：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，我們把一次試驗(yàn)下不能eq\o(□,\s\up4(01))同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)A與B稱為互斥事務(wù)．2．假如隨機(jī)事務(wù)A、B為互斥事務(wù)，那么事務(wù)A＋B的概率的計(jì)算公式：eq\o(□,\s\up4(02))P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，其中事務(wù)A＋B發(fā)生是事務(wù)A和事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生．3．假如隨機(jī)事務(wù)A1，A2，…，An兩兩互斥，那么事務(wù)A1＋A2＋…＋An的概率的計(jì)算公式：eq\o(□,\s\up4(03))P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．4．對(duì)立事務(wù)：在每一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事務(wù)A和B必有eq\o(□,\s\up4(04))一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)eq\o(□,\s\up4(05))肯定不發(fā)生，我們把這樣的兩個(gè)事務(wù)稱為對(duì)立事務(wù)，把事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為eq\o(A,\s\up6(－)).5．隨機(jī)事務(wù)A和其對(duì)立事務(wù)A的概率之間的關(guān)系：eq\o(□,\s\up4(06))P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)．[看名師·疑難剖析]互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的關(guān)系(1)從定義上看不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)叫作互斥事務(wù)．例如：拋一枚硬幣，落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)“正面對(duì)上”和“反面對(duì)上”兩種結(jié)果．若記“落地時(shí)正面對(duì)上”為事務(wù)A，“落地時(shí)反面對(duì)上”為事務(wù)B，則A，B為互斥事務(wù)．再如：拋兩枚硬幣落地時(shí)會(huì)出現(xiàn)四種結(jié)果“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”．若記“第一枚正面對(duì)上，其次枚反面對(duì)上”為事務(wù)A，“第一枚反面對(duì)上，其次枚也反面對(duì)上”為事務(wù)B，則A，B也為互斥事務(wù)．必需有一個(gè)發(fā)生的互斥事務(wù)叫作對(duì)立事務(wù)，也就是說(shuō)，兩個(gè)互斥事務(wù)在一次試驗(yàn)中必定有一個(gè)發(fā)生，這樣的兩個(gè)互斥事務(wù)就是對(duì)立事務(wù)．如上面的第一個(gè)例子中的事務(wù)A，B就是對(duì)立事務(wù)，而其次個(gè)例子中的事務(wù)A，B就不是對(duì)立事務(wù)．因?yàn)閷?duì)其次個(gè)例子中的事務(wù)A，B來(lái)說(shuō)，不是必有一個(gè)發(fā)生，也可能發(fā)生“正、正”或“反、正”，故“互斥”未必“對(duì)立”，而“對(duì)立”必定“互斥”．(2)從集合角度看從集合角度看，事務(wù)A，B互斥，表示其相應(yīng)集合的交集是空集，即A∩B＝?，而由對(duì)立事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))所含的結(jié)果組成的集合，是全集I中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∪eq\o(A,\s\up6(－))＝I，A∩eq\o(A,\s\up6(－))＝?，如圖所示．(3)從公式上看互斥事務(wù)的概率加法公式是：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．其中事務(wù)A與B只有一個(gè)發(fā)生．此公式應(yīng)用條件：A，B互斥．對(duì)立事務(wù)的概率公式是：P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝P(A＋eq\o(A,\s\up6(－)))＝1.或變形為：P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)，這個(gè)公式很有用，當(dāng)干脆求某一事務(wù)的概率較困難時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事務(wù)的概率．考點(diǎn)一事務(wù)關(guān)系的推斷例1推斷下列給出的每對(duì)事務(wù)是否為互斥事務(wù)，是否為對(duì)立事務(wù)，并說(shuō)明理由．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．[分析]要推斷所給事務(wù)是對(duì)立還是互斥，首先要將兩個(gè)概念的聯(lián)系和區(qū)分弄清晰，互斥事務(wù)是指不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)，而對(duì)立事務(wù)是建立在互斥事務(wù)的基礎(chǔ)上的，兩個(gè)事務(wù)一個(gè)不發(fā)生，另一個(gè)必發(fā)生．[解](1)是互斥事務(wù)，不是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不行能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事務(wù)．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事務(wù)．(2)既是互斥事務(wù)，又是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事務(wù)，又是對(duì)立事務(wù)．(3)不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對(duì)立事務(wù)．理由是：從40張撲克牌中隨意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事務(wù)可能同時(shí)發(fā)生，如抽出的牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事務(wù)，當(dāng)然不行能是對(duì)立事務(wù)．類題通法“互斥事務(wù)”和“對(duì)立事務(wù)”都是就兩個(gè)事務(wù)而言的.互斥事務(wù)是不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)，而對(duì)立事務(wù)是其中必有一個(gè)要發(fā)生的互斥事務(wù).因此，對(duì)立事務(wù)必需是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù).eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練1])某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參與演講競(jìng)賽．推斷下列每對(duì)事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對(duì)立事務(wù)．(1)恰有1名男生與恰有2名男生；(2)至少1名男生與全是男生；(3)至少1名男生與全是女生；(4)至少1名男生與至少1名女生．解(1)因?yàn)榍∮?名男生與恰有2名男生不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；當(dāng)恰有2名女生時(shí)，它們都沒有發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事務(wù)．(2)當(dāng)恰有2名男生時(shí)，至少1名男生與全是男生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù)．(3)因?yàn)橹辽?名男生與全是女生不行能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事務(wù)．(4)當(dāng)選出的是1名男生1名女生時(shí)，至少1名男生與至少1名女生同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事務(wù).考點(diǎn)二互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率例2在擲骰子試驗(yàn)中，定義以下事務(wù)：e1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，e2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，e3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，e4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，e5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，e6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6}，G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}．求事務(wù)D1，D2，E，G，H發(fā)生的概率．[分析]對(duì)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f(1,6)，即P(e1)＝P(e2)＝P(e3)＝P(e4)＝P(e5)＝P(e6)＝eq\f(1,6).e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的全部基本領(lǐng)件，它們兩兩互斥，事務(wù)D1，D2，E，G，H均可轉(zhuǎn)化為這些基本領(lǐng)件的和的形式，再依據(jù)概率的加法公式便可求得．[解]由已知即P(e1)＝P(e2)＝P(e3)＝P(e4)＝P(e5)＝P(e6)＝eq\f(1,6)，又e1，e2，e3，e4，e5，e6就是隨機(jī)試驗(yàn)擲一枚骰子的全部基本領(lǐng)件，它們兩兩互斥，并且事務(wù)D1＝e4＋e5＋e6；D2＝e1＋e2＋e3＋e4＋e5＋e6；G＝e2＋e4＋e6；H＝e1＋e3＋e5.依據(jù)概率的加法公式得：(1)P(D1)＝P(e4)＋P(e5)＋P(e6)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)；(2)P(D2)＝P(e1)＋P(e2)＋P(e3)＋P(e4)＋P(e5)＋P(e6)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝1；(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)只可能是1～6點(diǎn)，不行能出現(xiàn)大于6點(diǎn)，故E為不行能事務(wù)，P(E)＝0；(4)P(G)＝P(e2)＋P(e4)＋P(e6)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)；(5)P(H)＝P(e1)＋P(e3)＋P(e5)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).類題通法在求某事務(wù)的概率時(shí)，我們可以先分析清晰隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本領(lǐng)件，以及該事務(wù)包含的隨機(jī)事務(wù)，然后利用概率公式進(jìn)行求解.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練2])某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24,0.28,0.19,0.16,0.13，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率；(2)至少射中7環(huán)的概率；(3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率．解設(shè)事務(wù)“射中10環(huán)”，“射中9環(huán)”，“射中8環(huán)”，“射中7環(huán)”，“射中7環(huán)以下”分別記為A、B、C、D、E，則(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.(2)P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87，所以至少射中7環(huán)的概率為0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為0.29.例3一個(gè)盒中裝有各色球12只，其中5只紅球、4只黑球、2只白球，1只綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出的1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[分析]利用互斥事務(wù)和概率公式與對(duì)立事務(wù)概率公式求解．[解]解法一：(1)從12只球中任取1球得到紅球有5種取法，得到黑球有4種取法，得到紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．所以任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法．從而得紅球或黑球或白球的概率為P2＝eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).解法二：(利用互斥事務(wù)和概率公式求解)記事務(wù)A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)和概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(11,12).解法三：(利用對(duì)立事務(wù)概率公式求解)(1)由方法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1＋A2的對(duì)立事務(wù)為A3＋A4.所以求取出1紅球或黑球的概率為P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的對(duì)立事務(wù)為A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).類題通法1解決此類問(wèn)題，首先應(yīng)結(jié)合互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)的定義分析出是不是互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)，再確定運(yùn)用哪個(gè)公式，不要由于亂套公式而導(dǎo)致出錯(cuò).2要留意分類探討和等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.eq\a\vs4\al([變式訓(xùn)練3])在數(shù)學(xué)考試中，小明的成果在90分以上的概率是0.18，在80～89分之間的概率是0.51，在70～79分之間的概率為0.15，在60～69分之間的概率是0.09.計(jì)算小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成果的概率和小明考試不及格(低于60分)的概率．解分別設(shè)小明的考試成果在90分以上、在80～89分之間、在70～79分之間、在60～69分之間依次為事務(wù)B，C，D，E，這四個(gè)事務(wù)是彼此互斥的．依據(jù)加法公式，小明的考試成果在80分以上的概率為：P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考試及格的概率即成果在60分以上的概率為P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.而小明考試不及格與小明考試及格(成果60分以上)為對(duì)立事務(wù)，所以小明考試不及格的概率為1－P(B＋C＋D＋E)＝1－0.93＝0.07.[例]從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.35 B．0.3C．0.7 D．0.65(一)精妙思路點(diǎn)撥(二)分層規(guī)范細(xì)解選A.事務(wù)eq\a\vs4\al(“抽到的不是一等品”)①的對(duì)立事務(wù)“抽到的是一等品”，所以P＝eq\a\vs4\al(1－PA)②＝1－0.65＝0.35.(三)來(lái)自一線的報(bào)告通過(guò)閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②見分層規(guī)范細(xì)解過(guò)程)常見錯(cuò)誤選B選B的緣由是沒有讀懂題意，想當(dāng)然的認(rèn)為①處等價(jià)于抽到的是二等品或三等品，所以所求的概率是二者的概率和．事實(shí)上，依據(jù)所給的概率之和并不等于1，可以知道這箱產(chǎn)品中除了一、二、三等品外，還有其他等級(jí)的產(chǎn)品，故事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)并不是B＋C.選D選D的緣由是沒有細(xì)致審題，把②處求事務(wù)“抽到的不是一等品”的概率誤認(rèn)為求事務(wù)A的概率.解題啟示解答有關(guān)互斥事務(wù)的概率的題目，要細(xì)致讀題，細(xì)致審題，理清各事務(wù)間的相互關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用互斥事務(wù)的概率加法公式和對(duì)立事務(wù)的概率公式.(四)類題練筆駕馭有5件產(chǎn)品，其中有3件一級(jí)品和2件二級(jí)品．從中任取兩件，則以0.7為概率的是()A．至多有1件一級(jí)品 B．恰有1件一級(jí)品C．至少有1件一級(jí)品 D．都不是一級(jí)品答案A解析設(shè)事務(wù)A為“取到2件一級(jí)品”，事務(wù)B為“取到2件二級(jí)品”，事務(wù)C為“取到1件一級(jí)品和1件二級(jí)品”，則P(A)＝eq\f(3,10)＝0.3，P(B)＝eq\f(1,10)＝0.1，P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.6.而1－P(A)＝1－0.3＝0.7＝P(B)＋P(C)，所以以0.7為概率的是事務(wù)“至多有1件一級(jí)品”．1．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案C解析A