神奇的莫比烏斯帶學(xué)習(xí)目標(biāo)1.動手操作，驗(yàn)證交流，經(jīng)歷探索和認(rèn)識莫比烏斯帶的過程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。2.在動手操作、對比探索中認(rèn)識莫比烏斯帶，學(xué)會將長方形紙條制作成莫比烏斯帶，初步體會莫比烏斯帶的特征。3.在數(shù)學(xué)活動中經(jīng)歷猜想與探索的過程，感受莫比烏斯帶魔術(shù)般的神奇變化，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心。建議課時數(shù)1課時。教師在理解教科書意圖的基礎(chǔ)上，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對課時進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。編寫說明莫比烏斯帶是德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發(fā)現(xiàn)的，即：把一根紙條一頭扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來做成紙環(huán)，這個紙環(huán)具有魔術(shù)般的性質(zhì)。一般常見的紙環(huán)具有內(nèi)側(cè)的面和外側(cè)的面兩個面（即雙側(cè)曲面），兩個面可以分別涂成不同的顏色。而這樣的紙環(huán)只有一個面（即單側(cè)曲面），沿著面涂顏色最后涂成的是一種顏色。這樣的神奇的單面紙環(huán)后來就用數(shù)學(xué)家莫比烏斯的姓命名為“莫比烏斯帶”，也叫“莫比烏斯圈”?！澳葹跛箮А彪m然屬于“拓?fù)鋵W(xué)”的內(nèi)容，但這個內(nèi)容是一個激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、拓展數(shù)學(xué)視野的好題材，對學(xué)生來說具有可操作性、趣味性和挑戰(zhàn)性等特點(diǎn)，因此教科書將此內(nèi)容安排為“數(shù)學(xué)好玩”的內(nèi)容，目的是讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)學(xué)的無窮魅力，拓展數(shù)學(xué)視野，進(jìn)一步激發(fā)好奇心和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。當(dāng)然，對于小學(xué)生來說，主要是讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動初步認(rèn)識和體會其特征，體會數(shù)學(xué)的無窮魅力，不需要掌握雙側(cè)曲面、單側(cè)曲面等知識?！澳葹跛箮А庇泻芏嘤腥さ?、奇妙的特征，如“只有一個面”“只有一條邊”“沿中間線剪開后不是兩個紙環(huán)，而是一個大的紙環(huán)”等，會給學(xué)生的思維帶來一定的沖擊（如，明明原來是兩個面，怎么會變成一個面了呢），學(xué)生會感覺到有點(diǎn)難以理解和有點(diǎn)“神奇”。為了幫助學(xué)生認(rèn)識“莫比烏斯帶”并體會其特征，教科書采用讓學(xué)生用一般常見的紙環(huán)與“莫比烏斯帶”比較的辦法，設(shè)計了一系列操作實(shí)踐活動，讓學(xué)生在活動中觀察、猜測、比較、驗(yàn)證、思考、發(fā)現(xiàn)，直觀感受“莫比烏斯帶”的神奇，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，拓展數(shù)學(xué)思維?！ひ粋€紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過紙環(huán)的邊緣，它能吃到面包屑嗎？這個活動是讓學(xué)生了解一般的紙環(huán)都有兩個面。為了讓學(xué)生在比較中認(rèn)識“莫比烏斯帶”，教科書先讓學(xué)生了解一般的紙環(huán)的特點(diǎn)，讓學(xué)生觀察、思考，發(fā)現(xiàn)“在這樣的紙環(huán)上，螞蟻不爬過紙環(huán)的邊緣，無法吃到面包屑”，因?yàn)椤懊姘荚诶锩妫浵佋谕饷妗?，即這樣的紙環(huán)有兩個面?！ぷ鲆蛔?，想一想。先用一張長方形紙條如左下圖那樣扭一下，再把兩端粘上，得到如右下圖的紙環(huán)。在這個紙環(huán)上作個標(biāo)記表示面包屑，想一想，小螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)能吃到面包屑嗎？這個活動是讓學(xué)生學(xué)習(xí)制作“莫比烏斯帶”，并初步體會莫比烏斯帶的特征。教科書中，首先是讓學(xué)生用長方形紙條制作“莫比烏斯帶”，對于“紙條一頭扭一下，再接起來”的過程教師可以作一定的指導(dǎo)、示范。制作完成后，讓學(xué)生進(jìn)一步猜測、操作、探索、體驗(yàn)特征，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“不管面包屑在什么地方，螞蟻順著面爬就能吃到，也就是不必爬過邊緣就能吃到”，初步感受真是一個“神奇的紙環(huán)”?！し謩e在普通紙環(huán)和“神奇的紙環(huán)”上各取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始涂色，不能翻過邊緣一直涂下去，你發(fā)現(xiàn)了什么？這個活動是讓學(xué)生在對比中進(jìn)一步體會“這個神奇的紙環(huán)只有一個面”的特征，涂色活動是讓學(xué)生體驗(yàn)特征的一種簡便可行的方式。教科書繼續(xù)采用一般的紙環(huán)和神奇的紙環(huán)比較的方式，讓學(xué)生分別給兩個紙環(huán)涂顏色，發(fā)現(xiàn)一般的紙環(huán)涂到只有一面的顏色（另外一面涂不到），而神奇的紙環(huán)無論從哪里開始涂都是把所有的地方都涂到了，從而體會神奇的紙環(huán)實(shí)際上“只有一個面”?！ぴ偃蓮堥L方形紙條，每張長方形紙條中間畫一條虛線（如圖），再分別做成一個普通紙環(huán)和一個“神奇的紙環(huán)”。用剪刀沿紙條上的虛線剪開，你又發(fā)現(xiàn)了什么？這個活動是讓學(xué)生繼續(xù)開展研究活動，在對比中發(fā)現(xiàn)“莫比烏斯帶”“沿中間的一條線剪開后，成了一個大的紙環(huán)”等特征，進(jìn)一步體會莫比烏斯帶的神奇，并揭示莫比烏斯帶的名稱和來歷。教科書首先設(shè)計了一個對比活動，讓學(xué)生分別將一個一般的紙環(huán)和一個神奇的紙環(huán)沿中間的一條線剪開，發(fā)現(xiàn)一般的紙環(huán)變成了兩個窄一點(diǎn)的紙環(huán)，但神奇的紙環(huán)卻沒有分成兩個圈，而變成了一個窄一點(diǎn)的大的紙環(huán)（注意這個大的紙環(huán)已不是莫比烏斯帶了），讓學(xué)生進(jìn)一步體會莫比烏斯帶的神奇之處。在學(xué)生充分活動體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，揭示莫比烏斯帶的名稱和來歷：是由數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的，并用他的姓來命名的。最后，教科書引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究莫比烏斯帶，會發(fā)現(xiàn)更多有趣的奇妙的現(xiàn)象和規(guī)律，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。如可以制作一個莫比烏斯帶，畫兩條線平分成三份，沿線剪開，可以發(fā)現(xiàn)“剪開后是兩個套在一起的紙環(huán)，其中一個是窄一點(diǎn)的大的紙環(huán)（不是莫比烏斯帶），另一個窄一點(diǎn)的小的紙環(huán)（這個仍是莫比烏斯帶，是原來分成三份中的中間部分形成的）。如果平分成四份，可以發(fā)現(xiàn)“剪開后，是兩個大的套在一起的紙環(huán)（都不是莫比烏斯帶）”，等等，莫比烏斯帶還有很多奇妙的特征。教學(xué)建議課前，教師要準(zhǔn)備好或讓學(xué)生準(zhǔn)備好一些學(xué)習(xí)材料：每位學(xué)生若干張紙條（一般6條左右），剪刀，固體膠（膠帶紙）、水彩筆等，以在開展活動時使用。本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的展開方式，我們有兩種建議。第一，對于自主學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的班級，教師可以把學(xué)習(xí)任務(wù)直接交給學(xué)生，即由學(xué)生根據(jù)教科書的問題串，直接通過小組合作的方式探索任務(wù)的結(jié)果。第二，對于自主學(xué)習(xí)能力一般的班級，建議參考如下活動建議。活動可以讓每個學(xué)生獨(dú)立開展操作活動，也可以同桌兩人為一組進(jìn)行?！ひ粋€紙環(huán)的內(nèi)側(cè)有一點(diǎn)面包屑，外面有一只螞蟻。如果不讓螞蟻爬過紙環(huán)的邊緣，它能吃到面包屑嗎？建議先讓學(xué)生自己獨(dú)立做一個紙環(huán)，并在紙環(huán)內(nèi)側(cè)標(biāo)上記號表示面包屑，教師再呈現(xiàn)情境圖，提出問題：“外面的一只螞蟻如果不翻過紙環(huán)的邊緣，能吃到面包屑嗎？”讓學(xué)生在自己做的紙環(huán)上模擬思考，再組織交流。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這樣的紙環(huán)有兩個面（內(nèi)側(cè)的面、外側(cè)的面，或者簡單地說里面、外面），所以不翻過邊緣，螞蟻無法吃到面包屑?！ぷ鲆蛔?，想一想。先用一張長方形紙條如左下圖那樣扭一下，再把兩端粘上，得到如右下圖的紙環(huán)。在這個紙環(huán)上作個標(biāo)記表示面包屑，想一想，小螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)能吃到面包屑嗎？教學(xué)時，建議教師先進(jìn)行莫比烏斯帶的制作的示范、指導(dǎo)，特別是扭的方法需要指導(dǎo)（實(shí)際就是把紙條的一頭兩個面扭轉(zhuǎn)一下，再把兩頭接起來，就成了一個特別的神奇的紙環(huán)），然后讓學(xué)生每人親自動手制作一個神奇的紙環(huán)（即莫比烏斯帶）。為了讓學(xué)生更好地感受“原來有兩個面的紙條，一頭扭轉(zhuǎn)后接起來的紙環(huán)只有一個面”的特點(diǎn)，這個活動中可以用正反面顏色不同的紙條或在白紙的一個面涂上顏色。學(xué)生制作完成后，讓學(xué)生在這個紙環(huán)的一個地方標(biāo)上記號表示面包屑，一個地方標(biāo)記表示螞蟻，引導(dǎo)學(xué)生思考“從點(diǎn)A出發(fā)，不翻過邊緣能吃到面包屑嗎”，可以讓學(xué)生在自己做的紙環(huán)上模擬操作或者畫線、思考，再組織交流，還可以讓學(xué)生改變面包屑的位置，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個紙環(huán)很神奇，即“不管面包屑在什么地方，螞蟻順著面爬就能吃到，也就是不必爬過邊緣就能吃到”，也就是“螞蟻不翻過任何一處的紙的邊緣，卻能爬到紙表面的每一個地方”。學(xué)生總結(jié)交流后，還可以引導(dǎo)學(xué)生與前面的紙環(huán)進(jìn)行比較，為什么前面這個一般的紙環(huán)吃不到面包屑，而這個神奇的紙環(huán)能吃到面包屑，初步體會“神奇的紙環(huán)只有一個面”的特征。·分別在普通紙環(huán)和“神奇的紙環(huán)”上各取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始涂色，不能翻過邊緣一直涂下去，你發(fā)現(xiàn)了什么？教學(xué)時，建議先讓學(xué)生按教科書要求分別開展涂色活動，然后說說有什么發(fā)現(xiàn)，在充分的活動后發(fā)現(xiàn)和體會“神奇的紙環(huán)只有一個面”的特征。在充分體驗(yàn)“只有一個面”的基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生去觀察研究“是不是只有一條邊呢”，可以在邊上作個記號，然后用手沿著邊往前，最后發(fā)現(xiàn)回到了原點(diǎn)，進(jìn)一步體驗(yàn)這個紙環(huán)（莫比烏斯帶）的神奇?！ぴ偃蓮堥L方形紙條，每張長方形紙條中間畫一條虛線（如圖），再分別做成一個普通紙環(huán)和一個“神奇的紙環(huán)”。用剪刀沿紙條上的虛線剪開，你又發(fā)現(xiàn)了什么？教學(xué)時，建議先讓學(xué)生按教科書要求在兩張紙條中間分別畫一條線，平分成兩部分，然后分別制作成一個一般的紙環(huán)和一個神奇的紙環(huán)。然后，讓學(xué)生先猜一猜“如果把兩個紙環(huán)分別沿線剪開，會剪成什么樣子呢”。在學(xué)生猜測的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生動手操作，驗(yàn)證自己的猜想，發(fā)現(xiàn)神奇的紙環(huán)“剪開后沒有分成兩個圈，而變成了一個窄一點(diǎn)的大的紙環(huán)”，交流中體會這個紙環(huán)的“神奇”。在此基礎(chǔ)上，教師可以小結(jié)一下已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的“只有一個面”“剪開后沒有一分為二，而變成了一個窄一點(diǎn)的大的紙環(huán)”等奇妙的特征，并讓學(xué)生介紹“莫比烏斯帶”的名稱及其來歷。最后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步開展研究活動，將莫比烏斯帶平分成三份、四份，先猜一猜會剪成什么樣子，再剪開，進(jìn)一步探索和感受莫比烏斯帶的“神奇”，體會數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。教師還可以在網(wǎng)絡(luò)上收集莫比烏斯帶相關(guān)的資料與圖片，向?qū)W生介紹一些莫比烏斯帶的應(yīng)用，如用皮帶傳送的動力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了；還有莫比烏斯圈原理制成的莫比烏斯爬梯、中國科技館“三葉扭結(jié)”、過山車、克萊因瓶等，讓學(xué)生直觀地感受了它的作用，深刻體會了“數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活?！边M(jìn)一步激發(fā)學(xué)生探求數(shù)學(xué)知識的欲望。交織與連續(xù)——莫比烏斯帶在設(shè)計中的運(yùn)用莫比烏斯帶是一種拓?fù)鋱D形①，它是由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯于1858年發(fā)現(xiàn)的。一個扭轉(zhuǎn)180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術(shù)般的性質(zhì)：普通紙帶具有兩個面——正面和反面，而莫比烏斯帶只有一個面——單側(cè)曲面。也就是說，一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必路過它的邊緣。人們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的紙帶稱為“莫比烏斯帶”（Mobiusstrip，圖1）。它在每個局部上都有兩個面，但對于整體來說卻是一個無限的交織與連續(xù)。莫比烏斯帶還可以出更多的拓?fù)湓煨停缛~扭結(jié)等（圖2）。圖1圖2莫比烏斯帶不止是一個數(shù)學(xué)概念，它作為一個極富趣味與意義的主題，還被運(yùn)用在鞋子、家具及標(biāo)志等各種設(shè)計領(lǐng)域。最為著名的產(chǎn)品設(shè)計是UnitedNude設(shè)計公司的一款名為莫比烏斯的概念鞋，整只鞋從鞋底、鞋跟、鞋床到鞋幫都由一整條帶狀皮革環(huán)繞而成，產(chǎn)生了有___________________________________________________________________________①拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的一些性質(zhì)，它們在圖形被彎曲、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點(diǎn)重合為同一個點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)。換句話說，這種交換的條件是：在原來圖形的點(diǎn)與變換圖形的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn)。這樣的變換叫作拓?fù)渥儞Q。兩個普通鞋跟的高度，卻沒有傳統(tǒng)鞋跟的奇妙效果（圖3）。圖3莫比烏斯帶的正反兩個界面具有同一性，而把這種內(nèi)與外邊界的模糊性映射到建筑中，就產(chǎn)生了用一種材料連續(xù)環(huán)繞而形成建筑的頂面、墻面與地面的設(shè)計手法，使得梁、柱、墻與屋頂構(gòu)件同一化，室內(nèi)與室外空間概念模糊起來。圖4日本建筑師遠(yuǎn)藤秀平設(shè)計的位于日本兵庫縣播磨公園內(nèi)的彈性建筑B（SpringtectureB）美國建筑理論大師彼得·埃森曼在萊因哈特大樓（TheMaxReinhardtHaus）設(shè)計中運(yùn)用了莫比烏斯帶特有的“回旋”特性，來表達(dá)都市的多變與多元的“自我回旋”。他在這個設(shè)計中，先建立一個斷面，接著讓斷面配合莫比烏斯帶的路徑進(jìn)行回旋，直到最后又回到原點(diǎn)（圖5）。由此生成的空間多變、充滿非理性，不僅墻面與地面不再垂直，而且在整個空間的設(shè)計上也沒有了以往