新冀教版數(shù)學(xué)七年級下冊全冊教學(xué)課件2025年春季新版教材第六章

二元一次方程組6.1二元一次方程組

七下數(shù)學(xué)JJ1.通過具體實(shí)例，理解二元一次方程、二元一次方程組及它們的解的意義，發(fā)展抽象能力.2.會(huì)檢驗(yàn)一對數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程(組)的解.3.能根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出簡單的二元一次方程(組),體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效的數(shù)學(xué)模型，形成應(yīng)用意識(shí).

用載質(zhì)量不同的兩種貨車來運(yùn)貨.已知4輛輕型貨車和5輛中型貨車一次最多能運(yùn)貨52t,10輛輕型貨車和3輛中型貨車一次最多能運(yùn)貨54t.那么，這兩種貨車每輛的載質(zhì)量分別是多少噸?

設(shè)一個(gè)未知數(shù)

4輛輕型貨車的載質(zhì)量+5輛中型貨車的載質(zhì)量=52t10輛輕型貨車的載質(zhì)量+3輛中型貨車的載質(zhì)量=54t設(shè)兩個(gè)未知數(shù)

4輛輕型貨車的載質(zhì)量+5輛中型貨車的載質(zhì)量=52t10輛輕型貨車的載質(zhì)量+3輛中型貨車的載質(zhì)量=54t

共同點(diǎn)：1.都是方程；2.含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；3.都可以表示本題中的等量關(guān)系.不同點(diǎn)：1.前者含有有一個(gè)未知數(shù)，后者含有兩個(gè)未知數(shù)；2.解法一用一個(gè)方程來表示數(shù)量關(guān)系，解法二是用兩個(gè)方程來表示數(shù)量關(guān)系的.知識(shí)點(diǎn)1

二元一次方程的概念定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)以及每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程，叫作二元一次方程.二元一次方程需滿足以下三個(gè)條件：①含有兩個(gè)未知數(shù)；②未知數(shù)所在項(xiàng)的次數(shù)都是1；③方程左右兩邊都是整式.知識(shí)點(diǎn)1

二元一次方程的概念例1判斷下列方程是不是二元一次方程.

3a+5=9m+n=18x2+y=7d+p+t+9

2xy=8x+y=3知識(shí)點(diǎn)1

二元一次方程的概念

判斷一個(gè)方程是否為二元一次方程的方法：

一看原方程是不是整式方程且只含有兩個(gè)未知數(shù)；二看整理化簡后的方程是否具備兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都不為0且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.問題2、x=3，y=8是否滿足方程4x+5y=52？x=4，y=8滿足嗎？二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的一組解.二元一次方程的解有無數(shù)組.解的寫法：上下擺放，左弧號(hào)連接,如x=5，y=3是方程5x+y=28的一組解，記為的形式.知識(shí)點(diǎn)2

二元一次方程的解例2：x＝－3，y＝1為下列哪一個(gè)二元一次方程的解(

)A．x＋2y＝－1B．x－2y＝1C．2x＋3y＝6D．2x－3y＝－6A知識(shí)點(diǎn)2

二元一次方程的解

二元一次方程組：

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)以及每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1的一組方程，叫作二元一次方程組.溫馨提示：二元一次方程組需滿足以下三個(gè)條件：①含有兩個(gè)未知數(shù)；②含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1；③方程中所含代數(shù)式都是整式.方程組：由幾個(gè)方程組成的一組方程叫作方程組.知識(shí)點(diǎn)3

二元一次方程組的概念

例3下列方程組是二元一次方程組的是（）A.B.C.D.B知識(shí)點(diǎn)3

二元一次方程組的概念

注意：也是二元一次方程組.練一練：下列方程組中，哪些是二元一次方程組？知識(shí)點(diǎn)3

二元一次方程組的概念做一做

已知甲數(shù)的2倍和乙數(shù)的3倍之和是12，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之差是5.求這兩個(gè)數(shù).(1)列一元一次方程求解；解：設(shè)甲數(shù)為x，則乙數(shù)為.根據(jù)題意，得解得從而答：甲數(shù)為3，乙數(shù)為2.知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解(2)如果設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y,請根據(jù)問題中的等量關(guān)系，列出含有兩個(gè)未知數(shù)的一組方程.2x+3y=12,①3x-2y=5.②想一想：方程2x+3y=12

和3x-2y=5中，x的含義相同嗎？y呢？x,y所代表的對象分別相同,因而x,y必須同時(shí)滿足方程2x+3y=12

和3x-2y=5,把它們聯(lián)立起來,得知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解探究：對于二元一次方程，任意給定未知數(shù)x的一個(gè)值，你能求出滿足方程的未知數(shù)y的值嗎？填寫下表.2x+3y=12x…245…y……3x-2y=5x…245…y……看一看：是否有同時(shí)滿足這兩個(gè)方程的一組解？332知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解二元一次方程組的解：二元一次方程組中方程的公共解，叫作這個(gè)二元一次方程組的解.一般地，二元一次方程組記作

的形式，而

是這個(gè)方程組的解.知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解

既是方程①5x+y=28的一組解，

也是方程②

x+5y=20的一組解.因此，就是二元一次方程組的解.例如知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解例4：以為解的二元一次方程組是

(

)

A.B.

C.D.C知識(shí)點(diǎn)4

二元一次方程組的解1.下列各組數(shù)是不是方程2a=3b+20的解?a=4，b=3a=100，b=60①②左邊≠右邊右邊=3×3+20右邊=3×60+20左邊=2×100左邊=右邊左邊=2×43.二元一次方程組的解是()A. B.C.D.x+=1，y+x=22.下列不是二元一次方程組的是(

)A.x+y=3，x-y=1B.C.D.6x+4y=9，y=3x+4Bx=1，y=1x=1，y=32x+y=5，3x-2y=4x=1，y=2x=2，y=1x=2，y=-14.小劉同學(xué)用10元錢購買了兩種不同的賀卡共8張，單價(jià)分別是1元與2元．設(shè)他購買了1元的賀卡x張，2元的賀卡y張，那么可列方程組(

)

A.

B.

C.D.D5.已知是方程2x-4y+2a=3的一組解，則a=____.6.若方程2x2m+3+3y3n-7=0是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m=______，n=______；x=3，y=1

1

2-1

83二元一次方程組二元一次方程二元一次方程的解二元一次方程的定義二元一次方程組二元一次方程組的定義二元一次方程組的解6.2二元一次方程組的解法

課時(shí)3七下數(shù)學(xué)JJ第六章

二元一次方程組1.掌握用代入消元法解二元一次方程組.2.在解方程組的過程中，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化和劃歸思想，提升運(yùn)算能力.買3瓶蘋果汁和2瓶橙汁共需23元買5瓶蘋果汁和2瓶橙汁共需33元.信息一：已知買3瓶蘋果汁和2瓶橙汁共需23元；信息二：又知買5瓶蘋果汁和2瓶橙汁共需33元.解：設(shè)蘋果汁的單價(jià)為x元，橙汁的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得，你會(huì)解這個(gè)方程組嗎？3x+2y=23,5x+2y=33.解：由①得.

將③代入②,得③解得y=4.把y=4代入③，得x=5.所以原方程組的解為除代入消元，還有其他方法嗎？①②3x+2y=23,5x+2y=33.x=5，y=4.3x+5y=21,①2x–5y=-11.②一起探究：怎樣解下面的二元一次方程組呢？把②變形得：代入①，不就消去x了！知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組3x+5y=21,①2x–5y=-11.②把②變形得可以直接代入①呀！知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組3x+5y=21,①2x–5y=-11.②5y和－5y互為相反數(shù)……小麗知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組按照小麗的思路，你能消去一個(gè)未知數(shù)嗎？①②分析：①+②①左邊

+②左邊

=①右邊

+②右邊3x+5y+2x

－5y＝105x=10(3x+5y)+(2x-5y)=

21+(－11)5y和－5y互為相反數(shù)……知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組解：由①+②,得將x=2代入①,得6+5y=21.y=3.所以原方程組的解是

x=2,

y=3.解方程組：①②5x=10.x=2.你學(xué)會(huì)了嗎？知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組

①②例1

解方程組:解：由①+②，得7x=14.解得，

x=2.把x=2代入①中，得10+3y=16.解得，

y=2.所以方程組的解為當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，可以將兩個(gè)方程兩邊分別相加，消元更簡單.知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組做一做：解方程組①②解：由①－②，得y=2.把y=2代入②中，得3x+2=5.解得x=1.所以方程組的解為當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，該如何消元才更簡單呢？當(dāng)方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相等時(shí)，可以將兩個(gè)方程兩邊分別相減，消元更簡單.①②3x+2y=23,5x+2y=33.解方程組解：由②－①,得將x=5代入①,得15+2y=23.y=4.所以原方程組的解是

x=5,

y=4.2x=10.x=5.與前面的代入法相比，是不是更加簡單了！知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組變式練習(xí)例2

解方程組①②兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等也不互為相反數(shù)，怎么辦？解：由②×2，得4x+6y=8.③

-

,得x=-1.把x=-1代入②中，得-2+3y=4.解得

y=2.所以方程組的解為

溫馨提示：這兩個(gè)方程中沒有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等，直接加減這兩個(gè)方程不能消元.我們對方程變形，使得這兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等.知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組定義：將二元一次方程組中兩個(gè)方程相加(或相減，或進(jìn)行時(shí)當(dāng)變形后再相加減)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程；通過解一元一次方程，求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法，叫作加減消元法，簡稱加減法.

如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)存在整數(shù)倍關(guān)系，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等，再進(jìn)行加減.知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組7x=14

x=2加減消元5×2+3y=16

y=2求解代入得解得解二元一次方程組一元一次方程一元一次方程的解用加減法解二元一次方程組的一般步驟轉(zhuǎn)化知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組

變式練習(xí)

解方程組:①②解：由①+②×3，得7x=0.解得

x=0.把x=0代入①中，得0+3y=12.解得

y=4.所以方程組的解為解：由①×2-②，得7y=28.解得

y=4.把y=4代入①中，得x+3×4=12.解得

x=0.所以方程組的解為知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組例3

用加減法解方程組:①②①×3,得所以原方程組的解是解：③-④,得

y=2.

把y＝2代入①，解得

x＝3.②×2,得6x+9y=36.③6x+8y=34.④找系數(shù)的最小公倍數(shù)回代：求出x的值相減：消去x求解：求出y的值變形：使x的系數(shù)相等寫出解知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組解：②×4,得

①解方程組：②③①＋③,得7x=35.解得

x=5.把x=5代入②,得

y=1.4x-4y=16.知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組變式練習(xí)同一未知數(shù)的系數(shù)

時(shí)，利用等式的性質(zhì)，使得未知數(shù)的系數(shù)

.不相等也不互為相反數(shù)相等或互為相反數(shù)

當(dāng)兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不存在整倍數(shù)關(guān)系，將兩個(gè)方程進(jìn)行適當(dāng)變形，使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等，再進(jìn)行加減.知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組主要步驟：基本思路：寫解求解加減消去一個(gè)元求出兩個(gè)未知數(shù)的值寫出方程組的解加減消元法解方程組基本思路和主要步驟：變形同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)消元:二元一元知識(shí)點(diǎn)1

用加減消元法解二元一次方程組

例4解方程組：

解：由①+②，得4(x+y)=36.

所以x+y=9.③由①-②，得6(x-y)=24.

所以x-y=4.④由③④組成方程組解得法二：整理得【方法總結(jié)】整體加減法（換元法）是數(shù)學(xué)中的重要方法之一，往往能使運(yùn)算更簡便．知識(shí)點(diǎn)2

用整體加減消元法解二元一次方程組變式練習(xí)

已知方程組的解滿足方程x+y=8,求m的值.解：①+②，得5x+5y=2m+2.又∵x+y=8，∴5×8=2m+2.解得m=19.故m的值為19.知識(shí)點(diǎn)2

用整體加減消元法解二元一次方程組

2.用加減法解方程組6x+7y=－19,①6x-5y=17.②應(yīng)用（）A.①-②消去yB.①-②消去xC.②-①消去常數(shù)項(xiàng)D.以上都不對B

3.已知

則a+b等于_____.

3

①②分析：方法一:直接解方程組，求出a與b的值，然后就可以求出a+b.方法二：+,得4a+4b=12，

a+b=3.【方法總結(jié)】解題的關(guān)鍵是觀察兩個(gè)方程相同未知數(shù)的系數(shù)關(guān)系，利用整體法求解．4.解下列方程組解：5.已知x，y滿足方程組

求代數(shù)式x-y的值．解：②-①，得2x-2y＝-1-5，整理得x-y＝-3.加減消元法定義步驟條件方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍變形

加減

求解

回代

寫出解

七下數(shù)學(xué)JJ6.2二元一次方程組的解法

課時(shí)1第六章

二元一次方程組1.掌握用代入消元法解二元一次方程組.2.在解方程組的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化和劃歸思想，提升運(yùn)算能力.問題1：你能用一元一次方程解決雞兔同籠的問題嗎？

解：設(shè)雞有x只，根據(jù)題意列方程，得2x+4(35-x)=94.解這個(gè)一元一次方程，得x=23.從而，得35-23=12.即雞有23只，兔子有12只.問題2：如何利用二元一次方程組解決雞兔同籠問題？解：設(shè)雞有x只，兔子有y只.根據(jù)題意，可得方程組①②由①，得

y=35-x.③將③代入②中，得

2x+4(35-x)=94.④①②

y=35-x變形代入2x+4(35-x)=94想一想：由方程組

是怎樣得出方程

④的？從中你體會(huì)到怎樣解二元一次方程組嗎？求解x=23代入求解y=12將二元一次方程組中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)，用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程，通過解一元一次方程，求得二元一次方程組的解.這種解二元一次方程組的方法，叫作代入消元法.求二元一次方程組的解的過程，叫作解二元一次方程組.知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組例1

求二元一次方程組

的解.

①②解：將①代入②中，得x+2(x-6)=9.解這個(gè)一元一次方程，得x=7.將x=7代入①中，得y=1.所以，原方程組的解為當(dāng)方程組中有一個(gè)方程為y=ax+b的形式，則直接將該方程代入到第二個(gè)方程中進(jìn)行消元.把x=7代入②可以嗎？把求出的解代入原方程組，可以知道你解的對不對.

知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組例2

解二元一次方程組

①②解：方程①可變形為x=10-y.③將③代入②中，得10-y-2y=4.解這個(gè)方程，得y=2.將y=2代入③中，得x=8.所以，原方程組的解為方法一：還有其他解法嗎？③能代入①嗎？知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組

解二元一次方程組

①②解：方程①可變形為y=10-x.③將③代入②中，得x-2(10-x)=4.解這個(gè)方程，得x=8.將x=8代入③中，得y=2.所以原方程組的解為方法二：1.將方程組里的一個(gè)方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)；2.用這個(gè)式子代替另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；3.把這個(gè)未知數(shù)的值代入變形的式子，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；4.寫出方程組的解.用代入法解二元一次方程組的一般步驟變代求寫知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組解：方程②可變形為x=4+2y.③將③代入①中，得4+2y+y=10.解這個(gè)方程，得y=2.將y=2代入①中，得x=8.所以原方程組的解為方法三：解二元一次方程組

①②知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組變形：用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)代入：消元解：解一元一次方程得到一個(gè)未知數(shù)的值回代：求另一個(gè)未知數(shù)的值寫出解代入法解二元一次方程組步驟：知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組二元一次方程組一元一次方程轉(zhuǎn)化代入消元法選擇方程中未知數(shù)系數(shù)為±1的方程進(jìn)行變形.解題思路解二元一次方程組的基本思想是“化歸思想”，通過“代入消元”法，也就是要消去其中一個(gè)未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化成解一元一次方程.知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組m=1+2n.變式練習(xí)1.若方程5x

m-2n+4y

3n-m

=9是關(guān)于x、y的二元一次方程，求m

，n

的值.由①，得③把③代入②，得把n=2代入③，得所以n=2,m=5.解：由題意知,m-2n=1，3n–m=1.①②3n–（1+2n）=1.解方程，得n=2.m=5.即m

的值是5，n

的值是2.知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組y=2–3x.由①，得③把③代入②，得把x=2代入③，得所以x=2,y=-4.解：由題意知,

y+3x–2=0，5x+2y–2=0.①②解方程，得x=2.y=-4.即x

的值是2，y的值是-4.2.

如果∣y+3x-2∣+∣5x+2y-2∣=0，求x，y

的值.5x+2（2–3x）-2=0.知識(shí)點(diǎn)

用代入消元法解二元一次方程組1.用代入法解方程組下列說法正確的是(

)A．直接把①代入②，消去yB．直接把①代入②，消去xC．直接把②代入①，消去yD．直接把②代入①，消去xB由①直接代入②2.下列各方程組中，應(yīng)怎樣代入消元？由①得y=7x–11.③將③代入②x=4y-1,

①3x+y=10.

②7x-y=11,

①5x+2y=0.

②

小技巧：用代入法時(shí)，往往對方程組中系數(shù)為1或-1的未知數(shù)所在的方程進(jìn)行變形代入.3.解方程組2y-x=3，

①

x=y+1；

②(1)2x-y=5，

①

4x+3y=15.

②

(2)解：(1)將②直接代入①中，得2y-(y+1)=3,解得y=4.將y=4代入②中，得

x=5.所以原方程組的解為(2)方程①可變形為y=2x-5.③將③代入②中，得4x+3(2x-5)=15,解得x=3.將x=3代入③中，得

y=1.所以原方程組的解為4.已知

和

是方程ax+by=15的兩個(gè)解，求a，b的值.解析：把兩組解分別代入方程中，得到關(guān)于a,b的兩個(gè)方程，解方程組，即可求得a,b的值.解：將和分別代入方程ax+by=15中，得解這個(gè)方程組，得5.某校組織活動(dòng)，共有100人參加，要把參加活動(dòng)的人分成兩組，已知第一組人數(shù)比第二組人數(shù)的2倍少8人，問這兩組人數(shù)各是多少？解：設(shè)第一組有x人，第二組有y人，根據(jù)題意，可列方程組解這個(gè)方程組，得答：第一組有64人，第二組有36人.6.對于某些數(shù)學(xué)問題，靈活運(yùn)用整體思想，可以化難為易．在解二元一次方程組時(shí)，就可以運(yùn)用整體代入法．如解方程組：解：把②代入①，得x＋2×1＝3，解得x＝1.把x＝1代入②，得y＝0.所以原方程組的解為①②x＝1，y＝0.代入消元法定義步驟變形：用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)代入：消元解：解一元一次方程得到一個(gè)未知數(shù)的值回代：求另一個(gè)未知數(shù)的值寫出解整體代入法6.2二元一次方程組的解法

課時(shí)2七下數(shù)學(xué)JJ第六章

二元一次方程組1.掌握用代入消元法解二元一次方程組.2.在解方程組的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化和劃歸思想，提升運(yùn)算能力.“曹沖稱象”的故事生活中解決問題的方法把大象的體重轉(zhuǎn)化為石塊的重量.情景引入解二元一次方程組的基本思想是“化歸思想”，通過“代入消元法”，也就是要消去其中一個(gè)未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化成解一元一次方程.例1

解方程組②①解：由方程①，得③將③代入②，整理，得解方程，得將代入③，得所以，原方程的解為知識(shí)點(diǎn)1

用代入消元法解二元一次方程組例2

解方程組②①解：原方程組可化為③④由方程④，得⑤將⑤代入③，整理得解得將代入⑤，得所以，原方程的解為解法不只一種，獨(dú)立完成，然后與大家分享哦！知識(shí)點(diǎn)1

用代入消元法解二元一次方程組結(jié)合下列實(shí)例和圖示,說一說怎樣運(yùn)用“代入消元法”解二元一次方程組.知識(shí)點(diǎn)1

用代入消元法解二元一次方程組【追問】(1)解二元一次方程組的基本思路是什么?(轉(zhuǎn)化.)(2)代入消元的目的是什么?(轉(zhuǎn)化為簡單的方程,即一元一次方程.)知識(shí)點(diǎn)1

用代入消元法解二元一次方程組溫馨提示：用代入消元法解二元一次方程組時(shí),消去x或y都可以，為了簡便計(jì)算,需要對每個(gè)方程的未知數(shù)系數(shù)情況進(jìn)行比較分析,并根據(jù)自己的認(rèn)識(shí)進(jìn)行選擇.解方程組的基本思路是“消元”——把“二元”變?yōu)椤耙辉?主要步驟是:(1)將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;(2)將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程中,從而消去一個(gè)未知數(shù),化二元一次方程組為一元一次方程;(3)解這個(gè)一元一次方程;(4)把求得的一元一次方程的解代入方程中,求得另一個(gè)未知數(shù)的值,組成方程組的解.知識(shí)點(diǎn)1

用代入消元法解二元一次方程組

解方程組②①解：原方程組可化為③④由方程④，得⑤將⑤代入③，得⑤解這個(gè)一元一次方程，得將代入⑤，得所以，原方程的解為知識(shí)點(diǎn)2

整體代入消元例2知識(shí)點(diǎn)2

整體代入消元(1)當(dāng)方程組中的二元一次方程為ax+by+c=k時(shí)，一般先將方程化為ax+by=k-c的形式.(2)當(dāng)相同未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，我們常用整體代入法會(huì)使解法更加快捷簡便！1.已知3x-y=7,則用含x的代數(shù)式表示y為___________,用含y的代數(shù)式表示x為____________.2.解方程組的最佳方案是（）②①A.由方程①，得,再代入②

B.由方程②，得,再代入①

C.由方程①，得,再代入②

D.由方程①，得,再代入②

y=3x-73.已知方程組

的解x與y的值相等，則k=___

.解析：由題意可知x與y的值相等，即x=y.可將其代入方程2x+3y=5中，解得x=1.而后將x=y代入4x-3y=k中，整理，得x=k.即k=x=1.4.若

，則x=___

,y=＿＿.1解析：根據(jù)絕對值的非負(fù)性可列出方程組解這個(gè)方程組，得1-15.已知和都是方程mx+ny=7的解，求3m+2n的值.解：將和代入方程mx+ny=7中，得②①由方程②，得③將③代入②，整理得③解得將代入③，得

二元一次方程組一元一次方程轉(zhuǎn)化代入消元法變形代入消元代入求值寫解整體代入6.3二元一次方程組的應(yīng)用

課時(shí)1七下數(shù)學(xué)JJ第六章

二元一次方程組1.掌握構(gòu)建二元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題的基本步驟.2.通過探究實(shí)際問題,進(jìn)一步體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,發(fā)展模型觀念.3.在運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程中，提高分析問題與解決問題的能力，形成應(yīng)用意識(shí).3月12日是我國的植樹節(jié).這一天，某校七年級共有240名學(xué)生參加義務(wù)植樹活動(dòng).如果平均每人每天挖樹坑6個(gè)或植樹10棵，那么怎樣安排學(xué)生才能使這一天挖出的樹坑全部栽上樹苗？問題1在上面的問題中，找出兩個(gè)等量關(guān)系.(1)挖樹坑的人數(shù)+植樹的人數(shù)=240;(2)挖樹坑的人數(shù)×6=植樹的人數(shù)×10.問題2設(shè)每天安排x名學(xué)生挖樹坑，y名學(xué)生植樹，那么列出的二元一次方程組是怎樣的？知識(shí)點(diǎn)1

配套問題

問題3

請?jiān)囍?中所列的二元一次方程組.你與小明的解答一樣嗎？

將①變形為x=240-y.③將③代入②，得6（240-y）=10y.解這個(gè)方程，得y=90.將y=90代入①，得x=150.所以，方程組的解為

答：每天安排150名學(xué)生挖樹坑，90名學(xué)生植樹，才能使這一天挖出的樹坑全部栽上樹苗.知識(shí)點(diǎn)1

配套問題例1

某車間有工人660名，生產(chǎn)甲、乙兩種零件.已知每人每天平均生產(chǎn)甲種零件14個(gè)或乙種零件20個(gè)，1個(gè)甲種零件與2個(gè)乙種零件為一套.如何調(diào)配人員可使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套?分析：本題中的等量關(guān)系是：生產(chǎn)甲種零件的工人數(shù)+生產(chǎn)乙種零件的工人數(shù)=660；甲種零件個(gè)數(shù)×2=乙種零件個(gè)數(shù).1.審審清題意及題目中的等量關(guān)系；2.找審清題意及題目中的等量關(guān)系；已知：車間工人數(shù)及每人每天的工作效率；未知：人員如何調(diào)配.知識(shí)點(diǎn)1

配套問題答：設(shè)安排275人生產(chǎn)甲種零件，385人生產(chǎn)乙種零件，可使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套..解：設(shè)安排x人生產(chǎn)甲種零件，y人生產(chǎn)乙種零件，可使每天生產(chǎn)的兩種零件剛好配套.3.設(shè)設(shè)未知數(shù)；根據(jù)題意，得.4.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程組；解這個(gè)方程組，得5.解解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；寫出答案.6.檢驗(yàn)檢驗(yàn)解的正確性與合理性；7.答

知識(shí)點(diǎn)1

配套問題大家談?wù)動(dòng)枚淮畏匠探M解決實(shí)際問題一般有哪些步驟？請與同學(xué)交流你的想法.實(shí)際問題尋找適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系建立二元一次方程組解二元一次方程組檢驗(yàn)實(shí)際問題的解知識(shí)點(diǎn)1

配套問題用二元一次方程組解決實(shí)際問題的步驟：(1)審題并找相等關(guān)系：弄清題意和題目中的_________；(2)設(shè)元：用______表示題目中的未知數(shù)；(3)列方程組：根據(jù)___個(gè)等量關(guān)系列出方程組；(4)解方程組：利用___

_____法或

解出未知數(shù)的值；(5)檢驗(yàn)并答：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，然后作答.數(shù)量關(guān)系字母2代入消元加減消元法知識(shí)點(diǎn)1

配套問題變式練習(xí)：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母.1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺釘和螺母的工人各多少名？分析：將題中出現(xiàn)的量在表格中呈現(xiàn)產(chǎn)品類型所需人數(shù)生產(chǎn)總量螺釘x螺母y螺母總產(chǎn)量是螺釘?shù)?倍人數(shù)和為22人1200x2000y知識(shí)點(diǎn)1

配套問題解：設(shè)生產(chǎn)螺釘?shù)挠衳人，生產(chǎn)螺母的有y人.依題意，可列方程組：解方程組，得

答：生產(chǎn)螺釘?shù)挠?0人，生產(chǎn)螺母的有12人.解決配套問題要弄清：（1）每套產(chǎn)品中各部分的比例；（2）生產(chǎn)各部分的工人數(shù)之和=工人總數(shù).知識(shí)點(diǎn)1

配套問題例2

一塊金與銀的合金重250g，放在水中稱，減輕了16g.已知金在水中稱，金重減輕；銀在水中稱，銀重減輕.求這塊合金中含金、銀各多少克.解:設(shè)這塊合金中含金為x克，含銀為y

克.根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：這塊合金中含金190克，銀60克.知識(shí)點(diǎn)2

和、差、倍、分問題變式練習(xí)：某市舉辦中學(xué)生足球比賽，規(guī)定勝一場得3分，平一場得1分.市第二中學(xué)足球隊(duì)比賽11場，沒有輸過一場，共得27分，試問該隊(duì)勝幾場，平幾場？分析：題中的未知量有勝的場數(shù)和平的場數(shù)，等量關(guān)系有：勝的場數(shù)+平的場數(shù)=11；勝場得分+平場得分=27.勝場平場合計(jì)場數(shù)得分x3xyy1127知識(shí)點(diǎn)2

和、差、倍、分問題解：設(shè)市第二中學(xué)足球隊(duì)勝x場，平y(tǒng)場.依題意可得8y3xy3答：該市第二中學(xué)足球隊(duì)勝8場，平3場.x知識(shí)點(diǎn)2

和、差、倍、分問題1.小洪買了80分與60分郵票共17枚，花了12.2元.試問：80分與60分郵票各買了多少枚？解：設(shè)小洪買80分的郵票共x枚,買60分郵票共y枚，根據(jù)題意有解得答：小洪買80分的郵票共10枚，買60分的郵票共7枚.2.某星期日，七年級與八年級分別有20，30人去頤和園參觀，有30，15人去圓明園參觀.七年級買門票花去450元，八年級買門票花去525元.試問：頤和園和圓明園的門票各多少元？解：設(shè)頤和園門票為x元，園明園門票為y元，根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：頤和園門票為15元，園明園門票為5元.隔壁聽到人分銀，不知人數(shù)不知銀。每人五兩多六兩，每人六兩少五兩。多少人數(shù)多少銀？解：設(shè)有x個(gè)人，y兩銀，由題意得：

5x+6=y,6x-5=y.3.古有一捕快，一天晚上他在野外的一個(gè)茅屋里，聽到外邊來了一群人在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個(gè)聲音，下面有這一古詩為證：解得：

x=11,

y=61.答：有11個(gè)人，61兩銀.4.一個(gè)工廠共42名工人,每個(gè)工人平均每小時(shí)生產(chǎn)圓形鐵片120片或長方形鐵片80片.已知兩片圓形鐵片與一片長方形鐵片可以組成一個(gè)圓柱形密封的鐵桶.你認(rèn)為如何安排工人的生產(chǎn),才能使每天生產(chǎn)的鐵片正好配套?解：設(shè)生產(chǎn)圓形鐵片的工人有x人，生產(chǎn)長方形鐵片的工人有y人，根據(jù)題意列出方程組得

答：生產(chǎn)圓形鐵片的工人有24人，生產(chǎn)長方形鐵片的工人有18人.列方程組解決問題一般步驟：審、找、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答關(guān)鍵：找等量關(guān)系6.3二元一次方程組的應(yīng)用

課時(shí)2七下數(shù)學(xué)JJ第六章

二元一次方程組1.掌握構(gòu)建二元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問題的基本步驟.2.通過探究實(shí)際問題,進(jìn)一步體會(huì)方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型,發(fā)展模型觀念.3.在運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問題的過程中，提高分析問題與解決問題的能力，形成應(yīng)用意識(shí).二元一次方程組的前世今生“方程”:

我國:漢

鄭玄

“解九數(shù)”《九章算術(shù)》

第八卷

“方程”

13世紀(jì)

“立天元一為某某”(“設(shè)x為某某”)西方:古巴比倫人

古希臘人

拉T文oequation英文equation亞歷山大里亞時(shí)期

丟番圖

《算術(shù)》“元”:表示未知數(shù)

我國宋元時(shí)期的天元術(shù).李冶

《測圓海鏡》和《益古演段》、朱世杰《算學(xué)啟蒙》和((四元玉鑒)).清末

李善蘭

和偉烈亞力

譯英國數(shù)學(xué)家德摩根

《代數(shù)學(xué)》

創(chuàng)用“多元一次方程”這樣的術(shù)語現(xiàn)代:二元一次方程組的重要應(yīng)用例1

我國高速鐵路飛速發(fā)展，為了解“復(fù)興號(hào)”列車的長度和行駛速度，小明所在的學(xué)習(xí)小組開展了一次課外探究活動(dòng).他們分工合作，在一架3150m長的鐵路橋附近進(jìn)行了觀察、測量和計(jì)算:“復(fù)興號(hào)”列車從開始上橋到完全過橋的時(shí)間約為42.5s,列車完全在橋上的時(shí)間約為32.5s.你能根據(jù)該小組同學(xué)獲得的數(shù)據(jù)，求出“復(fù)興號(hào)”列車過橋時(shí)的速度和列車的長度嗎?知識(shí)點(diǎn)1

行程問題列車42.5s內(nèi)所行路程=橋長+車長列車32.5s內(nèi)所行路程=橋長-車長知識(shí)點(diǎn)1

行程問題思考：(1)問題中涉及了哪些量？(2)畫示意圖，并尋找等量關(guān)系.(3)用x、y分別表示火車的速度(m/s)和長度(m)，列方程組.(4)解答上面的問題.知識(shí)點(diǎn)1

行程問題

例2

小華從家里到學(xué)校的路是一段平路和一段下坡路.假設(shè)他始終保持平路每分鐘走60m，下坡路每分鐘走80m，上坡路每分鐘走40m，則他從家里到學(xué)校需10min，從學(xué)校到家里需15min.問小華家離學(xué)校多遠(yuǎn)？知識(shí)點(diǎn)1

行程問題分析：小華到學(xué)校的路分成兩段，一段為平路，一段為下坡路.平路：60m/min下坡路：80m/min上坡路：40m/min走平路的時(shí)間+走下坡的時(shí)間=________，走上坡的時(shí)間+走平路的時(shí)間=_______．路程=平均速度×?xí)r間1015知識(shí)點(diǎn)1

行程問題方法一（直接設(shè)元法）平路時(shí)間坡路時(shí)間總時(shí)間上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華家到學(xué)校平路長xm，下坡長ym.根據(jù)題意，可列方程組：解方程組，得所以，小華家到學(xué)校的距離為700m.知識(shí)點(diǎn)1

行程問題方法二（間接設(shè)元法）平路距離坡路距離上學(xué)放學(xué)解：設(shè)小華下坡路所花時(shí)間為

xmin,上坡路所花時(shí)間為

ymin.

所以，小華家到學(xué)校的距離為700m.故平路距離：60×（10-5）=300（m）.

坡路距離：80×5=400（m）.知識(shí)點(diǎn)1

行程問題變式練習(xí)

甲、乙兩地相距4km，以各自的速度同時(shí)出發(fā).如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，兩人0.5h后相遇.試問兩人的速度各是多少？分析：對于行程問題，一般可以借助示意圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，可以更加直觀的找到相等關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)1

行程問題（1）同時(shí)出發(fā)，同向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同時(shí)出發(fā)，相向而行甲出發(fā)點(diǎn)乙出發(fā)點(diǎn)4km相遇地甲0.5h

行程乙0.5h

行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km知識(shí)點(diǎn)1

行程問題解：設(shè)甲、乙的速度分別為xkm/h,ykm/h.根據(jù)題意與分析中圖示的兩個(gè)相等關(guān)系，得解方程組，得答：甲的速度為5km/h,乙的速度為3km/h.知識(shí)點(diǎn)1

行程問題例3

去年秋季，某校七年級和高中一年級招生總數(shù)為500名，計(jì)劃今年秋季七年級招生人數(shù)增加20%，高中一年級招生人數(shù)比去年增加15%，這樣，今年秋季七年級和高中一年級招生總數(shù)將比去年招生總數(shù)增加18%，今年秋季七年級和高中一年級各計(jì)劃招生多少名？今年，七年級人數(shù)+高中一年級人數(shù)=500(1+18%)；分析：本題中的等量關(guān)系去年，七年級人數(shù)+高中一年級人數(shù)=500；今年，七年級人數(shù)=去年七年級人數(shù)+增長數(shù)；今年，高中一年級人數(shù)=去年高中一年級人數(shù)+增長數(shù)；知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題解：設(shè)去年七年級招生x名，高中一年級招生y名.根據(jù)題意，得解得所以答：今年秋季七年級計(jì)劃招生360名，高中一年級計(jì)劃招生230名.如果將今年兩個(gè)年級計(jì)劃招生人數(shù)設(shè)為未知數(shù)，如何列方程組呢？知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題基本關(guān)系式：增長率＝（增長后的量－增長前的量）/增長前的量×100%；

相等關(guān)系：增長前的量×(1＋增長率)＝增長后的量；下降前的量×(1－降低率)＝下降后的量．【分析】設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元,總支出為y萬元,則有總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年今年(1+20﹪)x(1-10﹪)y780xy變式練習(xí)某工廠去年的利潤(總產(chǎn)值-總支出)為200萬元,今年總產(chǎn)值比去年增加了20％,總支出比去年減少了10％,今年的利潤為780萬元.去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元?知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題去年的總產(chǎn)值-去年的總支出=200萬元，

今年的總產(chǎn)值-今年的總支出=780萬元．分析關(guān)鍵:找出等量關(guān)系.今年的總支出=去年的總支出×(1-10%）今年的總產(chǎn)值=去年總產(chǎn)值×(1+20%）知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題解:設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元,總支出為y萬元,則有x-y=200，(1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780.因此,去年的總產(chǎn)值是2000萬元，總支出是1800萬元.解得x=2000，y=1800.知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題實(shí)際問題

設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程（組）

數(shù)學(xué)問題

[方程（組）]解方程（組）數(shù)學(xué)問題的解檢驗(yàn)實(shí)際問題的答案

知識(shí)點(diǎn)2

增長率問題1.甲、乙兩人賽跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，則甲跑4秒就可追上乙.設(shè)甲速為x米/秒，乙速為y米/秒，則可列方程組為(

)B

2.某食品廠要配制含蛋白質(zhì)15％的食品100kg，現(xiàn)在有含蛋白質(zhì)分別為20％，12％的甲乙兩種配料．用這兩種配料可以配制出所要求的食品嗎？如果可以的話，它們各需多少千克？分析本問題涉及的等量關(guān)系有：甲配料質(zhì)量+乙配料質(zhì)量=總質(zhì)量，甲配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量+乙配料含蛋白質(zhì)質(zhì)量=總蛋白質(zhì)質(zhì)量.解:設(shè)含蛋白質(zhì)20％的配料需用xkg，含蛋白質(zhì)12％的配料需用ykg.根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白質(zhì)20％的配料需用37.5kg，含蛋白質(zhì)12％的配料需用62.5kg.3.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲商品降價(jià)10％，乙商品提價(jià)40％,調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來的單價(jià)和提高了20％.求甲、乙兩種商品原來的單價(jià).解:設(shè)甲商品原來的單價(jià)為x元，乙商品原來的單價(jià)為y元.根據(jù)等量關(guān)系得解這個(gè)方程組得答：甲商品原來的單價(jià)為40元，乙商品原來的單價(jià)為60元.4.一班和二班共有100名學(xué)生,他們的體育達(dá)標(biāo)率(達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的百分率)為81﹪,如果一班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為87.5﹪,二班學(xué)生的體育達(dá)標(biāo)率為75﹪,那么一、二班的學(xué)生數(shù)各是多少?分析

設(shè)一、二班的學(xué)生數(shù)分別為x名，y名.則有下表.一班二班兩班總和學(xué)生數(shù)達(dá)標(biāo)學(xué)生數(shù)xy10087.5﹪x75﹪y81﹪×100解:設(shè)一、二班的學(xué)生數(shù)分別為x名，y名.根據(jù)題意,得解得答：一、二班的學(xué)生數(shù)分別為48名和52名.x+y=100，87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100.x=48,y=52.5.某業(yè)余運(yùn)動(dòng)員針對自行車和長跑項(xiàng)目進(jìn)行專項(xiàng)訓(xùn)練某次訓(xùn)練中，他騎自行車的平均速度為10m/s，跑步的平均速度為，自行車路段和長跑路段共5km，共用時(shí)15min．求自行車路段和長跑路段的長度．分析：本問題涉及的等量關(guān)系有：自行車路段長度+長跑路段長度=總路程，騎自行車的時(shí)間+長跑時(shí)間=總時(shí)間.解：設(shè)自行車路段的長度為xm，長跑路段的長度為ym.根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程組，得因此自行車路段的長度為3000m，長跑路段的長度為2000m．二元一次方程組的應(yīng)用增長率問題原量×（1+增長率）=增長后的量；原量×（1-減少率）=減少后的量.

行程問題設(shè)元方法:直接法,間接法和設(shè)輔助元.路程=速度×?xí)r間.第六章

二元一次方程組6.4三元一次方程組*七下數(shù)學(xué)JJ1.了解三元一次方程組及其解法，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化思想，并能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥?2.體會(huì)用三元一次方程組解決實(shí)際問題，進(jìn)一步提高模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

流氓兔比加菲貓大1歲流氓兔年齡的2倍加上米老鼠的年齡之和比加菲貓大18歲求三個(gè)小動(dòng)物的年齡三個(gè)小動(dòng)物年齡之和為26歲問題1題中有哪些未知量？你能找出哪些等量關(guān)系？未知量

流氓兔的年齡

加菲貓的年齡

米老鼠的年齡（1）流氓兔的年齡+加菲貓的年齡+米老鼠的年齡=26；（2）流氓兔的年齡-1=加菲貓的年齡；（3）2×流氓兔的年齡+米老鼠的年齡=加菲貓的年齡+18.等量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)1

三元一次方程（組）問題2你能用學(xué)過的知識(shí)計(jì)算出三個(gè)小動(dòng)物的年齡嗎？解：設(shè)流氓兔的年齡為x歲，加菲貓的年齡為y歲，則米老鼠的年齡為(26-x-y)歲.根據(jù)題意，得解得所以26-x-y=26-8-7=11.答：流氓兔的年齡為8歲，加菲貓的年齡為7歲，米老鼠的年齡為11歲.知識(shí)點(diǎn)1

三元一次方程（組）(1)流氓兔的年齡+加菲貓的年齡+米老鼠的年齡=26(2)流氓兔的年齡-1=加菲貓的年齡(3)2×流氓兔的年齡+米老鼠的年齡=加菲貓的年齡+18x+y+z=26.

x-1=y.

2x+z=y+18.

問題3若設(shè)三個(gè)未知數(shù)，如何列方程組呢？設(shè)流氓兔的年齡為x歲，加菲貓的年齡為y歲，米老鼠的年齡為z歲知識(shí)點(diǎn)1

三元一次方程（組）解：設(shè)流氓兔的年齡為x歲，加菲貓的年齡為y歲，米老鼠的年齡為z歲，根據(jù)題意，得想一想：對比我們學(xué)過的二元一次方程和二元一次方程組，這三個(gè)方程及組成的方程組有什么特點(diǎn)？知識(shí)點(diǎn)1

三元一次方程（組）

含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)以及每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程，叫作三元一次方程；含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)以及每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程組，叫作三元一次方程組.三元一次方程組中各方程的公共解，叫作這個(gè)三元一次方程組的解.知識(shí)點(diǎn)1

三元一次方程（組）

問題1

解二元一次方程組的基本思想是什么？問題2

解二元一次方程組的基本方法有哪些？問題3

解二元一次方程組的基本步驟是怎樣的？消元代入法加減法通過代入法或加減法進(jìn)行消元求未知數(shù)的值寫解知識(shí)點(diǎn)2

三元一次方程組的解法

能不能像以前一樣“消元”，把“三元”化成“二元”呢？怎樣下面的方程組呢？解：由方程②得x=y+1.④

把④分別代入①③得

2y+z=22.⑤3y-z=18.⑥

解由⑤⑥組成的二元一次方程組，得

y=8，z=6.

把y=8代入④，得x=9.

所以原方程組的解是x=9,y=8,z=6.知識(shí)點(diǎn)2

三元一次方程組的解法解：③+①，消去z之后，得方程組②×2+⑤，得5x=45，解得

x=9，y=8，將x=9，y=8代入①得z=6，所以原方程組的解是⑤②x=9,y=8,z=6.例1

解方程組①②③解：由①，得z=x-4.④將④分別代入②③，得⑤⑥解這個(gè)二元一次方程組，得將x=4代入由①，得z=0.所以,原方程組的解為知識(shí)點(diǎn)2

三元一次方程組的解法

解三元一次方程組的基本思路是：通過“代入”或“加減”進(jìn)行

，把

轉(zhuǎn)化為

，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解

，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解

.三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元消元“三元”“二元”二元一次方程組一元一次方程知識(shí)點(diǎn)2

三元一次方程組的解法變式練習(xí)

在等式

y=ax2＋bx＋c中，當(dāng)x=－1時(shí)，y=0；當(dāng)x=2時(shí)，y=3；當(dāng)x=5時(shí)，y=60.求a，b，c的值.解:根據(jù)題意，得三元一次方程組a－b＋c=0，①4a＋2b＋c=3，②25a＋5b＋c=60.③②－①，得

a＋b=1.④③－①，得4a＋b=10.⑤④與⑤組成二元一次方程組a＋b=1，4a＋b=10.a=3，b=-2.解這個(gè)方程組，得把代入①，得a=3，b=-2c=-5,a=3，b=-2，c=-5.因此知識(shí)點(diǎn)2

三元一次方程組的解法例2

幼兒營養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中要求每一個(gè)幼兒每天所需的營養(yǎng)量中應(yīng)包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素.現(xiàn)有一批營養(yǎng)師根據(jù)上面的標(biāo)準(zhǔn)給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A，B，C三種食物，下表給出的是每份（50g)食物A，B，C分別所含的鐵、鈣和維生素的量.（單位）你能計(jì)算出配餐中三種食物的份數(shù)嗎？食物鐵鈣維生素A5205B51015C10105

分析：(1)如果設(shè)食譜中A，B，C三種食物各為x，y，z份，請列出方程組，使得A，B，C三種食物中所含的營養(yǎng)量剛好滿足嬰兒營養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中的要求.（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的A，B，C的份數(shù).知識(shí)點(diǎn)3

三元一次方程組的應(yīng)用食物鐵鈣維生素A5205B51015C10105

例2

幼兒營養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)中要求每一個(gè)幼兒每天所需的營養(yǎng)量中應(yīng)包含35單位的鐵、70單位的鈣和35單位的維生素.現(xiàn)有一批營養(yǎng)師根據(jù)上面的標(biāo)準(zhǔn)給幼兒園小朋友們配餐，其中包含A，B，C三種食物，下表給出的是每份（50g)食物A，B，C分別所含的鐵、鈣和維生素的量.（單位）你能計(jì)算出配餐中三種食物的份數(shù)嗎？知識(shí)點(diǎn)3

三元一次方程組的應(yīng)用變式練習(xí)

已知小明與爸爸、媽媽的年齡之和為108歲，爸爸比媽媽大2歲，小明與媽媽的年齡之和比爸爸大12歲.它們的年齡分別是多少？(1)本題中有幾個(gè)等量關(guān)系？請你分別表示出來.爸爸的年齡+媽媽的年齡+小明的年齡=108歲；爸爸的年齡-2=媽媽的年齡；小明的年齡+媽媽的年齡=爸爸的年齡+12.知識(shí)點(diǎn)3

三元一次方程組的應(yīng)用(2)如果設(shè)爸爸的年齡為x歲，媽媽的年齡為y歲，小明的年齡是z歲，請列出方程組并解這個(gè)方程組.解這個(gè)方程組，得答：爸爸的年齡為48歲，媽媽的年齡為46歲，小明的年齡是14歲.解:根據(jù)題意，得知識(shí)點(diǎn)3

三元一次方程組的應(yīng)用1.下列方程組中，是三元一次方程組的是()A.B.C.D.D2.解方程組時(shí)，最好先消去()BA.xB.yC.zD.都可以3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，則x＋y＋z的值為（）A.2B.3C.4D.5D4.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．解：因?yàn)槿齻€(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，所以每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.可得方程組解得解：設(shè)原三位數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z.

由題意，得解得

答：原三位數(shù)是368.

三元一次方程組概念解法含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組，叫做三元一次方程組.通過消元，將“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”，再將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，通過求一元一次方程的解，進(jìn)而求得二元一次方程組的解，最后求得三元一次方程組的解.第七章相交線與平行線七下數(shù)學(xué)JJ7.1

命題課時(shí)11.了解命題、真命題和假命題的定義,結(jié)合具體實(shí)例，能區(qū)分命題的條件與結(jié)論.2.了解反例的作用,知道利用反例可以說明一個(gè)命題是假命題.

比較下列語句，想一想它們之間有什么共同點(diǎn)？(1)如果x=1是方程

x+3=m的解，那么

m=4.(2)兩個(gè)銳角之和是鈍角.(3)同角的余角相等.(4)兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.(5)負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)的差仍是負(fù)數(shù).(6)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù).都是對一件事情作出判斷的句子.能夠進(jìn)行肯定或者否定判斷的語句，叫作命題.例1 判斷下列語句是不是命題.(1)畫線段AB=2cm；(2)你喜歡畫畫嗎?(3)分?jǐn)?shù)一定是有理數(shù)；(4)同角的補(bǔ)角相等；(5)兩個(gè)銳角互余.不是.不是.是.是.是.易錯(cuò)提示：一個(gè)詞語、疑問句、感嘆句、祈使句以及表示畫圖的語句都不是命題.

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同特征？1.如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的乘積為1.2.如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等.3.如果兩個(gè)角的和等于180°，那么這兩個(gè)角互補(bǔ).4.如果|a|=1,那么a=1.

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念一般地，命題是由條件和結(jié)論兩部分組成.條件：是已知事項(xiàng)；結(jié)論：是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫懗伞叭绻?，那么……”的形式，

“如果”引出的部分是_____，“那么”引出的部分是_____.條件結(jié)論（1）如果AC=BC，那么C是線段AB的中點(diǎn).條件結(jié)論如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么這兩個(gè)角相等.（2）同角的余角相等.條件結(jié)論例2

指出下列命題中的條件和結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念命題的題設(shè)和結(jié)論不明顯，怎么辦？（1）正方形的對邊相等.（2）連接A，B兩點(diǎn).（3）相等的兩個(gè)角是銳角.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，則∠CBD=90°.（5）同角的補(bǔ)角相等.做一做下列各語句中，哪些是命題，哪些不是命題？是命題的，請你先將它改寫為“如果······那么······”的形式，再指出命題的條件和結(jié)論.是是是

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念是不是（1）正方形的對邊相等.如果一個(gè)四邊形是正方形，那么它的對邊相等.條件：一個(gè)四邊形是正方形，結(jié)論：它的對邊相等.（3）相等的兩個(gè)角是銳角.如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是銳角.條件：兩個(gè)角相等，結(jié)論：這兩個(gè)角是銳角.

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念（5）同角的補(bǔ)角相等.如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.條件：兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，結(jié)論：這兩個(gè)角相等.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，則∠CBD=90°.如果∠ABC=40°，∠ABD=50°，那么∠CBD=90°.條件：∠ABC=40°，∠ABD=50°，結(jié)論：∠CBD=90°.

知識(shí)點(diǎn)1

命題的相關(guān)概念（1）正方形的對邊相等.（2）連接A，B兩點(diǎn).（3）相等的兩個(gè)角是銳角.（4）已知∠ABC=40°，∠ABD=50°，則∠CBD=90°.（5）同角的補(bǔ)角相等.做一做下列各語句中，哪些是命題，哪些不是命題？是命題的，請你將先將它改寫為“如果······那么······”的形式，再指出命題的條件和結(jié)論.是是是是

知識(shí)點(diǎn)2

真命題、假命題、反例上面的語句中，（1）（3）（4）（5）是命題，且（1）（5）是正確的命題.我們把正確