復(fù)習(xí)課第1頁(yè)第五章統(tǒng)計(jì)量及其分布

§5.1

總體與樣本§5.2

樣本數(shù)據(jù)整理與顯示§5.3

統(tǒng)計(jì)量及其分布§5.4

三大抽樣分布§5.5

充分統(tǒng)計(jì)量

第2頁(yè)樣本均值分布

設(shè)

X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體樣本，是樣本均值，則有第3頁(yè)

樣本方差分布設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自正態(tài)總體樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有n取不一樣值時(shí)分布第4頁(yè)

設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有第5頁(yè)例1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來(lái)自總體X和Ys.r.s,則證實(shí)：故，且與獨(dú)立,所以第6頁(yè)例2解第7頁(yè)第8頁(yè)例3第9頁(yè)解第10頁(yè)例4

設(shè)x1,x2,…,xn是取自總體U(0,

)樣本，即總體密度函數(shù)為p(x;

)=1/

,0

x

0,其它于是樣本聯(lián)合密度函數(shù)為第11頁(yè)取T=x(n)，并令g(t;

)=(1/

)nI

t

,h(x)=1，由因子分解定理知T=x(n)

是

充分統(tǒng)計(jì)量。p(x1;

)…p(xn;

)=0,其它

(1/

)n,0minximaxxi

因?yàn)橹Txi0，所以我們可將上式改寫為p(x1;

)…p(xn;

)=(1/

)nI

x(n)

第12頁(yè)練習(xí)：

設(shè)x1,x2,…,xn是來(lái)自泊松分布P(

)一個(gè)樣本,證實(shí)是充分統(tǒng)計(jì)量。第13頁(yè)取T(x)=

xi,

h(x)=P(X=x)=[

T(x)e-n]h(x)由因子分解定理，T(x)=

xi是

充分統(tǒng)計(jì)量。則上式可改寫為第14頁(yè)§6.1

點(diǎn)預(yù)計(jì)幾個(gè)方法§6.2

點(diǎn)預(yù)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)§6.5

區(qū)間預(yù)計(jì)第六章參數(shù)預(yù)計(jì)第15頁(yè)點(diǎn)預(yù)計(jì)幾個(gè)方法

替換原理和矩法預(yù)計(jì)

替換原理是指用樣本矩及其函數(shù)去替換對(duì)應(yīng)總體矩及其函數(shù)，譬如：用樣本均值預(yù)計(jì)總體均值E(X)，即；用樣本方差預(yù)計(jì)總體方差Var(X)，即用樣本p分位數(shù)預(yù)計(jì)總體p分位數(shù).第16頁(yè)矩法預(yù)計(jì)基本思想：用樣本矩代替母體矩即從中解出.第17頁(yè)例5

x1,x2,

…,xn是來(lái)自(a,b)上均勻分布U(a,b)樣本，a與b均是未知參數(shù)，這里k=2，因?yàn)椴浑y推出由此即可得到a,b矩預(yù)計(jì)：第18頁(yè)解：練習(xí)第19頁(yè)極大似然預(yù)計(jì)關(guān)鍵點(diǎn)

X1,X2,…,Xn出現(xiàn)可能性：(1)離散場(chǎng)所：(2)連續(xù)場(chǎng)所：稱以上L為似然函數(shù)。第20頁(yè)例6

求泊松分布中參數(shù)l最大似然預(yù)計(jì).解已知總體x概率函數(shù)為第21頁(yè)泊松分布(續(xù))第22頁(yè)例7：指數(shù)分布已知x1,x2,...,xn為x一組樣本觀察值,求q最大似然預(yù)計(jì).第23頁(yè)解似然函數(shù)第24頁(yè)解

似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為練習(xí)：

設(shè)X1,X2,…Xn是取自總體X一個(gè)樣本求

θ

最大似然預(yù)計(jì)值.其中

θ

>0,第25頁(yè)求導(dǎo)并令其為0=0從中解得即為

θ

最大似然預(yù)計(jì)值.對(duì)數(shù)似然函數(shù)為第26頁(yè)

1、相合性（大樣本角度）

2、無(wú)偏性（從期望角度） 3、有效性（從方差角度） 4、均方誤差準(zhǔn)則（角度）點(diǎn)預(yù)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

第27頁(yè)

解似然函數(shù)要使L(θ)到達(dá)最大，即1/θn盡可能大，所以θ取值應(yīng)盡可能小，但θ不能小于X(n)，由此給出θ極大似然預(yù)計(jì)：例8設(shè)x1,x2

,

…,xn是來(lái)自均勻總體U(0,

)樣本，證實(shí)

極大似然預(yù)計(jì)是相合預(yù)計(jì)。

第28頁(yè)由次序統(tǒng)計(jì)量分布，我們知道x(n)分布密度函數(shù)為p(y)=nyn-1/θn,y<

,

故有

故X(n)是

相合預(yù)計(jì)。第29頁(yè)例9對(duì)均勻總體U(0,

)，由

極大似然預(yù)計(jì)得到無(wú)偏預(yù)計(jì)是，它均方誤差

現(xiàn)我們考慮θ形如預(yù)計(jì)，其均方差為

用求導(dǎo)方法不難求出當(dāng)時(shí)上述均方誤差到達(dá)最小，且其均方誤差

所以在均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下，有偏預(yù)計(jì)優(yōu)于無(wú)偏預(yù)計(jì)。第30頁(yè)正態(tài)總體未知參數(shù)置信區(qū)間共分四種情況：(1)

已知，

置信區(qū)間(2)

未知，

置信區(qū)間(3)

已知，

2置信區(qū)間(4)

未知，

2置信區(qū)間第31頁(yè)例10設(shè)總體X~N(

,0.92)，X1,X2,…,X9

為X一個(gè)樣本，樣本均值為5，求

95%置信區(qū)間。解

因?yàn)?/p>

1

置信區(qū)間為所以由u0.975

=1.96，得4.412,5.588,所求置信區(qū)間為(4.412，5.588)第32頁(yè)

2未知時(shí)

置信區(qū)間

這時(shí)可用t統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)?，所以t能夠用來(lái)作為樞軸量。完全類似于上一小節(jié)，可得到

1-

置信區(qū)間為

此處是

2無(wú)偏預(yù)計(jì)。第33頁(yè)例11假設(shè)輪胎壽命服從正態(tài)分布。為預(yù)計(jì)某種輪胎平均壽命，現(xiàn)隨機(jī)地抽12只輪胎試用，測(cè)得它們壽命（單位：萬(wàn)公里）以下：4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70此處正態(tài)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，可使用t分布求均值置信區(qū)間。經(jīng)計(jì)算有=4.7092，s2=0.0615。取

=0.05，查表知t0.975(11)=2.，于是平均壽命0.95置信區(qū)間為（單位：萬(wàn)公里）第34頁(yè)正態(tài)總體參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)

參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)常見(jiàn)有三種基本形式(1)(2)(3)第35頁(yè)(1)關(guān)于

，2巳知用u檢驗(yàn)iii)H0：

=

0

H1：

0

i)H0：

0

H1：

>

0

ii)H0：

0

H1：

<

0

拒絕域?yàn)?/p>

W3

={|u|≥

u1

/2}拒絕域?yàn)?/p>

W1

=

{u≥

u1

}拒絕域?yàn)?/p>

W2

=

{u≤

u

}第36頁(yè)二、

未知時(shí)t檢驗(yàn)因?yàn)?/p>

未知，一個(gè)自然想法是將（7.2.4）中未知

替換成樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，這就形成t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(7.2.9)三種假設(shè)檢驗(yàn)拒絕域分別為第37頁(yè)例7.2.2

某廠生產(chǎn)某種鋁材長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其均值設(shè)定為240厘米?，F(xiàn)從該廠抽取5件產(chǎn)品，測(cè)得其長(zhǎng)度為（單位：厘米）239.7239.6239240239.2試判斷該廠這類鋁材長(zhǎng)度是否滿足設(shè)定要求？

解：這是一個(gè)關(guān)于正態(tài)均值雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題。采取t檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)?第38頁(yè)現(xiàn)由樣本計(jì)算得到:t==2.7951因?yàn)?.7951>2.776，故拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該廠生產(chǎn)鋁材長(zhǎng)度不滿足設(shè)定要求。

若取

=0.05，則t0.975(4)=2.776.故第39頁(yè)單個(gè)正態(tài)總體方差檢驗(yàn)

設(shè)

是來(lái)自

樣本，對(duì)方差亦可考慮以下三個(gè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

通常假定

未知，它們采取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是第40頁(yè)相同，均為

若取顯著性水平為

，則對(duì)應(yīng)三個(gè)檢驗(yàn)問(wèn)題拒絕域依次分別為第41頁(yè)1000位高中生性別與色盲調(diào)查數(shù)據(jù)男53565女38218性別視覺(jué)正常色盲第42頁(yè)解：用A表示性別情況，它有兩個(gè)水平：表示

性別為男，

表示性別為女；B表示視覺(jué)情況,