第08講函數(shù)的應(yīng)用【知識點總結(jié)】一、函數(shù)的零點對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.二、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.三、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.六、已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)的零點個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】因為函數(shù)y＝2x，y＝x3在R上均為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在R上為增函數(shù)，又f(0)＜0，f（2）＞0，故函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，2)內(nèi)只有一個零點．故選：A.例2．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點為（）A．0或 B．0 C． D．0或【答案】A【詳解】因為函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個零點是2，所以b＝－2a，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．故選：A例3．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為（）A． B．，0 C． D．0【答案】D【詳解】函數(shù)當時，令，解得當時，令，解得（舍去）綜上函數(shù)的零點為0.故選：D.例4．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間內(nèi)（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：解不等式得或，所以函數(shù)的定義域為，因為，，，，，所以，所以根據(jù)零點的存在性定理得在區(qū)間上必有零點，所以函數(shù)的零點一定位于區(qū)間內(nèi).故選：C例5．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是（）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【答案】D【詳解】當a＝0時，f（x）＝1與x軸無交點，不合題意，所以a≠0；函數(shù)f（x）＝3ax＋1－2a在區(qū)間（－1，1）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故選：D.例6．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為函數(shù)僅有一個零點，所以與圖像只有一個交點.對于，求導(dǎo)得.令，得或.所以當時單調(diào)遞增；當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增.所以當時函數(shù)有極大值，當時函數(shù)有極小值.作與的圖像如下圖所示.由圖可知，當與圖像只有一個交點時，或，即或.故選:D例7．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示：x10.50.750.6250.56250.63210.27760.0897那么函數(shù)的一個零點近似值（精確度為0.1）為（）A．0.45 B．0.57 C．0.78 D．0.89【答案】B【詳解】根據(jù)給的數(shù)據(jù)知道方程的根在區(qū)間內(nèi)，所以近似解為0.57故選：B例8．（2022·全國·模擬預(yù)測）在藥物代謝動力學中，注射藥物后瞬時藥物濃度（單位：）與時間（單位：）的關(guān)系式為，其中為時的藥物濃度，為常數(shù).已知給某患者注射某劑量為的藥物后，測得不同時間藥物濃度如下：1.02.0109.7880.35則該藥物的的值大約為（）A．0.287 B．0.312 C．0.323 D．0.356【答案】B【詳解】由題得，，兩式相除得，所以.故選：B.【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)經(jīng)過點，則函數(shù)的零點是（）A．0，2 B．0， C．0， D．2，【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化條件為，解方程即可得解.【詳解】函數(shù)經(jīng)過點，，∴，∴，令，則所以函數(shù)的零點是0和．故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的零點是（）A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義，令，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，解得，即函數(shù)的零點為.故選：C.3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點為（）A． B．，0 C． D．0【答案】D【分析】函數(shù)的零點，即令分段求解即可.【詳解】函數(shù)當時，令，解得當時，令，解得（舍去）綜上函數(shù)的零點為0故選：D．【點睛】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，考查分段函數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題.4．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點之和為（）A．-1 B．1 C．-2 D．2【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分別求得零點，結(jié)合對數(shù)式運算即可求得零點之和.【詳解】函數(shù)當時，，設(shè)其零點為，則滿足，解得；當時，，設(shè)其零點為，則滿足，解得；所以零點之和為故選:A.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的簡單應(yīng)用，函數(shù)零點的定義，對數(shù)式的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】在同一坐標系中，作出指數(shù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在零點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】如圖所示：指數(shù)函數(shù)，沒有零點，有唯一的零點，所以若函數(shù)存在零點，須有零點，即，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則實數(shù)根的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由解出或，根據(jù)解析式分別求出當和時的值，即可判斷實數(shù)根的個數(shù).【詳解】做出圖像如下：或，①若時，⑴當，或，符合題意；⑵當，，符合題意；②若,綜上：共有3個實數(shù)根．故選：B．7．（2022·全國·高三專題練習（文））已知是函數(shù)的一個零點，若，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個零點為是函數(shù)與的交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則是函數(shù)與的交點的橫坐標，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，則當時，在下方，即；當時，在上方，即，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想8．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，且部分對應(yīng)值表如下：123451.43.55.4－5.5－6.7則方程必存在有根的一個區(qū)間是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，且，，所以，根據(jù)零點存在性定理可得函數(shù)必定存在零點位于區(qū)間，故方程必存在有根的一個區(qū)間是，故選：C.9．（2022·全國·高三專題練習）用二分法求方程的近似解時，可以取的一個區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，借助零點存在性定理即可得解.【詳解】，令，在上單調(diào)遞增，并且圖象連續(xù)，，，在區(qū)間內(nèi)有零點，所以可以取的一個區(qū)間是.故選：B10．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，則下列區(qū)間中，的零點所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】計算，得出，根據(jù)零點存在定理可得選項.【詳解】由函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)所在零點的區(qū)間為，故選：C.11．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點存在定理得出，代入可得選項.【詳解】由題可知：函數(shù)單調(diào)遞增，若一個零點在區(qū)間內(nèi)，則需：，即，解得，故選：C.【點睛】本題考查零點存在定理，屬于基礎(chǔ)題.12．（2022·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)的零點位于區(qū)間，上，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用零點存在定理求得整數(shù)的值，進而可求得的值.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞減，又因為，，由零點存在定理可知，函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則.所以．故選：D.【點睛】本題考查利用零點存在定理求參數(shù)值，同時也考查指數(shù)式與對數(shù)式的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為為增函數(shù)，故代入?yún)^(qū)間端點逐個計算，左負右正即可.【詳解】因為、為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，且，，，，根據(jù)零點存在性定理知的零點在區(qū)間內(nèi).故選：B14．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】因為為開口向上的拋物線，且對稱軸為，在區(qū)間（－1，1）上有兩個不同的零點，所以，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：B15．（2022·江蘇·高三專題練習）若函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在定理進行列不等式方程組，進而求解即可【詳解】函數(shù)的兩個零點，根據(jù)題意有，，解得故選：C16．（2022·全國·高三專題練習（理））若關(guān)于x的方程有實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令（），則原方程等價于關(guān)于的一元二次方程在上有解，分離，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求值域即可.【詳解】解：令（），則原方程等價于在上有解.則a＝﹣﹣4＝﹣（t+）﹣4，因為t+≥4，所以﹣﹣4≤﹣8．當且僅當t＝2，即x＝時取等號．所以a的范圍為（﹣∞，﹣8]．故選：D.【點睛】思路點睛：本題考查有關(guān)二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的問題，先換元轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題，然后再根據(jù)有解問題進行參變分離解題.17．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)()的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表:x00.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法,方程的近似解(精確度0.05)可能是（）A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066【答案】C【分析】按照二分法的方法流程進行計算，根據(jù)的符號確定根所在的區(qū)間，當區(qū)間長度小于或等于0.05時，只需從該區(qū)間上任取一個數(shù)即可．【詳解】在上單調(diào)遞增.設(shè)近似值為，由表格有，所以故選：C【點睛】本題考查了二分法求近似根的解法步驟，在解題時要注意先判斷該解區(qū)間是否單調(diào)，然后再進行計算，此類題計算量較大，要避免計算錯誤．屬于基礎(chǔ)題.18．（2022·浙江·高三專題練習）某學校開展研究性學習活動，某同學獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出散點圖，結(jié)合圖形可得出合適的函數(shù)模型.【詳解】在直角坐標系中畫出這幾對數(shù)據(jù)的散點圖，觀察圖形的變化趨勢，這幾個點在變化趨勢上是在第一象限單調(diào)遞增，遞增的速度比較快，排除B、C兩個選項，當時，不符合A選項．故選：D.19．（2022·浙江·高三專題練習）某食品的保鮮時間y（單位：小時）與儲存溫度x（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0的保鮮時間是192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是（）A．16小時 B．20小時 C．24小時 D．28小時【答案】C【分析】根據(jù)食品在0的保鮮時間是192小時，在22的保鮮時間是48小時，求出k、b，然后再將x＝33代入即可得出答案.【詳解】解：由題意，得，即，于是當x＝33時，＝24(小時).故選：C.20．（2022·全國·高三專題練習）“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內(nèi)最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構(gòu)造了一個經(jīng)過時間（單位：天），增加總分數(shù)（單位：分）的函數(shù)模型：，為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且．現(xiàn)有某學生在高考前天的最后一次模考總分為分，依據(jù)此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為（）（）A．分 B．分 C．分 D．分【答案】B【分析】由可求得，將，，代入中，可求得增加分數(shù)，由此可得結(jié)果.【詳解】由題意得：，；，該學生在高考中可能取得的總分約為分.故選：B.21．（2022·全國·高三專題練習）為了研究疫情有關(guān)指標的變化，現(xiàn)有學者給出了如下的模型：假定初始時刻的病例數(shù)為N0，平均每個病人可傳染給K個人，平均每個病人可以直接傳染給其他人的時間為L天，在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨時間t(單位：天)的關(guān)系式為N(t)=N0(1+K)t，若N0=2，K=2.4，則利用此模型預(yù)測第5天的病例數(shù)大約為（）(參考數(shù)據(jù)：log1.4454≈18，log2.4454≈7，log3.4454≈5)A．260 B．580 C．910 D．1200【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】，因為，所以，所以.故選：C二、多選題22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則下列區(qū)間中含零點的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】計算出各端點處的函數(shù)值，若兩端一正一負即可判斷出存在零點.【詳解】，，，，，根據(jù)零點的存在性定理可知和存在零點.故選：AD.【點睛】本題考查零點的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題.23．（2022·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)m可以是（）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線恰有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得解.【詳解】因為函數(shù)恰有2個零點，所以函數(shù)的圖象與直線恰有兩個交點，畫出函數(shù)的圖象如圖：由圖可知，或，結(jié)合選項，因此可以為-1，0，1．故選：ABC．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、填空題24．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的零點在區(qū)間上，則k的值為___________.【答案】3【分析】利用零點存在性定理即可得到答案.【詳解】易知函數(shù)在其定義域（1，+∞）上連續(xù)不斷，而，，則函數(shù)的零點在區(qū)間（3，4）上，故k=3.故答案為：3.25．（2022·全國·高三專題練習（文））已知直線與曲線有四個交點，則a的取值范圍是___________．【答案】【分析】直線與曲線有四個交點等價于方程有四個解，即直線與函數(shù)的圖象有四個交點，借助圖形求解即得.【詳解】直線與曲線有四個交點等價于方程，即有四個解，等價于直線與函數(shù)的圖象有四個交點，在同一坐標系中，畫出它們的圖象，如圖，觀察圖象可知，當且僅當時，直線與函數(shù)圖象有四個交點，所以a的取值范圍是：.故答案為：26．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是___________.【答案】(0，1)【分析】畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】作出函數(shù)y＝f(x)與y＝k的圖象，如圖所示，由圖可知k∈(0，1).故答案為：27．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f（x）=（x-2）2-lnx的零點個數(shù)為______．【答案】2【分析】令，得到，將等號左