2024-2025學(xué)年河北省石家莊市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．“”是“直線：與直線：垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且的長軸長為，則的短軸長為（

）A． B． C． D．3．已知等腰三角形的一腰的兩個(gè)端點(diǎn)分別是，則另一腰的一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程是（

）A．B．（除去兩點(diǎn)）C．（除去兩點(diǎn)）D．（除去兩點(diǎn)）4．已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為M，已知點(diǎn)，則當(dāng)變化時(shí)，的取值范圍是()A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，若圓上存在點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知圓直線，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別與圓M相切于點(diǎn)A，B．則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）四邊形PAMB的面積最小值為

（2）最短時(shí)，弦AB長為（3）最短時(shí)，弦AB直線方程為

（4）直線AB過定點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．以下四個(gè)命題為真命題的是（

）A．過點(diǎn)且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為B．已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為C．直線與直線之間的距離是D．點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，，則的最大值是10．已知，圓，則以下選項(xiàng)正確的有（

）A．圓C上到B的距離為2的點(diǎn)有兩個(gè)B．若過A的直線被圓C所截得的弦為，則的最小值為C．若過A的直線被圓C所截得的弦為，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是D．若點(diǎn)D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，則的最小值為11．如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成角的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為，則（

）A．橢圓的長軸長等于4B．橢圓的離心率為C．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是D．橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知為任意實(shí)數(shù)，直線的傾斜角的范圍是.13．已知橢圓：與圓：，若在橢圓上不存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是.14．若實(shí)數(shù)、、、，滿足，，，則的最大值為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于(1)求圓的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程．16．已知一條動(dòng)直線，(1)求直線恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.17．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，長軸長與短軸長之和為6.(1)求的方程；(2)設(shè)為上一點(diǎn)，.若存在實(shí)數(shù)使得，求的取值范圍.18．已知中，點(diǎn)，邊上中線所在直線的方程為，邊上的高線所在直線的方程為．(1)求邊所在直線方程；(2)以為圓心作一個(gè)圓，使得三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，并記該圓為圓，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)四邊形面積最小時(shí)，求直線的方程.19．已知圓，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若，求圓過點(diǎn)的切線方程；(2)若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值；(3)若圓上存在點(diǎn)，滿足，求的取值范圍.1．A【分析】求出兩直線垂直的充要條件后再根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，則，解得或.所以由可以得到，反之則不然，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．D【分析】由已知可得橢圓的半焦距，再結(jié)合橢圓的長軸可得短軸長度.【詳解】由已知，，又，即，所以，解得，故的短軸長為，故選：D.3．B【分析】設(shè)點(diǎn)，由，可得，又點(diǎn)與點(diǎn)不重合且不共線，所以需除去兩點(diǎn)．【詳解】設(shè)點(diǎn)，由，得，即，又點(diǎn)與點(diǎn)不重合且不共線，所以需除去兩點(diǎn)．故選：B．4．B【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點(diǎn)，以及曲線，畫出直線與曲線的圖象，結(jié)合直線與圓相切和圖象，即可求解.【詳解】由直線過定點(diǎn)，又由曲線，可得，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，因?yàn)橹本€，可得，又由，解得，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.5．A【分析】結(jié)合橢圓的對(duì)稱性以及橢圓的定義得到，在中結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合離心率的公式可以求出結(jié)果.【詳解】取橢圓的右焦點(diǎn)，連接，由橢圓的對(duì)稱性以及直線經(jīng)過原點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又因?yàn)?，則，而，因此，由于，則，在中結(jié)合余弦定理可得，故，即，所以，因此，故選：A.6．B【分析】化已知直線為，即有且，解方程可得定點(diǎn)Q，可得M在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求得圓心和半徑，由圓的性質(zhì)可得最值．【詳解】解：直線，即，由，求得，直線經(jīng)過定點(diǎn)．由為直角三角形，斜邊為PQ，M在以PQ為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得圓心為PQ的中點(diǎn)，半徑為，則與M的最大值為，則與M的最小值為，故MN的范圍為：，故選B．本題考查直線恒過定點(diǎn)，以及圓的方程的運(yùn)用，圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．B【分析】求出圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程，由對(duì)稱圓與圓有公共點(diǎn)可得答案．【詳解】圓的圓心為，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，解得，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，由題意得，以為圓心，以為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得.故選：B．

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是求出圓關(guān)于直線的對(duì)稱的圓與圓有公共點(diǎn)，考查了學(xué)生思維能力.8．A【分析】四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，當(dāng)最短時(shí)，面積最小，當(dāng)時(shí)，最短，求出面積即可得（1）錯(cuò)誤；結(jié)合（1）和弦長公式以及幾何關(guān)系可得（2）正確；當(dāng)短時(shí)，由兩直線平行得到斜率關(guān)系，再求出AB的直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出，再結(jié)合幾何關(guān)系確定的取值可得直線方程，最后可得（3）錯(cuò)誤；設(shè)圓上一點(diǎn)，由向量的數(shù)量積為零得到關(guān)于點(diǎn)的兩條直線方程，解方程組即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)，可得（4）錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于（1），四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)時(shí)，最短，即，，故（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），由上述可知，時(shí)，最短，故最小，且最小值為，所以，故（2）正確；對(duì)于（3），當(dāng)短時(shí)，則，又，所以，可設(shè)AB的直線方程為圓心到直線AB的距離，解得或，由于直線AB在圓心的右側(cè)，且在直線l的左側(cè)，所以，所以，即直線AB的方程為，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），設(shè)圓上一點(diǎn)，，易知，由于，所以，同理，，，，即，令，解得，所以直線AB過定點(diǎn)為，故（4）錯(cuò)誤；故選：A．9．CD【分析】A選項(xiàng)，分截距為0和截距不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，代入，求出直線方程；B選項(xiàng)，過定點(diǎn)，求出，數(shù)形結(jié)合得到或，得到答案；C選項(xiàng)，，利用兩平行線距離公式求出答案；D選項(xiàng)，求出點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，數(shù)形結(jié)合，當(dāng)A，，P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故D正確．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入，，解得，故直線方程為，若直線兩截距不為0時(shí)，設(shè)，將點(diǎn)代入，，解得，即，所以滿足條件的直線方程為或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程可化為，所以直線過定點(diǎn)，直線的斜率為k，因?yàn)橹本€和以為端點(diǎn)的線段相交，所以或，其中，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線，與直線之間的距離，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即，如圖，，當(dāng)A，，P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，故D正確．故選：CD．10．BCD【分析】A由定點(diǎn)到圓心距離及圓的半徑判斷；B首先判斷在圓內(nèi)，再根據(jù)所截弦長最短知直線與垂直，寫出直線方程，進(jìn)而求最小弦長；C由題意的軌跡是以為直徑的圓，即可得圓的方程；D根據(jù)切線性質(zhì)判斷、和兩個(gè)切點(diǎn)所成的四邊形為正方形，進(jìn)而可知的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，最后求定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小值即可.【詳解】由題設(shè)，圓心為且半徑，則，故，所以圓C上到B的距離為2的點(diǎn)有一個(gè)，A錯(cuò)誤；由，即在圓內(nèi)，故過A的直線被圓C所截得的弦長最小，只需直線與垂直，故直線為，此時(shí)，B正確；若過A的直線被圓C所截得的弦的中點(diǎn)為，則，故的軌跡是以為直徑的圓，所以軌跡方程為，C正確；若D滿足過D作圓C的兩條切線互相垂直，結(jié)合切線的性質(zhì)知：、和兩個(gè)切點(diǎn)所成的四邊形為正方形，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，即，而，故該圓上點(diǎn)到的最小值為，D正確.故選：BCD11．BCD【分析】根據(jù)給定圖形，求出橢圓長短半軸長a，b，再逐項(xiàng)計(jì)算、判斷作答．【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，橢圓長軸在圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角，得，解得，A錯(cuò)誤；顯然，則，離心率，B正確；當(dāng)以橢圓短軸所在直線為x軸，長軸所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，C正確；橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，D正確.故選：BCD12．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求出斜率范圍，然后利用正切函數(shù)性質(zhì)求解可得.【詳解】記直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，則，所以.故13．【分析】設(shè)過點(diǎn)的兩條直線與圓分別切于點(diǎn)，由兩條切線相互垂直，可知，由題知，解得，又即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)過的兩條直線與圓分別切于點(diǎn)，由兩條切線相互垂直，知：，又在橢圓C1上不存在點(diǎn)P，使得由P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，所以，即得，所以，所以橢圓C1的離心率，又，所以.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先假設(shè)過P所作的圓C2的兩條切線互相垂直求出，再由橢圓的有界性構(gòu)造含橢圓參數(shù)的不等關(guān)系，即可求離心率范圍.14．【分析】設(shè)，兩點(diǎn)在圓上，，可得到直線的距離，由此利用兩平行線的距離，即可求解的最大值?！驹斀狻吭O(shè),因?yàn)閷?shí)數(shù)，所以兩點(diǎn)在圓上，且,所以，所以是等邊三角形，，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，在第三象限，所在直線與直線平行，可設(shè)，由圓心到直線的距離為，可得，解得，即有兩平行線之間的距離為，所以，所以，所以的最大值為。故。本題主要考查了代數(shù)式的最大值的求法，以及圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題。15．(1)(2)或【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；(2)過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程【詳解】（1）易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程為（2）過A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，由A?1,2到距離為知得，代入解之可得，所以或?yàn)樗蠓匠蹋?6．(1)(2)(3)【分析】（1）將直線整理成直線系方程，求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）由直線不經(jīng)過第二象限，分類整合求出m的取值范圍即可.（3）由題意設(shè)出直線的截距式方程，代入定點(diǎn)，解出方程再化成一般式即可.【詳解】（1）由題意，整理得，所以不管取何值時(shí)，直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，解得，即（2）由上問可知直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)，直線斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線是，顯然滿足題意；當(dāng)時(shí)，由直線不經(jīng)過第二象限，直線與軸有交點(diǎn)時(shí)，則縱截距小于或等于零即可，令，則，即，解得；綜上所述：（3）設(shè)直線方程為，則，由直線恒過定點(diǎn)，得，由整理得：，解得或，所以直線方程為：或，即或，又直線的斜率，所以不合題意，則直線方程為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式解得，即可得橢圓方程；（2）根據(jù)橢圓定義可得，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓方程列式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的長軸長與短軸長之和為6，則，即①，又因?yàn)?，結(jié)合可得②，聯(lián)立①②解得，所以的方程為.（2）設(shè)Px,y，則，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)使得，即，可得，又因?yàn)?，則，可得，所以的取值范圍為.18．(1)(2)【分析】（1）借助中線的性質(zhì)與高的性質(zhì)計(jì)算可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線方程；（2）借助切線的性質(zhì)與面積公式計(jì)算可得時(shí)，四邊形面積最小，結(jié)合兩圓公共弦的求法可得直線的方程.【詳解】（1）因?yàn)檫吷系母呔€所在直線的方程為，且直線的斜率為，則，故直線的方程為，即，聯(lián)立直線和直線的方程可得，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，由題意可得，解得，即點(diǎn)，則，即；（2）因?yàn)椋?，，則，故圓的半徑為，所以，圓的方程為，由與圓相切，故,又，故取最小值，四邊形面積最小，則當(dāng)為點(diǎn)到直線的距離時(shí)，即時(shí)，四邊形面積最小，設(shè)，有，解得，故，由與圓相切，故、、、四點(diǎn)共圓，切該圓以為直徑，圓心為，即，半徑為，即該圓方程為，即，又圓的方程為，即，兩圓方程作差得，