年深圳市第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題詳解版一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合,則A. B. C. D.【題源】本題改編自人教A版必修第一冊(cè)10頁例1.【答案】C【解析】.2.已知(為虛數(shù)單位),則A.1 B. C.2 D.4【題源】本題改編自人教A版必修第二冊(cè)71頁例2.【答案】A【解析】方法一:;方法二:.3.已知向量,若,則A.-2 B.-1 C.1 D.2【題源】本題改編自人教A版必修第二冊(cè)60頁第8題.【答案】B【解析】由于,則,則;4.已知,則A. B. C.2 D.3【題源】本題改編自人教A版必須第一冊(cè)229頁第9題.【答案】C【解析】由于,那么,,則,選C.5.已知函數(shù)的周期為2,且在上單調(diào)遞增,則可以是A. B.C. D.【題源】本題改編自2024年新高考全國II卷第6題.【答案】B【解析】對(duì)于,不符合題意;對(duì)于,函數(shù)圖象如下:正確;對(duì)于,不符合題意;對(duì)于,在不單調(diào),不符合題意;6.已知雙曲線的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,兩條漸近線夾角為,且點(diǎn)在上,則的離心率為A. B. C.2 D.或2【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第一冊(cè)129頁第13題.【答案】C【解析】由雙曲線的兩條漸近線夾角為,可知的漸近線方程為或,由或(其中為漸近線的斜率),解得或,若,如圖,令,點(diǎn)不可能在雙曲線是;或設(shè)雙曲線方程為:,則無解;若,設(shè)雙曲線方程為:,則,此時(shí)雙曲線方程為:,選C.7.已知曲線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則A. B.1 C. D.【題源】本題改編自2024年新高考全國I卷第13題.【答案】B【解析】方法一:由已知曲線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,而,則只考慮,即,令,則,而在單調(diào)遞增,且,所以時(shí),單調(diào)遞減,時(shí),單調(diào)遞增,而時(shí),時(shí),,所以.方法二由已知曲線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則曲線與曲線只有一個(gè)公切點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為,根據(jù)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像之間的關(guān)系所以:,即:,所以,設(shè),則在單調(diào)遞減,而,所以,所以.方法三由于函數(shù)的反函數(shù)為,兩函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,由于,令,則,即函數(shù)與函數(shù)相切于點(diǎn),同理:,令,即函數(shù)與函數(shù)也相切于點(diǎn),于是函數(shù)與函數(shù)相切于點(diǎn),由選項(xiàng)可知,.8.如圖,已知圓臺(tái)形水杯盛有水(不計(jì)厚度),杯口的半徑為4,杯底的半徑為3,高為6.5.當(dāng)杯底水平放置時(shí),水面的高度為水杯高度的一半,若放入一個(gè)半徑為的球(球被完全浸沒),水恰好充滿水杯,則A.1.5 B.2 C.3 D.3.25【題源】本題改編自人教A版必修第二冊(cè)119頁例4.【答案】D【解析】如圖,,不妨設(shè)球的半徑為,由于圓臺(tái)的體積由題可知:,則,此時(shí)小球恰好與上下底面相切,下面考慮當(dāng)小球與側(cè)棱相切時(shí),設(shè)球心為,由于,則,則,那么,則,那么在上方,即該小球先與上下底面相切,選D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.一組樣本數(shù)據(jù).其中,求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為:,殘差為.對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理:,得到新的數(shù)據(jù),求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為:,其殘差為分布如圖所示,且,則樣本負(fù)相關(guān) B.C. D.處理后的決定系數(shù)變大【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第三冊(cè)112頁思考.【答案】ABD【解析】由經(jīng)驗(yàn)回歸方程單調(diào)遞增,可知樣本點(diǎn)正相關(guān),故A對(duì);由題意樣本均值分別為,由樣本中心在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上,帶入回歸直線解得,B正確;由殘差分析可得比更集中,故,且(1)的擬合效果更好,所以錯(cuò)誤,正確.10.已知函數(shù),則A.為周期函數(shù)B.存在,使得的圖象關(guān)于對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的最大值為2【題源】本題改編自人教A版必修第一冊(cè)250頁閱讀與思考.【答案】【解析】由于,,所以為的周期,正確;若要圖象關(guān)于對(duì)稱,由奇函數(shù)可得為對(duì)稱軸,又因?yàn)?所以圖象不關(guān)于對(duì)稱,B錯(cuò)誤;因?yàn)?化簡整理得,當(dāng)時(shí),,對(duì)稱軸為成立,故在區(qū)間上單調(diào)遞減,正確;因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,因?yàn)楫?dāng),即時(shí),,所以,D不正確.已知,其中.點(diǎn)分別滿足,,其中,直線與直線交于點(diǎn),則當(dāng)時(shí),直線與直線斜率乘積為當(dāng)時(shí),存在點(diǎn),使得當(dāng)時(shí),的面積最大值為若存在,使得,則【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第一冊(cè)116頁第11題.【答案】AD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,由于,A正確;對(duì)于選項(xiàng),由可知,,此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為:,于是若,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合,矛盾,不正確;對(duì)于選項(xiàng),直線,聯(lián)立,,設(shè),則,若,則點(diǎn)的軌跡方程為,設(shè)點(diǎn),直線,點(diǎn)到直線的距離,由于,于是當(dāng)時(shí),,的最大值為不正確;由可知,點(diǎn)的軌跡方程為,設(shè),于是,即于是正確.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是_____(用數(shù)字作答).【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第三冊(cè)35頁第6題.【答案】240【解析】.13.在等比數(shù)列中,已知,則_____.【題源】本題改編自人教A版選擇性必修第二冊(cè)31頁第3題.【答案】6【解析】設(shè)公比為,由于,則,若,則矛盾,則符合.某次考試共5道試題,均為判斷題.計(jì)分的方法是:每道題答對(duì)的給2分,答錯(cuò)或不答的扣1分,每個(gè)人的基本分為10分.已知趙、錢、孫、李、周、吳6人的作答及前5個(gè)人的得分情況如下表,則吳的得分為_____.【題源】本題改編自《趣味數(shù)學(xué)100題》.【答案】14分.【解析】解法一分析可得,無論每道題的結(jié)果如何,每道題前五人的得分比吳的得分多2分,則吳的得分為:,加上基本分后為14.人題號(hào)趙錢孫李周吳1??????2??????3??????4??????5??????得分1411141411解法二由于前四個(gè)人只有錢的得分是11分,則錢答對(duì)兩個(gè)題,答錯(cuò)三個(gè)題;不妨將錢的答案全部考慮反面,則錢答對(duì)三個(gè)題,答錯(cuò)兩個(gè)題,共14分;:人題號(hào)趙錢孫李周吳1??????2??????3??????4??????5??????得分1414141411對(duì)于6個(gè)人而言,前4個(gè)題,6個(gè)人的答案都是三個(gè)√,三個(gè)錯(cuò),那前4個(gè)題,每個(gè)題都是3個(gè)人對(duì),3個(gè)人錯(cuò)；前4個(gè)題的總分為:分；現(xiàn)在考慮第5題,共5個(gè)人,一個(gè)×,若第5題正確答案是“×”,那么第5個(gè)題的得分是:分,最終5個(gè)題的總得分為69分;而從得分來看,分,于是吳得分是2分,矛盾;于是第5題正確答案是“√”,第5題的得分是:分,6個(gè)題的總分為:81分,于是吳得14分.解法三:考慮第一,二題孫的答案是對(duì)的(1)若孫第三題答案也是對(duì)的,與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2??(-1)??(-1)?(-1)?(-1)3?(-1)???(-1)??4√(2)?????5???(-1)???得分1411141411(2)若孫第三題答案是錯(cuò)的,錢最后兩題只能全對(duì),與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2??(-1)?√(-1)?(-1)?(-1)3√(2)??√(2)?4?(-1)????(-1)?5???(-1)√(-1)?(-1)?得分1411141411考慮孫第一題對(duì),第二題答案是錯(cuò)的

(3)若孫第三題答案是對(duì)的,則趙最后兩題全對(duì),與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2√(2)×(-1)√(2)√(2)√(2)3?(-1)???(-1)??4√(2)?????5???(-1)???得分1411141411(4)若孫第三題答案是錯(cuò)的,則孫最后兩題全對(duì),與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1?(-1)?(-1)???(-1)?(-1)2√(2)×(-1)√(2)?(2)?(2)3√(2)×(-1)?√(2)?4?(-1)?????5??√(2)???得分1411141411考慮孫第一題錯(cuò),第二題答案是對(duì)的(6)若孫第三題答案是錯(cuò)的,則孫最后兩題全對(duì),此時(shí)正確答案是,吳此時(shí)14分；趙錢孫李周吳1√(2)√(2)??√(2)√(2)2??(-1)??(-1)?(-1)?(-1)3√(2)?×(-1)√(2)?×(-1)4?(-1)????(-1)?5??√(2)√(2)√(2)√(2)得分141114141114考慮孫第一題錯(cuò),第二題答案是錯(cuò)的,則孫后三題全對(duì),與趙14分矛盾;

趙錢孫李周吳1√(2)√(2)??√(2)?(2)2√(2)?√(2)√(2)3?(-1)?