商洛市2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集運(yùn)算即可求解；【詳解】由條件易得：，則故選：D2.若直線與直線平行，則（）A.1 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本題可以通過(guò)直線與直線得直線方程以及兩直線平行的相關(guān)性質(zhì)列出等式，然后通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或．?dāng)時(shí)，重合；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．綜上故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用中間變量比較大小即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故C正確.故選：C4.將3張相同的消費(fèi)券分給9個(gè)人，每人至多分到1張，則不同的分法共有（）A.60種 B.72種 C.84種 D.90種【答案】C【解析】【分析】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，利用組合數(shù)公式計(jì)算可得.【詳解】依題意可得9人中有3人各得1張消費(fèi)券，則不同的分法共有種．故選：C5.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，再代入夾角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄渴?，則，設(shè)非零向量的夾角為，根據(jù)題意可得，且，所以．故選：A.6.位于處的雷達(dá)接收到在其正東方向相距海里的處的一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨的營(yíng)救信號(hào)后，即刻通知位于處雷達(dá)北偏東且與處雷達(dá)相距30海里的處的甲船前往救援，則甲船至少需要航行的海里數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由余弦定理解三角形可得.【詳解】如圖，由題意可得．在中，由余弦定理可得海里，故甲船至少需要航行的海里數(shù)為．故選：C.7.已知點(diǎn)在拋物線上，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)．若，則（）A.4 B.2 C.8 D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義即可求解；【詳解】根據(jù)拋物線的定義，得，解得．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得或（舍去）故選：A8.已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)于任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由題意可得是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，進(jìn)而由，得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，，則在上是增函數(shù)，因，故，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以，即的解集為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限 D.的虛部是實(shí)部的倍【答案】AB【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的概念可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，則，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，位于第二象限，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的實(shí)部是，虛部是，則的虛部是實(shí)部的倍，D錯(cuò).故選：AB.10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.的圖象關(guān)于直線的對(duì)稱D.在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)條件，利用圖象平移，即可求解；對(duì)于B，根據(jù)條件得，利用圖象與性質(zhì)，即可求解；對(duì)于C，直接求出函數(shù)值，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)條件得到，利用性質(zhì)，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，由題知，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)，則，又，由圖象與性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由，則，所以，故在上的值域?yàn)?，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若A，B在左支上，且為正三角形，則C的離心率為B.若A，B分別在左、右兩支上，且為正三角形，則C的漸近線方程為C.若A，B在左支上，成等差數(shù)列，且，則C的離心率為D.若A，B分別在左、右兩支上，過(guò)點(diǎn)作直線l的垂線交雙曲線C于點(diǎn)D，，且B，O，D三點(diǎn)共線，則雙曲線C的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得到求解判斷；對(duì)于B，根據(jù)，結(jié)合雙曲線的定義，利用余弦定理得到求解判斷；對(duì)于C，根據(jù)成等差數(shù)列，得到，結(jié)合雙曲線定義得到，然后設(shè)，在中，利用余弦定理求得，然后根據(jù)，利用余弦定理求解判斷；對(duì)于D，連接，易得稱性知四邊形為矩形，設(shè)分別由，求解判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖所示：由雙曲線的對(duì)稱性可知，直線l垂直于x軸，，所以，解得，故A正確．對(duì)于B，如圖所示：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，解得，所以，所以C漸近線方程為，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，如圖所示：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即．因?yàn)?，所以．設(shè)，則，所以．在中，，解得，所以．因?yàn)?，所以，解得，故C正確．對(duì)于D，如圖所示；連接，由雙曲線的對(duì)稱性知四邊形為矩形，設(shè)，則，所以．由，得，解得．由，得，所以，所以，所以C的漸近線方程為，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)雙曲線（橢圓）的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，往往結(jié)合雙曲線（橢圓）的定義和正弦定理和余弦定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，且，則___________．【答案】【解析】【分析】利用已知條件與特殊角的正切值，可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以．故答案為?13.如圖，某圓臺(tái)上、下底面的圓周都在半徑為10的球O的球面上，且該圓臺(tái)的下底面半徑與球的半徑相等，上底面半徑為8，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合已知的條件，求出圓臺(tái)的上、下底半徑和圓臺(tái)的高，利用圓臺(tái)的體積公式求體積.【詳解】如圖，設(shè)該圓臺(tái)上底面圓的圓心為，連接，，，則.由題意可得，，則，所以，則該圓臺(tái)的體積為．故答案為：.14.已知函數(shù)若關(guān)于a的方程恰有四個(gè)不同的解，則正數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)求零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，建立不等式，可得答案.【詳解】由方程，則當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，則可得關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的正根，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的負(fù)根，即函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，由，則只需研究函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)即可，求導(dǎo)可得，令，因?yàn)?，且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，記為．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)或時(shí)，，則，即．因?yàn)?，所以，則．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，則，由，得，又，所以．故答案：.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)在于求導(dǎo)存在隱零點(diǎn)，對(duì)于導(dǎo)數(shù)函數(shù)根據(jù)其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，設(shè)出零點(diǎn)，可寫(xiě)出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在求解不等式時(shí)，可用由零點(diǎn)定義所得的等量關(guān)系，進(jìn)行等量代換，即可解題.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）（2）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極大值為，極小值為32．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．【小問(wèn)2詳解】．當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以是極大值點(diǎn)，極大值為，是極小值點(diǎn)，極小值為．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極大值為，極小值為32．16.如圖，在三棱柱中，平面ABC，，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由平面ABC得，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)得，得，，得，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的法向量，由夾角公式即可求出.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，又，所以平面，則．設(shè)，易得，則，所以，又，所以平面【小問(wèn)2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)，則，則．由（1）知平面的一個(gè)法向量為．．設(shè)平面的法向量為，則取設(shè)平面與平面的夾角為，則，則平面與平面夾角的余弦值為．17.已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品采用兩種不同的方案，每種方案均有兩道加工工序，每道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，且只有每道加工工序都合格，該產(chǎn)品才為合格品，若某道加工工序不合格，則該產(chǎn)品為不合格品，即刻停止加工．已知方案一每道加工工序合格的概率均為，方案二第一、二道加工工序合格的概率分別為，．該產(chǎn)品只有合格品才能出廠銷售．已知每件產(chǎn)品未加工之前的成本為10元．（1）若分別用方案一與方案二各自生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，求生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中只有一件產(chǎn)品為合格品的概率．（2）已知方案一每件產(chǎn)品每道工序的加工成本為20元，售價(jià)為120元；方案二每件產(chǎn)品的第一、二道工序的加工成本分別為10元，30元，售價(jià)為120元，若以每件產(chǎn)品獲利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，請(qǐng)判斷該公司應(yīng)采用哪種方案進(jìn)行加工生產(chǎn)．【答案】（1）（2）該公司應(yīng)采用方案二進(jìn)行加工生產(chǎn)．【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求解兩種方案中合格品的概率，即可求解，（2）分別求解兩種方案下的期望，即可比較大小求解.【小問(wèn)1詳解】采用方案一生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率為；采用方案二生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率為．故生產(chǎn)的兩件產(chǎn)品中只有一件產(chǎn)品為合格品的概率．【小問(wèn)2詳解】用表示方案一每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則的所有可能取值為，，所以的分布列為70P則．用表示方案二每件產(chǎn)品的利潤(rùn)，則的所有可能取值為，，70，，則的分布列為70P則．因?yàn)椋栽摴緫?yīng)采用方案二進(jìn)行加工生產(chǎn)．18.已知表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．例如：．已知數(shù)列滿足，．（1）求．（2）證明：且數(shù)列是等比數(shù)列．（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中通遞推公式結(jié)合取整函數(shù)的定義運(yùn)算求解即可；（2）可知數(shù)列為遞增數(shù)列，根據(jù)題中通遞推公式結(jié)合取整函數(shù)定義可證，分析可得，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列定義分析證明；（3）由（2）得，，利用裂項(xiàng)相消法分析證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則，且，所以．【小問(wèn)2詳解】由題可得為正整數(shù)，則，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，則，，，可得，即．由，且均為正整數(shù)，得，因滿足，