第一章特殊平行四邊形本章總結(jié)提升第一章特殊平行四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系重點(diǎn)模塊總結(jié)綜合能力提升平行四邊形有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角菱形正方形矩形有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等特殊平行四邊形知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)系模塊1菱形的性質(zhì)與判定菱形的性質(zhì)與判定有哪些？它與平行四邊形有何關(guān)系？你能用幾種方法計(jì)算菱形的面積？重點(diǎn)模塊總結(jié)例1如圖1－T－1所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BC相交于點(diǎn)N，與BD交于點(diǎn)O，連接BM，DN.(1)求證：四邊形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的長(zhǎng)．圖1－T－1[解析](1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，根據(jù)OB＝OD和AD∥BC推出DM＝BN，從而得出四邊形BMDN是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)MN⊥BD推出四邊形BMDN是菱形．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO.∵M(jìn)N是BD的垂直平分線，∴OB＝OD，BD⊥MN.在△DOM和△BON中，∵∠MDO＝∠NBO，OD＝OB，∠DOM＝∠BON，∴△DOM≌△BON，∴DM＝BN.又∵DM∥BN，∴四邊形BMDN是平行四邊形．又∵M(jìn)N⊥BD，∴?BMDN是菱形．例1如圖1－T－1所示，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BC相交于點(diǎn)N，與BD交于點(diǎn)O，連接BM，DN.(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的長(zhǎng)．圖1－T－1[解析](2)根據(jù)菱形的性質(zhì)求出MD＝MB，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理列方程求解．解：(2)∵四邊形BMDN是菱形，∴MB＝MD.設(shè)MD＝x，則MB＝MD＝x，AM＝8－x.在Rt△AMB中，MB2＝AM2＋AB2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即MD的長(zhǎng)為5.模塊2矩形的性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)與判定有哪些？它與平行四邊形有何關(guān)系？矩形與菱形有何異同點(diǎn)？利用矩形對(duì)角線的性質(zhì)可得到直角三角形的哪個(gè)性質(zhì)？例2如圖1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE＝OD，BE與CD相交于點(diǎn)G.(1)求證：AP＝DG；(2)求線段CG的長(zhǎng)．圖1－T－2解：

(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根據(jù)題意，得△ABP≌△EBP，∴AP＝EP，∠A＝∠E＝90°，AB＝BE＝8.在△ODP和△OEG中，∵∠D＝∠E，OD＝OE，∠DOP＝∠EOG，∴△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG，PD＝GE，∴OD＋OG＝OE＋OP，即DG＝EP，∴AP＝DG.例2如圖1－T－2所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折得到△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE＝OD，BE與CD相交于點(diǎn)G.(2)求線段CG的長(zhǎng)．圖1－T－2解：

(2)設(shè)AP＝EP＝x，則PD＝GE＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，根據(jù)勾股定理，得BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴CG＝8－4.8＝3.2.【歸納總結(jié)】解決矩形中折疊問題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)抓住折疊的本質(zhì)：①折起部分與重合部分是全等的；②利用軸對(duì)稱的性質(zhì)(對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段)．(2)找出隱含的折疊前后的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．(3)結(jié)合三角形全等、勾股定理等知識(shí)，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出方程求解．例3如圖1－T－3，在?ABCD中，各內(nèi)角的平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)求證：四邊形EFGH是矩形；(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四邊形EFGH的面積．圖1－T－3例3如圖1－T－3，在?ABCD中，各內(nèi)角的平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(2)若AB＝6，BC＝4，∠BAD＝60°，求四邊形EFGH的面積．圖1－T－3例4如圖1－T－4，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F(xiàn)分別為DB，BC的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF.(1)求證：AE＝EF；(2)當(dāng)AF＝AE時(shí)，設(shè)∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數(shù)量關(guān)系．圖1－T－3例4如圖1－T－4，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F(xiàn)分別為DB，BC的中點(diǎn)，連接AE，EF，AF.(2)當(dāng)AF＝AE時(shí)，設(shè)∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數(shù)量關(guān)系．圖1－T－3解：(2)∵AE是Rt△ABD的斜邊BD上的中線，∴AE＝DE，∴∠ADB＝∠DAE，∴∠AEB＝2∠ADB＝2α.∵EF是△BCD的中位線，∴EF∥DC，∴∠FEB＝∠CDB＝β.由(1)知AE＝EF，又AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，即∠AEF＝∠AEB＋∠FEB＝2α＋β＝60°，∴2α＋β＝60°.模塊3正方形的性質(zhì)與判定正方形的性質(zhì)與判定有哪些？四邊形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有怎樣的關(guān)系？例5如圖1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF.(1)若DG＝2，求證：四邊形EFGH為正方形；(2)若DG＝6，求△FCG的面積．圖1－T－3[解析]

(1)通過證明Rt△DHG≌Rt△AEH，得到∠DHG＝∠AEH，從而得到∠GHE＝90°，然后根據(jù)有一個(gè)角為直角的菱形為正方形得到四邊形EFGH為正方形；解：(1)證明：∵四邊形EFGH為菱形，∴HG＝EH.∵AH＝2，DG＝2，∴DG＝AH.在Rt△DHG和Rt△AEH中，∵HG＝EH，DG＝AH，∴Rt△DHG≌Rt△AEH，∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°.又∵四邊形EFGH為菱形，∴四邊形EFGH為正方形．例5如圖1－T－5，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF.(2)若DG＝6，求△FCG的面積．圖1－T－3[解析](2)過點(diǎn)F作FQ⊥CD于點(diǎn)Q，連接GE，利用AB∥CD得到∠AEG＝∠QGE，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得HE＝FG，HE∥FG，則∠HEG＝∠FGE，所以∠AEH＝∠QGF，于是可證明△AEH≌△QGF，得到AH＝QF＝2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【歸納總結(jié)】正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性質(zhì)，判定一個(gè)四邊形是正方形只需要保證它既是矩形又是菱形即可．例6如圖1－T－6①所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，點(diǎn)B，C，F(xiàn)在同一條直線上，M是線段AE的中點(diǎn)，連接DM，F(xiàn)M.(1)求證：DM⊥FM，DM＝FM；(2)如圖1－T－6②，若將“正方形ABCD和正方形CGEF”改為“菱形ABCD和菱形CGEF”，且∠BCD＝∠G＝120°，其他條件不變，則DM和FM又有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論．圖1－T－6綜合能力提升解：(1)證明：如圖，延長(zhǎng)DM交GE于點(diǎn)N，連接DF，NF.∵四邊形ABCD和四邊形CGEF都是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.∵M(jìn)是AE的中點(diǎn)，∴AM＝EM.又∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，∴DM＝NM，AD＝EN.∵AD＝CD，∴CD＝EN.又∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°，∴△DCF≌△NEF，∴∠CFD＝∠EFN，DF＝NF.∵DM＝NM，∴FM平分∠DFN，且DM⊥FM.∵∠EFN＋∠CFN＝90°，∴∠CFD＋∠CFN＝90°，即∠DFN＝90°.∵DM＝NM，∴FM是Rt△DFN斜邊上的中線，