雙曲線必會十大基本題型講與練09雙曲線與平面向量的交匯問題典例分析類型一：以平面向量數(shù)量積為條件情境1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點A在雙曲線上且，若的內切圓的半徑為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線定義知，再利用垂直關系知，再結合的等面積法即可求解.【詳解】由點A在雙曲線上，由雙曲線定義知，又，，，，即，，設的內切圓的半徑為，由的等面積法知，即的內切圓的半徑為，2．已知雙曲線的左?右焦點分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為A，若，則此雙曲線的漸近線為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過得到，結合題干中的斜率條件表達出點坐標，再代入雙曲線方程求解與的關系，求解漸近線方程.【詳解】因為，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因為，過點A作AB⊥x軸于點B，則，設，，由勾股定理得：，解得：，故，把A點代入雙曲線方程，得：，解得：，顯然=0，所以，所以雙曲線的漸近線為3．以橢圓＋＝1的頂點為焦點，焦點為頂點的雙曲線C，其左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.已知點M的坐標為(2，1)，雙曲線C上的點P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則（

）A．2 B．4C．1 D．－1【答案】A【解析】由題意可得雙曲線方程，轉換條件為，進而可得F1M平分∠PF1F2，再由內切圓的性質可得點M(2,1)就是△F1PF2的內心，即可得解.【詳解】由題意，雙曲線方程為，|PF1|－|PF2|＝4，由，可得，所以F1M平分∠PF1F2，設△F1PF2內切圓與各邊的切點分別為，如圖，則，所以點為雙曲線右頂點，△F1PF2的內心在直線x＝2上，所以點M(2,1)就是△F1PF2的內心，△F1PF2內切圓的半徑為1，故.類型二：以平面向量數(shù)量積為問題情境1．、分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與的左、右兩支曲線分別交于、兩點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理結合雙曲線的定義可求得，結合平面向量數(shù)量積的運算性質可求得結果.【詳解】在雙曲線中，，，，則、，因為直線過點，由圖可知，直線的斜率存在且不為零，，則為直角三角形，可得，由雙曲線的定義可得，所以，，可得，聯(lián)立，解得，因此，.【點睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．2．已知拋物線與雙曲線有共同的焦點，為坐標原點，在軸上方且在雙曲線上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線方程可求得坐標，進而求得雙曲線方程；設，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算以及點在雙曲線上可將表示為，由在軸上方知，由二次函數(shù)最值求法可求得結果.【詳解】由拋物線方程知：，，解得：；設，，，，在軸上方且在雙曲線上，且，，當時，取得最小值，最小值為.【點睛】本題考查雙曲線中的平面向量數(shù)量積的最值求解問題，易錯點是容易忽略題目中雙曲線位于軸上方的點的縱坐標的取值范圍，從而造成最值點求取錯誤.3．已知點，若為雙曲線的右焦點，是該雙曲線上且在第一象限的動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先設，根據(jù)題中所給的雙曲線方程，寫出其右焦點坐標，之后求得，之后應用線性規(guī)劃的思想，結合是該雙曲線上且在第一象限的動點，從而求得其范圍.【詳解】設，因為為雙曲線的右焦點，所以，所以，令，則是與漸近線平行的直線，直線過時，，直線為漸近線時，，因為是該雙曲線上且在第一象限的動點，所以，即所求的取值范圍為.4．（多選題）已知雙曲線，，O為坐標原點，M為雙曲線上任意一點，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】設點，可得或，且有，求得，設，利用二次函數(shù)的基本性質求得函數(shù)在上的值域，由此可得出合適的選項.【詳解】設點，則或，且有，可得，，，，令，其中或，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線.①當時，函數(shù)單調遞減，此時；②當時，函數(shù)單調遞增，此時.綜上所述，函數(shù)在上的值域為.因此，的值可以是、、.5．在平面直角坐標系中，過方程所確定的曲線C上點的直線與曲線C相切，則此切線的方程.（1）若，直線過點被曲線C截得的弦長為2，求直線的方程；（3）若，，過坐標原點斜率的直線交C于P、Q兩點，且點P位于第一象限，點P在x軸上的投影為E，延長QE交C于點R，求的值.【答案】（1）或；（2）0.【分析】（1）利用圓的弦長公式計算求解，注意先驗證直線斜率不存在的情況；（2）設P(x1,y1),R(x2,y2),則Q(-x1,-y1),E(x1,0),寫出EQ的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，根據(jù)Q，R的橫坐標-x1,x2是這個方程的兩實數(shù)根，利用韋達定理求得，進而計算可得.【詳解】（1）當時，曲線C的方程為,這是以原點為圓心，r=2為半徑的圓，直線l過點,當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為,代入圓的方程得,，∴直線l被圓所截得弦長為2，符合題意；當直線l的斜率存在時，設斜率為k,則直線l的方程為，即,由弦長為2，半弦長為1，圓的半徑為2，所以圓心到直線l的距離為,由點到直線的距離公式得,解得,所以直線l的方程為：；（2）設,則),則直線EQ:代入曲線C的方程并整理得：,Q，R的橫坐標是這個方程的兩實數(shù)根，∴,∴,,,由于,∴類型三：以平面向量共線向量為條件情境1．已知直線與雙曲線（）交于、兩點，與軸交于點，若，則的值為A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先由直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得出A、B兩點的坐標關系，再由找到A、B兩點橫坐標的關系，結合根與系數(shù)的關系得到關于a的方程，從而求得選項.【詳解】由直線方程與雙曲線方程聯(lián)系得，設，∵，∴，∴，，，∴，，，∴，解得，【點睛】本題是考查雙曲線和直線位置關系的綜合題目，解題的關鍵是如何利用已知的向量條件構造關于a的方程，還考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，并且對學生的運算能力要求較高，屬于中檔題.2．已知雙曲線左右焦點為，，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且，若為以為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義得出中各線段長（用表示），然后通過余弦定理得出的關系式，變形后可得離心率．【詳解】由題意，又，所以，從而，，，中，，中．，所以，，所以，3．（多選題）已知雙曲線且成等差數(shù)列，過雙曲線的右焦點F（c，0）的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，，則直線l的斜率的可能取值為（

）A． B．－ C． D．－【答案】AB【分析】利用成等差數(shù)列，求得，設左焦點為，則．令，利用余弦定理求得的值，從而求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系式求得，從而求得直線的斜率.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，所以．設左焦點為，則．令，則，即，將代入解得，從而解得，故，而是直線l的傾斜角或傾斜角的補角，所以直線l的斜率的值為－或．類型四：以平面向量共線向量、數(shù)量積為條件情境的綜合性問題1．已知為坐標原點，雙曲線：的右焦點為，直線過點且與的右支交于，兩點，若，，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點差法，結合平面向量坐標表示公式、斜率的公式進行求解即可.【詳解】設，，，由題可知，是線段的中點，，∴，∵，分別是雙曲線右支上的點，∴兩式相減并整理得，∴，即，又，∴，∴.2．在平面直角坐標系中，雙曲線的左右焦點分別是和，雙曲線的右支上有A、B在第一象限兩點，滿足，并且，則直線的斜率是（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根據(jù)向量知識推出，得為線段的靠近的一個三等分點，根據(jù)得到，設，則，根據(jù)雙曲線的定義求出和，再根據(jù)勾股定理可得，在直角三角形中，求出即可得解.【詳解】因為，所以，所以，所以為線段的靠近的一個三等分點，設，則，根據(jù)雙曲線的定義可知，，因為，所以，在直角三角形中，由勾股定理得，得，所以，所以，即直線的斜率是.3．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點，若，，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】易知，可得，再結合雙曲線的漸近線，可得為正三角形，且，從而可知為線段的中點.【詳解】由，可知，則，因為雙曲線的漸近線為，所以，，故為正三角形，且，所以為的中位線，為線段的中點，即，故.4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線與其左支交于點，若存在，使，，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線和向量垂直的數(shù)量積為零，結合直線的傾斜角得到△為等腰直角三角形，所以在軸上，根據(jù)向量的投影的概念，結合已知向量等式得到,進而判定△為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質和雙曲線的定義得到關于的關系，進而求得斜率.【詳解】存在，使，說明為線段上的點，說明，即為直角，過且斜率為的直線與其左支交于點，說明，所以△為等腰直角三角形，所以在軸上，是在上的投影，是在上的投影，分別是線段和的長度，，說明,∴,∴△≌△,∴△為等腰直角三角形，,∴雙曲線的離心率為,5．（多選題）已知雙曲線的右頂點、右焦點分別為、，過點的直線與的一條漸近線交于點，直線與的一個交點為，，且，則下列結論正確的是（

）A．直線與軸垂直 B．的離心率為C．的漸近線方程為 D．（其中為坐標原點）【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質可判斷A選項的正誤；求出點的坐標，代入雙曲線的方程，求出該雙曲線的離心率，可判斷B選項的正誤；求出的值，可判斷C選項的正誤；利用兩點間的距離公式可判斷D選項的正誤.【詳解】由已知得，設，由，得，所以軸，即，A正確；不妨設點在第一象限，易知，，，即點，設，由，得，所以，所以，即．因為點在雙曲線上，所以，整理得，所以，解得或（負值舍去），B正確；，故C的漸近線的斜率的平方為，C錯誤；不妨設點在第一象限，則，所以，D錯誤．6．已知是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點滿足，若.則以為圓心，為半徑的圓的面積為________.【答案】【分析】延長交于點，由向量數(shù)量積和線性運算可知為線段的垂直平分線，結合雙曲線定義可求得，利用中位線性質可求得，進而得到結果.【詳解】延長，交于點，如下圖所示：，為的角平分線，又，，為線段的垂直平分線，.由雙曲線定義知：，，，分別為中點，，以為圓心，為半徑的圓的面積.【點睛】本題考查雙曲線性質和定義的綜合應用，涉及到平面向量數(shù)量積和線性運算的應用；解題關鍵是能夠通過平面向量的線性運算和數(shù)量積運算確定垂直和平分關系.類型五：共線向量、數(shù)量積與線探索性問題交匯1．設定點，常數(shù)，動點，設，，且．（1）求動點的軌跡方程；（2）設直線：與點的軌跡交于，兩點，問是否存在實數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在．見解析【分析】（1）根據(jù)向量的表達式,可推斷出點到兩個定點,的距離之差為4,根據(jù)雙曲線的定義判斷出其軌跡為雙曲線,進而根據(jù)和,求得,即可求得動點的軌跡方程．（2）設將直線的方程代入橢圓的方程,消去得到關于的一元二次方程,再結合根與系數(shù)的關系利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求得值,從判斷的值是否存在．【詳解】（1）由題意,∴動點的軌跡是以,為焦點的雙曲線的右支,方程為；（2）由直線:與點的軌跡方程,聯(lián)立可得設,,則,∵∴∴∴,∵,∴檢驗時,所以不存在2．已知雙曲線的離心率為，點在上．（1）求雙曲線的方程；（2）設過點的直線l與曲線交于M，N兩點，問在x軸上是否存在定點Q，使得為常數(shù)？若存在，求出Q點坐標及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；；定點．【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程組，解出a、b、c，即可求出雙曲線的方程；（2）設直線的方程為，設定點，聯(lián)立方程組，用“設而不求法”表示出為常數(shù)，求出t，即可求出定點Q.【詳解】(1）由題意，，解得，．∴雙曲線方程為；（2）設直線的方程為，設定點，聯(lián)立，得．∴，且，解得且．設，，∴，，∴，．∴為常數(shù)，與無關，∴，即，此時．∴在軸上存在定點，使得為常數(shù)．【點睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標準方程；（2）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.類型六：共線向量與定值交匯問題1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，且，是C上一點．(1)求C的方程；(2)過點的直線與C交于兩點A，B，與直線交于點N．設，，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義和焦距的概念求出a、c，進而得出結果；(2)設，，，顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為，聯(lián)立雙曲線方程并消去y，利用韋達定理得出表達式；將點N坐標代入直線方程，結合可得，同理求得，進而化簡計算即可.【解析】(1)設C的焦距為，則，即，，；由雙曲線的定義，得，即，所以，故C的方程為．設，，，顯然直線AB的斜率存在，可設直線AB的方程為，代入，得．由過點的直線與C交于兩點A，B，得，由韋達定理，得，；

①由在直線上，得，即；

②由在直線AB上，得．

③由，得，即解得．同理，由，得，結合①②③，得．故是定值．方法點撥1、平面向量作為解題工具在解析幾何中有廣泛的應用，通過向量形式給出題目條件，體現(xiàn)向量在圓錐曲線中的滲透，也是高考設置綜合題的一個特色，如2020年全國卷ⅠT20，利用向量求橢圓方程，2019年全國卷ⅠT19(2)，利用向量相等求弦長|AB|的值，2018年全國卷ⅢT20(2)，題中給出條件eq\o(FP,\s\up7(→))＋eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＝0，證明|eq\o(FA,\s\up7(→))|，|eq\o(FP,\s\up7(→))|，|eq\o(FB,\s\up7(→))|成等差數(shù)列等．解答此類問題除對知識熟練外，還要具備很強的知識間的交匯和遷移變通能力．2、遇到向量數(shù)量積問題，想到向量的坐標表示，向量相等的條件，向量數(shù)量積的坐標運算公式．如：點B在以線段F1F2為直徑的圓上；(2)eq\o(F1B,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝0；(3)kF1B·kF2B＝－1；(4)勾股定理．以上關系可相互轉化．鞏固練習1．已知雙曲線：的右焦點為，是虛軸的一個端點，線段與的右支交于點，若，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，根據(jù)，表示出點M的坐標，再由點M在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.【詳解】設，因為雙曲線的右焦點為，是虛軸的一個端點，則，所以，因為，所以，解得，因為點M在雙曲線上，所以，解得，所以漸近線的斜率為，2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，該圓與雙曲線在第一象限的交點為，則（

）A．8 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件可得，由雙曲線的定義可得，又，由余弦定理得出的余弦值，再由向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.則焦點到漸近線的距離為因為以為圓心的圓與雙曲線的漸近線相切，所以所以,由雙曲線的定義有又，由余弦定理得，，3．經(jīng)過雙曲線的右焦點作傾斜角為45°的直線，交雙曲線于，兩點，設為坐標原點，則等于（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解析】先依題意寫出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積運算計算即得結果.【詳解】由雙曲線的方程可知，右焦點坐標為，的直線方程可設為，設，，則，聯(lián)立可得，，，，．4．已知雙曲線的焦點為，，其漸近線上橫坐標為的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】由題意可設，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】雙曲線的漸近線方程為，故設，設，則，因為，所以，即，所以，因為，所以，因為，所以，5．過雙曲線（，）的右焦點作雙曲線漸近線的垂線段，垂足為，線段與雙曲線交于點，且滿足，則雙曲線離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用漸近線的斜率，求出，，進而利用相似和求出點點A的坐標，代入到雙曲線方程中，得到關于的方程，求出離心率即可【詳解】因為雙曲線漸近線方程為，所以，如圖，在直角三角形中，，，又因為故，，過、A分別作的垂線，垂足分別為、，則由得：，又，故，，故可得點A的坐標為，所以，整理得，解得，6．已知是雙曲線：上的一點，，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】由題知，，所以==，解得.7．已知橢圓與雙曲線有相同的左焦點、右焦點，點是兩曲線的一個交點，且.過作傾斜角為45°的直線交于，兩點（點在軸的上方），且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為零對應的垂直關系結合雙曲線的定義求解出的長度，再根據(jù)焦點坐標求解出橢圓的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可求解出的縱坐標，通過用表示出，則的值可求.【詳解】不妨設為橢圓與雙曲線在第一象限內的交點，橢圓方程為，，由雙曲線定義可知：，又因為，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓方程為，又因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，解得，8．過雙曲線的右焦點作一條漸近線的垂線，垂足為點，垂線交軸于點，且.若的面積為（是坐標原點），則雙曲線的標準方程為A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意及點到直線距離公式可得，，由可得，根據(jù)面積公式可得，又根據(jù)垂線的方程為，得點的坐標為，利用勾股定理可得，結合聯(lián)立解出a、b即可得雙曲線方程.【詳解】過右焦點作漸近線的垂線，漸近線方程即.，，又可得，則.①.又垂線的方程為，得點的坐標為，中，②.由①②及，得，，雙曲線的標準方程為.9．設雙的線（，）的右焦點是F，左?右頂點分別是，，過F做的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若，則雙曲線的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意求得，，再由，可得，從而可得，進而可求得結果【詳解】由題意得，當時，，得，不妨設點在軸上方，則,所以，因為，所以，化簡得，所以，，所以，所以，所以雙曲線的漸近線的斜率為，10．已知雙曲線的左?右焦點分別為、，過的左頂點作一條與漸近線平行的直線與軸相交于點，點為線段上一個動點，當分別取得最小值和最大值時，點的縱坐標分別記為、，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設點的坐標為，其中，可得出關于的二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的基本性質可求得當取最小值和最大值時對應的值，可求得、的值，即可得解.【詳解】由題意可得，，、，雙曲線的漸近線方程為，不妨設直線的斜率為，則直線的方程為，易得，設點的坐標為，其中，，，所以，，故當時，取得最小值，此時，當時，取得最大值，此時，因此，.11．已知雙曲線，右焦點為，點是直線在第一象限上的動點，直線與雙曲線的一條漸近線在第一象限上的交點為，若，則__________．【答案】．【解析】【分析】設，，，由，可求出，從而可求出點坐標，得出答案.【詳解】在雙曲線中，則即，所以右焦點為，設，，，雙曲線的漸近線方程為：由，則點在直線上.,，所以，解得，則，所以12．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過的直線分別與兩條漸近線交于、兩點，若，，則______.【答案】1【分析】由題意畫出圖形，結合已知可得B（，），寫出F1B的方程，與聯(lián)立求得A點坐標，得到A為B、F1的中點，可得結論．【詳解】如圖，因為B在漸近線上，∴設B（，）,且，，∵，∴，則B（，）∴F1B：y（x+2），聯(lián)立，解得A（，），即A為B、F1的中點∴．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質，考查數(shù)形結合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．13．設雙曲線的左焦點為，右頂點為.若在雙曲線上，有且只有個不同的點使得成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】設出的坐標，求出雙曲線的左焦點，右頂點的坐標，利用推出的表達式并轉化為圓的方程，通過分析圓和雙曲線的位置關系，列出關于的不等式，即可求解的取值范圍.【詳解】設，在雙曲線上，，，雙曲線方程為的左焦點為，右頂點為.，，，，，表示以為圓心，以為半徑的圓.由題意可知：在雙曲線上有且只有個不同的點使得成立，即圓與雙曲線有個交點，如圖：點到點間的距離大于半徑，且點到雙曲線左頂點點間的距離小于半徑，，，.實數(shù)的取值范圍是:14．在直角坐標系中，雙曲線（）的離心率，其漸近線與圓交軸上方于兩點，有下列三個結論：①；②存在最大值；③．則正確結論的序號為_______.【答案】①③【分析】根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得兩條漸近線夾角的范圍，再根據(jù)直線與圓的位置關系及弦長，即可得答案；【詳解】，，對①，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結合，可得成立，故①正確；對②，，由于，沒有最大值，沒有最大值故②錯誤；對③，當時，，，又，，，故③正確；15．雙曲線的左?右焦點分別為、，過的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點（P在第二象限，Q在第一象限），則雙曲線C的離心率為______．【答案】【分析】由，得到點在圓上，聯(lián)立方程組，求得，再根據(jù)，求得的坐標，把點代入上，結合離心率的公式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，因為，可得，及，所以點在以為直徑的圓上，即點在圓上，又因為點在漸近線，聯(lián)立方程組，解得，即點，設點，因為，可得，即，解得，即，又由點在漸近線上，可得，化簡可得，所以.16．已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點(1)求雙曲線方程；(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若，求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）依題意設所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；（2）依題意可得直線的斜率存在，設，即可得到的坐標，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；【解析】(1)設所求的雙曲線方程為（，），則，，∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．(2)∵直線l與y軸相交于M且過焦點，∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設．令得，∵且M、Q、F共線于l，∴或當時，，，∴，∵Q在雙曲線上，∴，∴，當時，，代入雙曲線可得：，∴．綜上所求直線l的方程為：或．17．已知雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，點的坐標為，過的直線與雙曲線交于不同兩點、.(1)求雙曲線的方程；(2)求的取值范圍（為坐標原點）.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）解方程和即得解；（2）設過的直線的方程為，設，，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到韋達定理，求出，再根據(jù)的范圍求解.【解析】(1)雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為∵雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，∴，，∵

∴，∴雙曲線的方程為.(2)點的坐標為，設過的直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立可得消去可得①，不符合題意，舍去；②時，得.設，，則，∴∴.∵，,∴，∴或∴或∴或.18．已知雙曲線C的中心在原點，是它的一個頂點.是它的一條漸近線的一個方向向量.(1)求雙曲線C的方程；(2)設，M為雙曲線右支上動點，當|PM|取得最小時，求四邊形ODMP的面積；(3)若過點任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點（A，B都不同于點D），求證:為定值.【答案】(1)；(2)；(3)定值0，證明見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件設出雙曲線C的方程，利用待定系數(shù)法計算得解.(2)根據(jù)給定條件求出點M的坐標，并求出點M到直線DP距離，再借助三角形面積公式計算即得.(3)設出直線AB方程：，聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，借助韋達定理計算即可作答.【解析】(1)因雙曲線C的中心在原點，一個頂點是，則設雙曲線C的方程為：，于是得雙曲線C的漸近線方程為，而雙曲線C的一條漸近線的一個方向向量是，則有，所以雙曲線C的方程為.(2)依題意，設點，則，即，，當時，，此時，點M到直線DP：的距離為，而，如圖，四邊形ODMP的面積，所以四邊形ODMP的面積為.(3)顯然直線AB不垂直于y軸，設直線AB方程：，由消去x得：，當時，恒成立，設，則有，，因此，，所以為定值0.19．點是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為．（1）求的值；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上的一點，滿足，求的值．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）將點代入雙曲線方程，即可得到，再表示出直線，的斜率，從而得到，即可得解；（2）由（1）可得雙曲線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程，消元、列出韋達定理，設，根據(jù)向量共線的坐標表示，化簡即可得到，從而得解；【詳解】（1）因為點是雙曲線E：上一點，所以，又，，由直線