Chapter6

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的

區(qū)別.

2.會(huì)用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別3理解零向量、單位向

量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.

知識(shí)梳理梳理教材芬實(shí)基生

知識(shí)點(diǎn)一向量的概念

1.向量：既有大小又有左回的量限做向量.

2.數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量.

知識(shí)點(diǎn)二向量的幾何表示

1.有向線段

具有左向的線段叫做有向線段，它包含三個(gè)要素?：起點(diǎn)、左向、悵度，如圖所示.

以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作矗，線段AB的長(zhǎng)度叫做有向線段矗的長(zhǎng)度記作而

I.

2.向量的表示

(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向

表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑體b,c,書(shū)寫(xiě)時(shí)用了，葦，~c).

3.模、零向量、單位向量

向量場(chǎng)的大小，稱為向量油的長(zhǎng)度(或稱模),記作長(zhǎng)度為Q_的向量叫做零向量，記作0；

長(zhǎng)度等于L個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量.

思考”向量就是有向線段，有向線,段就是向量”的說(shuō)法對(duì)嗎？

答案錯(cuò)誤.理由是：①向量只有長(zhǎng)度和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要長(zhǎng)度和方向相同，

則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、長(zhǎng)度和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管

長(zhǎng)度和方向相同，也是不同的有向線段.

知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

（1）記法：向量。與方平行，記作

（2）規(guī)定：零向量與任意向量王任

2.相等向量：長(zhǎng)度魁且方向粗回的向量叫做相等向量.

3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量也叫做某線向量.

要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行和共線相混淆.

思考（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與任意向量都

平行的向量是什么向量？（4）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？

答案（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）平行（共線）向量.

■思考辨析判斷正誤■

1.如果以瓦＞1詼1,那么羸（x）

提示向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.

2.若出方都是單位向量，則a=b.（X）

提示。與b都是單位向量，則悶=步|=1,但。與b的方向可能不同.

3.力、速度和質(zhì)量都是向量.（X）

提示質(zhì)量不是向量.

4.零向量的大小為0,沒(méi)有方向.（X）

提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

-----------------------------------\----------

一、向量的概念

例1（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.向量油與向量函的長(zhǎng)度相等

B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同

C.零向量都是相等的

D.若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等

答案BCD

解析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同;

零向量的模都是0,但方向不確定；兩個(gè)單位向量也可能反向，則不相等，故B,C,D都

錯(cuò)誤，A正確.

反思感悟解決向量概念問(wèn)題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意方向問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練1下列說(shuō)法中正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的模可以比較大小

答案D

解析不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A,B不正確；向量的大小即為向量

的模，指的是有向線段的長(zhǎng)度，與方向無(wú)關(guān)，故C不正確；向量的模是一個(gè)數(shù)量，可以比較

大小，故D正確.

二、向量的幾何表示及應(yīng)用

例2一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50。

的方向走了200km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100km到達(dá)。點(diǎn).

（1）作出向量油，BC,CD；

⑵求而

解（1）向量施，應(yīng)?，必如圖所示.

（2）由題意，可知法與詼方向相反，故后與局）共線，

,??麗|=|函，

???在四邊形A8CO中，CO且48=CO,

???四邊形A8C。為平行四邊形，

：.AD=BC,，麗=|說(shuō)1=200km.

反思感悟作向量的方法

準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向

量的終點(diǎn).

跟蹤訓(xùn)練2在如圖的方格紙上，已知向量”，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)試以B為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b,使b=a；

(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使|。|=小，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？

解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量辦與向量。方向相同，且長(zhǎng)度相等(作圖略).

(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心，半徑為小的圓(作圖

略).

三、相等向量與共線向量

例3如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E,F,。分別是AC,AB.3C的中點(diǎn).

⑴寫(xiě)出與防洪線的向量；

(2)寫(xiě)出模與前的模相等的向量；

(3)寫(xiě)出與球相等的向量.

解(1)因?yàn)镋,尸分別是AC,A8的中點(diǎn)，

所以EF〃BC,EF=：BC.

又因?yàn)?。?c的中點(diǎn)，

所以與赤共線的向量有點(diǎn)，市,茄，DC,CD,BC,CB.

(2)模與譯的模相等的向量有成，麗，而，DC,CD.

(3)與濟(jì)相等的向量有加，CD.

反思感悟相等向量與共線向量的探求方法

(1)尋找相等向量：先找與表示已如向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些是同向共

線.

(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的

向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，O是正六邊形48CDE尸的中心.

B

DE

(1)與后的模相等的向量有多少個(gè)？

(2)是否存在與次長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？

(3)與后共線的向量有幾個(gè)？

解(1)與蘇的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如0B),而每一條線段可以有兩個(gè)向量，

所以這樣的向量共有23個(gè).

(2)存在.由正六邊形的性質(zhì)可知，BC//AO//EF,所以與后的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有

AO,0D,危，反;，共4個(gè).

(3)由(2)知，BC//OA//EF.線段。。，4。與0A在同一條直線上，所以與蘇共線的向量有

BC.CB,EF,FE,OD,DO,AD.DA,共9個(gè).

■核心素養(yǎng)之邏輯推理■

特殊向量的作用

典例給出下列命題：

①若。〃b,則。與〃的方向相同或相反；

②若?！Γ琤//ct則o〃c；

③若兩個(gè)模相等的向量互相平行，則這兩個(gè)向量相等；

④若a=b,b=c,則o=c,

其中正確的是.(填序號(hào))

答案④

解析由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任意向量平行，故取。=0,則對(duì)于任意的向

量從都有a//by知①錯(cuò)誤；取6=0,則對(duì)于任意的向量a,c都有a//b,b//c,知②錯(cuò)誤；

兩個(gè)模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③錯(cuò)誤；由兩個(gè)向量相等的概念可知④正確.

［素養(yǎng)提升］(1)本題主要考查相等向量，共線向量與零向量的概念，需要準(zhǔn)確理解概念進(jìn)行

推理，這正體現(xiàn)了教學(xué)中邏輯推理的核心素養(yǎng).

(2)特殊向量的性質(zhì)往往與一般向量有所不同，在解題中應(yīng)單獨(dú)加以臉證，不能混淆.

例如：零向量與任意向量平行，解題時(shí)要臉證取零向量時(shí)是否成立.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

1.在同一平面內(nèi)，把所有長(zhǎng)度為1的向量的起點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡

是（）

A.單位圓B.一段弧

C.線段D.直線

答案A

2.（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.共線的兩個(gè)單位向量相等

B.相等向量的起點(diǎn)相同

C.若初〃詼，則一定有直線

D.若向量詼共線，則點(diǎn)A,B,C,。必在同一直線上

答案ABCD

解析A錯(cuò)，共線的兩個(gè)單位向量的方向可能相反；B錯(cuò)，相等向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都可能不

相同；C錯(cuò)，直線AB與C?？赡苤睾?；D錯(cuò)，AB與8可能平行，則A,B,C,。四點(diǎn)不

共線.

3.若@|=|屐）|且函=詼，則四邊形A8CQ的形狀為（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案C

解析因?yàn)楹?詼，

所以四邊形A8CD為平行四邊形，

又位|=|廢兒即鄰邊相等，

所以四邊形48CZ）為菱形.

4.如圖所示，設(shè)。是正方形4BC0的中心，則下列結(jié)論正確的有.（填序號(hào)）

〃忘

③油與而共線；

?AO=BO.

答案①②③

解析43與無(wú)方向相同，長(zhǎng)度相等，.??①正確;

TA,O,。三點(diǎn)在一條直線上，

：.AO//AC,②正確：

9：AB//DC.???布與詼共線，③正確；

位）與反）方向不同，.??二者不相等，④錯(cuò)誤.

5.已知A,B,C是不共線的三點(diǎn)，向量機(jī)與向量B是平行向量，與冊(cè)是共線向量，則機(jī)=

答案0

解析后與正不共線，零向量的方向是任意的，它與任意向量平行，所以唯有零向量才能

同時(shí)與兩個(gè)不共線向量平行.

-課堂小結(jié)?

1.知識(shí)清單：

（1）向量的基本概念.

（2）向量的幾何表示.

（3）相等向量與共線向量（平行向量）.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視零向量這一特殊向量.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

----------------------N--------

V基礎(chǔ)鞏固

1.給出下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.

其中是向量的有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)

C.6個(gè)D.7個(gè)

答案A

解析速度、位移、力、加速度，這4個(gè)物理量是向量，它們都有大小和方向.

2.（多選）下列命題中錯(cuò)誤的有

A.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量

B.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)

C.向量。與b不共線，則。與力都是非零向量

D.若⑷＞步|,則3b

答案ABD

解析溫度沒(méi)有方向，所以不是向量，故A錯(cuò)；向量的模也可以為0,故B錯(cuò)；向量不可以

比較大小，故D錯(cuò)；若a,b中有一個(gè)為零向量，則。與b必共線，故若。與方不共線，則

應(yīng)均為非零向量，故C對(duì).

3.設(shè)。是△A8C的外心，則而，的，的是（）

A.相等向量B.模相等的向量

C.平行向量D.起點(diǎn)相同的向量

答案B

解析因?yàn)椤Ｊ恰鰽8C的外心，所以成|=|防|=|0|.

4.如圖所示，梯形為等腰梯形，則兩腰上的向量贏與比的關(guān)系是（）

\.AB=DCB.\AB\=\DQ

C.AB>DCDAB<DC

答案B

解析麗|與|的表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，故相等.

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a〃4則

B.若同=向，則a=b

C.若。=人則。與。共線

D.若aWb,則a一定不與b共線

答案C

解析A中，當(dāng)時(shí)，不能得到a=b,A不正確；B中，向量的模相等，但a與b的方

向不確定，B不正確；D中，a#b,a可與6共線.

6.若4地位于8地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對(duì)于8地

的位移的大小是km,方向是.

答案5^2西北方向

7.已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZA5C=60°,則|而尸.

答案2小

解析由題意知AC_L8D,且NABD=30。，

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)、為O,

???在RtZ\ABO中，|兩=|A^cos300=2X生=#,

???|而|=2|肋|=2小.

8.如圖，在菱形A8CO中，NB4O=120。，則以下說(shuō)法正確的是.（填序號(hào)）

①與初相等的向量只有1個(gè)（不含油）:

②與八的模相等的向量有9個(gè)（不含懿）;

③由）的模恰為肩的模的6倍；

④油與而不共線.

答案①②③

解析由于油=比,因此與后相等的向量只有比,而與后的模相等的向量有亦，皮，啟,

CB.AD,CD,CA,BC,BA,因此選項(xiàng)①?正確.而RtaAOO中，因?yàn)镹4OO=30。，所以

質(zhì)|=瑪面，故諭=小|麗，因此選項(xiàng)③正確.由于無(wú)=瓦因此訝與屈是共線的，故

填①②③.

9.如圖所示，在四邊形A8CD中，AB=DC,MM分別是AD,BC上的點(diǎn)，且比=局,求

證：DN=MB.

證明*：AB=DC,：,AB=DC且AB//DC,

.,.四邊形ABC。是平行四邊形，：,CB=DAt

又麗=宓，:.CN=MA,CN//MA,

???四邊形CN4M是平行四邊形，

：.CM=NA,:?CM=NA,CM//NA.

YCB=DA,CM=NA、:?MB=DN.

又ON〃加8,???赤與論的模相等且方向相同,

：.DN=MB.

10.一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30。方向行駛2千米到。地，然

后從D地沿北偏東60。方向行駛6千米到達(dá)C地，從C地又向南偏西30。方向行駛2千米才

到達(dá)8地.

北

西里

南

(1)畫(huà)出Ab,5c,CB,嘉：

(2)求B地相對(duì)于4地的位移.

解(1)向量而，DC,CB,祐如圖所示.

(2)由題意知病=比，

J.AD//BC,AD=BCt

則四邊形A8CO為平行四邊形,

：.AB=DCf則B地相對(duì)于4地的位移為“北偏東60。，長(zhǎng)度為6千米”.

力綜合運(yùn)用

11.如圖所示，四邊形4BCD,CEFG,CG“。是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是

()

A.\AB\=\EF]B.誦與前共線

C.而與麗共線D.CD=FG

答案C

12.在如圖所示的半圓中，4B為直徑，點(diǎn)。為圓心，C為半圓上一點(diǎn)，且NOCB=30。，\AB

|=2,則的=.

答案1

解析若接AC^\OC\=\OB\^rZABC=ZOCB=30°.又NAC8=90。.

則應(yīng)l=g而尸;X2=1.

13.已知在四邊形ABCD中，BC=AD^\Ah\=\Bb\=\BC\=2,則該四邊形內(nèi)切圓的面積是

答案?

解析由病=病知四邊形ABCQ為平行四邊形，由|Q|=|而|=|的知四邊形ABC。為菱

形，aABO為等邊三角形，故N48C=120。，菱形的內(nèi)切圓圓心。在對(duì)角線30的中點(diǎn)處,

令其半徑為r,則r=；|曲sin60。=坐所以S凰=兀/=7tX(^)2=￥

14.一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30km,這時(shí)接到求救信號(hào)，在巡邏艇的正東方向

40km處有一艘漁船拋錨需救助.試求：

(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)所航行的路程；

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到出事地點(diǎn)之間的位移.

解(1)如圖，由于路程不是向量，與方向無(wú)關(guān)，所以總的路程為巡邏艇兩次路程的和，即為

AB+8C=70(km).

A(港口)

(2)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點(diǎn)之間的位移是向量，不僅有大小而且有方向，因而大小為

瑟1=4而F+I的24

=50(km),由于sin/B4C=g,故方向?yàn)楸逼珫|/B4C,其中sinNBAC

4

51

g拓廣探究

15.設(shè)O是正方形48CQ對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED,OCF8都是正方形，在如圖所示的

向量中:

(1)分別找出與公，的相等的向量;

(2)找出與n共線的向量；

(3)找出與AO模相等的向量；

(4)向量危與&是否相等？

解(1麗=際，BO=AE.

(2)與公共線的向量有：和CO,DE.

(3)與n模相等的向量有：CO,6b,BO,BF,CF,AE,DE.

(4)向量AO與CO不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?

16.如圖的方格紙由若干個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成，方格紙中有兩個(gè)定點(diǎn)4,8.點(diǎn)。為小

正方形的頂點(diǎn)，且應(yīng)］=小.

廠廠廠丁.廠廠廠1

(1)畫(huà)出所有的向量就1；

(2)求|前1的最大值與最小值.

|的取得最小值412+22=小;

②當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)Cs或。6時(shí)，|反:取得最大值/得=的.

所以|的的最大值為"T,最小值為小.

6.2平面向量的運(yùn)算

6.2.1向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,

并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn)算3了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能

作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性.

知識(shí)梳理----------梳-理-教-材、夯-實(shí)-基-目

知識(shí)點(diǎn)一向量加法的定義及其運(yùn)算法則

1.向量加法的定義

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.

2,向量求和的法則

已知非零向量4,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作麗=4,BC

=b,則向量4c叫做。與〃的和，記作。+力，即a+b=

AB-\-BC=AC.

三角形法則這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

對(duì)于零向量與任意向量。，規(guī)定。+0=0+。=。

向量求和

的法則

以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量。，分為鄰邊作。

OACB,則以。為起點(diǎn)的對(duì)角線衣就是。與力的和.把這

平行四邊形種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的炫四邊娶法則

法則

O^~-----------

位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行

四邊形法則的物理模型.

思考|a+A|與⑷,步|有什么關(guān)系？

答案(1)當(dāng)向量。與力不共線時(shí)，。一方的方向與a,b不同，月.|a+切＜|a|+|例.(2)當(dāng)。與b同

向時(shí)，a+b,a,b同向，且m+b|=|a|+網(wǎng).(3)當(dāng)。與b反向時(shí)，若|°|＞步|,則的方向與

0相同,且|。+例=|。|一向；若⑷＜他|,則。+力的方向與方相同，且|。+力|=|例一⑷.

知識(shí)點(diǎn)二向量加法的運(yùn)算律

向量加法的運(yùn)算律

交換律a+b=b+a

結(jié)合律(a+b)+c=a+S+c)

-思考辨析判斷正誤匚

1.0+a=a+0=a.(V)

2.AB-^BC=AC.(J)

3感+麗=0.(V)

4.AB-^-BC＞AC.(X)

5.\AB\+\BC\=\AC\.(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

-------------------------------------------------N---------------

一、向量加法法則

例1(1)如圖①所示，求作向量。+兒

(2)如圖②所示，求作向量a+0+c.

解(1)首先作向量厲=。，然后作向量矗=瓦則向量為=。+"如圖③所示.

OAB

圖③

(2)方法一(三角形法則)如圖④/示，

首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o,作向量晶=°,再作向量油=兒則得向量然后作向

量成?=c,則向量公=(a+b)+c=a+b+c即為所求.

方法二(平行四邊形法貝()如圖⑤所示,

圖⑤

首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作向量況=a,OB=b,OC=c,

以04,08為鄰邊作00405,連接0。，

則應(yīng))=后+油=。+"

再以。。，0C為鄰邊作。OOEC,連接0E,

則成="+歷=a+b+c即為所求.

反思感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系

區(qū)別聯(lián)系

⑴首尾相接

三角形法則

(2)適用于任何向量求和三角形法則作出的圖形

(1)共起點(diǎn)是平行四邊形法則作出

平行四邊形法則(2)僅適用于不共線的兩個(gè)圖形的一半

向量求和

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，0為正六邊形48CDE尸的中心，化簡(jiǎn)下列向量.

(1)04+0(7=；(2)BC+FE=；(3)04+FE=.

答案⑴為⑵病(3)0

解析(1)因?yàn)樗倪呅?ABC是以04,0C為鄰邊的平行四邊形，08是其對(duì)角線，故后十

0C=0B.

(2)因?yàn)榉矗?崩，故詼+走與反:方向相同，長(zhǎng)度為詼的長(zhǎng)度的2倍，故詼+行=病.

(3)因?yàn)?5=匠，故后+匠=萬(wàn)!+歷=0.

二、向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用

例2化簡(jiǎn)：

(1阮+矗；(2)DB+cb+5C；(3)Afi+5r+cb+BC+M.

解⑴虎+麗=前+座=啟.

(2)DB+CDH-BC=BC+cb+5h

=(比+無(wú)+加=而+加=0.

(3)AB+5F+CD+BC+M

=AB+BC+CD+5F+M

=AC+CD+DF+FA

=AD+DF+M

=赤+前=0.

反思感悟向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則

(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算

的目的.實(shí)際上，由于向量的加法海足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任

意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行.

(2)應(yīng)用原則：通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整

向量相加的順序.

跟蹤訓(xùn)練2已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1,則|布+幼+冊(cè)+的=.

答案2啦

解析而+俞+證+的=麗+於+n+的=尼+而=2|而=2啦.

三、向量加法的實(shí)際應(yīng)用

例3河水自西向東流動(dòng)的速度為10km/h,小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的

速度為1即km/h,求小船的實(shí)際航行速度.

解設(shè)%b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)O作萬(wàn)1=。，08=

b,以晶，油為鄰邊作矩形。4C5,連接衣，如圖，則比=。+從并且沆即為小船的實(shí)際

航行速度.

：.\OC\="+肝="F+步F=20(knVh),

tanNAOC=嚕^=小，工/40c=60。,

，小船的實(shí)際航行速度為20km/h,沿北偏東30。的方向航行.

反思感悟應(yīng)用向量解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟

(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.

(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)

題.

(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子46上，N4CW=150。，

ZBCVV=120°,求A和B處所受力的大小.(繩子的重量忽略不計(jì))

解如圖所示，設(shè)無(wú)，才分別表示A,B所受的力，10N的重力用所表示，則徐+#=

CG.

由題意可得/ECG=180°-150°=30°,NFCG=180°-120°=60°.

/.|C￡l=|CG|cos30°

=10X坐=W5(N),

|CF|=|CG|cos60°

=10X1=5(N).

???A處所受的力為56N,B處所受的力為5N.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

-------------------------------------------------------------N------------------

1.化簡(jiǎn)無(wú)+A1)+筋等于()

\.DBB.G4C.CDD.DC

答案C

解析根據(jù)平面向量的加法運(yùn)算,

得無(wú)+病+函=4+而)+俞=/+Q)=麗.

2.下列等式不正確的是()

①a+(b+c)=(a+c)+b：

②筋+或=0；

③啟=5b+矗+詬.

A.②?B.②C.@D.③

答案B

解析②錯(cuò)誤，公+及=0,①③正確.

3.在四邊形488中，AC=AB+AD,貝lj()

A.四邊形ABCD一定是矩形

B.四邊形ABCD一定是菱形

C.四邊形A8CO一定是正方形

D.四邊形ABCD一定是平行四邊形

答案D

解析由啟=而+能知，A,B,C,。構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形.

4.如圖，四邊形ABCO是梯形，AD//BC,對(duì)角線AC與8D相交于點(diǎn)。，則后+正+矗+

詼等于()

A.cbB.DCC.DAD.DO

答案B

解析OA^BC+AB+Dd=Db^OA^AB+BC=DA^AB+BC=DB^BC=DC.

5.已知向量。表示“向東航行3km”,b表示“向南航行3km"，則a+b表示.

答案向東南航行貝尼km

解析根據(jù)題意由于向量。表示“向東航行3km”，向量b表示“向南航行3km”，那么

可知表示向東南航行3&km.

■課堂小結(jié)?

1.知識(shí)清單:

(1)向量加法的三角形法則.

(2)向量加法的平行四邊形法則.

（3）向量加法的運(yùn)算律.

2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移

到共同起點(diǎn).

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

-------------------------------N----------

基礎(chǔ)鞏固

1.化簡(jiǎn)成+說(shuō)+反?等于（）

A.ABB.BAC.OD.AC

答案D

解析AE-}~EB-}-BC=AB+BC=AC.

2.如圖，在正六邊形中，麗+1+前等于（）

BA

A.OB.BE

C.ADD.CF

答案D

解析BA+CD+EF=DE+CD-\-EF=CE+EF=CF.

3.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則麗+布|等于（）

A.lB.也

C.3D.2吸

答案B

解析在正方形ABCO中，AB=1,可知AC=6，

所以而+屐＞|=|公］=AC=啦.

4.已知四邊形月8c。為菱形，則下列等式中成立的是（）

AAB~^BC=CAB.AB+AC=BC

C.AC-\-BA=ADD.AC-^-Ab=DC

答案C

5.（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必與?；騜的方向相同

B.在△ABC中，必有B+詼+己=0

C.若初+元+以=0,則A,B,。一定為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

D.若ab均為非零向量，則|@+川=|旬+步|

答案ACD

解析A錯(cuò)，若。+5=0,則a+b的方向是任意的；

B正確；C錯(cuò)，當(dāng)A,B,C三點(diǎn)共線時(shí)，也滿足布+比+以=0；D錯(cuò)，|a+b|W|a|十網(wǎng).

6.已知48=。，BC=b,CD=ctDE=d,AE=e,則a+b+c+d=.

答案e

解析a+b-\~c+d=AB^BC-\-cb+DE=AE=e.

7.在菱形ABC。中，/84。=60。，而|=1,則|瑟+而片.

答案1

解析如圖，由題意知△A3。為等邊三角形，

所以|就+函=|麗=|矗1=1.

8.如圖，在平行四邊形A8CO中，。是AC和B。的交點(diǎn).

(I麻+病+cb=：

(2)AC+BA+DA=.

答案⑴病(2)0

9.如圖，已知在中，。是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，上是CO的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近。點(diǎn)),

求作：

DEC

Z^7

AB

(l)Ab+Ac：(2)DE+fiA.

解(1)延長(zhǎng)AC,在延長(zhǎng)線上截取CF=AO,則向量亦即為所求.

（2）在A8上取點(diǎn)G,使AG=%8,則向量反;即為所求.

10.在靜水中船的速度為20m/min,水流的速度為10m/min,如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水

流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.

解作出圖形，如圖所示.

設(shè)船速y制與岸的方向成a角,

由圖可知y水+yv=y實(shí)際，

結(jié)合已知條件，四邊形ABC。為平行四邊形，

在RtAACD中，

\CD\=\AB\=\v才|=10m/min,

|AD|=|v的|=20m/min,

.畫(huà)101

??COSCt==

\AD\202

/.a=60°,從而船行進(jìn)的方向與水流方向成120。角.

???船是沿與水流方向成120。角的方向行進(jìn).

g綜合運(yùn)用

11.在矩形ABC。中，麗|=4,|的=2,則向量前+國(guó)）+啟的長(zhǎng)度為（）

A.2小B.4小C.12D.6

答案B

解析因?yàn)橼A+危=危，

所以B+病+啟的長(zhǎng)度為42的模的2倍.

又位］=、42+22=2由,

所以向量油+弱+啟的長(zhǎng)度為4小.

12.若在△ABC中，AB=AC=\,而+花=啦，則△48C的形狀是（)

A.正三角形B.銳角三角形

C.斜三角形D.等腰直角三角形

答案D

解析以A8,AC為鄰邊作平行四邊形ABOC,???AB=AC=1,AO=啦，為直角,

該四邊形為正方形，???/84C=90。，△ABC為等腰直角三角形.

13.已知點(diǎn)G是△4BC的重心，則51+訪+沅=.

答案0

解析如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)E為3C的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到點(diǎn)。，使

GE=ED,

則痂+氏=麗，GD+GA=Q,.,.GA+GB+GC=O.

14.如圖所示，已知電線40與天花板的夾角為60。，電線AO所受拉力|尸i|=24N,繩80與

墻壁垂直，所受拉力|尸2|=12N.則Fi和Fi的合力為N.

答案12<3

解析如圖，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得到合力尸=人+F2=6二

在△0C4中，|近1=24,

|而=12,NOAC=60。，

AZOCA=90°,：.\OC\=\2yf3.

???尸1與尸2的合力大小為12小N,方向?yàn)榕c尸2成90。角，豎直向上.

葉拓廣探究

15.如圖所示，P,。是△48C的邊8c上兩點(diǎn)，且8P=QC求證：AB^AC=AP^AQ.

A

證明AB=AP+PB,A/J=AQ-^-QC,

?,見(jiàn)+/=崩+而+而+沆.

???麗與匠大小相等，方向相反，

，崩+充=0,

故篇+位:=崩+恁+0=宿+而.

16.如圖，已知。，E,尸分別為△ABC的三邊8C,AC,46的中點(diǎn)，求證：而+成+次=

0.

證明由題意知，Ab=AC+CD,

BE=BC-\-CE,&=CB^BF.

由平面幾何知識(shí)可知，EF=CD,赤=淡，

所以而+時(shí)+#=(啟+而)+(正+函+(油+陰

=(AC+Cb+CE+?F)4-(BC4-CT)

=(危+比+%+無(wú)+的+0

=危+CD+BF=AE+EF+啟=0.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法則.2.掌握向量減法的幾何意

義.3.能熟練地進(jìn)行向量的加、減綜合運(yùn)算.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基觸

■■■■■■■■■■■■■■■■--------------------------%-------

知識(shí)點(diǎn)一相反向量

1.定義：與向量a長(zhǎng)度相等,方定相反的向量,叫做x的相反向量,記作二4

2.性質(zhì)

(I)零向量的相反向量仍是零向量.

(2)對(duì)于相反向量有：。+(—°)=(-0)+。=。.

(3)若a,6互為相反向量，則。=一〃，b=-a,o+b=0

知識(shí)點(diǎn)二向量的減法

1.定義：向量。加上b的相反向量，叫做。與力的差，即。一方=。+(一加，因此減去一個(gè)向

量，相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量，求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法.

2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作0B=b,則向量4—6=函，如圖所示.

3.文字?jǐn)⑹觯喝绻褍蓚€(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，那么這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為起

直，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.

思考若。，力是不共線向量，|。+"與心一切的幾何意義分別是什么？

答案如圖所示，設(shè)/=。，勵(lì)=機(jī)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的幾何意義，

有沆=a+b,筋=。一兒因?yàn)樗倪呅蜲ACE是平行四邊形，所以|。+臼=|麗，|0一回=|兩，

分別是以04,。8為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng).

-思考辨析判斷正誤口

1.相反向量就是方向相反的向量.(X)

提示相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小沒(méi)有關(guān)系.

2.向量初與麗是相反向量.(J)

提示后與函大小相等、方向相反.

3.a—b=b~a.(X)

提示向量減法不滿足交換律.

4.兩個(gè)相等向量之差等于0.(X)

提示兩個(gè)相等向量之差等于0.

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

"""""""""------------------------------N---------

一、向量的減法運(yùn)算

例I如圖，已知向量a,b,c不共線，求作向量。+力一，

解方法一如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作而1=。，AB=bt則油=。+兒再作衣=c,

則C8=a+b—c.

方法二如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作而l=a,AB=b,則宿=a+b,再作@=c,連

接。C,則沆=a+b-c.

反思感悟求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路

(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來(lái)進(jìn)行，如a-b,可以先作一b,然后作。+(—6)即可.

(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的

終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.

跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=a,OB=b,5t=c.求作：b-\-c—a.

解方法一以5kn為鄰邊作。OBDC,連接OZXAD,

則麗=油+流=6+%Ab=OD-OA=b-\-c-a.

方法二作詼=加=從

連接40,則AC=0C—0A=c—a,

AD=AC^-cb=c—a-\-b=b-\-c—a.

二,向量減法法則的應(yīng)用

例2（1）化簡(jiǎn)：（屈）一麗+（反?一慶?）=.

答案AD

解析原式=病+而+及一證=國(guó)）+證一說(shuō)?=病.

（2）如圖，P,。是△48C的邊8c上的兩點(diǎn)，且加=無(wú)，則化簡(jiǎn)油+送一成一項(xiàng)的結(jié)果

為（）

BPQC

A.OB.BP

C.PQD.PC

答案A

解析AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)-ir(AC-AQ)=PB+QC=QC-BP=^.

反思感悟(1)向量減法運(yùn)算的常用方法

一

常

用

方

法

一

（2）向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式

①首尾相連且為和.

②起點(diǎn)相同且為差.

解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)注意逆向應(yīng)用.

跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，0A=a,0B=b,OC=c,則無(wú)=

答案一〃

解析由已知病=病,

則礪=蘇+屈）=?+病=八_詼一乃=a+‘一兒

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

--------------------------N-------

1.在△ABC中，若麗=a,BC=b.則為等于（）

A.aB.a+力

C.b-aD.a~b

答案D

解析CA=BA-BC=a-b.

2.化簡(jiǎn)成一?+的+菊等于（）

K.QPB.OQC.SPD.SQ

答案B

解析原式=（次+的）+（詼+。）=麗+0=麗.

3.已知在四邊形A8CO中，DB-DA=AC-AD,則四邊形ABCO一定是（）

A.平行四邊形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案A

解析由加一房=/一病，可得B=慶;

所以四邊形A8CD一定是平行四邊形.

4.下列等式成立的個(gè)數(shù)是（）

①n+b=b+a：

?a—b=b—a：

③0—。=一。；

④一（一a）=a；

⑤a+（—a）=0.

A.5B.4C.3D.2

答案B

解析由題意知，（D@④⑤成立.

5.（多選）下列各向量運(yùn)算的結(jié)果與病相等的有工）

X.AO+OC^AO-OC

C.OA-OCD.OC-OA

答案AD

解析由題意知，AD正確.

■課堂小結(jié)?

1.知識(shí)清單：

（I）向量的減法運(yùn)算.

（2）向量減法的幾何意義.

2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：忽視向量共起點(diǎn)，才可用減法法則.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

:3基礎(chǔ)鞏固

1.如圖所示，在。ABCO中，AB=a,AD=b,則用a,b表示向量屐冰面）分別是（）

A.a+5和a—h

B.a+）和b~a

C.a~b和b-a

D.b—a和b-\~a

答案B

解析由向量的加法、減法法則,

得公=布+廢）=。+4

BD=AD-AB=b-a.

2.0一@一比十應(yīng):等于（）

A.ABB.AEC.BED.CD

答案B

3.下列各式中，恒成立的是（）

A.AB=BAB.a-a=0

C.AB-AC=BCD.AB-CB-\-CA=Q

答案D

解析選項(xiàng)D中，AB-CB-\-CA=AB-\-BC^CA=AC+CA=(i.

4.（多選）下列四個(gè)式子中可以化簡(jiǎn)為AB的是（

A.AC+CD-BDB,AC-CB

C.OA+OBD,OB-OA

答案AD

5.如圖，在四邊形ABC。中，設(shè)Q=a,AD=b,BC=c,則慶1等于（）

A.。一）+c

B.b—（a+c）

C.o+A+c

D.8一a+c

答案A

解析DC=AC—AD=AB~\~BC—AD=a-\~c—b=a—b~\~c.

6.OB-OA-OC-CO=.

答案AB

解析0B-0A-6c-cb={0B-0A）-（6c+cb）

=AB-O=AB.

7.若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則而一曲+而|=.

答案2

解析\AB~CB+CD\=\AB+BC^cb\=\Ab\=2.

8.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，而一兩的值為.

答案＜3

解析如圖，作菱形46CO,

則而一的=而一病|

=\DB\=y[3.

9.如圖,已知0,b,求作°一瓦

10.如圖所示，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,AB=a,BC=b,AC=c,試求：\a-b+c\.

解作標(biāo)=/，連接CF（圖略），則訪+而'=5?,

而麗=而一俞=b一就'=4一萬(wàn)

???。-6+。=協(xié)+濟(jì)=5?且|麗=2.

：.\a-b+c\=2.

力綜合運(yùn)用

11.若曲|=5,應(yīng)]=8,則|的的取值范圍是()

A.[3,81B.(3,8)

C.[3,13]D.(3/3)

答案C

解析??,|的=瑟'一布|且II而一而IIW\AC-AB\WI/1+|誦|,

A3^|Ac-Afl|C13,，3W|兩W13.

12.平面上有三點(diǎn)A,B,C,設(shè)m=AB+BC,n=AB-BC,若m,n的長(zhǎng)度恰好相等，則（）

A.A,B,C三點(diǎn)必在同一直線上

B.△月必為等腰三角形且NA8C為頂角

C.AAfiC必為直角三角形且NA8C=90。

D.ZXABC必為等腰直角三角形

答案C

解析如圖所示，作DABCQ,

則油+正=/,

AB-BC=AB-Ab=DB.

V|m|=|n|,.,.|Aq=|DB|.

，口A8CO為矩形，

???△4BC為直角三角形，ZABC=90°.