廣西北海市2023-2024學年高三上學期一模數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五總分評分一、單選題1．已知全集I={1，2，3，4，A．{1，2} B．{3，4} C．2．已知復數(shù)z=1+2i，其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z2A．(?4，5) B．(4，3) C．3．端午佳節(jié)，小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子．現(xiàn)在兩人每次隨機交換一只粽子給對方，則兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為（）A．13 B．14 C．164．已知某圓錐的底面半徑是高的一半，則其側面展開圖的圓心角的大小為（）A．55π B．255π 5．(1+2x)(1+x)3展開式中，A．3 B．6 C．9 D．126．若函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0A．(43，+∞) B．[437．已知直線y=x+1與雙曲線C：x2a2?y2b2=1A．5 B．10 C．2 D．58．已知a=e0.1?1，b=sin0.1A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．b<c<a二、多選題9．已知變量X服從正態(tài)分布X～N(0，σ2A．P(?12<X<12C．正態(tài)分布曲線的最高點上移 D．正態(tài)分布曲線的最高點下移10．已知a>b>0>c，則（）A．ac>bc B．a(b?c)>b(a?c)C．1a+c211．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為SA．若q=2，則SB．若Sn<2C．若Sn，S2n，SD．當q>1時，不存在k∈N*(n<k<2n)，使得Sn，12．已知拋物線x2=y的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A(x1，y1)、A．yB．1C．∠AMB=90°D．若△AMB的外接圓的直徑為2，則直線AB的方程為y=±x+三、填空題13．已知向量a，b的夾角的余弦值為14，|a|=2，|b14．已知α，β∈(0，π2)，且tanα=3，15．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=x2?log216．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：(x?m)2+(y?2m)2=3m2(m>0)與直線x+2y?2=0交于A，B兩點，過A，B分別作圓C的切線l1，l2．若l1與四、解答題17．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（1）求數(shù)列{a（2）若bn=1(n+1)an，求數(shù)列18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知2sin（1）求C的值；（2）若2(a+b)=c2，求19．某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．（1）志愿者小明同學可以在6個項目中選擇3個項目參加服務，求小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率；（2）為了調查志愿者選擇服務項目的情況，從志愿者中抽取了15名同學，其中有9名首選100米，6名首選4×100米接力．現(xiàn)從這15名同學中再選3名同學做進一步調查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD交于點O，PO⊥底面ABCD，側棱與底面所成角的余弦值為1010（1）求O到側面的距離；（2）求平面PAB與平面PBC所成夾角的余弦值．21．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)焦距為2，過點P(2，1)（1）求橢圓C的標準方程；（2）若存在直線l，使得|PA|?|PB|=m，求m的取值范圍.五、證明題22．已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)?2x+x（1）求f(x)的單調區(qū)間；（2）若f(x)+2≤x2+(a+1)x+b在x∈(?1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵I={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，3}，M?N

∴故答案為：D.

【分析】用子集、補集的定義，用排除法可得.2．【答案】C【解析】【解答】解：z2=(1+2i)2=1+4i+4i2=-3+4i，復數(shù)z2在復平面內對應的點的坐標為（-3，4）.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)復數(shù)運算法則計算z2即可得其坐標.3．【答案】D【解析】【解答】解：小明和小華各自帶了一只肉粽子和一只蜜棗粽子．因為兩人每次隨機交換一只粽子給對方，所以第一次交換，小明的肉粽與小華的肉粽交換，小明的肉粽與小華的蜜棗交換，小明的蜜棗與小華的肉粽交換，小明的蜜棗與小華的蜜棗交換，有4種可能，第二次交換也有4種可能，若兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子，則第一次交換后，小明手里只能有一只蜜棗粽子，第二次交換可能是，小明的肉粽與小華的蜜棗交換，小明的蜜棗與小華的蜜棗交換，所以兩次交換后，小明擁有兩只蜜棗粽子的概率為P=2故答案為：D.

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求解.4．【答案】B【解析】【解答】解：設圓錐的底面半徑為r，則高為2r，所以母線長為r2+2r2=5r

故答案為：B.

【分析】根據(jù)圓錐與其展開圖的對應關系，列出展開圖弧長的等式，即可解得.5．【答案】C【解析】【解答】解：(1+2x)(1+x)3=1+x3+2x1+x3展開式中x故答案為：C.

【分析】根據(jù)二項式定理展開式的通項公式即可得解.6．【答案】A【解析】【解答】解：x∈0，π，f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在區(qū)間(0，π)上既有最大值，又有最小值，【分析】根據(jù)x范圍，得到ωx+π6的范圍，作出f(x)=sin(ωx+7．【答案】B【解析】【解答】雙曲線C：x2a2顯然直線y=x+1與直線bx?ay=0交點在第一象限，則有ba>1，即由y=x+1bx?ay=0解得x=ab?a由y=x+1bx+ay=0解得x=?ab+ay=b即(ab?a)所以雙曲線C的離心率e=a故答案為：B

【分析】求出雙曲線的漸近線方程與直線y=x+1聯(lián)立，求出點A，B的坐標，通過|OA|=2|OB|，轉化求解雙曲線的離心率即可.8．【答案】C【解析】【解答】解：設f(x)=ex-1-x，x∈0，+∞則f'x=ex-1>0，所以∴f(x)在0，+∞上單調遞增，

∴f0.1>f0=0，∴a=e0.1-1>0.1.

設g(x)=sinx-x，x∈0，+∞，g'x=cosx-1≤0，∴g(x)在0，+∞上單調遞減，

∴g0.1<g0=0，∴b=sin0.1<0.1.

設hx=ln1+x-x，x∈故答案為：C.【分析】分別構造函數(shù)f(x)=ex-1-x、g(x)=sinx-x、hx9．【答案】B,D【解析】【解答】解：由變量X服從正態(tài)分布X～N(0，σ2)知正態(tài)曲線對稱軸為y軸，它的峰值與σ程反比，當σ故答案為：B、D.

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線分析即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：∵a>b，c<0，∴ac<bc，故A錯誤.

∵a>b，c<0，∴ac<bc，∴-ac>-bc，∴ab-ac>ab-bc，∴ab-c>ba-c，

故B正確.

∵a>b>0，∴a+c故答案為：B、C.【分析】根據(jù)不等式的性質即可判斷A錯誤，B、C正確，對于D用作差比較，但可正可負無法判斷，故D錯誤.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對于A，若q=2時，S2=a1+2a1=3a1，2a2=4a1，∵an>0，∴S2<2a2，故A錯誤.對于B，當q=1時，S1=na1<2a1不恒成立.當q≠1時，a11-qn1-q<2a1qn-1，當0<q<1時，∴qn-12-q>1，不恒成立.當q>1時，∴qn-12-q<1，q≥2，故B正確.對于C，若Sn，S2n，故答案為：B、C、D.【分析】對于A，取特例，可以判定A錯誤.

對于B，分類討論q，當滿足不等式恒成立時，可求出q≥2，故B正確.

對于C，根據(jù)等差中項、等比數(shù)列求和公式化簡即可得q=1，故C正確.

對于D，若存在，根據(jù)等差中項、等比數(shù)列求和公式化簡得qn+q12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：∵x2=y的焦點0，14，∴直線AB的方程為y=kx+14，聯(lián)立y=kx+14x2=y得

x2-x-14=0，∴x1+x2=k，x1x2=-14，∴y1y2=x12x故答案為：B、C、D.【分析】對于A，設出AB直線方程，聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，列出根與系數(shù)關系即可.A錯誤.

對于B，根據(jù)拋物線定義，表示FA，F(xiàn)B，代入根與系數(shù)關系化簡即可.B正確.

對于C，分別設出過A、B拋物線的切線方程，聯(lián)立方程組，轉化為一元二次方程，根據(jù)判別式為0，求出斜率，兩切線斜率積為-1，C正確.13．【答案】?2【解析】【解答】解：∵cosa?，b→=故答案為：-2.【分析】利用平面向量數(shù)量積公式計算即可.14．【答案】π【解析】【解答】解：∵α，β∈0，π2，∴0<α+β<π，又cos(α+β)=?55∴sin故答案為：π4【分析】利用同角三角函數(shù)關系，求出和角正切，再活用正切和差角公式即可求解.注意角的范圍.15．【答案】(?4【解析】【解答】解：當x>0時，f(x)=x2?log2x，f'x=12-1xln2，令f'x>0，則x>2ln2>2.

∴x∈0，2ln2時，f(x)單調遞減，x∈2ln2，+∞時，f(x)單調遞增，

∵f2=0，f故答案為：(?4，【分析】根據(jù)導函數(shù)判斷函數(shù)單調性，結合函數(shù)圖象零點位置、函數(shù)奇偶性即可得到結論.16．【答案】1【解析】【解答】解：由(x?m)2+(y?2m)2=3m2(m>0)得圓心C（m，2m），半徑r為3m，

則圓心C到直線x+2y-2=0的距離d=CD=m+2×2m-212+22=5m-25，因為AB⊥CP于D，AC⊥AP，

△ACP∽△DCA，所以AC217．【答案】（1）解：設數(shù)列{a由題意可得a1=25∴an（2）解：由（1）可知bn∴Tn【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式組成方程組，求得首項和公差即可.

（2）根據(jù)通項裂項求和、化簡即可.18．【答案】（1）解：因為2sinB=sin即2sinBcosC=sin所以cosC=12，又0<C<π（2）解：因為C=π3，由余弦定理可知，又因為2(a+b)=c2，所以所以(a+b)2解得a+b≤8，當且僅當a=b時，等號成立，所以c=2(a+b)≤4，即所以△ABC周長的最大值為12．【解析】【分析】（1）切變弦，利用兩角和差的正弦公式，化簡可得.

（2）由已知結合余弦定理化簡，應用均值不等式，轉化為關于a+b的不等式即可求解.19．【答案】（1）解：記作事件A為“選擇60米袋鼠跳服務”，事件B為“3000米服務”，則P(A)=C5則P(B∣A)=所以小明在選擇60米袋鼠跳服務的條件下，選擇3000米服務的概率25（2）解：依題意，隨機變量X可以取0，1，2，3，P(X=0)=C93P(X=2)=C62隨機變量X的分布列為X0123P12216274所以E(X)=0×12【解析】【分析】(1)根據(jù)古典概型概率、條件概率公式計算即可.

(2)根據(jù)隨機變量X的取值，求出對應概率，列表即得分布列，代入數(shù)學期望公式計算得期望值.20．【答案】（1）解：在四棱錐P?ABCD中，正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，PO⊥底面ABCD，因此四棱錐P?ABCD是正四棱錐，∠ACO是側棱與底面ABCD所成的角，OC=1，在Rt△POC中，cos∠PCO=OCPC=10以O為原點，以OB，OC，OP分別為則P(0，0，設平面PAB的一個法向量為n=(x1，y1，所以點O到側面的距離d=|（2）解：由（1）知，PC=(0，1則PC?m=y2因此cos?n所以平面PAB與平面PBC所成夾角的余弦值為119【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標系，求出各點坐標，進而求出平面PAB的法向量，利用點到平面距離公式計算即得.

(2)求得平面PBC的法向量，兩法向量的夾角的余弦，即為兩平面所成夾角的余弦.21．【答案】（1）解：因為直線l過原點時，|PO|=3|AO|，設由P(2，1)可得：m=12，即所以3x代入橢圓C的方程，可得43又由題意可知，c=1，且a2=b2+所以橢圓C的標準方程為x2（2）解：易知直線l的斜率存在，設l：y=k(x?2)+1=kx+1?2k，與橢圓C的方程聯(lián)立，y=kx+1?2k消去y，整理得(2k由題意可知，Δ=16k整理得k2?2k<0，解得設A(x1，y1)，B(由題意，|PA|?|PB|=(2?x將①代入上式，整理得m=4k2由k∈(0，2)，則2k2+1∈(1【解析】【分析】(1)由已知條件求得橢圓上一點，然后用待定系數(shù)法，組成方程組，解出a、b，即可得橢圓方程.

(2)設出直線方程，聯(lián)立方程組，轉化為關于x的一元二次方程，由判別式得斜率k的取值范圍，由韋達定理，間接得出PA·22．【答案】（1）解：因為f(x)=ln(x+1)?2x+x2的定義域為所以f'令2x2?1x+1>0令2x2?1所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(?1，?2（2）解：因為f(x