專題03立體幾何大題解題秘籍解題秘籍空間中的平行關系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行線面平行的性質定理若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質定理性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質定理性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質定理兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.模擬訓練模擬訓練一、解答題1．（22·23下·湖南·二模）如圖，在直三棱柱中，，點為棱的中點，．

(1)求的長度；(2)求平面與平面夾角的余弦值．2．（22·23下·紹興·二模）如圖，在多面體中，平面為正三角形，為等腰Rt.(1)求證：；(2)若平面，求直線與平面所成的線面角的正弦值.3．（22·23·張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.4．（22·23·湛江·二模）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．

(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．5．（22·23下·長沙·三模）如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點在上.

(1)若平面，求；(2)若是的中點，求二面角的正弦值.6．（22·23下·湖北·二模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，內接于，為的一條弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.7．（22·23·深圳·二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.8．（22·23下·溫州·二模）已知三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，與平面所成角的余弦值為．(1)求證：；(2)求二面角的平面角的正弦值．9．（22·23下·浙江·二模）如圖，四面體，為上的點，且與平面所成角為，(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的余弦值.10．（22·23下·襄陽·三模）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，，，在底面的射影為的中點，為的中點.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.11．（22·23·唐山·二模）如圖，在三棱柱中，是等邊三角形，側面底面，且，，M是的中點．

(1)證明：．(2)求二面角的正弦值．12．（22·23下·鹽城·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.13．（22·23下·江蘇·三模）如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內接正三角形，圓錐的高，點為線段上一個動點.

(1)當時，證明：平面；(2)當點在什么位置時，直線PE和平面所成角的正弦值最大.14．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大?。?3)求點到平面的距離.15．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，是的中點.

(1)求證：平面；(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.16．（22·23下·河北·三模）如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線交于點，且平面是的中點，是線段上一動點．

(1)當平面平面時，試確定點的位置，并說明理由；(2)在（1）的前提下，點在直線上，以為直徑的球的表面積為．以為原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求點的坐標．17．（22·23·汕頭·三模）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點.

(1)在平面內，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)若四棱錐的體積為，設平面平面，求的最小值.18．（19·20下·臨沂·二模）如圖①，在中，B為直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF將折起，使，得到如圖②的幾何體，點D在線段AC上．

(1)求證：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．19．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.20．（22·23下·長沙·一模）斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離．21．（22·23下·長沙·三模）如圖，三棱臺，，，平面平面，，，與相交于點，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.22．（22·23·衡水·一模）如圖所示，四點共面，其中，，點在平面的同側，且平面，平面.(1)若直線平面，求證：平面；(2)若，，平面平面，求銳二面角的余弦值.23．（22·23下·湖北·三模）已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長均為2，且有．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．24．（22·23下·武漢·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.

(1)求證：平面平面PBC；(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.25．（22·23下·黃岡·三模）如圖1，在四邊形中，，．將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體．

(1)若為的中點，證明：平面；(2)若為上一動點，且二面角的余弦值為，求的值．26．（22·23·德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．30．（22·23·福州·三模）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時針旋轉到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點.

(1)當為何值時，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.31．（22·23·福州·二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.32．（22·23·三明·三模）如圖，平面五邊形由等邊三角形與直角梯形組成，其中，，，，將沿折起，使點到達點的位置，且.

(1)當時，證明并求四棱錐的體積；(2)已知點為棱上靠近點的三等分點，當時，求平面與平面夾角的余弦值.33．（22·23·寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．34．（22·23·龍巖·二模）三棱柱中，，，側面為矩形，，三棱錐的體積為．

(1)求側棱的長；(2)側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．35．（22·23下·浙江·二模）如圖，在多面體中，，平面，為等邊三角形，，，，點是的中點．(1)若點是的重心，證明；點在平面內；(2)求二面角的正弦值．36．（22·23下·浙江·三模）如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.(1)線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；(2)若，，點到平面的距離為，且點在底面的射影落在內部，求直線與平面所成角的正弦值.37．（22·23下·蘇州·三模）如圖，在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，且，平面，垂足為平面，垂足為，連接并延長交于點.

(1)求二面角的余弦值；(2)在平面內找一點，使得平面，說明作法及理由，并求四面體PDEF的體積.38．（22·23·滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內，且.

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.39．（23·24上·永州·一模）如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，側面為正三角形，且分別為的中點，在線段上，且．

(1)求證：平面；(2)當時，求平面與平面的夾角的余弦值．40．（22·23·濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內接正三角形，且邊長為，點在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面(3)若點為線段上的動點．當直線與平面所成角的正弦值最大時，求此時點到平面的距離．專題03立體幾何大題解題秘籍解題秘籍空間中的平行關系線線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內一直線平行，則線面平行線面平行的性質定理若線面平行，經過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行面面平行的判定定理判定定理1：一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行判定定理2：一個平面內有兩條相交直線分別于另一個平面內兩條相交直線平行，則面面平行面面平行的性質定理性質定理1：兩平面互相平行，一個平面內任意一條直線平行于另一個平面性質定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行空間中的垂直關系線線垂直線面垂直的判定定理一直線與平面內兩條相交直線垂直，則線面垂直線面垂直的性質定理性質定理1：一直線與平面垂直，則這條直線垂直于平面內的任意一條直線性質定理2：垂直于同一個平面的兩條直線平行面面垂直的判定定理一個平面內有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直（或：一個平面經過另一個平面的垂線，則面面垂直）面面垂直的性質定理兩平面垂直，其中一個平面內有一條直線與交線垂直，則這條直線垂直于另一個平面異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.模擬訓練模擬訓練一、解答題1．（22·23下·湖南·二模）如圖，在直三棱柱中，，點為棱的中點，．

(1)求的長度；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，用余弦定理可得到，在中，用余弦定理可得，即可求得；（2）以為原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，即可求解【詳解】（1）因為在直三棱柱中，，在中，由余弦定理得，解得，則，在中，由余弦定理得，解得，又，所以，因為平面，平面，所以，在直角三角形中，；（2）因為，所以，則，則兩兩互相垂直，以為原點，分別以所在的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則點，則，設平面的法向量為，由，得，令，得平面的一個法向量為；平面的一個法向量為．設平面與平面夾角的大小為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．2．（22·23下·紹興·二模）如圖，在多面體中，平面為正三角形，為等腰Rt.(1)求證：；(2)若平面，求直線與平面所成的線面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質定理和判定定理即可證明；（2）法一：由分析可知，就是直線與平面所成的線面角，設，當時，與重合，可得兩點重合，不符合題意，當時，求出，即可得出答案；法二：建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.【詳解】（1）設為中點，連接，則由為正三角形，得；平面，且為等腰直角三角形，計算可得：.面，于是面，面，從而.（2）法一：由（1）可知，過點作，垂足為，則就是直線與平面所成的線面角.當平面時，可得到平面的距離為.設，所以，可得，當時，，不妨設在底面射影為，則，此時與重合，可得兩點重合，不符合題意，舍去；當時，，此時在的延長線上，作，由于為矩形，可得，可得，可得.于是.法二：建立如圖坐標系，可得，由，解得，又平面，令，可得，解得.當時重合，所以，此時.不妨設平面的法向量為，則代入得，令，則，所以.由于，不妨設所成角為，則.3．（22·23·張家口·三模）如圖，在三棱柱中，側面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進行證明；（2）利用垂直關系建立空間直角坐標系，用向量法進行求解.【詳解】（1）如圖，連接，交于，連接.因為側面為菱形，所以，且為的中點.又，故.又，且，所以，所以.又，所以，所以.因為平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩互相垂直，因此以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.故，，.設為平面的一個法向量，則有，即，令，則.設為平面的一個法向量，則有，即，令，則.因為平面平面，所以也是平面的一個法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值.

4．（22·23·湛江·二模）如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得A至處，且．

(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知易得，即可證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，用坐標公式法求解即可．【詳解】（1）由題意得，，，因為，則，又，面，所以面，又面，則，又，，平面，平面，所以平面．（2）取的中點，可知，由，且可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，則平面，設，以點為坐標原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，設平面的一個法向量為，則，即，取，則，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以面角的余弦值為．5．（22·23下·長沙·三模）如圖，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點在上.

(1)若平面，求；(2)若是的中點，求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）記中點為，連接、，依題意可得，根據(jù)面面垂直的性質得到平面，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設，，依題意可得求出的值，即可得解；（2）依題意點與點重合，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）記中點為，連接、，為正三角形，，則，且.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又為正三角形，所以，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，，則，設，，則，因為平面，所以，解得，所以為的中點，此時.

（2）若是的中點，則點與點重合，則平面的一個法向量可以為，設二面角為，顯然二面角為銳角，則，所以，所以二面角的正弦值為.

6．（22·23下·湖北·二模）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，內接于，為的一條弦，且平面.(1)求的最小值；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，找到符合要求的，并利用垂徑定理得到最小值；（2）在第一問基礎上，得到當取得最小值時，，并建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角.【詳解】（1）過點作交于點，過點H作⊥，此時滿足平面，由平面幾何知識易知，，當弦心距最大時，，弦長最短，即取得最小值，因為，所以，因為，由勾股定理得，故，連接，則，由勾股定理得，所以；（2）連接，則平面ACB，因為平面ACB，故，而，，所以平面，即有.以O為坐標原點，過點且平行的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，則，故，設直線與平面所成角的大小為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.7．（22·23·深圳·二模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點是的中點.

(1)證明：；(2)設的中點為，點在棱上（異于點，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質可得，由面面垂直的性質可得平面，則，所以由線面垂直的判定可得平面，從而可得結論；（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：因為，點是的中點，所以.因為平面平面，所以平面平面，因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，平面，所以平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以.（2）解：由題意可得兩兩垂直，設，如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，

因為點是的中點，所以，所以，設平面的法向量為，則，令可得，所以平面的一個法向量.，設，即，所以.又，所以，化簡得，解得或（舍去）.所以，設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.8．（22·23下·溫州·二模）已知三棱錐中，△是邊長為3的正三角形，與平面所成角的余弦值為．(1)求證：；(2)求二面角的平面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，證明平面，即可得證；（2）取正三角形的中心，連接，從而可得平面，則即為與平面所成角的平面角，進而可得，取中點為，連接，則，故即為二面角的平面角，解即可得解.【詳解】（1）取的中點，連接，因為，所以，因為△是邊長為3的正三角形，所以，又平面，所以平面，因為平面，所以；（2）取正三角形的中心，連接，則點在上，且，由，△是正三角形，得三棱錐為正三棱錐，則平面，故即為與平面所成角的平面角，又與平面所成角的余弦值為，所以，即，即三棱錐是正四面體，取中點為，連接，則，故即為二面角的平面角，在中，，則，所以，所以二面角的平面角的正弦值．9．（22·23下·浙江·二模）如圖，四面體，為上的點，且與平面所成角為，(1)求三棱錐的體積；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析．【分析】（1）取中點，可證明平面，得平面平面，在平面內的射影就是直線，是與平面所成的角，即，由正弦定理求得，有兩個解，在時可證平面，在時，取中點證明平面，然后由棱錐體積公式計算體積；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）取中點，連接，因為，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以，由已知，，所以，，，由平面，平面得平面平面，因此在平面內的射影就是直線，所以是與平面所成的角，即，，因此，在中，由正弦定理得，，為內角，所以或，，，若，則，即，，平面，所以平面，；若，則，，取中點，連接，則，因為平面平面，平面平面，而平面，所以平面，，所以；（2）若，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以點坐標為，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，，所以二面角的余弦值是；若，以為軸，為軸，過且平行于的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，則，，，，，，所以點坐標為，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，設平面的一個法向量是，則，取，則，，即，，所以二面角的余弦值是．10．（22·23下·襄陽·三模）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，，，，在底面的射影為的中點，為的中點.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量的坐標運算求面面夾角的余弦值.【詳解】（1）如圖，∵面，連，則，又，∴，又，面，面，于是面，又面，，所以面面.（2）由(1)可得，以為軸，建系如圖，，，則因為,所以,則,因為,所以,設平面的一個法向量為，因為,所以，令，則，所以，設平面的一個法向量為，因為,所以，令，則，所以，設平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.11．（22·23·唐山·二模）如圖，在三棱柱中，是等邊三角形，側面底面，且，，M是的中點．

(1)證明：．(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質、結合面面垂直的性質，線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，運用空間向量夾角公式進行求解即sk.【詳解】（1）取的中點，連接，，．在三棱柱中，由，得四邊形為菱形，所以，

易知，則．

由是等邊三角形，知，又平面平面，平面平面，平面，知平面，則，

又平面，得平面，

又平面，故．

.（2）連接，因為側面為菱形，，則，則為等邊三角形，所以，又由（1）易知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系．不妨設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則，令，得，設平面的法向量為，則，令，得，所以，即二面角的正弦值為．12．（22·23下·鹽城·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且，，，四點共面.

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點到直線的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）過作，交底面弧于，連接，有為平行四邊形，根據(jù)題設可得，即，再由線面垂直的性質可得，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定即可證結論.（2）構建如下圖示空間直角坐標系，令半圓柱半徑為，高為，確定相關點坐標，進而求平面、平面的法向量，利用空間向量夾角的坐標表示及已知條件可得，即可求出點到直線的距離.【詳解】（1）過作，交底面弧于，連接，易知：為平行四邊形，所以，又為弧的中點，則是弧的中點，所以，而由題設知：，則，所以，即，由底面，平面，則，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由題意，構建如下圖示空間直角坐標系，令半圓柱半徑為，高為，則，，，，所以，，，，若是面的一個法向量，則，令，則，若是面的一個法向量，則，令，則，所以，整理可得，則，又，由題設可知，此時點，，，則，，所以點到直線的距離.

.13．（22·23下·江蘇·三模）如圖，圓錐中，為底面圓的直徑，，為底面圓的內接正三角形，圓錐的高，點為線段上一個動點.

(1)當時，證明：平面；(2)當點在什么位置時，直線PE和平面所成角的正弦值最大.【答案】(1)證明見解析；(2)點在距離點處【分析】（1）利用勾股定理證明出和，再用線面垂直的判定定理證明出平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】（1）因為，，所以是正三角形，則，又底面圓，底面圓，所以，在中，，所以，因為是正三角形，所以，，，所以，，同理可證，又，，平面，所以平面.（2）如圖，建立以為原點的空間直角坐標系.

設，（），所以，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，，故，設直線和平面所成的角為，則，當且僅當，即時，直線和平面所成角的正弦值最大，故點在距離點處.14．（22·23下·鎮(zhèn)江·三模）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個條件中任選一個作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大?。?3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）若選①，則作面，證明和重合從而得到面，從而得到面面垂直；若選②，計算得到到面的距離，得到面，從而得到面面垂直；若選③，通過余弦定理計算得到，再通過面，從而得到面面垂直；（2）通過建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，結合二面角計算公式計算即可；（3）通過點面距離的計算公式直接計算即可.【詳解】（1）選①，連接，作面，垂足為.

與平面所成角相等，，在的中垂線上，在平面內，,和重合，面，又面，面面若選②，設到面的距離為，，得，即為到面的距離，即面，又面，面面.若選③，由余弦定理得，，，又面面，又面面面（2）因為面，面，所以，取中點，則，所以，又因為，所以建立如下圖所示空間直角坐標系，

，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，，由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的大小為.（3），平面的一個法向量為，點到平面的距離.15．（22·23下·江蘇·一模）在三棱柱中，平面平面，側面為菱形，，，，是的中點.

(1)求證：平面；(2)點在線段上（異于點，），與平面所成角為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作交于點，由面面垂直的性質可得平面，可得，再由線面垂直的判定定理得平面，從而得到，再由線面垂直的判定定理可得答案；（2）以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，可得，求出平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得答案.【詳解】（1）因為側面為菱形，，，所以為邊長為的等邊三角形，作交于點，則點為的中點，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，可得，又，，平面，可得平面，因為平面，所以，因為側面為菱形，所以，，平面，所以平面；（2）由（1）知，平面，，取做的中點，連接，則，所以平面，以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，設，可得，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，可得，解得舍去，或，所以.

16．（22·23下·河北·三模）如圖，四棱錐的底面是菱形，其對角線交于點，且平面是的中點，是線段上一動點．

(1)當平面平面時，試確定點的位置，并說明理由；(2)在（1）的前提下，點在直線上，以為直徑的球的表面積為．以為原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求點的坐標．【答案】(1)是的中點(2)，【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質證明，即可得解；（2）先根據(jù)球的體積求出，然后根據(jù)空間中兩點間的距離公式即可得解.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以是的中點；（2）由題意，解得，設，由題意，，則，則，則，解得或，當時，，則，當時，，設，則，所以，解得，則，綜上所述點的坐標為，.

17．（22·23·汕頭·三模）如圖，圓臺的軸截面為等腰梯形，為底面圓周上異于的點.

(1)在平面內，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)若四棱錐的體積為，設平面平面，求的最小值.【答案】(1)作圖見解析，理由見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定和中位線定理即可求解;(2)根據(jù)幾何關系或空間向量方法即可求解.【詳解】（1）取中點，作直線即為所求，取中點，連接，則有，如圖，在等腰梯形中，，有，則四邊形為平行四邊形，

即有，又平面平面，所以平面.（2）法一：延長交于點，故平面平面故平面平面即在中，均為圓錐母線.

過點作于.在等腰梯形中，，此梯形的高等腰梯形的面積為，所以四棱錐的體積，解得，故點與重合，由，得，且，故.中，到距離.則面積,得：的最小值為：.法二：同法一求出的位置.以為原點，方向為軸正向建立空間直角坐標系，設面的法向量為，取，有；同理可得面的法向量為,由面面，可知，設的方向向量為，故取,下面分2個方法求求方法1：，，當時，取最小值為.求方法2：在上的投影向量的模為故的最小值即到的距離為.法三:在三角形中，,,所以.18．（19·20下·臨沂·二模）如圖①，在中，B為直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF將折起，使，得到如圖②的幾何體，點D在線段AC上．

(1)求證：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直線AF與平面BDF所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由余弦定理計算證明，再利用線面垂直的判定、性質，面面垂直的判定推理作答.（2）以為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求線面角的正弦作答.【詳解】（1）在中，，，由余弦定理得：，則，有，于是，即有，又平面，因此平面，而平面，則，又因為平面，從而平面，而平面，所以平面平面.（2）以為原點，以分別為軸，過點垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

由（1）知，平面，而，則有平面，則，，連接與交于點，連接，因為平面，平面，平面平面，則，有，在四邊形中，由，得，即，，，設平面的法向量為，則，令，得，設直線與平面所成角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（22·23下·廣州·三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點，是線段上的一點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點不是線段的中點，求三棱錐體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直判定可證得平面，由中位線性質知，從而得到平面，由面面垂直判定可得結論；（2）以為坐標原點可建立空間直角坐標系，設，，由線面角的向量求法可構造方程求得，結合垂直關系可得平面的距離為，利用棱錐體積公式可求得結果.【詳解】（1）連接，分別是線段的中點，，底面四邊形為正方形，，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，又平面，平面平面.（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，設，，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，解得：，，；設直線與平面所成角為，，解得：或（舍），，平面，平面，；，，平面，平面，到平面的距離為，.

20．（22·23下·長沙·一模）斜三棱柱的各棱長都為2，，點在下底面ABC的投影為AB的中點O．(1)在棱（含端點）上是否存在一點D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）連接，以O點為原點，如圖建立空間直角坐標系，設，根據(jù)，求出即可；（2）利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，因為，為的中點，所以，由題意知平面ABC，又，，所以，以O點為原點，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，由得，同理得，設，得，又，，由，得，得，又，∴，∴存在點D且滿足條件；（2）設平面的法向量為，，，則有，可取，又，∴點到平面的距離為，∴所求距離為.21．（22·23下·長沙·三模）如圖，三棱臺，，，平面平面，，，與相交于點，，且∥平面.(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.【答案】(1)2(2)證明見解析【分析】（1）通過證明線線和線面垂直，并結合已知條件即可得出三棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標系，表達出各點的坐標，求出所成角為與的正余弦值，即可證明結論.【詳解】（1）由題意，∵平面平面，且平面平面，，平面ABC∴平面，∵平面，∴，又，，平面ABC∴平面，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，∴.∴三棱錐底面的面積，高，∴其體積為：.（2）證明：由題意及（1）得，以為坐標原點，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖.則.設平面的法向量為，由，取，則，平面的一個法向量為，所以又因為，所以又，所以.22．（22·23·衡水·一模）如圖所示，四點共面，其中，，點在平面的同側，且平面，平面.(1)若直線平面，求證：平面；(2)若，，平面平面，求銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，，結合線面平行和面面平行的判定定理可證得平面平面，由面面平行的性質可證得結論；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角的向量求法可求得結果.【詳解】（1）平面，平面，，平面，平面，平面；，四點共面，，平面，平面，平面；，平面，平面平面，又平面，平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，四邊形為平行四邊形，，則，，，，，設平面的法向量，，令，解得：，，；平面軸，平面平面，平面軸，平面的一個法向量，，即銳二面角的余弦值為.23．（22·23下·湖北·三模）已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）的各條棱長均為2，且有．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直判定定理證明即可；（2）應用空間向量法求線面角正弦即得.【詳解】（1）連接AC和，由底面是菱形得，由與全等，得為的中點，又平面，平面，平面，

又平面平面平面．（2）以為x軸，以為y軸，以過O與底面垂直的直線為z軸，建立如圖空間坐標系，則

過A作底面的垂線，垂足為H，由為正三棱錐知H為的重心，設，由，得，

又取平面的法向量為，設直線與平面所成角為，則∴直線與平面所成角的正弦值為．24．（22·23下·武漢·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面ABCD，，為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.

(1)求證：平面平面PBC；(2)求平面AEF與平面PDC夾角的最小值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉化為證明平面；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和的法向量，利用法向量夾角的余弦公式，求余弦值的最大值.【詳解】（1）中，E為PB的中點，所以.在正方形ABCD中，.因為平面ABCD，平面ABCD，即.又因為，平面PAB，所以平面PAB.平面PAB，即，又因為，，平面PBC.所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.（2）因為平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP兩兩垂直.以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

有，，，，，PB中點，設，.，，，.設平面PCD的法向量，由，得，取.設平面的法向量，由，得，取.所以平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值為.令，，則，所以當即時，平面AEF與平面PCD的夾角的余弦值取得最大值，此時平面AEF與平面PCD的夾角取得最小值.25．（22·23下·黃岡·三模）如圖1，在四邊形中，，．將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的幾何體．

(1)若為的中點，證明：平面；(2)若為上一動點，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BE中點O，先證CO⊥面ABE，再由CO∥DG，證線面垂直即可；（2）以E為中心建立空間直角坐標系，設F坐標，由空間向量計算二面角求得F的坐標即可得結果.【詳解】（1）

如圖，取的中點，連接，易得∥．因為∥，故∥，且，所以四邊形為平行四邊形，則∥．因為面，所以平面．而平面，所以．因為，所以．因為面，所以平面，所以平面．（2）如圖，過點作直線∥，則直線面面，又，所以直線兩兩相互垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，．

設面的一個法向量為，則，令，則，即．設面的一個法向量為，則，令，則，即，由圖象可知二面角為銳角，所以，解得或6（舍去），即，所以.26．（22·23·德州·三模）圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上存在點使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于，可證，平面，所以，平面平面；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)條件求出的位置，再用空間向量求平面與所成角的余弦值．【詳解】（1）證明：在圖1中，連接，交于，

，所以，所以，四邊形是菱形，所以，且．在圖2中，滿足，所以，所以，，又平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面；（2）以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，

則，所以，設平面的法向量為，則即，取，得，設，在線段上存在點使得與平面的正弦值為，所以解得或（舍），所以，設平面的法向量為，則即，取，得，設平面與平面的平面角為，所以，平面與所成角的余弦值為27．（22·23·山東·二模）如圖，在四棱錐中，平面，，，，．

(1)證明：；(2)若為線段的靠近點的四等分點，判斷直線與平面是否相交？如果相交，求出到交點的距離，如果不相交，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)相交，【分析】（1）依題意可得，，利用余弦定理求出，即可得到，在由線面垂直得到，即可得到平面，從而得證；（2）過點作直線，連接并延長交于點，即可證明點為直線與平面的交點，再利用三角形相似求出.【詳解】（1）連接，因為，，，，所以為等腰直角三角形，∴，，∵在中，由余弦定理得，即，所以，∴，∴.又平面，平面，∴.又平面，∴平面，∵平面，∴.（2）過點作直線，連接并延長交于點，因為，且，所以，所以、、、四點共面，所以點平面，所以點為直線與平面的交點，易知，為線段的靠近點的四等分點，所以，所以.

28．（22·23·黃山·三模）如圖，在直角梯形ABCD中，，，四邊形為平行四邊形，對角線和相交于點H，平面⊥平面，，，G是線段上一動點（不含端點）．

(1)當點G為線段BE的中點時，證明：平面；(2)若，且直線與平面成角，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，由三角形中位線和邊長關系可知四邊形是平行四邊形，即可證明平面；（2）根據(jù)題意可知，以為原點建立空間直角坐標系，可設利用空間向量即可表示出，進而確定點位置，再分別求得兩平面的法向量即可得出二面角的正弦值為.【詳解】（1）證明：連接，如下圖（1）中所示：因為四邊形為平行四邊形，所以是中點，又點為線段的中點，則，且,又且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）以為原點，為軸，過且在平面內與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖（2）所示：由平面⊥平面，，可知，均為邊長為2的正三角形，則有，設，則，為平面的法向量，所以，解得（其中舍去）,所以，設平面的法向量為，則有，令，則，故可?。O平面的法向量為，則有，令，則，故可取所以．所以二面角的正弦值為．即二面角的正弦值為.29．（22·23·菏澤·三模）已知在直三棱柱中，其中為的中點，點是上靠近的四等分點，與底面所成角的余弦值為．

(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，點是線段上靠近的三等分點【分析】（1）根據(jù)與底面所成角的余弦值為，推出是邊長為的等邊三角形，取的中點，的中點，連，再以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系：利用兩個平面的法向量垂直可證兩個平面垂直；（2）根據(jù)二面角的向量公式可求出結果.【詳解】（1）取的中點，連，因為為的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為與底面所成角的余弦值為，所以與底面所成角的余弦值為，因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，所以是與底面所成角，所以，所以，所以，又，所以是邊長為的等邊三角形，取的中點，的中點，連，則，，平面，以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標系：則，，，，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則，得，令，得，，，令，得，，，因為，所以，所以平面平面.（2）設，則，設平面的一個法向量為，則，若，則有，則，取，則，此時，不合題意；所以，令，得，，則，所以，整理得，解得.所以在線段上存在一點，使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，點是線段上靠近的三等分點.

30．（22·23·福州·三模）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時針旋轉到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點.

(1)當為何值時，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)當時，該組合體的體積最大，最大值為；(2)直線與平面所成角的正弦值為或【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式與扇形面積公式確定底面積的最大值，即可求組合體的體積最大值；（2）建立空間直角坐標系，設，則，，，利用空間向量的坐標運算即可求得滿足平面時，從而可計算直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）底面，面，所以則由旋轉可得所以底面積，又，故當時，取最大值，則底面積的最大值為，故幾何體體積為，故當時，該組合體的體積最大，最大值為；（2）如圖，以為原點，為軸，為軸，在平面上作軸，建立空間直角坐標系

則，設，則，，，所以，設平面的法向量為，又所以，令，則，即因為平面，所以，則，所以或，因為，設平面的法向量為，①當，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；②當，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；綜上，直線與平面所成角的正弦值為或.31．（22·23·福州·二模）如圖1，在中，為的中點，為上一點，且.將沿翻折到的位置，如圖2.

(1)當時，證明：平面平面；(2)已知二面角的大小為，棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點為中點【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】（1）由已知，有，且，平面，所以平面，因為平面，所以.在Rt中，，所以.因為，所以.且，平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）由（1），所以為二面角的平面角，，因為為的中點，所以，，，，，如圖，以為坐標原點，分別以為軸?軸正方向建立空間直角坐標系.

則.設，則,.設平面的一個法向量，由，得，令，則，所以.因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，解得或（舍）.因此，當點為中點時，直線與平面所成角的正弦值為.32．（22·23·三明·三模）如圖，平面五邊形由等邊三角形與直角梯形組成，其中，，，，將沿折起，使點到達點的位置，且.

(1)當時，證明并求四棱錐的體積；(2)已知點為棱上靠近點的三等分點，當時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）首先取取的中點，連結，，由條件可先證明平面，即可證明，再利用線面垂直的判斷定理，以及勾股定理證明平面，最后根據(jù)錐體的體積公式，即可求解；（2）以點為原點，根據(jù)（1）中的垂直關系，建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角公式，求二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，取的中點，連結，，

因為為等邊三角形，且，則，.因為，，，，所以，，那么，則也是等邊三角形，所以，.因為，，平面，所以平面，因為平面，所以.因為，所以，所以，因為，，平面，所以平面.所以.（2）由（1）知平面，以?所在直線分別為軸?軸，在平面內過作的垂線作為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

則，，在中，因為，所以，由則，過點作直線的垂線，垂足為，則，所以，，所以設，因為，所以，所以，，，即所以，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，，所以不妨設平面的法向量為，設平面與平面的夾角為則，所以平面與平面夾角的余弦值是.33．（22·23·寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．(1)若為的中點，求四棱錐的體積；(2)在線段上，是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，的值為【分析】（1）首先求出，及的長度，再證明平面，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得．（2）建立空間直角坐標系，設，，利用空間向量法得到方程，求出的值，即可得解.【詳解】（1）由圖①知，，所以，在中，因為，，可得，，所以．由圖②知，平面平面，平面，平面平面，因為，所以平面，因為為的中點，所以．（2）由（1）知，，三者兩兩垂直，以點為原點，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系（如圖）．則，，，，，，，設，，，即，所以，設平面的法向量為，所以，則，令，得，設平面的法向量為，所以，解得或（舍去），所以此時的值為.34．（22·23·龍巖·二模）三棱柱中，，，側面為矩形，，三棱錐的體積為．

(1)求側棱的長；(2)側棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）證明平面，結合題目條件，先計算出的值，然后即可以求得側棱的長；（2）建立空間直角坐標系，設未知數(shù)，結合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.【詳解】（1）在平面內過作，垂足為，因為側面為矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，易得，面，平面平面，所以平面，因為，所以，因為，，所以；（2）存在點滿足題意，，理由如下：如圖，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，

則，設，則，故，，設平面的法向量為則即，令，則，故平面的一個法向量，設直線與平面所成角為，則，解得，故存在點E滿足題意，所以.35．（22·23下·浙江·二模）如圖，在多面體中，，平面，為等邊三角形，，，，點是的中點．(1)若點是的重心，證明；點在平面內；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取A中點N，連接，MN，由點G是的重心，得出，再證明四邊形是平行四邊形，即可證明點在平面內；（2）解法1：由⊥平面，，得出平行四邊形為矩形，得出，再由點是的中點得出，證明出平面，得出，即可得出就是所求二面角的平面角，求出的正弦值即可得出答案；解法2：建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的一個法向量，求出兩平面夾角的余弦，再求出正弦即可．【詳解】（1）證明：取A中點N，連接，MN，如圖所示，因為點G是的重心，故G一定在中線上，因為點是的中點，點是的中點，所以是梯形的中位線，所以，且，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，因為點，平面，所以點平面，即點在平面內．（2）解法1：因為⊥平面，，所以⊥平面，又因為平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形，，所以，因為為等邊三角形，點是中點，所以，所以，又因為平面，平面，，所以平面，又因為平面，所以，所以就是所求二面角的平面角，因為，所以，故二面角的正弦值為．解法2：以為原點，所在直線為x軸，垂直于的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面與平面的法向量分別為，則，不妨取.則，，不妨取，所以，故二面角的正弦值為．36．（22·23下·浙江·三模）如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.(1)線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；(2)若，，點到平面的距離為，且點在底面的射影落在內部，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）取的靠近點的三等分點，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質可得出平面，由此可得出結論；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，過點在平面內作，垂足為點，證明出平面，求出的值，然后以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取的靠近點的三等分點，連接、、，則，又因為，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為