新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)11/41第十單元幾何證實(shí)選講22/41知識(shí)體系33/41考綱解讀1.了解平行線截割定理，會(huì)證實(shí)并應(yīng)用直角三角形射影定理.2.會(huì)證實(shí)并應(yīng)用圓周角定理、圓切線判定定理及性質(zhì)定理.3.會(huì)證實(shí)并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.4.了解平行投影含義，經(jīng)過圓柱與平面位置關(guān)系，了解平行投影；會(huì)證平面與圓柱面截線是橢圓（特殊情形是圓）.44/415.了解下面定理：定理:在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點(diǎn)O，其夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(當(dāng)π與l平行時(shí)，記β=0)，則：(1)β>α,平面π與圓錐交線為橢圓；(2)β=α,平面π與圓錐交線為拋物線;(3)β<α,平面π與圓錐交線為雙曲線.55/416.會(huì)利用丹迪林(Dandelin)雙球（這兩個(gè)球位于圓錐內(nèi)部，一個(gè)位于平面π上方，一個(gè)位于平面下方，而且與平面π及圓錐均相切）證實(shí)上述定理（1）情況.7.會(huì)證實(shí)以下結(jié)論：(1)在6.中，一個(gè)丹迪林球與圓錐面交線為一個(gè)圓，并與圓錐底面平行，記這個(gè)圓所在平面為π′；66/41（2）假如平面π與平面π′交線為m,在5.(1)中橢圓上任取一點(diǎn)A，該丹迪林球與平面π切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F距離與點(diǎn)A到直線m距離比是小于1常數(shù)e(稱點(diǎn)F為這個(gè)橢圓焦點(diǎn)，直線m為橢圓準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率).8.了解定理5.(3)中證實(shí)，了解當(dāng)β無限靠近α?xí)r，平面π極限結(jié)果.77/41第67講相同三角形判定與性質(zhì)88/411.了解相同三角形定義，掌握相同三角形三個(gè)判定定理證實(shí)方法.2.了解平行線分線段成百分比定理.3.了解并掌握直角三角形射影定理.99/411.如圖，在△ABC中，MN∥DE∥BC,若AE∶EC=7∶3,則DB∶AB值為

.3:10因?yàn)?=,所以==,所以DB∶AB=3∶10.1010/412.兩個(gè)相同三角形周長分別是4和9，則兩個(gè)三角形面積比是

.16∶81因?yàn)?===,所以=()2=.1111/413.如圖，CD是直角三角形ABC斜邊上高，則圖中相同三角形有

對(duì).31212/414.如圖，已知點(diǎn)A、D在直線BC上射影分別為B、C，點(diǎn)E為線段AD中點(diǎn)，則BE與CE大小關(guān)系為

.BE=CE過點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則AB∥EF∥CD.因?yàn)镋為AD中點(diǎn)，所以F為BC中點(diǎn),所以EF是BC中垂線，則BE=CE.1313/415.在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，過C作CE⊥BD于E，則BE=

.由直角三角形射影定理可知BC2=BE·BD,所以BE==.1414/416.如圖，已知DE∥BC,且BF∶EF=4∶3，則AC∶AE=

.4∶3因?yàn)镈E∥BC，所以DEF∽△CBF，所以BF∶EF=BC∶DE=4∶3.又因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以AC∶AE=BC∶DE=4∶3.1515/411.平行線等分線段定理(1)定理：假如一組平行線在一條直線上截得線段相等，那么在其它直線上截得線段也①

.(2)推論1：x經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行直線必②

第三邊.(3)經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)，且與底邊平行直線③

另一腰.相等平分平分1616/412.平行線分線段成百分比定理及推論三條平行線截任意兩條直線，所截出④

成百分比.推論：平行于三角形一邊直線截其它兩邊(或兩邊延長線),所得⑤

成百分比.3.相同三角形定義對(duì)應(yīng)角⑥

,對(duì)應(yīng)邊⑦

兩個(gè)三角形叫做兩個(gè)相同三角形.對(duì)應(yīng)線段對(duì)應(yīng)線段相等成百分比1717/414.相同三角形判定判定定理1:兩角對(duì)應(yīng)⑧

兩個(gè)三角形相同.判定定理2:兩邊對(duì)應(yīng)⑨

,而且夾角⑩

兩個(gè)三角形相同.判定定理3:三邊對(duì)應(yīng)

兩個(gè)三角形相同.5.相同三角形性質(zhì)(1)相同三角形對(duì)應(yīng)邊上高、中線和對(duì)應(yīng)角平分線比都等于

.相等成百分比相等11成百分比12相同比1818/41(2)相同三角形周長比等于

.(3)相同三角形面積比等于

.6.直角三角形射影定理直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上射影和斜邊

;斜邊上高是兩條直角邊在斜邊上射影

.13相同比14相同比平方15百分比中項(xiàng)16百分比中項(xiàng)1919/41題型一平行線分線段成百分比問題例1如圖,已知AB∥EF∥CD,若AB=6cm,CD=9cm,則EF=

.因?yàn)锽C是△ABC與△DBC公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相同三角形可求EF.2020/41在△ABC中,因?yàn)镋F∥AB,所以=.在△DBC中,因?yàn)镋F∥CD,所以=.兩式相加,得+=+=1,所以+=1,故EF=cm.由證實(shí)過程我們發(fā)覺，本題能夠有以下普通結(jié)論：+=.2121/41如右圖,平行四邊形ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，OE交BC于E，交AB延長線于F，若AB=a,BC=b,BF=c,則BE=

.本題所給出已知線段AB、BC、BF位置分散，應(yīng)設(shè)法利用平行四邊形等量關(guān)系，經(jīng)過作輔助線將長度已知線段“集中”到一個(gè)可解圖形中來.為此,過O作OG∥BC，交AB于G，結(jié)構(gòu)△BEF∽△GOF求解.2222/41過O作OG∥BC，交AB于G，顯然OG是△ABC中位線，所以O(shè)G=BC=b,GB=AB=a.在△GOF中,BE∥OG,所以△BEF∽△GOF,所以=,即BE=·GO==.處理平面幾何問題時(shí),當(dāng)條件較分散時(shí),可適當(dāng)添作輔助線,使得分散條件適當(dāng)集中.2323/41題型二直角三角形射影定理及應(yīng)用例2已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC⊥BD，垂足為E,∠ABC=45°，過E作AD垂線交AD于F,交BC于G，過E作AD平行線交AB于H.求證：FG2=AF·DF+BG·CG+AH·BH.2424/41由射影定理可知AF·DF=EF2,BG·CG=EG2,故考慮將FG=FE+EG,然后只需尋找EF·EG與AH·BH關(guān)系.因?yàn)锳C⊥BD,故△AED、△BEC都是直角三角形.又EF⊥AD,EG⊥BC,由射影定理可知AF·DF=EF2,BG·CG=EG2.2525/41又FG2=(FE+EG)2=FE2+EG2+2FE·EG=AF·DF+BG·CG+2FE·EG,因?yàn)椤螦BC=45°,分別過點(diǎn)A、H作直線與BC垂直，易知，AH=2FE,BH=2EG,故AH·BH=2EF·EG.所以FG2=AF·DF+BG·CG+2FE·EG=AF·DF+BG·CG+AH·BH.做平面幾何證實(shí)題時(shí)要分析待證實(shí)結(jié)論與已知條件關(guān)系，逐步消除差距.2626/41如圖,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證：AD3=BC·BE·CF.問題題設(shè)中含有直角三角形和斜邊上高，符合直角三角形射影定理兩個(gè)條件中，故考慮應(yīng)用射影定理求解.2727/41在Rt△ABC中，因?yàn)锳D⊥BC，所以AD2=BD·DC，且AD·BC=AB·AC.在Rt△ABD中和Rt△ADC中，因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，由射影定理，BD2=BE·BA，DC2=CF·AC,所以BD2·DC2=BE·BA·CF·AC

=BE·CF·AD·BC=AD4，所以AD3=BC·BE·CF.2828/41題型三相同三角形判定定理及性質(zhì)定理應(yīng)用例3如圖，在矩形ABCD中，AB>

AD，E為AD中點(diǎn)，EF⊥EC，且EF交AB于F，連接FC.設(shè)

=k，是否存在實(shí)數(shù)k值，使△AEF、△ECF、△DCE與△BCF都相似？若存在，給出證實(shí)；若不存在，請(qǐng)說明理由.2929/41要證實(shí)這四個(gè)三角形都相同，能夠逐次證實(shí)其中三角形相同，因?yàn)檫@些三角形都是直角三角形，所以只要證實(shí)兩個(gè)三角形有一組銳角相等或兩組對(duì)應(yīng)邊成百分比即可.假設(shè)存在實(shí)數(shù)k值，滿足題設(shè).①先證實(shí)△AEF∽△DCE∽△ECF.因?yàn)镋F⊥EC,所以∠AEF=90°-∠DEC=∠DCE.而∠A=∠D=90°，故△AEF∽△DCE.3030/41故得=,而DE=EA，所以=.又∠CEF=∠EAF=90°,所以△AEF∽△ECF.②再證實(shí)能夠取到實(shí)數(shù)k值，使△AEF∽△BCF.因?yàn)椤螦FE+∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE=∠BCF,所以要使△AEF∽△BCF,應(yīng)有∠AFE=∠BFC，3131/41此時(shí)，有=，但AE=BC，故得AF=BF=AB.由△AEF∽△DCE，可知=.所以，(BC)2=AB2，所以=，求得k==.能夠驗(yàn)證，當(dāng)k=時(shí)，這四個(gè)三角形都是有一個(gè)銳角等于60°直角三角形，故它們都相同.對(duì)于存在性問題，先假設(shè)其存在，再求解推理，若其解符合題意，則存在，不然不存在.3232/41(1)如圖甲，平行四邊形ABCD中，AE∶EB=1∶2，若△AEF面積為acm2，則△CDF面積等于

cm2.(2)如圖乙，在△ABC中，DE∥BC,

EF∥CD，且AB=2,AD=,則AF=

.19a3333/41(1)顯然△AEF∽△CDF.因?yàn)椤鰽EF面積為a，要求△DCF面積,利用相同三角形性質(zhì)即可；（2）因?yàn)轭}目給出了兩對(duì)平行線，求截得線段長，用平行線分線段成百分比定理可得.3434/41(1)因?yàn)锳E∥DC,所以△AEF∽△CDF,=()2=()2=()2=,所以S△CDF=9S△AEF=9a.(2)因?yàn)镋F∥CD,所以△AEF∽△ACD,故=.又因?yàn)镈E∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以=,所以=,即AF==1.△△平行線及其性質(zhì)利用，在解題、證題中是比較靈活，應(yīng)好好體會(huì).3535/411.相同三角形證法：①定義法：對(duì)應(yīng)邊成百分比，對(duì)應(yīng)角相等；②平行法；③判定定理法：用得最多是判定定理1，即兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相同；④對(duì)直角三角形除以上方法外，還有特殊方法，兩直角邊對(duì)應(yīng)成百分比，兩直角三角形相同；一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成百分比，兩直角三角形相同；斜邊上高分成兩直角三角形與原三角形相同.3636/412.相同三角形性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)邊成百分比，對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)高比、對(duì)應(yīng)中線比、對(duì)應(yīng)角平分線比、周長比都等于相同比，而面積比等于相同比平方；③相同三角形外接圓直徑比、周長比等于相同比，外接圓面積比等于相同比平方.利用這些關(guān)系能夠進(jìn)行各種證實(shí)、求值.3.在探究證實(shí)中