第四講機(jī)器人微分運(yùn)動學(xué)

(DifferentialKinematics)

回顧

上一講討論的是機(jī)械臂末端位置和姿態(tài)與關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系。稱為位置運(yùn)動學(xué)。本講目的

介紹機(jī)器人運(yùn)動輸入－輸出的速度本講主要內(nèi)容(1)本講討論機(jī)械臂末端速度、加速度與關(guān)節(jié)速度、加速度之間的關(guān)系。稱為微分運(yùn)動學(xué)。(2)斜對稱矩陣、微分算子、微分運(yùn)動及其坐標(biāo)變換；(3)雅克比矩陣(Jacobian)（5S）；(4)雅克比矩陣的求法。4.1剛體運(yùn)動與微分運(yùn)動的變換剛體上任意一點P的速度＝固連坐標(biāo)系的平動速度＋該點P繞固連坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動速度。

其中，因此，設(shè)：則：相對速度牽連速度可表示為齊次坐標(biāo)形式：微分算子稱為微分算子。

斜對稱矩陣(SkewSymmetricMatrix)斜對稱矩陣(SkewSymmetricMatrix)定義：nxn矩陣S被稱為斜對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)(iff)滿足注：一般地，把所有3x3的斜對稱矩陣表示為:so(3)SSM的性質(zhì)：S(k1a+k2b)=k1S(a)+k2S(b)S(a)p=axpRS(a)RT=S(Ra)XTSX=0定義六維列矢量：

稱為剛體的廣義速度矢量，它能完整地刻畫任意剛體在三維空間中的運(yùn)動。若用差分代替微分，則上式可寫為

稱為微分運(yùn)動矢量。微分運(yùn)動矢量D在不同坐標(biāo)系中的表示是不一樣的，在一個坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動給定之后，如何求出在另一坐標(biāo)系中的微分運(yùn)動？

微分運(yùn)動的坐標(biāo)變換根據(jù)前面齊次變換的學(xué)習(xí)知道，任意坐標(biāo)系{T}在參考系中的表示為：

則T與微分算子的積為

根據(jù)矢量差積的關(guān)系有:即代表坐標(biāo)系{T}在參考系中的微分運(yùn)動。

若令表示坐標(biāo)系{T}在自身坐標(biāo)系下的微分算子,則同樣表示坐標(biāo)系{T}在參考系中的微分運(yùn)動，因此即：根據(jù)差積的性質(zhì)：（1）（2）則得到：根據(jù)矢量的正交性和規(guī)一化，即得到：另一方面，的定義為

得到：即建立起了微分運(yùn)動在不同坐標(biāo)系間的變換關(guān)系。

以上推導(dǎo)過程和結(jié)論對機(jī)器人的速度分析，靜力學(xué)分析，動力學(xué)分析都是非常重要的。4.2機(jī)器人的速度正運(yùn)動學(xué)方程例：Planar2Rrobot這里我們感興趣的是機(jī)械臂在當(dāng)前位置的微小運(yùn)動,它可以通過微分的運(yùn)動學(xué)方程來決定.寫成向量形式：其中，矩陣J稱為機(jī)械臂的雅可比(Jacobian)矩陣雅克比矩陣(JacobianMatrix)根據(jù)運(yùn)動學(xué)方程,可以得到平面二連桿機(jī)器人的雅可比矩陣J為：

可以看出,雅可比矩陣也是關(guān)節(jié)角變量的函數(shù),同樣隨機(jī)器人的位形變化而變化.

一般情況下,雅可比矩陣可以看成是矢量對矢量的導(dǎo)數(shù),如在上面的例子中：

如果有如下所示的n個獨立變量的函數(shù)

雅可比矩陣的第i列表示的是機(jī)械臂第i個關(guān)節(jié)速度對機(jī)械臂末端速度的貢獻(xiàn)兩邊求導(dǎo)有：寫成矩陣的形式有：其中，即雅克比矩陣對于機(jī)器人,雅可比矩陣建立關(guān)節(jié)速度與手抓速度之間的關(guān)系

設(shè)機(jī)器人有n個關(guān)節(jié),則雅可比矩陣：建立機(jī)器人的雅可比矩陣是進(jìn)行系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)分析的基礎(chǔ),也貫穿于整個機(jī)器人學(xué)!!!4.3機(jī)器人操作臂雅可比矩陣建立的方法（1）方法一——矢量積法

移動關(guān)節(jié)的運(yùn)動，它在末端抓手上產(chǎn)生與軸相同方向的線速度，且

因此得到雅可比矩陣第列為：（移動關(guān)節(jié)）Zi表示i坐標(biāo)系Z軸單位矢量在基礎(chǔ)參考系中的表示。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的運(yùn)動，它在終端抓手上產(chǎn)生的角速度為

同時在末端抓手上產(chǎn)生的線速度為矢量積：因此雅可比矩陣的第列為

（轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)）（2）方法二——微分變換法對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié),其微分運(yùn)動矢量為，

利用微分變換式線微分運(yùn)動角微分運(yùn)動得到關(guān)節(jié)i對抓手微分運(yùn)動的貢獻(xiàn)為：若關(guān)節(jié)是移動關(guān)節(jié)，則

利用微分變換式同樣有：即得到關(guān)節(jié)i對末端抓手運(yùn)動的貢獻(xiàn)。作業(yè)2－2：設(shè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)1軸線垂直于地面，關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3的軸線平行，并與關(guān)節(jié)1的軸線相垂直。關(guān)節(jié)1與關(guān)節(jié)2的軸線正交，連桿1與連桿2之間無偏距。求該操作臂末端的位置雅可比矩陣。

作業(yè)2-2圖

DifferentialKinematics(2)本講重要概念：雅克比矩陣(JacobianMatrix)(5S)

運(yùn)動學(xué)奇異(Singularity)(5S)

冗余度(Redundancy)(4S)

零空間(NullSpace)(4S)

自運(yùn)動(Self-motion)(4S)

可操作性(Manipulability)(5S)4.4逆運(yùn)動學(xué)速度方程

設(shè)機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)方程為：機(jī)械臂末端速度機(jī)械臂雅可比矩陣機(jī)械臂關(guān)節(jié)速度給定機(jī)械臂末端期望速度，求解各關(guān)節(jié)速度的問題稱機(jī)器人的逆運(yùn)動學(xué)問題。當(dāng)J為方陣，且滿秩時：機(jī)械臂的位形是不斷變化的,而機(jī)器人的雅可比矩陣是機(jī)器人關(guān)節(jié)變量的函數(shù),因此有可能發(fā)生雅可比矩陣降秩的情況,即機(jī)械臂發(fā)生運(yùn)動學(xué)“奇異”。例：以平面二連桿機(jī)械臂進(jìn)行分析：運(yùn)動學(xué)奇異或時機(jī)械臂發(fā)生運(yùn)動奇異。因因此兩桿重合兩桿伸直關(guān)節(jié)速度變化曲線

從圖中可以看出,在接近奇異點A和D時,兩個關(guān)節(jié)的速度都很大.它說明了沿徑向OA和OD產(chǎn)生末端速度,需要兩個關(guān)節(jié)都具有很大的速度.在BC之間,由于手臂必須在這個范圍迅速轉(zhuǎn)動,所以第一關(guān)節(jié)的速度很大.這個范圍中由于已接近J的奇異點,即使存在,求出的關(guān)節(jié)速度也將是很大的.4.5冗余度機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)逆問題機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)方程為：當(dāng)機(jī)械臂相對于末端操作任務(wù)具有多余關(guān)節(jié)時，此時稱機(jī)械臂具有冗余自由度。此時（n>m）機(jī)械臂末端速度與關(guān)節(jié)速度之間的映射如下：冗余度機(jī)械臂發(fā)生在雅可比零空間的運(yùn)動不影響機(jī)械臂末端的運(yùn)動。值空間、零空間當(dāng)機(jī)械臂的雅可比矩陣不是方陣時，如何解決逆運(yùn)動學(xué)問題？對于冗余度機(jī)器人,給定手抓速度,有無窮多組關(guān)節(jié)速度的解.通過使某種性能指標(biāo)最優(yōu),可以獲得一組確定的解.

下面利用拉各朗日乘子法來解決這一問題：設(shè)給定關(guān)節(jié)速度的二次型目標(biāo)函數(shù)為：其中，為加權(quán)矩陣，問題是：給定機(jī)械臂末端期望速度，決定各關(guān)節(jié)速度并使上式取最小值。建立新的廣義目標(biāo)函數(shù)：該函數(shù)的極值應(yīng)滿足：得到：假定J為滿秩矩陣,因此

當(dāng)加權(quán)矩陣W=I時

雅可比矩陣的偽逆

可逆以上討論了根據(jù)手抓速度求解關(guān)節(jié)速度的一般方法,最后歸結(jié)為計算雅可比矩陣的逆或偽逆.但是求解矩陣的逆矩陣需要進(jìn)行大量的復(fù)雜計算,在實際計算中,一般盡量避免矩陣求逆的計算.

實際上根據(jù)微分運(yùn)動學(xué)方程可以通過解線性方程組的方法由解出,解線性方程組的辦法比矩陣求逆計算要簡單一些,但是計算量依然很大,他們都難以實時計算，因此高速實時計算方法也是機(jī)器人學(xué)研究的重要內(nèi)容。4.6冗余度機(jī)械臂運(yùn)動學(xué)優(yōu)化1.自運(yùn)動冗余度機(jī)械臂的逆運(yùn)動學(xué)一般解為：最小二乘解J陣零空間運(yùn)動自由矢量自運(yùn)動放大系數(shù)自運(yùn)動自運(yùn)動、運(yùn)動學(xué)優(yōu)化、優(yōu)化指標(biāo)Y(m)平面三自由度機(jī)械臂的自運(yùn)動2.避障運(yùn)動目標(biāo)函數(shù)：機(jī)械臂與障礙物之間的距離障礙物特征點或在線最優(yōu)運(yùn)動優(yōu)化：最快下降——梯度法自運(yùn)動的證明障礙物初始位形3自由度平面機(jī)械臂的避障運(yùn)動優(yōu)化3.可操作度

矩陣J的奇異值分解為

同樣是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)可操作度：平面3連桿機(jī)械臂避關(guān)節(jié)角極限運(yùn)動優(yōu)化4.靈巧度雅克比矩陣的奇異值：定義機(jī)械臂的靈巧度：4.7補(bǔ)充材料

——并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)問題六自由度并聯(lián)機(jī)器人——虛軸機(jī)床三分支平面并聯(lián)機(jī)器人四分支平面并聯(lián)機(jī)器人4.8多腿移動機(jī)器人四足步行機(jī)器人四足步行機(jī)器人3D模型結(jié)束語當(dāng)你盡了自己的最大努力時，失敗也是偉大的