機動目錄上頁下頁返回結(jié)束《用微積分建立疾病傳染模型并預(yù)測其趨勢》電子科技大學(xué)：李皓月

一、初等模型建立（參量：N、i(t)、s(t)、

、a、

、

）將人員分為兩個集合，即病人和健康人（易感者）。1.假設(shè)疫區(qū)人口情況不變,即不計出生人數(shù)和死亡人數(shù),遷入遷出人數(shù).總?cè)丝跀?shù)短期內(nèi)恒為N。2.設(shè)t時刻病人所占總?cè)藬?shù)百分比為i(t)。3.設(shè)t時刻健康人所占總?cè)藬?shù)百分比為s(t)。此時有4.設(shè)每人天天平均接觸人數(shù)百分比為

。5.健康人被感染概率為常數(shù)a，且不考慮治愈后免疫力。6.平均病人人群天天治愈率為常數(shù)

。第1頁在上述假設(shè)條件下，人員流程圖以下Ns(t)健康人群Ni（t）病人于是可列以下等式對第一個等式兩邊同時除以，并令則可變換為第2頁帶入化簡后伯努利方程令則有解得z解為當(dāng)時當(dāng)時第3頁假如有初始值t=0時，其中由

和

含義可知，是整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)。于是有第4頁0ti>11-1/

i0i0

i0t

1i0此模型能夠粗略預(yù)測不計人口改變且不考慮治愈后人群傳染概率改變疾病第5頁二、中等模型建立（參量：N、i(t)、s(t)、r(t)、l、a、m、）將人群分為三個集合，即病人，未患病人群，已治愈人群1假設(shè)疫區(qū)人口情況不變,即不計出生人數(shù)和死亡人數(shù),遷入

遷出人數(shù).總?cè)丝跀?shù)為N2設(shè)t時刻病人百分比為i(t)3設(shè)t時刻易感人群(從未患病人群)百分比為s(t)4設(shè)t時刻已治愈人群百分比r(t)5設(shè)每人天天平均接觸人數(shù)百分比為

6易感人群被感染概率為常數(shù)a，已治愈人群擁有免疫力不會再患病7平均病人人群天天治愈率為常數(shù)

第6頁

Ns(t)易感者人群Ni(t)患病人群Nr(t)痊愈人群于是可列方程且有s（t）+i（t）+r（t）=1，則方程可化簡為第7頁上述初值問題無法求出解析解，只能經(jīng)過數(shù)值解法求出數(shù)值解。此處用matlab軟件求解。設(shè)λ=1，a=1,μ=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98，MATLAB軟件編程functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'輸入ts=0:50x0=[0.02,0.98][t,x]=ode45('ill',ts,x0);[t,x]結(jié)果為第8頁此圖為i~s曲線此圖中初始點在下側(cè)曲線為i（t）曲線。初始點在上側(cè)曲線為s（t）曲線第9頁三、高等模型建立（復(fù)合群體）在中等模型基礎(chǔ)上能夠考慮和增加更多變量從而更準確更多預(yù)測疾病模型。把人群按年紀分為三個集合，即兒童，青年，中老年。不一樣年紀階段人群感染率和治愈率不一樣。每個集合再分為兩個子集，即病人和健康人（也就是說不考慮免疫問題）1設(shè)兒童人數(shù)為L，傳染概率為天天平均治愈率為2設(shè)青年人數(shù)為M，傳染概率為天天平均治愈率為3設(shè)中老年人數(shù)為N，傳染概率為天天平均治愈率為4設(shè)每人天天平均接觸人數(shù)百分比為

第10頁則可列以下方程且有第11頁上述初值問題無法求出解析解，只能經(jīng)過數(shù)值解法求出數(shù)值解。同中等模型解法一樣，依賴于matlab軟件。一樣能夠在此模型基礎(chǔ)上加上更多變量，如性別百分比，人口流動，疾病預(yù)防宣傳，工作性質(zhì)，區(qū)域特點，還有疾病本身傳染路徑等特點。如此則能夠建立愈加準確模型來預(yù)測疾病傳染趨勢。結(jié)