肇慶市2021屆高中畢業(yè)班第一次統(tǒng)一檢測數(shù)學注意事項：1．本試卷共5頁，22題．全卷滿分150分，考試用時120分鐘．2．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集運算的法則，即可求得答案.【詳解】因為，，所以，故選：C2.已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】，故選：A3.設，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若，則，故充分；若，則或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A4.已知函數(shù)，則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)分別求出和的值，即可求解.【詳解】因為所以，，所以，故選：B5.已知函數(shù)，則()A.0 B.1 C.e D.2【答案】D【解析】分析】對求導后，將代入即可求解【詳解】因為，所以，所以，故選：D6.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除A、C，再計算，排除排除選項D，可得到正確答案.【詳解】的定義域為：關于原點對稱，因為，所以是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除AC，由，排除選項D，所以選項B正確，故選：B【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.7.正方形ABCD的邊長為1，E為BC的中點，．若，則()A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】分析】建平面直角坐標系，分別求得的坐標，再由求解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系：則，所以，因為，所以，所以，解得，故選：A8.某公園有一個邊長為的等邊三角形花圃，現(xiàn)要在花圃中修一條籬笆，將花圃分成面積相等的兩部分，則籬笆的最短長度為()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設等邊三角形花圃為，籬笆的長度為，的長為，先求出的面積，再利用面積公式求出的面積讓其等于的面積的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得：，再利用基本不等式即可求的最值，進而可得籬笆長的最小值.【詳解】設等邊三角形花圃為，因為邊長為，所以，設籬笆的長度為，的長為，則，因為,所以，即，所以，在中，由余弦定理可得：，即由基本不等式可得，當且僅當即時，籬笆長取得最小值為，故答案為：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是設籬笆的長度為，的長為，先利用面積等于的面積的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得：，即可利用基本不等式求最值.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分．9.設a，b是兩條不重合的直線，，是兩個不同的平面．下列四個命題中，正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間中線面的關系，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】對于A：若，，則可平行，可相交，也可異面，故A錯誤；對于B：若，，則，故B正確；對于C：若，，則，故C正確；對于D：，，則，故D正確.故選：BCD10.等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前n項和，則()A. B.是中的最大項C.是中的最小項 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，，求得數(shù)列的通項公式，然后再逐項判斷.【詳解】在等差數(shù)列中，，，所以，，A.因為，故正確；B.因為，所以不是中的最大項，故錯誤；C.因為，所以不是中的最小項，故錯誤；D.因為，所以，故錯誤；故選：A11.如圖是函數(shù)的部分圖象，下列選項正確的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先由可求得，再，可得，解得，再利用，可得，所以，，即可知A正確，B不正確，計算即可判斷C、D，進而可得正確答案.【詳解】由圖知，因為，所以，所以，因為，所以，解得：，因為，所以，所以時，可得，故選項A正確，選項B不正確，，故選項C正確；，故選項D不正確，故選：AC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是求的值，先利用，而且是下降零點可得，解得，再結合圖象可知得，求得，問題即可迎刃而解，屬于常考題型.12.下列大小關系正確的有()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】結合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質可判斷選項A、B，利用作差法可判斷選項C，利用作商法可判斷選項D，進而可得正確答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可知，當時，因為，所以，選項A不正確；因為，所以，故選項B正確；因為，所以，即所以，所以，故選項C不正確；因為，，所以，所以，故選項D正確，故選：BD【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟悉指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，記住同一直角坐標系中它們的圖象，當時，另外代數(shù)式比較大小可以用作差法與0比較大小，同號的可以利用作商法與1比較大小，變形的過程很靈活，屬于?？碱}型.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關系，可得的值，即可得答案.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：14.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且．若，則________．【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)，令，可得，利用奇函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】由，令，可得，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為：-215.已知等比數(shù)列中，，，則________．【答案】21【解析】【分析】設公比為，根據(jù)條件，可解得的值，代入等比數(shù)列求和公式，即可求得答案.【詳解】因為為等比數(shù)列，設公比為，所以①，又②得，所以，所以，故答案為：2116.鱉臑(biēnào)出自《九章算術·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國對四個面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個鱉臑，其中，，，且，過點B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點F，連接BF．設三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．【答案】．【解析】【分析】證明后可得為四面體的外接球直徑，在中證得兩兩垂直后可得的直徑的平方等于的平方和，從而可得球的表面積，從而可得結論．【詳解】，，，則平面，平面，∴，又，，∴平面，平面，∴，．又，∴，，又，∴三棱錐可補形成以為棱的一個長方體，其外接球的直徑的平方等于的平方和，而由，則是三棱錐外接球的直徑．∵，∴，，，，，，∴，，，∴．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求三棱錐外接球的表面積，解題關鍵是外接球球心，求出球的直徑．三棱錐外接球球心在過各面外心且與此面垂直的直線上．有時可利用直角三角形去尋找外接球球心．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中．若問題中的三角形存在，求出a的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，_________？注：如果選擇多個條件分別解簽．按第一個解答計分．【答案】問題中的三角形都存在，選①；選②；選③【解析】【分析】先求得，選①：由三角形的面積公式可得，再由余弦定理即可求得的值，選②：由正弦定理可得，再利用余弦定理可求的值，選③：由求得，，再利用正弦定理得即可求得的值.【詳解】由得，因為，所以，選①:由題意得：，解得：，由余弦定理可得：,所以，所以問題中的三角形存在，且，選②：因為，由正弦定理可得，由余弦定理得：，即，解得：或(舍)所以存在問題中的三角形，且選③：由得：，故，由正弦定理得：即，所以，因為，所以，所以問題中的三角形存在，且.18.已知函數(shù)．(1)當時，求在處的切線方程；(2)設是函數(shù)的導函數(shù)，求零點之間距離最小時a的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)當時，，求出切點，求導得，，點斜式即可寫出切線方程；(2)，有兩個零點，分別設為，利用根與系數(shù)的關系可得，，代入即可求解.【詳解】(1)當時，，可得，所以切點為，因為，所以，所以在處的切線方程為：，即，(2)，因為，所以函數(shù)有兩個零點，分別設為，則，，所以，所以當時，函數(shù)零點之間距離最小為.【點睛】方法點睛：求曲線切線方程的一般步驟是：(1)求出在處的導數(shù)，即在點出的切線斜率(當曲線在處的切線與軸平行時，在處導數(shù)不存在，切線方程為)；(2)由點斜式求得切線方程.19.如圖，棱長為2的正四面體ABCD(所有棱長均相等的三棱錐)中，E，F(xiàn)為AB和DC的中點．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】(1)證明平面后可得線線垂直；(2)利用體積公式可得，再求出正四面體的體積即可得．【詳解】(1)連接，∵是中點，∴，又，∴平面，又平面，∴．(2)∵正四面體棱長為2，由(1)可得，是中點，∴，∴，，∴，由E，F(xiàn)為AB和DC的中點，可得．【點睛】關鍵點點睛：本題考查線面垂直證線線垂直，考查求棱錐的體積．在求棱錐體積是用換底法及體積公式進行轉換，，這樣只要求得正四面體體積即可得．20.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質求得最小正周期；(2)用整體思想結合正弦函數(shù)性質可得值域．【詳解】(1)，所以最小正周期為；(2)時，，所以，所以的值域為．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求三角函數(shù)的周期與值域，解題關鍵是利用二倍角公式，兩角和與差的正弦(或余弦)公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)的性質求解．21.已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，遞推化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，求得，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解；(2)由(1)求得，結合“乘公比錯位相減法”和“等差數(shù)列的求和公式”，即可求解.【詳解】(1)由題意，數(shù)列滿足，當時，可得，兩式相減，可得，整理得，即，當時，可得，解得，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.(2)由(1)知，則設，數(shù)列的前項和分別為，則，兩式相減得，所以，又由，所以數(shù)列的前n項和.【點睛】錯位相減法求解數(shù)列的前項和的分法：(1)適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項和；(2)主要事項：①在寫出和的表達式時，應注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準確寫出；②作差后，應注意減式中所剩各項的符號要變號；③作差后，作差部分應用為的等比數(shù)列求和.22.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若是函數(shù)的極值點，求證：函數(shù)存在唯一的極大值點，且．(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】(1)當時，在上是增函數(shù)，時，在上遞增，在是遞減；(2)證明見解析．【解析】【分析】(1)求出導函數(shù)，然后分類討論確定的正負，得單調區(qū)間；(2)求出，由求得，再設，求出，由確定出的單調性，極值，得存在兩個零點1和，其中是極大值點．1是極小值點．并確定，利用可化為，從而可得證．【