6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解二項式系數(shù)的性質(zhì).2.會用賦值法求展開式系數(shù)的和.3.會用二項式定理及其性質(zhì)解決有關(guān)的簡單問題.1.二項式定理2.二項展開式的通項3.二項式系數(shù)：復(fù)習(xí)引入同學(xué)們根據(jù)二項式定理寫出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二項式系數(shù)．

這個表在我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里就出現(xiàn)了，所不同的只是這里的表是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，在那本書里用漢字表示的，這個表稱為“楊輝三角”．在歐洲，這個表被認(rèn)為是法國數(shù)學(xué)家帕斯卡發(fā)現(xiàn)的，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右，由此可見我國古代在數(shù)學(xué)方面的成就．復(fù)習(xí)引入探究

觀察分析，這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)616152015611510105114641133112111①每行的兩端都是1.②遞推性：除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩數(shù)的和.③對稱性：與首末兩端等距的兩個二項式系數(shù)相等.④增減性：先增后減，在中間項取得最大值.楊輝三角(二項式系數(shù)表)新知學(xué)習(xí)探究

觀察分析，這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？對于

展開式的二項式系數(shù)從函數(shù)角度看，

可看成是以r為自變量的函數(shù)

,其定義域是下面從函數(shù)角度分析二項式系數(shù)：對于確定的n，我們還可以畫出它的圖象.例如，當(dāng)n=6時，函數(shù)

的圖象是右圖中的7個孤立點．rf(r)O1235101520456新知學(xué)習(xí)探究

觀察分析，這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律？n=7n=8n=9新知學(xué)習(xí)歸納總結(jié)1.對稱性由此我們可得二項式系數(shù)有以下性質(zhì)：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．事實上，這一性質(zhì)可直接由公式

得到．圖象的對稱軸為新知學(xué)習(xí)（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，正中間一項的二項式系數(shù)

最大；

歸納總結(jié)2.增減性與最大值（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)

相等，且同時取得最大值.

新知學(xué)習(xí)所以在中間項取得最大值.2.增減性與最大值歸納總結(jié)新知學(xué)習(xí)歸納總結(jié)3.各二項式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各二項式系數(shù)的和等于即（賦值法）證明：新知學(xué)習(xí)證明：3.各二項式系數(shù)的和推論：新知學(xué)習(xí)歸納總結(jié)

一般地，

的展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：(1)(2)(3)當(dāng)時,當(dāng)時,(4)新知學(xué)習(xí)練一練例1(1)求證：1110－1

能被100整除；(2)求7777－7被19除所得的余數(shù).

(1)證明：∵∴1110－1

能被100整除.（2）解:∴7777－7被19除所得的余數(shù)是19－6=13.典例解析練習(xí)19192被100除所得的余數(shù)為(

)A.1B.81 C.－81 D.992前91項均能被100整除，剩下兩項為92×90＋1＝8281，顯然8281除以100所得余數(shù)為81.故9192被100除所得的余數(shù)為81.解析：(90＋1)92＝C92(0)×9092＋C92(1)×9091＋…＋C92(90)×902＋C92(91)×90＋C92(92).練習(xí)2設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512021＋a能被13整除，則a＝______.

歸納總結(jié)整除或余數(shù)問題的處理方法

把底數(shù)寫成與除數(shù)有關(guān)的二項式，再用二項式展開式，只考慮后面的項即可，要注意余數(shù)為非負(fù)數(shù)，且小于除數(shù).例2設(shè)(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023(x∈R).(1)求a0的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2023的值;(3)求a1＋a3＋…＋a2023的值.解∵(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，(1)令x＝0，得(1－0)2023＝a0，因此a0＝1.(2)令x＝1，得(1－2)2023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2023，∴a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，

因此a1＋a2＋…＋a2023＝－2.(3)分別令x＝－1，x＝1，由②－①，得－1－32023＝2(a1＋a3＋…＋a2023).典例解析練習(xí)1

若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.解：（1）令x＝0，則a0＝－1.

令x＝1，則a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.（2）令x＝－1，得a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16384.例3(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.解:

(1)令x＝1，則展開式中各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，

又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n，

由題意知，4n－2n＝992，∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5為奇數(shù)，∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間的兩項，例3(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.假設(shè)Tk＋1項系數(shù)最大，∴展開式中系數(shù)最大的項為典例解析練習(xí)1(1)求二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？(3)求系數(shù)最大的項與系數(shù)最小的項.二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，(2)設(shè)第r＋1項系數(shù)的絕對值最大，故系數(shù)的絕對值最大的項是第6項和第7項.（3）由(2)知，展開式中的第6項和第7項系數(shù)的絕對值最大，第6項的系數(shù)為負(fù)，第7項的系數(shù)為正.歸納總結(jié)(1)二項式系數(shù)的最大項的求法求二項式系數(shù)的最大項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.①當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大.②當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)展開式中系數(shù)的最大項的求法1．已知(1＋x)n的展開式中第5項和第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(

)A．29

B．210

C．211

D．212

2.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是