第十三章

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析第一節(jié)多跨靜定梁的內(nèi)力計算一、定義：若干根梁用鉸和支座連接而成的梁是多跨靜定梁。二、梁的類型一型梁：二型梁：混合型梁：三、受力層次分析一型梁：幾何不變部分為基本結(jié)構(gòu)；幾何可變部分為從屬結(jié)構(gòu)。層次分析圖二型梁：層次分析圖混合型梁：層次分析圖四、荷載傳遞原則：從屬結(jié)構(gòu)上的荷載要傳遞到基本結(jié)構(gòu)上即從屬結(jié)構(gòu)上的荷載對基本結(jié)構(gòu)有影響；基本結(jié)構(gòu)上的荷載不傳遞到從屬結(jié)構(gòu)上即基本結(jié)構(gòu)上的荷載對從屬結(jié)構(gòu)無影響。五、計算原則：先計算從屬結(jié)構(gòu)；后計算基本結(jié)構(gòu)。六、應(yīng)用舉例：解：1、對多跨靜定進(jìn)行受力層次分析2、根據(jù)計算原則：因先計算EF梁；再計算CDE梁；最后計算ABC梁。3、計算EF梁①求支座反力②作剪力圖③作彎矩圖剪力圖(kN)彎矩圖(kN.m)4、計算CDE梁①求支座反力②作剪力圖

剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)4、計算CDE梁①求支座反力②作剪力圖剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)5、計算ABC梁①求支座反力②作剪力圖剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)6.組合以上各梁的內(nèi)力圖：剪力圖（kN)

彎矩圖(kN.m)例2：解：1、對多跨靜定梁進(jìn)行受力層次分析2、根據(jù)計算原則：因先計算DE梁；再計算BCD梁；最后計算AB及EFG梁。3、計算DE梁①求支座反力②作剪力圖剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)4、計算BCD梁①求支座反力②作剪力圖剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)5、計算AB梁①作剪力圖剪力圖(kN)②作彎矩圖彎矩圖(kN.m)6、計算EFG梁①求支座反力②作剪力圖

剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)7.組合以上各梁的內(nèi)力圖：剪力圖（kN)

彎矩圖(kN.m)例3解：1、對多跨靜定梁進(jìn)行受力層次分析2、根據(jù)計算原則：應(yīng)先計算BC梁；再計算AB梁；最后計算CDE梁。3、計算BC梁①求支座反力②作剪力圖剪力圖(kN)③作彎矩圖彎矩圖(kN.m)4.由局部平衡可知，梁AB及梁CDE無內(nèi)力。5.作多跨梁的內(nèi)力圖剪力圖（kN）彎矩圖(kN.m)第二節(jié)靜定平面剛架一、剛架的定義:剛架是由若干直桿用全部或部分剛性結(jié)點聯(lián)結(jié)而成的結(jié)構(gòu).二、靜定剛架的分類1.懸臂剛架2.簡支剛架3.三鉸剛架簡支剛架懸臂剛架三鉸剛架結(jié)構(gòu)實例1平面靜定剛架的內(nèi)力計算→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCD→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCD→F=10kN→QCBMCB4mBCΣY=0–F–QCB=0ΣMo=04F+MCB=0QCB=–F=–10kNMCB=–4F=–40kN.m(上拉)→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCDm=20kN.m→QCDMCD4mCDΣY=0QCD=0ΣМC=0–MCD–m=0Mcd=–m=20kN.m→F=10kNm=20kN.m4m4m3mABCDm=20kN.m→QCA→NCAMcaΣХ=0–QCA=0ΣY=0–10–NCA=0ΣМC=0MCA+10×4–20=0即：QCA=0NCA=–10kNMCA=–20kN.m10N圖(kN)10Q圖(kN)402020M圖(kN.m)→P=20kNq=5kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→YbabcdefΣХ=0Xa–Xb=0ΣMb=0–Ya×16+20×12+5×8×4=0ΣMa=0Yb×16–20×4–5×8×12=0得：Ya=25kN(↑)Yb=35kN(↑)Xa=XbΣMc=0Xa×4+20×4–25×8=0Xa=30kN(→)→P=20kN→Xa→Yaacde→Xc→YcΣ

Mo=0Mad=0ΣХ=0Qad+30=0ΣУ=0Nad+25=0得：Mad=0Qad=__30kNNad=__25kN（壓）Mad→Xa=30kN→Ya=25kN→Qad→NadaΣMo=0Mda+30×4=0ΣХ=0Qda+30=0ΣY=0Nad+25=0得：Mda=–120kN.m(左拉）Qda=–30kNNad=–25kN

（壓）Mda→Qda→Nda4m→Xa=30kN→Ya=25kNadΣMo=0Mde+30×4=0ΣY=0_Qde+25=0ΣХ=0Nde+30=0得：Mde=–120kN.m(上拉)Qde=25kN

Nde=–30kN（壓）4m→Xa=30kN→Ya=25kNMde→Qde→NdeadΣMo=0Med+30×4–25×4=0ΣY=0–Qed+25=0ΣX=0Ned+30=0得：Med=–20kN.m（上拉）Qed=25kN

Ned=–30kN（壓）4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMed→Qed→NedadeΣMo=0Mec+30×4–25×4=0ΣY=0–Qec+25–20=0ΣX=0Nec+30=0得：Mec=–20kN.m（上拉）Qec=5kN

Nec=–30kN（壓）4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMec→Qec→Nec→P=20kNadeΣMo=0Mce+30×4–25×8+20×4=0ΣY=0–Qce+25–20=0ΣX=0Nec+30=0得：Mce=0Qce=5kN

Nce=–30kN（壓）→P=20kN4m→Xa=30kN→Ya=25kN4mMce→Qce→Nce4madceΣMo=0–Mbf=0ΣХ=0Qbf–30=0ΣУ=0Nbf+35=0得：Mbf=0Qbf=30kN

Nbf=–35kN（壓）Mbf→Qbf→Nbf→Xb→YbbΣMo=0–Mfb–30×4=0ΣX=0Qfb–30=0ΣY=0Nfb+35=0得：Mfb=–120kN.mQfb=30kN

Nab=–35kN

4m→Xb=30kN→Yb=35kN→NbfMbf→QbfbfΣMo=0–Mfc–30×4=0ΣХ=0Qfc+35=0ΣY=0–Nfc–30=0Mfc=–120kN.mQfc=–35kNNfc=–30kNMfc→Qfc→Nfc4mbf→Xb=30kN→Yb=35kNM圖(kN.m)1201202020120120bacdefQ圖(kN)303020535bacdefN圖(kN)bacdef253035用簡捷法作剛架的內(nèi)力圖用簡捷法作剛架內(nèi)力圖的步驟:一.確定內(nèi)力圖的基本圖形二.確定控制截面三.計算控制截面的內(nèi)力值四.描點作內(nèi)力圖1、無均布荷載作用區(qū)段：Q圖水平線M圖斜直線2、有均布荷載作用區(qū)段：Q圖斜直線M圖拋物線3、有集中力作用處：Q圖有突變M圖有尖點4、有集中力偶作用處：Q圖無影響M圖有突變20kN/m10kN12kN.m4m4m6mabcd作剛架的內(nèi)力圖解：1分析各段桿的內(nèi)力圖形。ab段:M圖為直線Q圖為直線N圖為直線cd段:M圖為二次拋物線Q圖為斜直線N圖為直線bd段:M圖為直線Q圖為直線N圖為直線應(yīng)用舉例2.作M圖Mcb=0Mbc=20×4×2=160kN.m(上拉)Mdb=12KN.m(上拉)Mbd=12+10×4=52kN.m(上拉)Mba=160–52=108kN.m(右拉)Mab=160–52=108kN.m(右拉)1605212108M圖(kN.m)20kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd3.作Q圖Qcb=0Qbc=–20×4=–80kNQdb=10kNQbd=10kNQba=0Qab=020kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd8010Q圖(kN)bcd20kN/m10kN12kN.m4m4m6mbcd4.作

N圖Ncb=Nbc=0Ndb=Nbd=0Nba=Nab=90kNN圖（kN)90q=20kN/m10kN4m2m2mabcde→Ya→Yb→Xa作剛架的內(nèi)力圖解：1.求支座反力Xa=–10kNYa=35kNYb=45kN2.分析各段桿的內(nèi)力圖形。ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb3.作M圖Mae=0Mea=Mec=10×2=20kN.mMce=10×4–10×2=20kN.mMcd=10×4–10×2=20kN.mMdb=0Mbd=020202050M圖(kN.m)

ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb4510Q圖(kN)

35Qae=10kNQea=10kNQec=Qce=0Qcd=35kNQdc=–45kNQbd=

Qdb=

04.作Q圖ab→Ya→Xaq=20kN/m10kN4m2m2mcde→Yb5.作N圖Nae=Nea=–35kNNec=Nce=–35kNNcd=Ndc=0Nbd=Ndb=–45kNN圖(kN)

3545→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.m解：1.求支座反力ΣХ=0Xa–Xb=0ΣMb=0–Ya×16+60+40×12+10×8×4=0ΣMa=0Yb×16+60–40×4–10×8×12=0得：Ya=53.75kN(↑)Yb=66.25kN(↑)Xa=XbΣMc=0Xa×4+40×4+60–53.75×8=0Xa=52.5kN(→)2.分析各段桿的內(nèi)力圖形。210M圖(kN.m)210520210210bacdef120M圖(kN.m)120520210210bacdef3.作M圖Mad=0Mda=–52.5×4=–210kN.mMde=–52.5×4=–210kN.mMed=–52.5×4+53.75×4=5kN.mMed=–52.5×4+53.75×4–60=–55kNmMce=Mcf=0Mbf=0Mfc=-52.5×4=–210kNmMfb=-52.5×4=-210kN.m4.作Q圖Qad=Qad=–52.5kNQde=Qed=53.75kNQec=Qce=13.75kNQfc=–66.25kNQad=Qad=52.5kN→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.mQ圖(kN)bacdef52.552.553.7513.7566.255.作FN圖Nad=Nda=–53.75kNNde=Ned=–52.5kNNec=Nce=–52.5kNNcf=Nfc=-52.5kNNbf=Nfb=–66.25kN→P=40kNq=10kN/m4m4m8m4m→Xb→Xa→Ya→Ybabcdef60kN.mN圖(kN)bacdef66.2553.7552.566.25第三節(jié)靜定平面桁架一、理想桁架的三個假設(shè)：1、組成桁架各桿均為等截面直桿，且兩端光滑鉸結(jié)。2、桿自重忽略不計。3、所有荷載(包括支座反力)都作用在結(jié)點上。對于平面桁架應(yīng)為：1)所有桿軸線都在同一平面內(nèi)；2)所有荷載都作用在桿軸線所在的平面內(nèi)。二、桁架的名稱上弦桿跨度桁高端桿腹桿豎桿斜桿節(jié)間上弦桿三、桁架的分類1、按桁架的外形分：a、三角形桁架b、梯形桁架d、拋物線桁架c、矩形桁架2、按幾何組成規(guī)則分：a、簡單桁架b、聯(lián)合桁架c、復(fù)雜桁架3、按桁架受豎向荷載作用有否水平反力分：a、梁式桁架b、拱式桁架四、桁架的內(nèi)力計算1、結(jié)點法：以結(jié)點作為研究對象來計算結(jié)構(gòu)內(nèi)力的方法。結(jié)點法的計算特點：一個結(jié)點在平面內(nèi)有二個自由度，可以建立二個方程，可求二個未知量。應(yīng)用舉例：己知：a=3m，P=10kN。試用結(jié)點法求各桿的內(nèi)力.解：1.求支反力由對稱性可知Ya=3.5P=35kNYb=3.5P=35kN2.用結(jié)點法求各桿的內(nèi)力截取結(jié)點的順序依次為：ACDEFG6a3aABCDEFGH→P→P→P→P→P→P→P結(jié)點A：ΣХ=0NADcosα–NAC=0ΣY=0NADSinα+3.5P–P=0NAD=–3.536P=–35.36kNNAC=2.5P=25kN→P

→3.5P→NAD→NACAC6a3aABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P結(jié)點C：ΣХ=0NCE–2.5P=0ΣY=0NAD=0NCE=2.5P=25kNNCD=06aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a→

2.5P→NCD→NCEC結(jié)點D：ΣX=0NDF+3.536P–Pcosα

=0ΣY=0–NDE–Psinα=0NDF=–2.829P=–8.29kNNDE=–0.707P=–7.07kN→P→NDEyx→NDF→

3.536PD6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a結(jié)點E：ΣY=0NEH=2P=20kNΣX=0NEH–2.5P+0.707Pcosα=0NEF–0.707Psinα=0NEF=0.5P=5kNE→2.5P→0.707P→NEF→

NEH6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a結(jié)點F：ΣX=0NFHsinα+NFGcosα+2.829Pcosα

=0ΣY=0(NFG+2.829P)sinα–1.5P–NFHcosα=0NFH=–1.118P=–11.18kNNFG=–1.5F=–15kN→

0.5P→NFG→NFH→

2.829PF→P6aCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P3a結(jié)點G：ΣY=0NGH+2×1.5Pcosα–P=0

=0NGH=1.121P=11.21kN→P→NGH→1.5PG→1.5PCABDEFGH→P→P→P→P→P→P→P–35.36–28.29252525252020–28.29–35.36–15–15–7.07–7.075511.21–11.18–11.18N圖(kN)→P→P→PDEFGHIJBAC4aa例2：己知：a=4m，P=10kN。用結(jié)點法求各桿的內(nèi)力？解：1.求支反力由對稱性可知YA=1.5P=15kNYB=1.5P=15kN2.用結(jié)點法求各桿的內(nèi)力截取結(jié)點的順序依次為：AFGCD→P→P→PDEFGHIJBAC結(jié)點A：ΣX=0NAC=0ΣY=0NAF+1.5P=0NAC=0NAF=–1.5P=–15kNA→NAF→NAC→1.5P→P→P→PDEFGHIJBAC結(jié)點F：ΣX=0NFG+NFCcosα=0ΣY=0–NFCSinα+0.5P=0NFC=0.707P=7.07kNNFG=–0.5P=–5kNF→P→NFG→NFC→NFA結(jié)點G：ΣX=0NGH+0.5P=0ΣY=0NGC=0NGH=–0.5P=–5kN→

0.5P→NGC→NGHG→P→P→PDEFGHIJBAC結(jié)點C：ΣX=0NCD+NCHcosα–0.707Pcosα=0ΣY=0NCHSinα+0.707PSinα=0NCH=–0.707P=–7.07kNNCD=P=10kNC→

0.707P→NCH→NCD→P→P→PDEFGHIJBACN圖(kN)7.07–15–5–5–157.07–5–51010–7.07–7.07J→P→P→PDEFGHIBAC特殊結(jié)點的應(yīng)用：1、二桿結(jié)點無荷載。N1=N2=02、三桿結(jié)點無荷載。N1=N2N3=03、二桿結(jié)點作用一個荷載。N1=FN2=012312→F21特殊結(jié)點的應(yīng)用：4、四桿結(jié)點無荷載。

N1=N2N1=F1N3=N4N2=F25、四桿結(jié)點無荷載。N3=－N4

N3=－N1N1≠N2

N1≠N2123412→F2→F11234123→F1用截面法求桁架的內(nèi)力1.定義：截面法是截取桁架一部分作為研究對象計算桁架內(nèi)力的方法。2.要求：截面法將桁架截成二部分，每一部分至少有一根完整的桿件。3.要點：一個截面將桁架截成二部分，取一部分作為研究對象時。在平面內(nèi)可以建立三個方程，可求三個未知量，故可同時截斷三根未知內(nèi)力的桿?！鶳→P→PDEFGHIJBACa4a123ⅠⅠ應(yīng)用舉例1己知：F=10kN，a=4m。解：1.求支座反力，由對稱性知：YA=YB=1.5F2.用Ⅰ-Ⅰ截面將桁架切開取左邊作為研究對象畫出受力圖。3.列方程：ΣMc=0–N1.a–0.5F.a=0ΣY=00.5F+FN2sinα=0ΣMH=0N3.a–0.5F.2a=04.解方程：N1=–0.5F=–5kNN2=–0.707F=–7.07kNN3=F=10kNaaFGAC→P→1.5P→N1→N2→N3G4m4m1m3mBADEC→P→PF例2：己知P=10kN，求各桿內(nèi)力？解：1.求支反力，由對稱性知：YA=YB=P2.求各桿的內(nèi)力A.先取特殊結(jié)點C為研究對象可知：NCE=NCD=0C.取結(jié)點A或取結(jié)點FΣХ=0－NAGcosα－NAC=0ΣY=0NAGsinα+P=0cosα=0.707sinα=0.707NAG=NBF=－1.414P=－14.14kNNAC=NBC=NFG=P=10kN→P→NAG→NACA→P→P→P→P→PBAC→Xa→Ya→Xb→Yb4×8=32m4×2=8m例3：己知F=10KN，判別結(jié)構(gòu)中的零桿，求1.2.3桿內(nèi)力？解：1.求支反力：由對稱性知：YA=YB=2.5PHA=HB=－0.5P2.判別結(jié)構(gòu)中的零桿(如圖示)→Xa→Ya→P→PA→N1→N2→N3..CD2.求1.2.3桿的內(nèi)力ΣMD=0－N1×4－(YA－P)×4+P×12－HA×4=0ΣMC=0

N2sinα×8－(YA－P)×8+P×16－HA×8=0ΣME=0N3cosα×8+P×8－HA×8=0N1=P=10kNN2=0N3=－0.707P=－7.07kN例4：己知P=10kN，求1.2.3.4桿內(nèi)力？解：1.求支反力，由對稱性知：YA=YB=3.5P→YA→YB4×6=24m3×2=6m→P→P→P→P→P→P→P1324ⅠⅠAB→YA→P→P→P→N1→N5→N6→N42.用Ⅰ-Ⅰ截面求1.4桿的內(nèi)力ΣMc=0－N1×6－(YA－p)×8+P×4=0ΣMD=0N4×6－(YA－P)×8+P×4=0N1=－2.67P=－26.7kNN4=2.67P=26.7kN1324ⅡⅡ4×6=24m→YA→YB3×2=6m→P→P→P→P→P→P→P3.用Ⅱ-Ⅱ截面求2.3桿的內(nèi)力→YA→P→P→P→N1→N2→N3→N4A.有特殊結(jié)點可知：N3=－N2ΣY=0YA-3P-N3sinα+N2sinα=0N2=－0.354P=－3.54kNN3=0.354P=3.54kN例5：己知F=30KN，判別結(jié)構(gòu)中的零桿,求1.2.3桿內(nèi)力？解：1.用Ⅰ-Ⅰ截面求1.2.3桿的內(nèi)力ΣХ=0N2=0ΣMD=0N1×3a+F×a=0ΣMC=0–N3×3a–F×2a=0N1=–F/3=–10kNN2=0N3=–2F/3=－20kN2.判別結(jié)構(gòu)中的零桿(如圖示)CD→N1→N2→N3→F321ⅠⅠaaa1.5a1.5a→F例6：圖示結(jié)構(gòu)為二個正三角形，大三角形邊長為3a，小三角形邊長為a，且對稱放置如圖示。己知、F=30kN試判別結(jié)構(gòu)中的零桿,并求各桿內(nèi)力？解：1.求支反力，由對稱性知：YA=YB=0.5FABC→FABC→FⅠⅠ2.判別結(jié)構(gòu)中的零桿N1=N2=N3=0→N1→N2→N3ABC→F→0.5F→0.5FA→0.5F→NAC→NAB結(jié)點AΣX=0

NAB+NACcosα=0ΣY=0NACsinα+0.5F=0NAC=NBC=－0.577F=－17.32kNNAB=0.289F=8.67kN靜定結(jié)構(gòu)的基本特性靜定結(jié)構(gòu)有靜定梁、靜定剛架、三鉸拱、靜定桁架等類型。雖然這些結(jié)構(gòu)形式各有不同，但它們有如下的共同特性：1.在幾何組成方面，靜定結(jié)構(gòu)是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。在靜力平衡方面靜定結(jié)構(gòu)的全部反力可以有靜力平衡方程求得，其解答是唯一的確定值。2.由于靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力是只用靜力平衡條件就可以確定的，而不需要考慮結(jié)構(gòu)的變形條件，所以，靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力只與荷載、結(jié)構(gòu)的幾何形狀和尺寸有關(guān)，而與構(gòu)件所用的材料、截面的形狀和尺寸無關(guān)。3.由于靜定結(jié)構(gòu)沒有多余聯(lián)系，因此在溫度改變、支座產(chǎn)生位移和制造誤差等因素的影響下，不會產(chǎn)生內(nèi)力和反力，但能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。4.當(dāng)平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分上時，其余部分的內(nèi)力和反力不受其影響。5.當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)的某一內(nèi)部幾何不變部分上的荷載作等效變換時，只有該部分的內(nèi)力發(fā)生變化，其余部分的內(nèi)力和反力均保持不變。所謂等效變換是指將一種荷載變?yōu)榱硪环N等效荷載。

第四節(jié)三鉸拱一、

概述拱結(jié)構(gòu)通常有三種常見的形式：圖7.23（a）、b）所示的無鉸拱和兩鉸拱是超靜定結(jié)構(gòu)。圖7.23（c）所示的三鉸拱為靜定結(jié)構(gòu)。拱結(jié)構(gòu)的特點：桿軸為曲線，而且在豎向荷載作用下支座將產(chǎn)生水平力。拱結(jié)構(gòu)最高的一點稱為拱頂，三鉸拱的中間鉸通常是安置在拱頂處。拱的兩端與支座聯(lián)結(jié)處稱為拱趾，或稱拱腳。兩個拱趾間的水平距離l稱為跨度。拱頂?shù)絻晒爸哼B線的豎向距離f稱為拱高，或稱拱矢。如圖7.25（a）所示。拱高與跨度之比f/l稱為高跨比或矢跨比。二、三鉸拱的計算1.支座反力的計算公式：推力H等于相應(yīng)簡支梁截面C的彎矩MC除以拱高f。當(dāng)荷載和拱的跨度不變時，推力H將與拱高f反比，即f愈大則H愈小，反之，f愈小則H愈大。2.內(nèi)力的計算公式：（1）彎矩的計算公式（2）剪力的計算公式（3）軸力的計算公式所求內(nèi)力與相應(yīng)簡支梁的反力及內(nèi)力比較得到三鉸拱的內(nèi)力計算公式為：例11有為一三鉸拱其拱軸為一拋物線，當(dāng)坐標(biāo)原點選在左支座時，拱軸方程為：試?yán)L制其內(nèi)力圖。解：1.先求支座反力2.幾何尺寸計算3.截面的內(nèi)力計算三、拱的合理軸線合理軸線是選取一根適當(dāng)?shù)墓拜S線，使得在給定荷載作用下，拱上各截面只承受軸力，而彎矩為零的拱軸線。有各截面彎矩都為零的條件：例12：試求圖示對稱三鉸拱在均勻荷載q作用下的合理軸線。解：作出相應(yīng)簡支梁如圖所示，其彎矩方程為：第十四章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

14．1概述一、結(jié)構(gòu)位移的定義結(jié)構(gòu)在荷載或其它因素作用下，會發(fā)生變形。由于變形，結(jié)構(gòu)上各點的位置將會移動，桿件的橫截面會轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動稱為結(jié)構(gòu)的位移。二、位移的分類位線位移：截面形心的直線移動距離移角位移：截面的轉(zhuǎn)角絕對位移相對位移位移廣義位移三、剛架的位移舉例A點的線位移⊿A水平線位移⊿AH豎向線位移⊿AV截面A的角位移C、D兩點的水平相對線位移為：

(⊿CD)H=⊿C+⊿DA、B兩個截面的相對轉(zhuǎn)角四、引起位移的原因一般有：荷載（如前兩剛架）、溫度改變（如圖a）、支座移動（如圖b）材料收縮、制造誤差等。五、計算位移的目的

有以下三個方面：1、驗算結(jié)構(gòu)剛度。即驗算結(jié)構(gòu)的位移是否超過允許的位移限制值。2、為超靜定結(jié)構(gòu)的計算打基礎(chǔ)。在計算超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力時，除利用靜力平衡條件外，還需要考慮變形協(xié)調(diào)條件，因此需計算結(jié)構(gòu)的位移。3、在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)過程中，有時需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施，因而也需要進(jìn)行位移計算。14.2虛功原理和單位荷載法一、變形體的虛功原理功：力對物體在一段路程上累積效應(yīng)的量度，也是傳遞和轉(zhuǎn)換能量的量度。實功：力在自身引起的位移上所作的功。例：當(dāng)靜力加載時，下圖中力P1在位移⊿11上作實功，其值為:W1=0.5P1⊿11這是因為：P1由0增加至P1時，豎向位移⊿也由0增加至⊿11。虛功：力在其他因素引起的位移上作的功，其特點是位移與作功的力無關(guān)，在作功的過程中，力的大小保持不變。梁彎曲后，再在點2處加靜力荷載P2，梁產(chǎn)生新的彎曲。位移⊿

12為力P2引起的P1的作用點沿P1方向的位移。力P1在位移⊿12上作了功，為虛功，大小為：

W12=P1⊿12在小變形條件下，⊿12由圖示的原始形狀、尺寸計算，并稱此狀態(tài)為虛功計算的位移狀態(tài)。與之相應(yīng)，P1單獨作用的狀態(tài)為虛功計算的力狀態(tài)。當(dāng)力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位移上作外力虛功時，力狀態(tài)的內(nèi)力也在位移狀態(tài)各微段的變形上作內(nèi)力虛功。根據(jù)功和能的原理可得變形體的虛功原理：任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作虛功的總和，等于變形體的內(nèi)力在虛位移的相應(yīng)變形上所作虛功的總和。虛功原理也可以簡述為：“外力的虛功等于內(nèi)力的虛變形功”。二、單位荷載法1、定義：應(yīng)用虛功原理，通過加單位荷載求實際位移的方法。2、計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式式中：E----彈性模量；G----剪切模量；A----橫截面積；I-----慣性矩；K----截面形狀系數(shù)。

矩形截面：k=6/5;

圓形截面：k=10/9。令F=1，則：經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)，可得：14.3靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算一、靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式如果結(jié)構(gòu)只有荷載作用，因支座移動引起的剛體位移Ci＝0，則位移公式為:對于曲桿（曲率半徑r），荷載作用下的位移公式為：彎矩的影響軸力的影響剪力的影響曲率的影響圖a所示矩形截面圓弧形鋼桿，軸線的半徑與截面高度之比r/h=10,彈性模量之比E/G=2.5，曲桿B端形心在豎向荷載P作用下的豎向線位移由對應(yīng)于彎矩、軸力、剪力、曲率的四部分組成：⊿BP=⊿M+⊿N+⊿Q+⊿r設(shè)虛擬狀態(tài)（圖b）計算虛內(nèi)力，用截面法計算實際狀態(tài)的內(nèi)力，代人位移公式運算，并注意矩形截面的不均勻系數(shù)κ=1.2，計算結(jié)果為:表明：⊿BP中彎矩、軸力、剪力、曲率影響對應(yīng)比值為：⊿M：⊿N：⊿Q：⊿r=1200：1：3：2二、各類桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移公式（1）梁和剛架梁式桿的位移中彎矩的影響是主要的，位移計算公式中取第一項便具有足夠的工程精度。（2）桁架各桿為鏈桿，而且是同材料的等直桿。桿內(nèi)只有軸力，且處處相等。因而只取公式中的第二項并簡化為實用的形式：（3）組合結(jié)構(gòu)既有梁式桿，又有鏈桿，取用公式中的前兩項。（4）拱一般計軸力、彎矩的影響，剪切變形的影響忽略不計。三、虛擬狀態(tài)的選取欲求結(jié)構(gòu)在荷載作用下的指定位移，須取相應(yīng)的虛擬狀態(tài)。即取同一結(jié)構(gòu)，在要求位移的地方，沿著要求位移的方位虛加單位荷載：1）欲求一點的線位移，加一個單位集中力2）欲求一處的角位移，加一個單位集中力偶3）欲求兩點的相對線位移，在兩點的連線上加一對指向相反的單位集中力。4）欲求兩處的相對角位移，加一對指向相反的單位集中力偶。5）欲求桁架某桿的角位移在桿的兩端加一對平行、反向的集中力，兩力形成單位力偶。力偶臂為d，每一力的大小為1/d力和力偶統(tǒng)稱為廣義力，單位廣義力用表示；線位移和角位移統(tǒng)稱廣義位移，用⊿表示單位廣義力有截然相反的兩種方向，計算出的廣義位移則有正負(fù)之分：正值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相同。負(fù)值表示廣義位移的方向與廣義力所設(shè)的指向相反。四、靜定桁架的位移計算計算步驟為（1）設(shè)虛擬狀態(tài)；（2）計算（3）用桁架的位移計算公式計算位移。例14-1

圖示桁架各桿的EA相等，求C結(jié)點的豎向位移⊿vc

。解:（1）設(shè)虛擬狀態(tài)（如上圖b所示）（2）計算(如圖所示)（3）代公式求C點的豎向位移例14-2

圖示鋼桁架，圖中括號內(nèi)數(shù)值為桿件橫截面面積（單位cm2

）。許可撓度[w]與跨長l的比值為1:800，試校核桁架的剛度。解：對稱簡支桁架在對稱荷載作用下，最大撓度發(fā)生在桁架的對稱面處。須計算結(jié)點3的豎向位移，然后進(jìn)行剛度校核。（1）建立虛擬狀態(tài)（如圖b所示）（2）計算(如圖所示)（3）求3點的豎向位移，進(jìn)行剛度校核計算半個桁架的列表如下:N

/(1/mm)

/mm1420000003-7

豎桿002-6豎桿312500+0.62525000025000100003-6斜桿500000-0.625-10000000.812500100001-6斜桿270000+0.375+6000001.210000120001-3下弦337500-0.75-7500000.61000060006-7上弦NP/NA/mm2編號桿件根據(jù)上表，得所以，桁架滿足剛度條件五、梁的位移及剛度校核1、梁的位移撓度：橫截面形心在垂直于軸線方向的線位移用w表示，規(guī)定w向下為正。轉(zhuǎn)角：橫截面的角位移θ，規(guī)定順時針轉(zhuǎn)為正在工程設(shè)計手冊中列有常見梁的位移的計算結(jié)果（如表14.1所示），可供計算時查用。表14.1梁的撓度與轉(zhuǎn)角公式2.懸臂梁：彎曲力偶作用在自由端1.懸臂梁：集中荷載作用在自由端最大撓度轉(zhuǎn)角荷載類型續(xù)表3.懸臂梁：均勻分布荷載作用在梁上4.簡支梁：集中荷載作用跨中位置上續(xù)表5簡支梁：均勻分布荷載作用在梁上6簡支梁：彎曲力偶作用在梁的一端2．梁的剛度校核梁的位移過大，則不能正常工作。對于梁的撓度，其許可值以許可的撓度[w]與梁跨長l之比為標(biāo)準(zhǔn)。在工程上，吊車梁的[w/l]＝1/600鐵路鋼桁梁的[w/l]

＝1/900梁的剛度條件為：wmax：l=[w/l]

例14-3：圖示簡支梁由工字鋼制成，跨度中點處承受集中載荷F。已知F=40kN，跨度=3m，許用應(yīng)力[σ]=160MPa，許用撓度[w]=l/500，彈性模量E=2×105MPa，試選擇工字鋼的型號。解:（1）按強度條件選擇工字鋼型號梁的最大彎矩為：按彎曲正應(yīng)力強度條件選截面:查型鋼表選用20a工字鋼,其彎曲截面系數(shù)為237cm3，慣性矩I=2370cm4。（2）校核梁的剛度梁的剛度足夠所以，選用20a工字鋼3、提高梁抗彎剛度的措施梁的撓度和轉(zhuǎn)角與梁的抗彎剛度EI、梁的跨度L、荷載作用情況有關(guān)，那么，要提高梁的抗彎剛度可以采取以下措施：

（1）增大梁的抗彎剛度EI增大梁的EI值主要是設(shè)法增大梁截面的慣性矩I值，一般不采用增大E值的方法。在截面面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，可提高慣性矩I。（2）減小梁的跨度L梁的變形與其跨度的n次冪成正比。設(shè)法減小梁的跨度L，將有效地減小梁的變形，從而提高其剛度。在結(jié)構(gòu)構(gòu)造允許的情況下，可采用兩種辦法減小L值：①增加中間支座②兩端支座內(nèi)移

如圖所示，將簡支梁的支座向中間移動而變成外伸梁，一方面減小了梁的跨度，從而減小梁跨中的最大撓度；另一方面在梁外伸部分的荷載作用下，使梁跨中產(chǎn)生向上的撓度（圖c），從而使梁中段在荷載作用下產(chǎn)生的向下的撓度被抵消一部分，減小了梁跨中的最大撓度值。(3)改善荷載的作用情況在結(jié)構(gòu)允許的情況下，合理地調(diào)整荷載的位置及分布情況，以降低彎矩，從而減小梁的變形，提高其剛度。如圖所示，將集中力分散作用，甚至改為分布荷載，則彎矩降低，從而梁的變形減小，剛度提高。14.4圖乘法一、圖乘法原理1、圖乘法的適用條件：（1）桿段的軸線為直線（2）桿段的彎曲剛度EI為常數(shù)。（3）MP圖和圖中至少有一個直線圖形。直梁和剛架的位移公式則為：

２．圖乘法原理圖乘法求位移的一般表達(dá)式為注意：[1].yc應(yīng)取自直線圖中[2].若A與yc在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。[3].如圖形較復(fù)雜，可分解為簡單圖形。3.圖乘法的步驟:(1).設(shè)虛擬狀態(tài)；(2).畫MP圖、圖(3).圖乘求位移。下面介紹幾個規(guī)則圖形的面積和形心位置4.圖形的分解當(dāng)圖形的面積和形心不便確定時，可以將其分解成幾個簡單的圖形，分別與另一圖形相應(yīng)的縱坐標(biāo)相乘。梯-梯同側(cè)組合：同側(cè)組合：異側(cè)組合由區(qū)段疊加法作的彎矩圖，其彎矩圖可以看成一個梯形和一個規(guī)則拋物線圖形的疊加。曲-折組合階梯形截面桿二、圖乘法計算直梁和剛架的位移

下面舉例應(yīng)用圖乘法求直梁和剛架的位移例14.4試求圖a所示外伸梁C點的豎向位移⊿CV梁的EI=常數(shù)。解：MP、圖分別如圖(b).(c)所示。BC段：MP圖是標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線；AB段：MP圖可將其分解為一個三角形和一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形。由圖乘法得：代入以上數(shù)據(jù),于是例14.5：

試求圖a所示伸臂梁C點的豎向位移⊿cv。設(shè)EI=1.5×105kN.m2解:

荷載彎矩圖和單位彎矩圖如圖b、c所示。在AB段，MP和圖均是三角形；在BC段，MP圖可看作是由B、C兩端的彎矩豎標(biāo)所連成的三角形與相應(yīng)簡支梁在均布荷載作用下的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖[即圖b中虛線與曲線之間包含的面積]疊加而成。將上述各部分分別圖乘再疊加，即得：例14.6試求圖(a)所示剛架結(jié)點B的水平位移⊿BH。設(shè)各桿為矩形截面，截面尺寸為bxh，慣性矩l=bh/12,E為常數(shù)，只考慮彎矩變形的影響。解:

先作出MP圖和圖,分別如圖(b)(c)所示。應(yīng)用圖乘法求得結(jié)點B的水平位移為：14.5靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移所引起的位移靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動并不產(chǎn)生內(nèi)力也無變形，只發(fā)生剛體位移。如圖a所示靜定結(jié)構(gòu),其支座發(fā)生水平位移C1、豎向位移C2和轉(zhuǎn)角C3，現(xiàn)要求由此引起的任一點沿任一方向的位移，例如求k點豎向位移⊿K。這種位移仍用虛功原理來計算。由位移計算的一般公式：因為從實際狀態(tài)中取出的微段ds的變形為d=d=d=0，上式可簡化為：這就是靜定結(jié)構(gòu)在支座位移時的位移計算公式。式中：

為虛擬狀態(tài)圖b的支座反力。Ci為實際狀態(tài)的支座位移，.Ci為反力虛功。其中虛設(shè)反力與實際支座位移C的方向一致時其乘積取正，相反時取負(fù)。此外，上式右邊前面還有一個負(fù)號，不可漏掉。例14.7圖(a)所示靜定剛架，若支架A發(fā)生圖示的位移：a=1.0cm,b=1.5cm。試求C點的水平位移⊿CH、豎向位移⊿CV。解：在C點處分別加一水平和豎向的單位力，求出其支座反力如圖(b)(c)所示。⊿CH=-(1×1.0-1×1.5)=0.5cm(←)⊿CV=-1.5×1=-1.5cm(↓)14.6互等定理一、功的互等定理圖示結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)，分別作用P1和P2，稱之為第一狀態(tài)和第二狀態(tài)。虛功W12為：虛功W21為：可見，W12=W21，即:推廣到多個力的兩個狀態(tài)，得功的互等定理一般形式為:表明：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的相應(yīng)位移上所作的外力虛功。

二、位移互等定理條件：在結(jié)構(gòu)的兩種狀態(tài)中都只作用一個荷載，且為單位荷載。單位荷載所引起的位移稱為位移系數(shù)，用δij表示（圖a.b）。根據(jù)功的互等定理：1.δ12

=1.δ12即，δ12

=δ12這就是位移互等定理：即：第二個單位力所引起的第一個單位力作用點沿其方向的位移，等于第一個單位力所引起的第二個單位力作用點沿其方向的位移。上述定理中，單位力可以是廣義單位力，相應(yīng)的位移系數(shù)亦為廣義位移。δ12

與δ12可能含義不同，但二者數(shù)值相等。三、反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一種應(yīng)用，它反映在超靜定結(jié)構(gòu)中如果兩個支座分別發(fā)生單位位移時，兩個狀態(tài)中相應(yīng)支座反力的互等關(guān)系。單位位移引起的支座反力稱為反力系數(shù)，用rij表示。根據(jù)功的互等定理，有：r21×1=r12×1r21=r12

這就是反力互等定理，它表明支座1發(fā)生單位位移所引起的支座2的反力，等于支座2發(fā)生與上述反力相應(yīng)的單位位移所引起的支座1的反力。應(yīng)注意支座的位移與該支座的反力在作功關(guān)系上的對應(yīng)關(guān)系，即線位移與集中力相對應(yīng)，角位移與集中力偶相對應(yīng)，可能r12與r21一個是反力偶，一個是反力，但二者的數(shù)值相等。小結(jié)本章主要討論應(yīng)用虛功原理計算靜定結(jié)構(gòu)的位移。位移計算的目的是為了驗算結(jié)構(gòu)剛度，又是分析超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。因此，掌握好本章內(nèi)容，有著重要意義。1．虛功與虛功原理是結(jié)構(gòu)位移計算方法的理論依據(jù)。在虛功中，力與位移是兩個彼此獨立無關(guān)的因素。對于桿系結(jié)構(gòu)變形體系的虛功原理，簡單地說即為外力虛功等于變形虛功，可寫為：W外=W內(nèi)，虛功原理在具體應(yīng)用時有兩種方式：一種是對給定的力狀態(tài)，另虛設(shè)一個位移狀態(tài)，利用虛功原理求力狀態(tài)中的未知力；另一種是給定位移狀態(tài)，另虛設(shè)一個力狀態(tài)，利用虛功方程求解位移狀態(tài)中的未知位移。本章討論的結(jié)構(gòu)位移的計算，就是虛設(shè)一個力狀態(tài)的方式。2．單位荷載法計算位移的一般公式是3．荷載作用下的位移計算對彈性材料，變形表達(dá)式為：則位移計算公式成為這里：FNP、

MP、

FQP為實際荷載作用的內(nèi)力。然而，根據(jù)不同類型結(jié)構(gòu)的內(nèi)力特點，其位移計算公式可以作進(jìn)一步簡化4.計算荷載作用下梁和剛架的位移時，可用圖乘法代替積分計算。注意圖乘法的適用條件，掌握好圖乘的分段和疊加技巧。5.支座移動影響的結(jié)構(gòu)位移的計算與荷載作用下的位移計算有所不同，但原理是相同的。難度在于正、負(fù)號的判斷，學(xué)習(xí)中要加以注意。6.位移計算中遇到的符號及正負(fù)號確定較多。一方面是計算過程中確定正負(fù)號；另一方面是計算結(jié)果的正負(fù)來確定位移的方向，在學(xué)習(xí)中一定要弄懂弄透。7.線性變形體系的三個互等定理在靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)分析中可得到具體應(yīng)用，要從原理和概念上搞清楚。第十五章力法15．1超靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定結(jié)構(gòu)：支座反力和各截面的內(nèi)力都可以用靜力平衡條件唯一確定。是沒有多余聯(lián)系的幾何不變體系。超靜定結(jié)構(gòu)：支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定。是有多余聯(lián)系的幾何不變體系。靜定剛架超靜定剛架有多余聯(lián)系是超靜定結(jié)構(gòu)區(qū)別于靜定結(jié)構(gòu)的基本特性15．2力法的基本原理一、力法的基本結(jié)構(gòu)去掉多余聯(lián)系用多余未知力來代替后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為：按力法計算的基本結(jié)構(gòu)。二、力法的基本未知量現(xiàn)在要設(shè)法解出基本結(jié)構(gòu)的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本結(jié)構(gòu)上用靜力平衡條件求出原結(jié)構(gòu)的所有反力和內(nèi)力。因此多余力是最基本的未知力，又可稱為力法的基本未知量。但是這個基本未知量X1不能用靜力平衡條件求出，而必須根據(jù)基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同的原則來確定。三、力法的基本方程

用來確定X1的條件是：基本結(jié)構(gòu)在原有荷載和多余力共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。為了唯一確定超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力，必須同時考慮靜力平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件。若以δ11表示X1為單位力（即1=1）時，基本結(jié)構(gòu)在X1作用點沿X1方向產(chǎn)生的位移，則有⊿11=δ11X1,于是上式可寫成：式(a)就是根據(jù)原結(jié)構(gòu)的變形條件建立的用以確定X1的變形協(xié)調(diào)方程，即為力法基本方程。為了具體計算位移δ11和⊿1p，分別繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖1（由單位力X1=1產(chǎn)生）和荷載彎矩圖Mp（由荷載q產(chǎn)生），分別如圖(a)、(b)所示。用圖乘法計算這些位移因此可解出多余力X1多余力X1求出后，其余所有反力和內(nèi)力都可用靜力平衡條件確定。超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M，可利用已經(jīng)繪出的M1和Mp圖按疊加原理繪出，即應(yīng)用上式繪制彎矩圖時，可將M1

圖的縱標(biāo)乘以X1倍，再與Mp圖的相應(yīng)縱標(biāo)疊加，即可繪出M圖如圖(c)所示。綜上所述可知,力法是以多余力作為基本未知量，取去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，并根據(jù)去掉多余聯(lián)系處的已知位移條件建立基本方程，將多余力首先求出，而以后的計算即與靜定結(jié)構(gòu)無異。它可用來分析任何類型的超靜定結(jié)構(gòu)。15．3超靜定次數(shù)的確定與基本結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)：多余聯(lián)系的數(shù)目或多余未知力的數(shù)目確定超靜定次數(shù)最直接的方法就是在原結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系，直至超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余聯(lián)系的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。

從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余聯(lián)系的方式有以下幾種：（1）去掉支座處的支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)下去掉一個聯(lián)系，如圖(a)(b)所示；（2）撤去一個鉸支座或撤去一個單鉸，相當(dāng)于去掉二個聯(lián)系，如圖(c)(d)所示。（3）切斷一根梁式桿或去掉一個固定支座，相當(dāng)于去掉三個聯(lián)系，如圖(e)所示；（4）將一剛結(jié)點改為單鉸聯(lián)結(jié)成或?qū)⒁粋€固定支座改為固定鉸支座，相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系，如圖(f)所示。對于同一個超靜定結(jié)構(gòu)，可用各種不同的方式去掉多余聯(lián)系而得到不同的靜定結(jié)構(gòu)。因此在力法計算中，同一結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)可有各種不同的形式。但應(yīng)注意，去掉多余聯(lián)系后。為了保證基本結(jié)構(gòu)的幾何不變性，有時結(jié)構(gòu)中的某些聯(lián)系是不能去掉的。

如圖(a)所示剛架，具有一個多余聯(lián)系。若將橫梁某處改為鉸接，即相當(dāng)于去掉一個聯(lián)系得到圖(b)所示靜定結(jié)構(gòu)；當(dāng)去掉B支座的水平鏈桿則得到圖(c)所示靜定結(jié)構(gòu)，它們都可作為基本結(jié)構(gòu)。但是，若去掉A支座的豎向鏈桿或B支座的豎向鏈桿，即成瞬變體系[圖(d)]所示，顯然是不允許的，當(dāng)然也就不能作為基本結(jié)構(gòu)。圖(a)所示超靜定結(jié)構(gòu)屬內(nèi)部超靜定結(jié)構(gòu)，因此，只能在結(jié)構(gòu)內(nèi)部去掉多余聯(lián)系得基本結(jié)構(gòu)，如圖(b)所示。對于具有多個框格的結(jié)構(gòu)，按框格的數(shù)目來確定超靜定的次數(shù)是較方便的。一個封閉的無鉸框格，其超靜定次數(shù)等于3，故當(dāng)一個結(jié)構(gòu)有n個封閉無鉸框格時，其超靜定次數(shù)等于3n。如圖(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于3x8=24。當(dāng)結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點為鉸接時，則一個單鉸減少一個超靜定次數(shù)。圖(b)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)等于：3x8-5=19。15．4力法典型方程用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵在于根據(jù)位移條件建立力法的基本方程，以求解多余力。對于多次超靜定結(jié)構(gòu)，其計算原理與一次超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。圖(a)所示為一個三次超靜定結(jié)構(gòu)，在荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。用力法求解時，去掉支座C的三個多余聯(lián)系，并以相應(yīng)的多余力X1、X2

和X3代替所去聯(lián)系的作用，則得到圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上，也必須與原結(jié)構(gòu)變形相符，在C點處沿多余力X1、X2

和X3

方向的相應(yīng)位移⊿1、⊿2和⊿3

都應(yīng)等于零。根據(jù)疊加原理，可將基本結(jié)構(gòu)滿足的位移條件表示為：這就是求解多余力X1、X2和X3所要建立的力法方程，其物理意義是：在基本結(jié)構(gòu)中，由于全部多余力和已知荷載的共同作用，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相等。用同樣的分析方法，我們可以建立力法的一般方程。對于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法計算時，可去掉n個多余聯(lián)系得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，在去掉的n個多余聯(lián)系處代之以n個多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余聯(lián)系處的位移為零時，相應(yīng)地也就有n個已知的位移條件：據(jù)此可以建立n個關(guān)于求解多余力的方程：⊿i=0(i=1,2,…,n)

在上列方程中，從左上方至右下方的主對角線（自左上方的δ1

1至右下方的δnn）上的系數(shù)δii稱為主系數(shù)。δij稱為副系數(shù)，它可利用單位彎矩圖圖乘求得。根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)δij=δji。該方程稱為力法的典型方程。按前面求靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求得典型方程中的系數(shù)和自由項后，即可解得多余力Xi。然后可按照靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求得原結(jié)構(gòu)的全部反力和內(nèi)力?；虬聪率霪B加公式求出彎矩再根據(jù)平衡條件可求得其剪力和軸力。15．5力法的計算步驟和舉例

力法計算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟

1.去掉原結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系得到一個靜定的基本結(jié)構(gòu)，并以多余力代替相應(yīng)多余聯(lián)系的作用。2.建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余力和原荷載的共同作用下，在去掉多余聯(lián)系處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移相同的位移條件，建立力法典型方程。3.求系數(shù)和自由項4.解典型方程，求出多余未知力。5.繪出原結(jié)構(gòu)最后內(nèi)力圖。例15.1

試分析圖(a)所示剛架，EI=常數(shù)。解：1、確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)。此剛架具有一個多余聯(lián)系，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉支座鏈桿C即為靜定結(jié)構(gòu)，并用X1代替支座鏈桿C的作用，得基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。2、建立力法典型方程原結(jié)構(gòu)在支座C處的豎向位移⊿1=0。根據(jù)位移條件可得力法的典型方程如下：3.求系數(shù)和自由項首先作X1=1單獨作用于基本結(jié)構(gòu)的彎矩圖圖如圖(a)所示，再作荷載單獨作用于基本結(jié)構(gòu)時的彎矩圖Mp圖如圖(b)所示.然后利用圖乘法求系數(shù)和自由項。4.求解多余力

將δ11、⊿1p代人典型方程有：解方程得：X1=5kN（↑）（正值說明實際方向與基本結(jié)構(gòu)上假設(shè)的X1方向相同，即垂直向上）。5.繪制最后彎矩圖各桿端彎矩可按以下疊加公式計算，最后彎矩圖如圖(c)所示。至于剪力圖和軸力圖，在多余力求出后，可直接按作靜定結(jié)構(gòu)剪力圖和軸力圖的方法作出，如圖(a)(b)所示。例15.2

試分析圖(a)所示剛架，EI=常數(shù)解：確定超靜定次數(shù)，選取基本結(jié)構(gòu)此剛架是兩次超靜定的。去掉剛架B處的兩根支座鏈桿，代以多余力X1和X2

，得到圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。2.建立力法典型方程3.繪出各單位彎矩和荷載彎矩圖，如圖(a)、(b)、(c)所示。利用圖乘法求得各系數(shù)和自由項

4.求解多余力將以上系數(shù)和自由項代人典型方程化簡后得：解聯(lián)立方程，得：5、作最后彎矩圖及剪力圖、軸力圖，如圖(d)(e)(f)所示。15-6對稱性的利用用力法解算超靜定結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)愈高，多余未知力就愈多，計算工作量也就愈大。但在實際的建筑結(jié)構(gòu)工程中，很多結(jié)構(gòu)是對稱的，我們可利用結(jié)構(gòu)的對稱性，適當(dāng)?shù)剡x取基本結(jié)構(gòu)，使力法典型方程中盡可能多的副系數(shù)等于零，從而使計算工作得到簡化。當(dāng)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座情況、桿件的截面及彈性模量等均對稱于某一幾何軸線時，則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu)。如圖a所示剛架為對稱結(jié)構(gòu)，可選取圖b所示的基本結(jié)構(gòu)，即在對稱軸處切開，以多余未知力X1、x2、x3來代替所去掉的三個多余聯(lián)系。相應(yīng)的單位力彎矩圖如圖c,d,e所示。其中x1和x2為對稱未知力；x3為反對稱的未知力，顯然圖是對稱圖形；是反對稱圖形。由圖形相乘可知：故力法典型方程簡化為:由此可知，力法典型方程將分成兩組：一組只包含對稱的未知力，即X1、X2；另一組只包含反對稱的未知力X3。因此，解方程組的工作得到簡化。非對稱的外荷載可分解為對稱的和反對稱的兩種情況的疊加（如圖f.a.b）＝＋（1）外荷載對稱時，使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖，MP’是對稱的，則得:從而得x3=0。這時只要計算對稱多余未知力x1和x2。（2）外荷載反對稱時,使基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的彎矩圖MP”是反對稱的，則得:

從而得：X1=X2=0這時，只要計算反對稱的多余未知力X3.

從上述分析可得到如下結(jié)論：1.在計算對稱結(jié)構(gòu)時，如果選取的多余未知力中一部分是對稱的，另一部分是反對稱的。則力法方程將分為兩組：一組只包含對稱未知力；另一組只包含反對稱未知力。2.結(jié)構(gòu)對稱，若外荷載不對稱時，可將外荷載分解為對稱荷載和反對稱荷載，而分別計算然后疊加。這時，在對稱荷載作用下，反對稱未知力為零，即只產(chǎn)生對稱內(nèi)力及變形；在反對稱荷載作用下，對稱未知力為零，即只產(chǎn)生反對稱內(nèi)力及變形。例15-3

利用對稱性，計算圖a)所示剛架，并繪最后彎矩圖。解：（1）此結(jié)構(gòu)為三次超靜定剛架，且結(jié)構(gòu)及荷載均為對稱。在對稱軸處切開,取圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。由對稱性的結(jié)論可知X3=0，只須考慮對稱未知力X1及X2。（2）由切開處的位移條件，建立典型方程：（3）作單位彎矩圖和荷載彎矩圖（如圖c、d、e），利用圖形相乘法求系數(shù)和自由項。將各系數(shù)和自由項代人典型方程，解方程得：X1=120kNX2=-15kN（4）由疊加公式求各桿桿端彎矩值，繪最后彎矩圖M，如圖f所示。小結(jié)1、力法的基本原理力法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法之一。超靜定結(jié)構(gòu)的主要特點是有多余聯(lián)系，力法解題的基本原理是：首先將超靜定結(jié)構(gòu)中的多余聯(lián)系去掉，代之以多余未知力。以去掉多余聯(lián)系后得到的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，以多余未知力作為力法的基本未知量，利用基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力共同作用下的變形條件建立力法方程（稱為力法的基本方程），從而求解多余未知力。求得多余未知力后，超靜定問題就轉(zhuǎn)化為靜定問題，可用平衡條件求解所有未知力。2、確定基本未知量和選擇基本結(jié)構(gòu)一般用去掉多余聯(lián)系使原超靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)的方法。去掉的多余聯(lián)系處的多余未知力即為基本未知量。去掉多余聯(lián)系后的靜定結(jié)構(gòu)即為基本結(jié)構(gòu)。所以基本未知量和基本結(jié)構(gòu)是同時選定的。同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選擇多種基本結(jié)構(gòu)，應(yīng)盡量選擇計算簡單的基本結(jié)構(gòu)，但必須保證基本結(jié)構(gòu)是幾何不變且無多余聯(lián)系的靜定結(jié)構(gòu)。3、建立力法方程基本結(jié)構(gòu)在荷載（或溫度變化、支座移動等）及多余未知力作用下，沿多余未知力方向的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)在相應(yīng)處的位移相等，據(jù)此列出力法方程。要充分理解力法方程所代表的變形條件的意義，以及方程中各項系數(shù)和自由項的含義。因此，力法計算的關(guān)鍵是：確定基本未知量；選擇基本結(jié)構(gòu)；建立基本方程。4、力法方程的系數(shù)和自由項的計算系數(shù)和自由項的計算就是求靜定結(jié)構(gòu)的位移。因此，要使系數(shù)、自由項的計算準(zhǔn)確，必須保證靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（或內(nèi)力圖）的正確和位移計算的準(zhǔn)確。力法方程中的主系數(shù)(δii)恒大于零；副系數(shù)和自由項可能小于零、等于零，也可能大于零，且副系數(shù)δij=δji。5、超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算與內(nèi)力圖的繪制通過解力法方程求得多余未知力后，可用靜力平衡方程或內(nèi)力疊加公式計算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和繪制內(nèi)力圖。對梁和剛架來說，一般先計算桿端彎矩、繪制彎矩圖，然后計算桿端剪力、繪制剪力圖，最后計算桿端軸力、繪制軸力圖。6、對稱性的利用如果結(jié)構(gòu)對稱，可選擇對稱的基本結(jié)構(gòu)，利用荷載對稱或反對稱作用時的內(nèi)力和變形特性，可使計算得以簡化。第十六章位移法16.1位移法的基本概念位移法是以節(jié)點位移作為基本未知量求解超靜定結(jié)構(gòu)的方法。一、位移法基本變形假設(shè)：各桿端之間的軸向長度在變形后保持不變；

剛性節(jié)點所連各桿端的截面轉(zhuǎn)角是相同的。二、位移法的基本未知量力法的基本未知量是未知力，位移法的基本未知量是節(jié)點位移。

(節(jié)點是指計算節(jié)點)。節(jié)點位移分為節(jié)點角位移和節(jié)點線位移兩種。每一個獨立剛節(jié)點有一個轉(zhuǎn)角位移(基本未知量)，是整個結(jié)構(gòu)的獨立剛節(jié)點總數(shù)。角位移數(shù)為6角位移數(shù)為1對于結(jié)點線位移，由于忽略桿件的軸向變形。這兩個節(jié)點線位移中只有一個是獨立的，稱為獨立節(jié)點線位移。獨立節(jié)點線位移為位移法一種基本未知量。獨立節(jié)點線位移的數(shù)目可采用鉸接法確定(即將所有剛性結(jié)點改為鉸結(jié)點后，添加輔助鏈桿使其成為幾何不變體的方法)?！跋拗扑泄?jié)點線位移所需添加的鏈桿數(shù)就是獨立節(jié)點線位移數(shù)”。獨立節(jié)點線位移數(shù)為1獨立節(jié)點線位移數(shù)為2三、位移