第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章末題型大總結題型01指數(shù)、對數(shù)、冪的運算解題錦囊解題錦囊(1)指數(shù)式的運算首先注意化簡順序,一般負指數(shù)先轉化成正指數(shù),根式化為指數(shù)運算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.(2)對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并結合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習）計算：(1)；(2)．【變式1】（24-25高一上·湖南長沙·開學考試）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億日兆．”說明了大數(shù)之間的關系：1億萬1萬，1兆萬萬億．若1兆，則m的值為（

）【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若，則（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習）的值為（

）A． B． C．1 D．【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．題型02冪指對函數(shù)的定義域解題錦囊解題錦囊（1）求冪函數(shù)、指數(shù)型與對數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過構建不等式(組)來求解,有時解不等式(組)時要借助于指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性.（2）涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域問題有兩個類型,一是形如和的函數(shù)，一般要先求f(x)的值域，然后利用指數(shù)、對數(shù)的單調性求解;二是形如和的函數(shù),則要根據(jù)和的范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數(shù)的定義域；【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)的定義域為.【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數(shù)的定義域為.【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．題型03冪指對函數(shù)的值域解題錦囊解題錦囊1、指數(shù)型復合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調性求出的值域．2、對數(shù)型復合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)設函數(shù)，若對任意，存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）函數(shù)的值域為.【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數(shù)在的最小值是．【變式4】（23-24高一上·全國·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或題型04指對型函數(shù)的單調性解題錦囊解題錦囊1、復合函數(shù)單調性的規(guī)律：“同增異減”若內外兩層函數(shù)的單調性相同，則它們的復合函數(shù)為增函數(shù)；若內外兩層函數(shù)的單調性相反，則它們的復合函數(shù)為減函數(shù)．2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復合函數(shù)分解為內層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內層函數(shù)和外層函數(shù)的單調性；（4）利用復合函數(shù)法“同增異減”可得出結論．【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調性，并用定義加以證明；(3)若對任意的，不等式不成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的遞減區(qū)間是C．的圖象關于成中心對稱D．函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是題型05冪指對函數(shù)的圖象解題錦囊解題錦囊對于圖像的判斷與選擇可利用圖像的變換，也要重視利用特殊點與選擇題中排除法的應用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A．B．C． D．【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關系不成立的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）函數(shù)（且）的圖象所過的定點為（）A． B． C． D．【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題型06比較大小問題解題錦囊解題錦囊(1)數(shù)(式)的大小比較及常用的方法:比較兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質的應用.常用的方法有單調性法、圖像法、中間量法、作差法、作商法等.(2)數(shù)的大小比較常用的技巧:①當需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或對數(shù)式時,可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調性比較.②比較多個數(shù)的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即把它們分為“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內利用函數(shù)的性質比較大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關系（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·上?！ら_學考試）若，，則（

）A． B．C． D．題型07冪指對函數(shù)中的函數(shù)與方程問題解題錦囊解題錦囊函數(shù)與方程問題，注意利用冪指對函數(shù)的圖像，將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題處理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【變式1】（23-24高一下·內蒙古赤峰·期末）（多選）下列說法正確的是（

）A．已知方程的解在內，則B．函數(shù)的零點是C．函數(shù)有兩個不同的零點D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區(qū)間上【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖像如圖所示，給出下列四個結論，正確結論的是（

）A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有二個解C．方程有且僅有五個解 D．方程有且僅有一個解【變式3】函數(shù)的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.4題型08冪指對函數(shù)模型的應用解題錦囊(1)在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸榻忸}錦囊(1)在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.解題時,往往用到對數(shù)運算,要注意與已知表格中給定的值對應求解.(2)有關對數(shù)型函數(shù)的應用題,一般都會給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實際意義.【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實驗中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么至少經(jīng)過（

）個小時才會“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設有機體生存吋碳14的含量為，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量滿足的關系為（其中m?，a都是非零實數(shù)）.若測得死亡5730年后的古生物樣品，體內碳14的含量為0.5，又測得死亡11480年后這類古生物樣品.體內碳14的含量為0.25.如果測得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測此古生物的死亡時間為（?。?/p>

）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【變式3】（23-24高一上·福建龍巖·期末）美國生物學家和人口統(tǒng)計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式可以簡化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時該植物的高為1米，經(jīng)過一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．6題型09冪指對函數(shù)性質的綜合應用問題【典例9】（23-24高一下·河南洛陽·期末）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)設不等式的解集為，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的值.【變式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，求a的取值范圍．【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若對任意的，關于的不等式恒不成立，求正實數(shù)的取值范圍．第四章指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章末題型大總結題型01指數(shù)、對數(shù)、冪的運算解題錦囊解題錦囊(1)指數(shù)式的運算首先注意化簡順序,一般負指數(shù)先轉化成正指數(shù),根式化為指數(shù)運算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達到約分的目的.(2)對數(shù)運算首先注意公式應用過程中范圍的變化,前后要等價,熟練地運用對數(shù)的三個運算性質并結合對數(shù)恒等式、換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分數(shù)指數(shù)冪的性質運算；（2）利用對數(shù)的性質運算【詳解】（1）原式；（2）原式.【變式1】（24-25高一上·湖南長沙·開學考試）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億日兆．”說明了大數(shù)之間的關系：1億萬1萬，1兆萬萬億．若1兆，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由指數(shù)冪的運算性質即可求解.【詳解】1萬=，所以1億=，所以1兆=，所以.【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運算法則求解即可.【詳解】因為，所以，所以．．【變式3】（24-25高一上·全國·隨堂練習）的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用對數(shù)的換底公式和運算性質，即可求解.【詳解】因為，.【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結合指數(shù)冪與對數(shù)的運算法則及運算性質，逐項計算，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B錯誤；對于C中，由，所以C錯誤；對于D中，由，所以D錯誤．題型02冪指對函數(shù)的定義域解題錦囊解題錦囊（1）求冪函數(shù)、指數(shù)型與對數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過構建不等式(組)來求解,有時解不等式(組)時要借助于指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性.（2）涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域問題有兩個類型,一是形如和的函數(shù)，一般要先求f(x)的值域，然后利用指數(shù)、對數(shù)的單調性求解;二是形如和的函數(shù),則要根據(jù)和的范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數(shù)的定義域；【答案】.【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式，再解指數(shù)、對數(shù)不等式即得.【詳解】依題意，，解得，因此或，所以原函數(shù)的定義域為.【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽·期末）函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.【詳解】由題意可知，解得且，故函數(shù)的定義域為．故答案為：.【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數(shù)的定義域為.【答案】【分析】由函數(shù)有意義的條件，求函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后解不等式得出答案.【詳解】由題意知，，即，所以或..題型03冪指對函數(shù)的值域解題錦囊解題錦囊1、指數(shù)型復合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調性求出的值域．2、對數(shù)型復合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)，．(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)設函數(shù)，若對任意，存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可；（2）對任意，存在，使得，則，即，在上恒不成立，再利用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】（1）當時，，，令，因為，則，所以，其中，則時，，時，，即，所以的值域為；（2）由，，設，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，而函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故，因為對任意，存在，使得，則，所以，在上恒不成立，令，因為，則，即在上恒不成立，則在上恒不成立，因為函數(shù)在上單調遞增，故，所以，即．【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，設，，計算得到答案.【詳解】，設，則，故函數(shù)的值域為.【變式2】（24-25高一上·全國·隨堂練習）函數(shù)的值域為.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】由于，所以，所以原函數(shù)的值域為故答案為：【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數(shù)在的最小值是．【答案】/【分析】令，然后利用配方法可得答案.【詳解】令，則，則，所以當時，有最小值.故答案為：.【變式4】（23-24高一上·全國·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或【答案】A【分析】利用換元法，令，轉化為二次函數(shù)，根據(jù)單調性及在區(qū)間上的最大值是，求出的值即可.【詳解】令，則．當時，因為，所以，又因為函數(shù)在上單調遞增，所以，解得（舍去）．當時，因為，所以，又函數(shù)在上單調遞增，則，解得（舍去）．綜上知或．.題型04指對型函數(shù)的單調性解題錦囊解題錦囊1、復合函數(shù)單調性的規(guī)律：“同增異減”若內外兩層函數(shù)的單調性相同，則它們的復合函數(shù)為增函數(shù)；若內外兩層函數(shù)的單調性相反，則它們的復合函數(shù)為減函數(shù)．2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復合函數(shù)分解為內層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內層函數(shù)和外層函數(shù)的單調性；（4）利用復合函數(shù)法“同增異減”可得出結論．【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習）已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調性，并用定義加以證明；(3)若對任意的，不等式不成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)在定義域內單調遞增，證明見解析；(3).【分析】（1）利用奇函數(shù)性質求出，再利用定義驗證即得.（2）利用函數(shù)單調性定義，結合指數(shù)函數(shù)單調性判斷推理即得.（3）利用奇函數(shù)性質及單調性質脫去法則。分離參數(shù)，借助基本不等式求解即得.【詳解】（1）定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，得，解得，此時，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以.（2）由（1）知，函數(shù)在定義域內單調遞增，證明如下：設，則，由，得，則，所以函數(shù)在R上單調遞增.（3）依題意，對任意的，不成立，則，即在上恒不成立，而，當且僅當時取等號，因此，所以實數(shù)的取值范圍是.【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復合函數(shù)同增異減的原則，判定內外函數(shù)的單調性即可得到答案.【詳解】內函數(shù)，其在上單調遞增，而外函數(shù)在上單調遞減，則根據(jù)復合函數(shù)單調性“同增異減”的原則知的單調遞減區(qū)間為，.【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調性的規(guī)則來解答.【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調遞減，故函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，所以，解得，即函數(shù)的減區(qū)間是..【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性法則，結合二次函數(shù)的單調性列式求解即可.【詳解】函數(shù)在R上單調遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習）若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，由復合函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上單調遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解.【詳解】設，由題意可知，函數(shù)在上單調遞減，且，函數(shù)的對稱軸為，所以，解得.故選：.【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的遞減區(qū)間是C．的圖象關于成中心對稱D．函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是【答案】AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調性可判斷A正確；由復合函數(shù)的單調性和對數(shù)函數(shù)的性質可判斷B錯誤；對函數(shù)變形后，利用反比例函數(shù)的對稱性和函數(shù)圖像的變換規(guī)律可得C正確；由復合函數(shù)的單調性可判斷D錯誤.【詳解】A：因為，所以，故A正確；B：設，因為在定義域上為增函數(shù)，則由復合函數(shù)的單調性和對數(shù)函數(shù)有意義可知，減區(qū)間為，故B錯誤；C：，對稱中心為，故C正確；D：函數(shù)的對稱軸為，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，即，故D錯誤；C.題型05冪指對函數(shù)的圖象解題錦囊解題錦囊對于圖像的判斷與選擇可利用圖像的變換，也要重視利用特殊點與選擇題中排除法的應用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分、討論，結合圖象可得答案.【詳解】當時，是單調遞增函數(shù)，圖象恒過0,1點，是單調遞減函數(shù)，圖象恒過12,0當時，是單調遞減函數(shù)，圖象恒過0,1點，是單調遞增函數(shù)，圖象恒過12,0所以滿足條件的圖象為D..【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關系不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調性即可得到的范圍，從而得到結果.【詳解】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】由函數(shù)解析式確定其圖象所過的定點，結合單調性確定對應的圖形即可.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象分別過定點，它們分別對應圖③②①，因此④不屬于給定的三個函數(shù)之一.【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開學考試）函數(shù)（且）的圖象所過的定點為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質即可得解.【詳解】因為函數(shù)（且），令，解得，則，所以的圖象所過的定點為..【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開學考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質可得，再由對數(shù)函數(shù)圖象性質可判斷出結論.【詳解】當時，函數(shù)單調遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；當時，函數(shù)單調遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；顯然此時，則函數(shù)為單調遞增，又恒過點，因此函數(shù)的圖象不過第四象限.題型06比較大小問題解題錦囊解題錦囊(1)數(shù)(式)的大小比較及常用的方法:比較兩數(shù)(式)或幾個數(shù)(式)大小問題是本章的一個重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質的應用.常用的方法有單調性法、圖像法、中間量法、作差法、作商法等.(2)數(shù)的大小比較常用的技巧:①當需要比較大小的兩個實數(shù)均是指數(shù)冪或對數(shù)式時,可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調性比較.②比較多個數(shù)的大小時,先利用“0”和“1”作為分界點,即把它們分為“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內利用函數(shù)的性質比較大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)單調性，引入中間值，比較，根據(jù)指數(shù),對數(shù)函數(shù)單調性，引入中間值，比較即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在單調遞增，知道，根據(jù)函數(shù)在單調遞減，知道，根據(jù)函數(shù)在單調遞減，知道，綜上所得，..【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關系（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中間值，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調性分析判斷.【詳解】因為在定義域內單調遞減，可得，即；且在定義域內單調遞增，可得，即；又因為，即；所以.【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調性求出的范圍，從而判斷大小.【詳解】由在上單調遞增，又，所以，由在R上單調遞減，又，所以，由是0,+∞上的減函數(shù)，又，所以.所以..【變式3】（23-24高一下·上?！ら_學考試）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質和冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質即可判斷．【詳解】，，函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，，A錯誤；由，則函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，所以，即，B正確；由，C錯誤；，函數(shù)為0,+∞上為增函數(shù)，則，所以，即，D錯誤.故選：．題型07冪指對函數(shù)中的函數(shù)與方程問題解題錦囊解題錦囊函數(shù)與方程問題，注意利用冪指對函數(shù)的圖像，將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖像的交點問題處理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點的關系轉化為函數(shù)的零點來求解，畫出函數(shù)圖象觀察交點范圍，再用零點存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個分別在和2,3之間的根，下面證明：方程在和2,3之間各有一個實根，設，根據(jù)函數(shù)性質得在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，又，，則，由零點存在性定理知，在區(qū)間2,3上僅有一個零點，即方程區(qū)間2,3上僅有一個實根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個實根，結合題意可知，或，.【變式1】（23-24高一下·內蒙古赤峰·期末）（多選）下列說法正確的是（

）A．已知方程的解在內，則B．函數(shù)的零點是C．函數(shù)有兩個不同的零點D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內零點近似值的過程中得到，則零點近似值在區(qū)間上【答案】AD【分析】對A，構造函數(shù)，利用零點存在性定理和單調性可得；對B，根據(jù)零點定義可知；對C，作出的圖象，觀察其交點個數(shù)可得；對D，根據(jù)零點存在性定理可得.【詳解】對A，記，易知都在R單調遞增，所以在R上單調遞增，又，所以存在唯一零點，且，即方程的唯一解在內，所以，A正確；對B，令，解得或，所以函數(shù)的零點是或，B錯誤；對C，作出的圖象如圖：當時，函數(shù)和的圖象顯然有一個交點，又，所以函數(shù)和的圖象在處相交，所以有三個不同的零點，C錯誤；對D，因為，所以由零點存在性定理可知，零點近似值在區(qū)間上，D正確.D【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖像如圖所示，給出下列四個結論，正確結論的是（

）A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有二個解C．方程有且僅有五個解 D．方程有且僅有一個解【答案】ACD【分析】將內層函數(shù)看作一個變量，先由外層函數(shù)確定其解的個數(shù)情況，再根據(jù)內層函數(shù)的圖象即可確定復合函數(shù)的解的個數(shù)，由此一一判斷各選項，即得答案.【詳解】對于A，由題意可知時，或或，故方程時，則或或，，又在上單調遞減，故都有唯一解，即方程有且僅有三個解，故A正確；對于B，當時，，故時，即，而，故由圖象可知有一個解，即方程有且僅有一個解，故B錯誤；對于C，時，或或，故由可得或或，而，故和各有唯一一個解，有3個解，故方程有且僅有五個解，故C正確；對于D，時，，故由可得，而，在上單調遞減，故有唯一解，故方程有且僅有一個解，故D正確，CD【變式3】函數(shù)的零點個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】令,即,在同一平面直角坐標系下作出的圖像(圖略),易知兩圖像有2個交點,即函數(shù)有2個零點.故選C.題型08冪指對函數(shù)模型的應用解題錦囊(1)在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸榻忸}錦囊(1)在實際問題中,有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎數(shù),p為增長率,x為時間)的形式.解題時,往往用到對數(shù)運算,要注意與已知表格中給定的值對應求解.(2)有關對數(shù)型函數(shù)的應用題,一般都會給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實際意義.【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認為當該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的以下時就需要更換其中的硫酸來達到持久續(xù)航，則最多使用（

）個月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】依題意建立通過月后性能指數(shù)y與之間的函數(shù)關系式，得到不等式，通過兩邊取對數(shù)，整理化簡即得.【詳解】設最初該種電池的性能指數(shù)為k，通過月后性能指數(shù)變?yōu)?，則．由題意得，即，兩邊取常用對數(shù)，可得．∵，∴．又，故最多使用13個月就需要更換純硫酸．.【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實驗中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測得實驗動物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會以每小時的速度減少，那么至少經(jīng)過（

）個小時才會“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數(shù)求出答案.【詳解】物實驗中，血液中藥物含量為的濃度為，設至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”，根據(jù)題意，兩邊取對數(shù)得，可得.所以至少經(jīng)過個小時才會“藥物失效”..【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設有機體生存吋碳14的含量為，那么有機體死亡x年后體內碳14的含量滿足的關系為（其中m?，a都是非零實數(shù)）.若測得死亡5730年后的古生物樣品，體內碳14的含量為0.5，又測得死亡11480年后這類古生物樣品.體內碳14的含量為0.25.如果測得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測此古生物的死亡時間為（?。?/p>

）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【