第三章排列、組合與二項式定理

3.1.1基本計數(shù)原理（1）一個由3個元素組成的集合，共有多少種不同的子集？（2）由3個數(shù)字組成的密碼鎖，如果忘記了密碼，最多要試多少次才能打開密碼鎖？（3）有4位同學(xué)和1位老師站成一排照相，如果老師要站在正中間，則有多少種不同的站法？創(chuàng)設(shè)情境8種24種1000次如果仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)二維碼就像一個由許多小方塊組成的n×n的大棋盤，每個小方塊可以是黑色或者白色.規(guī)定：一個黑色小方塊對應(yīng)一個1，一個白色小方塊對應(yīng)一個0，從而形成不同的二進制編碼，對應(yīng)不同的信息.試問：從理論上來說，一個25×25尺寸的二維碼可以產(chǎn)生多少種不同的二進制編碼？創(chuàng)設(shè)情境計數(shù)問題嘗試與發(fā)現(xiàn)如果用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個座位編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼呢？請同學(xué)們思考以下問題，并歸納特征.①要完成一件什么事？②完成這件事有幾類辦法？③每類辦法中分別有幾種方法？④完成這件事共有多少種辦法？給一個座位編號可以是一個大寫的英文字母或者一個阿拉伯?dāng)?shù)字英文字母26個，阿拉伯?dāng)?shù)字10個共有26+10=36種方法36種嘗試與發(fā)現(xiàn)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中共有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.關(guān)鍵詞：1.完成一件事；

3.相加；

2.分類.每一類的每種方法都能獨立完成；分類加法計數(shù)原理嘗試與發(fā)現(xiàn)例1在填寫高考志愿表時，一名高中生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：問：如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，那么他有多少種選擇呢？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)統(tǒng)計學(xué)醫(yī)學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有5+4=9種不同的選擇.嘗試與發(fā)現(xiàn)變式1在填寫高考志愿表時，一名高中生了解到，A、B、C兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：問：如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，那么他有多少種選擇呢？A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)新聞學(xué)化學(xué)統(tǒng)計學(xué)經(jīng)濟學(xué)醫(yī)學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)金融學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有5+4+3=12種選擇.一般地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，···，在n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+···+mn種不同方法.分類加法計數(shù)原理（枚舉法）A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9B1，B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7，C8，C9D1，D2，D3，D4，D5，D6，D7，D8，D9E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7，E8，E9F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4，F(xiàn)5，F(xiàn)6，F(xiàn)7，F(xiàn)8，F(xiàn)9嘗試與發(fā)現(xiàn)如果用前六個大寫英文字母中的一個和1~9九個阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個，組成編碼形如A1，B2的方式給座位編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼呢？54種嘗試與發(fā)現(xiàn)如果用前六個大寫英文字母中的一個和1~9九個阿拉伯?dāng)?shù)字中的一個，組成編碼形如A1，B2的方式給座位編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼呢？54種請同學(xué)們思考以下問題，并歸納特征.①要完成一件什么事？②完成這件事有幾個步驟？③每個步驟中有幾種不同的方法？④完成這件事共有多少種辦法？給一個座位編號分兩步，先確定英文字母，再確定阿拉伯?dāng)?shù)字第一步選英文字母6種，第二步選阿拉伯?dāng)?shù)字9種共有6×9=54種方法完成一件事有兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.嘗試與發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵詞：1.完成一件事；

3.相乘；

2.分步.每一步的每種方法都不能獨立完成；分步乘法計數(shù)原理例2某班有男生30名，女生24名，現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加公益活動，共有多少種不同的選法？嘗試與發(fā)現(xiàn)答：

任選男生和女生各1名，可以分為兩個步驟完成：第1步，從30名男生中選出1名，有30種不同的選法；第2步，從24名女生中選出1名，有24種不同的選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有30×24=720種不同的選法.變式2某班有男生30名，女生24名，任課老師6名，現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級參加公益活動，還要從中選派1名老師作為領(lǐng)隊，組成代表隊，共有多少種不同的選法？嘗試與發(fā)現(xiàn)答：

任選男生、女生和老師各1名，可以分為三個步驟完成：第1步，從30名男生中選出1名，有30種不同的選法；第2步，從24名女生中選出1名，有24種不同的選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有30×24×6=4320種不同的選法.第3步，從6名老師中選出1名作為領(lǐng)隊，有6種不同的選法.一般地，如果完成一件事有n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，···，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×···×mn種不同方法.分步乘法計數(shù)原理嘗試與發(fā)現(xiàn)思考：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理有什么聯(lián)系和區(qū)別？①聯(lián)系：都是解決計數(shù)問題的基本方法.②區(qū)別：分類加法計數(shù)原理是分類，每種方法都能完成這件事，采用加法計數(shù).

分步乘法計數(shù)原理是分步，單獨某一步不能完成這件事，并且所有步驟缺一不可，采用乘法計數(shù).如果仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)二維碼就像一個由許多小方塊組成的n×n的大棋盤，每個小方塊可以是黑色或者白色.規(guī)定：一個黑色小方塊對應(yīng)一個1，一個白色小方塊對應(yīng)一個0，從而形成不同的二進制編碼，對應(yīng)不同的信息.試問：從理論上來說，一個25×25尺寸的二維碼可以產(chǎn)生多少種不同的二進制編碼？練習(xí)1

已知n是一個小于10的正整數(shù)，且由集合A=｛x|x∈N+，x≤n｝中的元素可以排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共20個，求n的值.答：第1步，確定十位上的數(shù)字，共有n種選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，排成數(shù)字不重復(fù)的兩位數(shù)共有n×（n-1）=20個；第2步，確定個位上的數(shù)字，共有n-1種選法；解得n=5或n=-4（舍），故n的值為5.練習(xí)2

已知A是一個有限集，且A中的元素個數(shù)為n，求A的子集的個數(shù).答：設(shè)集合A={a1，a2，a3，···，an}；只需完成上面n個步驟即可得到集合A的子集，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，集合A的子集數(shù)為2×2×···×2=2n個；第2步，判斷元素a2是否在子集內(nèi)，有2種可能，在或不在；第1步，判斷元素a1是否在子集內(nèi)，有2種可能，在或不在；···第n步，判斷元素an

是否在子集內(nèi)，有2種可能，在或不在；練習(xí)3

某單位3個科室分別有7名、9名和6名職工?，F(xiàn)抽調(diào)2名來自不同科室的職工參加調(diào)研活動，問：有多少種不同的挑選方式？7×9+7×6+9×6=159種練習(xí)4用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成多少個：

（1）三位數(shù)；

（2）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；

（3）小于500無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；

（4）小于100的無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)；

（5）小于12345的無重復(fù)數(shù)