PAGE1-第2課時(shí)全集、補(bǔ)集及綜合應(yīng)用考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)全集、補(bǔ)集了解全集、補(bǔ)集的意義，正確理解符號(hào)?UA的含義，會(huì)求已知全集條件下集合A的補(bǔ)集數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算會(huì)求解集合的交、并、補(bǔ)的集合問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象與補(bǔ)集相關(guān)的參數(shù)值(范圍)的求解能正確利用補(bǔ)集的意義求解一些詳細(xì)問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P12－P13，并思索以下問(wèn)題：1．全集的含義是什么？2．補(bǔ)集的含義是什么？3．如何理解“?UA”的含義？4．如何用Venn圖表示?UA?1．全集(1)定義：一般地，假如一個(gè)集合含有所探討問(wèn)題中涉及的全部元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)記法：全集通常記作U．■名師點(diǎn)撥全集并不是一個(gè)含有任何元素的集合，僅包含所探討問(wèn)題中涉及的全部元素．2．補(bǔ)集文字語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的全部元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語(yǔ)言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語(yǔ)言3.補(bǔ)集的性質(zhì)(1)A∪(?UA)＝U．(2)A∩(?UA)＝?．(3)?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A．(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)．(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．■名師點(diǎn)撥?UA的三層含義(1)?UA表示一個(gè)集合．(2)A是U的子集，即A?U.(3)?UA是U中不屬于A的全部元素組成的集合．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)數(shù)集問(wèn)題的全集肯定是R.()(2)集合?BC與?AC相等．()(3)A∩?UA＝?.()(4)一個(gè)集合的補(bǔ)集中肯定含有元素．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，則?UM＝()A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{1，2，4} D．U解析：選A.因?yàn)榧蟄＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以?UM＝{2，4，6}．設(shè)全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么?UP＝()A．{x|x＜－1} B．{x|x＞1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：選D.因?yàn)镻＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以?UP＝?RP＝{x|x＜－1或x＞1}．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，則實(shí)數(shù)m＝________．答案：5補(bǔ)集的運(yùn)算(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，則集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的補(bǔ)集?UA為()A．{x∈R|0<x<2}B．{x∈R|0≤x<2}C．{x∈R|0<x≤2}D．{x∈R|0≤x≤2}(2)設(shè)U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3，3，4}，則?UA＝________，?UB＝________．【解析】(1)借助數(shù)軸易得?UA＝{x∈R|0<x≤2}．(2)法一：在集合U中，因?yàn)閤∈Z，則x的值為－5，－4，－3，3，4，5，所以U＝{－5，－4，－3，3，4，5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3，5}，所以?UA＝{－5，－4，3，4}，?UB＝{－5，－4，5}．法二：可用Venn圖表示則?UA＝{－5，－4，3，4}，?UB＝{－5，－4，5}．【答案】(1)C(2){－5，－4，3，4}{－5，－4，5}eq\a\vs4\al()求集合補(bǔ)集的策略(1)假如所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后結(jié)合補(bǔ)集的定義來(lái)求解．另外，針對(duì)此類問(wèn)題，在解答過(guò)程中也經(jīng)常借助Venn圖來(lái)求解．這樣處理起來(lái)，相對(duì)來(lái)說(shuō)比較直觀、形象，且解答時(shí)不易出錯(cuò)．(2)假如所給集合是無(wú)限集，在解答有關(guān)集合補(bǔ)集問(wèn)題時(shí)，則常借助數(shù)軸，先把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后依據(jù)補(bǔ)集的定義求解．若集合A＝{x|－1≤x<1}，當(dāng)S分別取下列集合時(shí)，求?SA.(1)S＝R；(2)S＝{x|x≤2}；(3)S＝{x|－4≤x≤1}．解：(1)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖知?SA＝{x|x<－1或x≥1}．(2)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖知?SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．(3)把集合S和A表示在數(shù)軸上，如圖所示．由圖知?SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．集合交、并、補(bǔ)的綜合運(yùn)算(1)(2024·長(zhǎng)沙檢測(cè))已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，則集合A∩(?UB)＝()A．{2，5} B．{3，6}C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}(2)已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，求A∩B，(?UB)∪P，(A∩B)∩(?UP)．【解】(1)選A.因?yàn)閁＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，B＝{1，3，4，6，7}，所以?UB＝{2，5，8}．又A＝{2，3，5，6}，所以A∩(?UB)＝{2，5}．(2)將集合A，B，P分別表示在數(shù)軸上，如圖所示．因?yàn)锳＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，所以A∩B＝{x|－1<x<2}，?UB＝{x|x≤－1或x>3}．又P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，所以(?UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2))))).又?UP＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))，所以(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1<x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{x|0<x<2}．1．(變問(wèn)法)在本例(2)的條件下，求(?UA)∩(?UP)．解：畫(huà)出數(shù)軸，如圖所示：視察數(shù)軸可知(?UA)∩(?UP)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2≤x<\f(5,2))))).2．(變條件)將本例(2)中的集合P改為{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不變，求A∪(?UB)．解：畫(huà)出數(shù)軸，如圖所示：視察數(shù)軸可知A∪(?UB)＝{x|x<2或3<x≤5}．eq\a\vs4\al()解決集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的技巧(1)假如所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后結(jié)合交集、并集、補(bǔ)集的定義來(lái)求解．在解答過(guò)程中經(jīng)常借助于Venn圖來(lái)求解．(2)假如所給集合是無(wú)限實(shí)數(shù)集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)軸上，然后進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算．解答過(guò)程中要留意邊界問(wèn)題．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．解：如圖．因?yàn)锳＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3或2<x≤4}．所以A∩B＝{x|－2<x≤2}，(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}．與補(bǔ)集相關(guān)的參數(shù)值(范圍)的求解設(shè)集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(?UA)∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解】由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，因?yàn)锽＝{x|－2<x<4}，(?UA)∩B＝?，在數(shù)軸上表示，如圖，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范圍是m≥2.(變條件)若將本例中的條件“(?UA)∩B＝?”改為“(?UA)∩B≠?”，其他條件不變，則m的取值范圍又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以?UA＝{x|x<－m}，又(?UA)∩B≠?，所以－m>－2，解得m<2.所以m的取值范圍是m<2.eq\a\vs4\al()由集合的補(bǔ)集求解參數(shù)的方法(1)由補(bǔ)集求參數(shù)問(wèn)題，若集合中元素個(gè)數(shù)有限時(shí)，可利用補(bǔ)集定義并結(jié)合集合學(xué)問(wèn)求解．(2)與集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算有關(guān)的求參數(shù)問(wèn)題，若集合中元素有無(wú)限個(gè)時(shí)，一般利用數(shù)軸分析法求解．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B??RA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：由題意得?RA＝{x|x≥－1}，①若B＝?，則a＋3≤2a，即a≥3，滿意B??RA；②若B≠?，則由B??RA，得2a≥－1且2a<a＋3，即－eq\f(1,2)≤a<3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥－\f(1,2))))).1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，則(?UP)∪Q＝()A．{1} B．{3，5}C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，5}解析：選C.由題意得，?UP＝{2，4，6}，所以(?UP)∪Q＝{1，2，4，6}．故選C.2．設(shè)U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，則A∩(?UB)＝()A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}解析：選B.因?yàn)?UB＝{x|x≤1}，所以A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．3．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實(shí)數(shù)a等于()A．0或2 B．0C．1或2 D．2解析：選D.由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))得a＝2.4．設(shè)全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解：把集合A，B在數(shù)軸上表示如下：由圖知，A∪B＝{x|2<x<10}，所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，因?yàn)?RA＝{x|x<3或x≥7}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，則?U(A∪B)＝()A．{2，6} B．{3，6}C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}解析：選A.由題知A∪B＝{1，3，4，5}，所以?U(A∪B)＝{2，6}．故選A.2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}解析：選D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，故?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，則?AB＝()A．{x|x是菱形}B．{x|x是內(nèi)角都不是直角的菱形}C．{x|x是正方形}D．{x|x是鄰邊都不相等的矩形}解析：選B.由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，則?AB＝{x|x是內(nèi)角都不是直角的菱形}．4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，則A∩(?UB)＝()A．{3} B．{4}C．{3，4} D．?解析：選A.因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以?UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(?UB)＝{3}．故選A.5.(2024·沈陽(yáng)檢測(cè))已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么陰影部分表示的集合為()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：選D.由題意得，陰影部分所表示的集合為(?UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，則集合?U(A∪B)中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：由題意得，A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以?U(A∪B)＝{3，5}，故有2個(gè)元素．答案：27．設(shè)U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，則實(shí)數(shù)m＝________．解析：由題意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3為方程x2＋mx＝0的兩根，所以m＝－3.答案：－38．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，?UA＝{x|x<1或x≥2}，則實(shí)數(shù)b＝________．解析：因?yàn)?UA＝{x|x<1或x≥2}，所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.答案：29．已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|1≤x<6}，求?R(A∪B)，?R(A∩B)，(?RA)∩B，A∪(?RB)．解：?R(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥6}，?R(A∩B)＝{x|x<1或x>3}，(?RA)∩B＝{x|3<x<6}，A∪(?RB)＝{x|x≤3或x≥6}．10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，滿意(?RA)∩B＝{2}，A∩(?RB)＝{4}，求實(shí)數(shù)a，b的值．解：由條件(?RA)∩B＝{2}和A∩(?RB)＝{4}，知2∈B，但2?A；4∈A，但4?B.將x＝2和x＝4分別代入B，A兩集合中的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－2a＋b＝0，,42＋4a＋12b＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－2a＋b＝0，,4＋a＋3b＝0.))解得a＝eq\f(8,7)，b＝－eq\f(12,7)即為所求．[B實(shí)力提升]11．已知A，B均為集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}解析：選D.因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈A，又(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，則5?B(否則5∈A∩B)，從而5∈?UB，則(?UB)∩A＝{5，9}，與題中條件沖突，故5?A.同理1?A，7?A，故A＝{3，9}．12．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩?RM≠?(R為實(shí)數(shù)集)，則a的取值范圍是________．解析：由題意知?RM＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．因?yàn)镹∩?RM≠?，所以a≥－2.答案：a≥－213．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求A∪B；(2)若B??RA，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)m＝1時(shí)，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}．(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}．當(dāng)B＝?，即m≥1＋3m時(shí)，得m≤－eq\f(1,2)，滿意B??RA；當(dāng)B≠?時(shí)，要使B??RA成立，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1＋3m，,1＋3m≤－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<1＋3m