高考第二輪專題數(shù)學(xué)新高考2第10講空間幾何體、空間中的位置關(guān)系1.[2020·天津卷]若棱長(zhǎng)為23的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為 ()A.12π B.24π C.36π D.144π2.[2020·全國(guó)卷Ⅱ]圖M4-10-1是一個(gè)多面體的三視圖,這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ()A.E B.FC.G D.H圖M4-10-13.[2020·全國(guó)卷Ⅰ]如圖M4-10-2,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為 ()A.5-14 C.5+14 D圖M4-10-24.[2018·全國(guó)卷Ⅰ]某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖M4-10-3所示.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為 ()A.217 B.25 C.3 D.2圖M4-10-35.[2020·全國(guó)卷Ⅰ]已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為 ()A.64π B.48π C.36π D.32π6.[2018·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)A,B,C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn),△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 ()A.123 B.183 C.243 D.5437.[2019·全國(guó)卷Ⅲ]學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型,如圖M4-10-4,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

圖M4-10-4空間幾何體的三視圖與直觀圖1一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖M4-10-5所示,下列選項(xiàng)中,不可能是該錐體的俯視圖的是 ()圖M4-10-5圖M4-10-6

【規(guī)律提煉】三視圖的長(zhǎng)度特征為:長(zhǎng)對(duì)正、寬相等、高平齊,即正視圖和側(cè)視圖一樣高,正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng),側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,要注意實(shí)、虛線的畫法.測(cè)題某四面體的三視圖如圖M4-10-7所示,正視圖和俯視圖都是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形,則此四面體的四個(gè)面的面積中,最大面積為 ()A.22 B.23 C.4 D.26圖M4-10-7空間幾何體的表面積與體積2(1)斗拱是中國(guó)古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一,并為中國(guó)所特有,圖M4-10-8①,②是北京故宮太和殿斗拱實(shí)物圖,圖③是斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體,圖③中的斗是由棱臺(tái)與長(zhǎng)方體形凹槽(原長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,其中小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)相等,寬和高分別為原長(zhǎng)方體的一半)組成.若棱臺(tái)兩底面的面積分別是400cm2,900cm2,高為9cm,長(zhǎng)方體形凹槽的高為12cm,斗的密度是0.50g/cm3,那么這個(gè)“斗”的質(zhì)量是 ()①②③圖M4-10-8A.3990g B.3010g C.6900g D.6300g(2)在四棱錐P-ABCD中,PA=2,PB=PC=PD=7,AB=AD=7,BC=CD=2,則四棱錐P-ABCD的體積為 ()A.23 B.3 C.5 D.3(3)[2020·浙江卷]已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2π,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

【規(guī)律提煉】在空間幾何體的表面積與體積的計(jì)算中,熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用面積公式及體積公式準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵.測(cè)題1.在三棱錐A-BCD中,AD=2,△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,若頂點(diǎn)A在平面BCD上的射影H是△BCD的垂心,則三棱錐A-BCD的體積為 ()A.43 B.34 C.23 2.玉琮是中國(guó)古代玉器中重要的禮器,神人紋玉琮王是新石器時(shí)代良渚文化的典型玉器,1986年出土于浙江省余杭市反山文化遺址.玉琮王通高8.8cm,孔徑4.9cm,外徑17.6cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖像.獸面的兩側(cè)各淺浮雕鳥紋.器形呈扁矮的方柱體,內(nèi)圓外方,上下端為圓面的射,中心有一上下垂直相透的圓孔,如圖M4-10-9所示.試估計(jì)該神人紋玉琮王的體積為(單位:cm3) ()A.6250 B.3050 C.2850 D.2350圖M4-10-93.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的表面積為24,若圓錐的底面圓周經(jīng)過(guò)A,A1,C1,C四個(gè)頂點(diǎn),圓錐的頂點(diǎn)在棱BB1上,則該圓錐的體積為 ()A.32π B.2π3 C.2π D4.蘭州牛肉拉面是人們喜歡的快餐之一.現(xiàn)將體積為1000cm3的面團(tuán)經(jīng)過(guò)第一次拉伸,使之形成長(zhǎng)為100cm的圓柱形面條,再經(jīng)過(guò)第二次對(duì)折拉伸,使之形成長(zhǎng)為2×100cm的面條,依次重復(fù)上面的動(dòng)作,若每次對(duì)折拉伸到相等的長(zhǎng)度,面條的粗細(xì)是均勻的,拉面師傅拉完面后手中剩余面團(tuán)忽略不計(jì),則經(jīng)過(guò)五次拉伸之后的面條的截面直徑是 ()A.21031πcm B.25C.21031cm D.25多面體與球角度1外接球3(1)已知點(diǎn)M,N,P,Q在同一個(gè)球面上,MN=3,NP=4,MP=5,若三棱錐Q-MNP的體積的最大值為10,則這個(gè)球的表面積是 ()A.25π4 B.C.225π16 D.(2)將邊長(zhǎng)為23,銳角為60°的菱形沿較短的對(duì)角線折疊成120°的二面角,若該菱形折疊后所得到的三棱錐內(nèi)接于球,則該球的表面積為 ()A.7π B.28π C.36π D.52π【規(guī)律提煉】1.對(duì)于球的截面圓問(wèn)題,過(guò)球心與圓心的直線始終與截面圓垂直,若球心與圓心的距離是d,截面圓的半徑為r,球的半徑為R,則有d=R22.求多面體的外接球問(wèn)題,經(jīng)常構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心,長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處.以下是常見(jiàn)的幾種幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的途徑與方法.途徑1:正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體.途徑2:同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體.途徑3:若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系,則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.途徑4:若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直,則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.測(cè)題1.在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AA'=3,AB=2,則該正三棱柱外接球的表面積是 ()A.7π B.25π3 C.22π3 D2.已知正四棱錐P-ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,該正四棱錐的五個(gè)面所在的平面截球面所得圓的大小相同,若正四棱錐P-ABCD的高為2,則球O的表面積為()A.8π B.9π C.12π D.16π3.已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)均在球O的球面上,SA⊥平面ABC,△ABC是等腰直角三角形,SA=AB=AC=2,D是BC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作球O的截面,則截面面積的最小值是 ()A.π B.2π C.3π D.4π角度2內(nèi)切球4(1)如圖M4-10-10所示,在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.若O1O2=2,則圓柱O1O2的表面積為 ()A.4π B.5πC.6π D.π圖M4-10-10(2)在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬.如圖M4-10-11,若四棱錐P-ABCD為陽(yáng)馬,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,則R=;內(nèi)切球的體積V=.

圖M4-10-11【規(guī)律提煉】一個(gè)多面體與它的內(nèi)切球有以下特點(diǎn)與方法:1.內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離均相等;2.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合;3.正棱錐的內(nèi)切球和外接球的球心都在高線上,但不重合;4.基本方法:構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理;5.體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.測(cè)題1.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形、側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為“塹堵”,現(xiàn)有一“塹堵”形石材,其底面邊長(zhǎng)分別為3,4,5,若此石材恰好可以加工成一個(gè)最大的球體,則其高為 ()A.4 B.3 C.2 D.12.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC⊥平面ABC,則AC=;若球O與該三棱錐除PB以外的5條棱均相切,則球O的半徑為.

角度3球與幾何體相交的軌跡5[2020·全國(guó)新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為.

【規(guī)律提練】確定球與幾何體相交的軌跡的關(guān)鍵是理解好任意一個(gè)平面與球相交,截面都是圓面.在平面中的軌跡一定是圓弧.解題時(shí)需要有較強(qiáng)的空間想象能力,關(guān)鍵是判斷出交線是什么樣的圓中的弧,然后只需利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.測(cè)題已知三棱錐P-ABC的棱AP,AB,AC兩兩垂直,且長(zhǎng)度都為3,若以頂點(diǎn)P為球心,以2為半徑作一個(gè)球,則球面與三棱錐P-ABC的表面相交所得到的四段弧長(zhǎng)之和等于 ()A.3π B.3π2 C.4π3 D空間位置關(guān)系6(1)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論正確的是 ()A.若m⊥n,n∥α,則m⊥αB.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥nC.若m∥n,n∥β,則m∥βD.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β(2)四棱錐P-ABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為42,底面是邊長(zhǎng)為26的正方形,O是P在平面ABCD內(nèi)的射影,M是PC的中點(diǎn),則異面直線OP與BM所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【規(guī)律提煉】在近幾年的高考題中,空間中的位置關(guān)系:如線面平行、線線垂直和面面垂直都有考查,一般是將直線或平面放在正方體中,這樣比較直觀.解決幾何體截面問(wèn)題的關(guān)鍵是確定截面圖形的位置、形狀、經(jīng)過(guò)的點(diǎn),然后根據(jù)有關(guān)數(shù)量或位置關(guān)系計(jì)算.測(cè)題1.若α,β是空間中的兩個(gè)不同的平面,m,n是空間中的兩條不同的直線,則給出的下列說(shuō)法中正確的是 ()①若m∥α,n∥β,且m∥n,則α∥β②若m∥α,n∥β,且m⊥n,則α⊥β③若m⊥α,n⊥β,且m∥n,則α∥β④若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,則α⊥βA.①②③ B.①③④C.②④ D.③④2.(多選題)如圖M4-10-12①所示,已知四邊形PABC是直角梯形,AB∥PC,AB⊥BC,點(diǎn)D在線段PC上,AD⊥PC.將△PAD沿AD折起,使平面PAD⊥平面ABCD,連接PB,PC,設(shè)PB的中點(diǎn)為N,連接AN,如圖②.對(duì)于圖②,下列說(shuō)法中正確的是 ()A.平面PAB⊥平面PBC B.BC⊥平面PDCC.PD⊥AC D.PB=2AN①