章末復習課事件的關系與運算

互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的.在一次試驗中,兩個互斥事件不可能同時發(fā)生,有可能都不發(fā)生,也可能只有一個發(fā)生.對立事件必定而且只有一個發(fā)生.1.多選題下列說法不正確的有()A.互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件B.互斥事件一定是對立事件,對立事件不一定是互斥事件C.事件A,B同時發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率小D.事件A,B中至少有一個發(fā)生的概率一定比A,B中恰有一個發(fā)生的概率大解析:對于選項A和B,由于互斥事件不一定是對立事件,對立事件一定是互斥事件,所以選項A正確,選項B不正確.對于選項C,當A=B時,A,B中恰有一個發(fā)生的概率為0,所以選項C不正確.對于選項D,若事件A為不可能事件,則事件A,B中至少有一個發(fā)生的概率與A,B中恰有一個發(fā)生的概率相等,故選項D不正確.答案:BCD2.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A.至多有一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶解析:事件“至少有一次中靶”的對立事件是“兩次都不中靶”.故選D.答案:D3.某省新高考實行“3+1+2”模式,即語文、數學、外語必選,物理、歷史二選一,政治、地理、化學、生物四選二,共有12種選課模式.某同學已選了物理,記事件A=“他選擇政治和地理”,事件B=“他選擇化學和地理”,則事件A與事件B()A.是互斥事件,不是對立事件B.是對立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件解析:事件A與事件B不能同時發(fā)生,是互斥事件,他還可以選擇化學和政治,所以事件A與事件B不是對立事件.答案:A隨機事件的頻率與概率

在大量重復進行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率mn總接近于某個常數,并在這個常數附近擺動,這時就把這個常數稱為事件A的概率,記作P(A).根據定義可知0≤P(A)≤1,顯然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是01.某產品共有三個等級,分別為一等品、二等品和不合格品.從一箱產品中隨機抽取1件進行檢測,若“抽到一等品”的概率為0.65,“抽到二等品”的概率為0.30,則“抽到不合格品”的概率為()A.0.05 B.0.35 C.0.70 D.0.95解析:根據題意,記“抽到一等品”為事件A,“抽到二等品”為事件B,“抽到不合格品”為事件C,因為“抽到一等品”與“抽到二等品”是互斥事件,“抽到不合格品”與“抽到一等品或二等品”是對立事件,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.05.答案:A2.已知三個事件A,B,C兩兩互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.2,則P(A∪B∪C)=0.9.解析:因為P(B)=0.6,所以P(B)=0.4,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9.3.在一次射擊比賽中,若某射手射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別是0.2,0.3,0.1,則該射手在一次射擊中小于8環(huán)的概率是0.4.解析:由題意知,該射手小于8環(huán)的對立事件是該射手在一次射擊中不小于8環(huán).因為該射手在一次射擊中不小于8環(huán)包括射中8環(huán),9環(huán),10環(huán),且這三個事件是互斥的,所以該射手在一次射擊中不小于8環(huán)的概率是0.2+0.3+0.1=0.6,所以該射手在一次射擊中小于8環(huán)的概率是1-0.6=0.4.4.對一批U盤進行抽檢,結果見下表:抽出件數a/件50100200300400500次品件數b/件345589次品頻率b(1)計算表中次品的頻率(結果保留到小數點后三位).(2)從這批U盤中任意抽取一個是次品的概率約是多少?(3)為保證買到次品的顧客能夠及時更換,要銷售2000個U盤,至少需購進多少個U盤?解:(1)表中次品頻率從左到右依次為0.060,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.(2)當抽取件數a越來越大時,出現次品的頻率在0.02附近擺動,所以從這批U盤中任意抽取一個是次品的概率約是0.02.(3)設需要購進x個U盤,為保證其中有2000個正品U盤,則x(1-0.02)≥2000,因為x是正整數,所以x≥2041,即至少需購進2041個U盤.古典概型概率的求法

古典概型概率計算,關鍵是分清樣本空間包含的樣本點個數n與事件A包含的樣本點個數k,利用公式P(A)=kn求出概率.解題時要注意用列舉法把樣本點一一列舉出來,列舉時可以按某一順序,做到不重不漏1.如果從集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一個數,那么這兩個數的和除以3余1的概率是()A.1B.15C.25D.3解析:從集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}中各取一個數,樣本點有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共20個,其中兩個數的和除以3余1的樣本點有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4),共6個,所以抽取的兩個數的和除以3余1的概率為P=620=3答案:D2.(2023·全國乙卷,文)某學校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文,則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為()A.56B.23C.12D.1解析:設6個作文主題為A,B,C,D,E,F,甲、乙兩位同學從中抽取一個主題.所有可能出現的樣本點列表如下:主題ABCDEFA(A,A)(B,A)(C,A)(D,A)(E,A)(F,A)B(A,B)(B,B)(C,B)(D,B)(E,B)(F,B)C(A,C)(B,C)(C,C)(D,C)(E,C)(F,C)D(A,D)(B,D)(C,D)(D,D)(E,D)(F,D)E(A,E)(B,E)(C,E)(D,E)(E,E)(F,E)F(A,F)(B,F)(C,F)(D,F)(E,F)(F,F)由表可知,共36個樣本點,其中甲、乙抽到不同主題包含30個樣本點,則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概率為P=3036=5答案:A3.甲、乙兩人參加普法知識競賽,共有5道不同題目,選擇題3道,判斷題2道,甲、乙兩人各抽1道題.(1)甲、乙兩人中一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題的概率是多少?(2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少?解:把3道選擇題分別記為x1,x2,x3,2道判斷題分別記為p1,p2.“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”的樣本點有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6個;“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”的樣本點有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6個;“甲、乙都抽到選擇題”的樣本點有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6個;“甲、乙都抽到判斷題”的樣本點有(p1,p2),(p2,p1),共2個.因此樣本點的總數為6+6+6+2=20.(1)“甲抽到選擇題,乙抽到判斷題”的概率為620=310,“甲抽到判斷題,乙抽到選擇題”的概率為620=310,故“甲、乙兩人中一人抽到選擇題,另一人抽到判斷題”的概率為310(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為220=110,故“甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題”的概率為1-110相互獨立事件概率的求法

P(AB)=P(A)P(B)是事件相互獨立的充要條件,也是解答相互獨立事件概率問題的唯一工具.當題目內涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題時,要分清事件間的關系.另外,公式“P(A∪B)=1-P(AB)”常用于求相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率.1.“五一”假期中,甲、乙、丙3人去廈門旅游的概率分別是13,14,15A.5960B.35C.12D.1解析:記事件A為“至少有1人去廈門旅游”,則其對立事件A為“3人都不去廈門旅游”.因為P(A)=(1-13)(1-14)(1-15)所以P(A)=1-P(A)=1-25=3答案:B2.國際羽毛球比賽采用21分的比賽規(guī)則和每球得分制,并且每次得分者發(fā)球,所有單項的每局獲勝分至少是21分,最高不超過30分,即先到21分的獲勝一方贏得該局比賽,如果雙方比分為20∶20時,獲勝的一方需超過對方2分才算取勝,直至雙方比分打成29∶29時,先達到第30分的一方獲勝.在一局比賽中,若甲發(fā)球得分的概率為12,甲接發(fā)球得分的概率為35,則在比分為20∶20,且甲發(fā)球的情況下,甲以23∶21贏下比賽的概率P為A.18B.320C.950D.7解析:P=12×35×12×12+12×12×35答案:B3.某中學的某新生想通過考核選拔進入該校的“電影社”和“心理社”,已知該同學通過考核選拔進入這兩個社團成功與否相互獨立,根據報名情況和他的才藝能力,兩個社團都能進入的概率為124,至少進入一個社團的概率為38(1)求該同學分別通過選拔進入“電影社”的概率P1和進入“心理社”的概率P2;(2)學校根據這兩個社團的活動安排情況,對進入“電影社”的同學增加1個校本選修課學分,對進入“心理社”的同學增加0.5個校本選修課學分.求該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率.解:(1)根據題意可得,P所以P1=16,P2=1(2)令該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數為x,則P(x=1)=(1-14)×16=P(x=1.5)=14×16=所以該同學在社團方面獲得校本選修課學分分數不低于1分的概率P=18+124=補集思想

在解答概率應用問題的過程中,當某一事件的概率不易直接求出或求解較為困難,但該事件的對立事件的概率比較容易求得時,可利用公式“P(A)+P(A)=1”從反面進行思考,將所求事件的概率轉化為求其對立事件的概率.1.甲隊和乙隊進行足球比賽,若兩隊踢成平局的概率是12,乙隊獲勝的概率是16,則甲隊不輸的概率是A.56B.34C.23D.1答案:A2.若一架飛機向目標投彈,擊毀目標的概率為0.2,目標未受損的概率為0.4,則目標受損但未被擊毀的概率為()A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案:D3.甲、乙兩名射擊運動員分別對同一目標射擊1次,甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求:(1)兩人都射中的