二、向量空間的基和維數(shù)

一、向量空間的概念§3.3向量空間三、基變換與過渡矩陣

例1

設V

為平面上所有起點在定點O

的向量的集合.(1)若a

V,b

V,

則a

+

b

V;(2)若a

V,k

R,

則ka

V,稱V

為平面向量空間.

設V中兩向量a1,a2

線性無關,即a1,a2

不共線,則稱V

為由向量組a1,a2

生成的向量空間.一、向量空間的概念

集合V

具有如下性質:例2

設n元方程組Ax=0的解集為

S,秩R(A)=

r<n.性質1

若x

S,h

S,

則x+h

S.性質2

若x

S,k

R,

則kx

S.稱解集

S為方程組Ax

0的解空間.稱解空間S

為由向量組x1,

,xn-r

生成的向量空間.

設x1,

,xn-r

是方程組Ax=0的一個基礎解系,則

向量空間

設Rn

的非空子集V滿足條件：(1)若a

V,b

V,

則a

+

b

V;(2)若a

V,k

R,

則ka

V,那么稱V

為一個向量空間.

當非空集V

滿足條件(1),(2)時,稱V對線性運算封閉.

向量空間必含零向量.

{0}是一個向量空間,稱零空間.

Rn

本身是一個向量空間.

子空間

設有向量空間V1

及V2,若V1

V2,就稱V1

是V2的

子空間.而當V1

V2

時,稱V1

是V2

的真子空間.

向量組B

可由組A

線性表示的充要條件是B

L(A).

生成空間

設有向量組A:a1,

,am,稱向量空間L(A)為由向量組A生成的向量空間,簡稱生成空間.稱a1,

,am

為生成元.記

L(A)為向量空間V的子空間的充要條件是

A

V.

L(B)為L(A)的子空間的充要條件是向量組

B

可由組

A

線性表示.

L(A)=

L(B)的充要條件是向量組A

與組B等價.則L(A)是一個向量空間.例3

由a1=(1,1,0,0)T,a2=(1,0,1,1)T

所生成的空間記為V1,而由b1=(2,-1,3,3)T,b2=(0,1,-1,-1)T

所生成的空間記為V2.試證V1=

V2.解求得由此,又可得因此

a1,a2

與b1,b2

等價,從而V1=V2.

稱向量空間V

的任一最大無關組為

V

的一個基.二、向量空間的基和維數(shù)

向量空間的基和維數(shù)

稱向量空間V

的秩為

V的維數(shù),記為dimV.

基的性質

設

V是一個向量空間,則V

中向量組a1,

,ar

為V的一個基的充分必要條件是(2)V

中任一向量可由a1,

,ar

線性表示.(1)a1,

,ar

線性無關;

設V

是一個

r

維向量空間,則V中任意

r個線性無關向量a1,

,ar

為V

的一個基,且有

dimL(a1,

,ar)

R(a1,

,ar).

n元方程組Ax=0的任一基礎解系為解空間S的一個基,且有dimS=

n-R(A).

單位坐標向量組為Rn

的一個基,dimRn

=

n.

平面向量空間是2維向量空間,兩個不共線向量為其基.

向量在基下的坐標

設

a1,

,ar

是向量空間V

的一個基,則V

中任一向量a可唯一地表示為稱(k1,

,kr)為向量

a在基a1,

,ar

下的坐標.解例4

驗證a1=(1,-1,0)T,a2=(0,1,3)T,a3=(2,1,8)T

為R3

的一個基,并求b1=(5,0,12)T,b2=(9,-7,8)T,b3=(3,1,11)T在這個基下的坐標.從而a1,a2,a3

線性無關,b1,b2,b3在基a1,a2,a3下的坐標分別為所以R(a1,a2,a3)=3,即有為R3

的一基.三、基變換與過渡矩陣

設向量組a1,

,ar

及b1,

,br

是向量空間V的兩個基,

基變換稱以上關系式為基變換公式.

稱矩陣P為從基a1,

,ar

到基b1,

,br

的過渡矩陣.則存在r

階可逆矩陣P,使可以驗證

b1,b2,b3

也為R3

的一個基.

平面坐標旋轉變換公式

如圖所示,依次記i,j,i

,j

為x

軸