A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.多選題已知λ∈R,則下列結(jié)論不正確的有()A.|λa|=λ|a| B.|λa|=|λ|aC.|λa|=|λ||a| D.|λa|>0解析:對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)λ<0時(shí),|λa|≠λ|a|;對(duì)于選項(xiàng)B,|λa|是實(shí)數(shù),|λ|a是向量,故|λa|≠|(zhì)λ|a;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)λ=0時(shí),|λa|=0.選項(xiàng)C正確.答案:ABD2.在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),則AB+AC=()A.12B.AMC.2AM D.MA解析:如圖所示,作出平行四邊形ABEC,因?yàn)镸是BC的中點(diǎn),所以M也是AE的中點(diǎn),所以AB+AC=AE=2AM.答案:C3.已知a,b是不共線的向量,AB=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,且A,B,C三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.-1 B.2-2或1 D.-1或2解析:因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)k使AB=kAC.因?yàn)锳B=λa+2b,AC=a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].因?yàn)閍與b不共線,所以λ解得λ=2或λ=-1.答案:D4.設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=12解析:因?yàn)橄蛄縜,b不平行,所以a+2b≠0.因?yàn)橄蛄喀薬+b與a+2b平行,所以存在唯一的實(shí)數(shù)μ,使λa+b=μ(a+2b),即λa+b=μa+2μb,則λ=μ,1=25.在四邊形ABCD中,AB=2a-3b,BC=-8a+b,CD=-10a+4b,且a,b不共線,試判斷四邊形ABCD的形狀.解:因?yàn)锳B=2a-3b,BC=-8a+b,CD=-10a+4b,所以AD=AB+BC+CD=-16a+2b,所以AD=2BC,所以AD∥BC,AD=2BC.又易知AB不平行于CD,所以四邊形ABCD是梯形.B級(jí)能力提升6.如圖所示,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn),AB=a,AC=b,則AD=()a-12bB.12C.a+12bD.12解析:連接CD,OD,如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)C,D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以AC=CD,∠CAD=∠DAB=12×60°=30°因?yàn)镺A=OD,所以∠ADO=∠DAO=30°.由此可得∠CAD=∠ADO=30°,所以AC∥DO.由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°,所以∠CDA=∠DAO,所以CD∥AO,所以四邊形ACDO為平行四邊形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=答案:D7.(2024·廣東珠海模擬)在△ABC中,D是BC上一點(diǎn),滿足BD=3DC,M是AD的中點(diǎn),若BM=λBA+μBC,則λ+μ=()A.54B.1 78D.5解析:BD=3DC,M是AD的中點(diǎn),則AM=12AD?2BM-2BA=BD-BA?BM=12BA+12BD,BD=3DC=3(BC-BD)?BD=34BC,所以BM=12BA+12BD=12BA+38BC.因?yàn)榇鸢?C8.已知兩個(gè)非零向量a與b不共線,OA=2a-b,OB=a+3b,OC=ka+5b.(1)若2OA-OB+OC=0,求k的值;(2)若A,B,C三點(diǎn)共線,求k的值.解:(1)因?yàn)?OA-OB+OC=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.(2)AB=OB-OA=-a+4b,AC=OC-OA=(k-2)a+6b.因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以可設(shè)AC=λAB,所以(k-2)a+6b=-λa+4λb.因?yàn)閍,b不共線,所以k-2=-λ,6=4C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多選題設(shè)a是非零向量,λ是非零實(shí)數(shù),下列結(jié)論正確的是()A.a與-λa的方向相同或相反B.|-λa|≥|a|C.a與λ2a的方向相同D.|-λa|=|λ|a解析:A項(xiàng)正確,因?yàn)楫?dāng)λ取負(fù)數(shù)時(shí),a與-λa的方向是相同的,當(dāng)λ取正數(shù)時(shí),a與-λa的方向相反;B項(xiàng)錯(cuò)誤,因?yàn)楫?dāng)|λ|<1(λ≠0)時(shí),|-λa|<|a|;D項(xiàng)錯(cuò)誤,等號(hào)左邊的結(jié)果是一個(gè)數(shù),而右邊的結(jié)果是一個(gè)向量,不可能相等;C項(xiàng)正確,因?yàn)棣?(λ≠0)一定是正數(shù),故a與λ2a的方向相同.答案:AC10.(2024·廣東廣州越秀區(qū)模擬)如圖所示,O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部,D,E分別是AC,BC邊的中點(diǎn),且有OA+2OB+3OC=0,則△AEC的面積與△AOC的面積的比為()A.2 32C.3 D.5解析:因?yàn)镈,E都是相應(yīng)邊的中點(diǎn),所以O(shè)A+OC=2OD,OB+OC=2OE.因?yàn)?/p>